عرض مصدر متعدد وجوه

{{ترجمة آلية|تاريخ=يناير 2022}}
{{ميز|متعدد أكناف}}
في [[هندسة رياضية|الهندسة]]، '''متعدد الوجوه'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|الصفحة=538}}</ref> أو '''متعدد الأوجه'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q120333813|الصفحة=277}}</ref> أو '''متعدد السطوح'''<ref>{{ترقيم استشهادات|نمط=محرف عربي
|م1={{استشهاد بويكي بيانات|Q12244028|الصفحة=604}}
|م2={{استشهاد بويكي بيانات|Q114600477|الصفحة=116}}
|م3={{استشهاد بويكي بيانات|Q123644307|الصفحة=446}}
|م4={{استشهاد بويكي بيانات|Q121833036|الصفحة=479}}
}} </ref> {{إنج|Polyhedron}} هو أي حيز في الفراغ محدود بسطح مستوٍ أو أكثر. جمعه '''كثيرات الوجوه'''. تسمى السطوح وجوها والمستقيمات التي تتقاطع فيها يقال عنها الأحرف، ومكان تقاطع حرفين يسمى الرأس. تسمى المستقيمات الموصلة بين الرأسين في وجهين بالقطر، ويشاع تصنيف متعددات الوجوه بعدد وجوهها.

== أصل التسمية ==
أتت الكلمة الإنجليزية Polyhedron من [[اللغة اليونانية|اليونانية]] (πολύεδρον)، حيث تعني المقطع poly- «كثير» وتعني المقطع -hedron «قاعدة» أو «مقعد».

== تعريف ==
[[ملف:Leonardo_polyhedra.png|تصغير|متعدد الوجوه الهيكلية (على وجه التحديد، مقطوع المكعب الثماني المعيني Rhombicuboctahedron) رسمه [[ليوناردو دا فينشي|ليوناردو دافنشي]] لتوضيح كتاب [[لوكا باتشولي|للوكا باسيولي]]]]
[[متعدد رؤوس محدب|الأشكال المتعددة السطوح المحدبة]] واضحة المعالم، ولها عدة تعريفات معيارية مكافئة. ومع ذلك، فإن التعريف الرياضي الرسمي لمتعدد الوجوه غير المطلوب أن يكون محدبًا كان مشكلة. تم تقديم العديد من التعريفات لـ «متعدد السطوح» في سياقات معينة، <ref name="lakatos">{{استشهاد|الأخير=Lakatos|mr=3469698|عنوان=Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery|سلسلة=Cambridge Philosophy Classics|اقتباس=definitions are frequently proposed and argued about|ناشر=Cambridge University Press|صفحة=16|سنة النشر الأصلية=1976|مكان=Cambridge|الأول=Imre|ISBN=978-1-107-53405-6|DOI=10.1017/CBO9781316286425|مؤلف-وصلة=Imre Lakatos|محرر1-الأخير=Worrall|محرر1-الأول=John|محرر2-الأخير=Zahar|محرر2-الأول=Elie|سنة=2015}}.</ref> بعضها أكثر صرامة من البعض الآخر، ولا يوجد اتفاق عالمي على أي منها تختار. تستثني بعض هذه التعريفات الأشكال التي غالبًا ما تُحسب على أنها متعددات الوجوه (مثل متعدد السطوح [[نجمة متعددة السطوح|ذاتيًا]]) أو تتضمن أشكالًا لا تُعتبر غالبًا متعددات الوجوه صالحة (مثل المواد الصلبة التي لا تكون حدودها [[متعدد شعب|متشعبة]]). كما لاحظ [[برانكو جرونباوم|برانكو جرونباوم،]]

«تعود الخطيئة الأصلية في نظرية متعددات الوجوه إلى إقليدس، ومن خلال كبلر، وبوينسو، وكوشي والعديد من الآخرين... في كل مرحلة... فشل الكتاب في تحديد ما هي متعددات الوجوه».<ref>{{Harvard citation text|Grünbaum|1994}}, p.&nbsp;43.</ref>

ومع ذلك، هناك اتفاق عام على أن متعدد السطوح مادة صلبة أو سطح يمكن وصفه [[رأس (هندسة)|برؤوسه]] (نقاط الزاوية)، [[حافة (هندسة)|والحواف]] (مقاطع الخط التي تربط أزواجًا معينة من الرؤوس)، [[وجه (هندسة)|والوجوه]] [[مضلع|(المضلعات]] ثنائية الأبعاد)، وأنه يمكن في بعض الأحيان [[حجم|يقال أن لها حجمًا]] داخليًا ثلاثي الأبعاد معينًا. يمكن للمرء أن يميز بين هذه التعريفات المختلفة وفقًا لما إذا كانت تصف متعدد السطوح على أنه مادة صلبة، أو ما إذا كانت تصفها كسطح، أو ما إذا كانت تصفها بشكل أكثر تجريدية بناءً على [[هندسة الوقوع]].<ref>{{استشهاد|الفصل=Polyhedra: Surfaces or solids?|الأول=Arthur L.|الأخير=Loeb|مؤلف-وصلة=Arthur Lee Loeb|صفحات=65–75|عنوان=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination|طبعة=2nd|محرر1-الأخير=Senechal|ناشر=Springer|سنة=2013|DOI=10.1007/978-0-387-92714-5_5}}</ref>

* تعريف شائع وساذج إلى حد ما لمتعدد السطوح هو أنه مادة صلبة يمكن تغطية حدودها بعدد محدود من المستويات <ref>{{استشهاد|عنوان=Solid Geometry|الأول=Joseph P.|الأخير=McCormack|ناشر=D. Appleton-Century Company|سنة=1931|صفحة=416}}.</ref><ref>{{استشهاد|عنوان=Computational Geometry: Algorithms and Applications|مؤلف3-وصلة=Mark Overmars|سنة=2000|ناشر=Springer|طبعة=2nd|مؤلف4-وصلة=Otfried Cheong|الأول4=O.|الأخير4=Schwarzkopf|الأول3=M.|الأخير=de Berg|الأخير3=Overmars|مؤلف2-وصلة=Marc van Kreveld|الأول2=M.|الأخير2=van Kreveld|مؤلف-وصلة=Mark de Berg|الأول=M.|صفحة=64}}.</ref> أو أنها صلبة تشكلت كاتحاد للعديد من الأشكال المتعددة السطوح المحدبة بشكل محدود.<ref>{{Springer}}</ref> تتطلب التحسينات الطبيعية لهذا التعريف أن يتم تقييد المادة الصلبة، وأن يكون لها جزء داخلي متصل، وربما أيضًا أن يكون لها حدود متصلة. يمكن تعريف أوجه مثل هذا متعدد السطوح على أنها [[فضاء متصل|المكونات المتصلة]] لأجزاء الحدود داخل كل من المستويات التي تغطيها، والحواف والرؤوس مثل مقاطع الخط والنقاط التي تلتقي فيها الوجوه. ومع ذلك، فإن المجسمات المتعددة السطوح المحددة بهذه الطريقة لا تشمل متعددات السطوح النجمية التي تعبر ذاتيًا، والتي قد لا تشكل وجوهها [[مضلع بسيط|مضلعات بسيطة]]، وقد تنتمي بعض حوافها إلى أكثر من وجهين.<ref>{{استشهاد|عنوان=Adventures Among the Toroids: A study of orientable polyhedra with regular faces|الأول=B. M.|الأخير=Stewart|مؤلف-وصلة=Bonnie Stewart|طبعة=2nd|سنة=1980|صفحة=6}}.</ref>
* التعريفات التي تستند إلى فكرة السطح المحيط بدلاً من المواد الصلبة شائعة أيضًا.<ref name="cromwell">Cromwell (1997), pp.&nbsp;206–209.</ref> على سبيل المثال، {{Harvard citation text|أورورك|1993}} متعدد السطوح على أنه اتحاد من [[مضلع محدب|المضلعات المحدبة]] (أوجهه)، مرتبة في الفضاء بحيث يكون تقاطع أي مضلعين هو قمة مشتركة أو حافة أو [[مجموعة خالية|مجموعة فارغة]] بحيث يكون اتحادهم [[متعدد شعب|مشعب]].<ref>{{استشهاد|عنوان=Computational Geometry in C|صحيفة=Computers in Physics|المجلد=9|العدد=1|الأول=Joseph|الأخير=O'Rourke|مؤلف-وصلة=Joseph O'Rourke (professor)|سنة=1993|صفحات=113–116|bibcode=1995ComPh...9...55O|DOI=10.1063/1.4823371}}.</ref> إذا لم يكن الجزء المستوي من هذا السطح في حد ذاته مضلعًا محدبًا، فإن أورورك يتطلب تقسيمه إلى مضلعات محدبة أصغر، مع وجود [[زاوية ثنائية السطح|زوايا ثنائية السطح]] مسطحة بينهما. بشكل عام إلى حد ما، يعرّف ''جرونباوم متعدد السطوح الأقوعي'' بأنه مجموعة من المضلعات البسيطة التي تشكل مشعبًا مضمّنًا، مع كل حادث قمة إلى ثلاثة حواف على الأقل ويتقاطع كل وجهين فقط في الرؤوس والحواف المشتركة لكل منهما.<ref>{{استشهاد|الأخير=Grünbaum|الأول=Branko|مؤلف-وصلة=Branko Grünbaum|الفصل=Acoptic polyhedra|DOI=10.1090/conm/223/03137|mr=1661382|صفحات=163–199|ناشر=American Mathematical Society|مكان=Providence, Rhode Island|سلسلة=Contemporary Mathematics|عنوان=Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996)|مسار=https://sites.math.washington.edu/~grunbaum/BG225.Acoptic%20polyhedra.pdf|المجلد=223|سنة=1999|ISBN=978-0-8218-0674-6|تاريخ الوصول=27 ديسمبر 2021|تاريخ أرشيف=31 مارس 2021|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20210331174406/https://sites.math.washington.edu/~grunbaum/BG225.Acoptic%20polyhedra.pdf|حالة المسار=dead}}.</ref> يعطي كرومويل ''[[متعدد الوجوه (كتاب)|متعدد الوجوه]]'' تعريفًا مشابهًا ولكن بدون قيود على الأقل ثلاثة حواف لكل رأس. مرة أخرى، هذا النوع من التعريف لا يشمل متعددات الوجوه المتقاطعة الذاتية.<ref>{{Harvard citation text|Cromwell|1997}}, p.&nbsp;209.</ref> تشكل المفاهيم المماثلة أساس التعريفات الطوبولوجية لمتعددات الوجوه، كتقسيمات فرعية لمشعب طوبولوجي إلى [[قرص (رياضيات)|أقراص طوبولوجية]] (الوجوه) التي تتطلب تقاطعاتها الزوجية أن تكون نقاطًا (رؤوسًا)، أو أقواسًا طوبولوجية (حواف)، أو مجموعة فارغة. ومع ذلك، توجد متعددات الوجوه الطوبولوجية (حتى مع كل مثلثات الوجوه) التي لا يمكن إدراكها على أنها متعددة الوجوه أكوبتيكية.<ref>{{استشهاد|الأخير=Bokowski|الأول=J.|الأخير2=Guedes de Oliveira|الأول2=A.|DOI=10.1007/s004540010027|العدد=2–3|صحيفة=[[Discrete and Computational Geometry]]|mr=1756651|صفحات=197–208|عنوان=On the generation of oriented matroids|المجلد=24|سنة=2000}}.</ref>
* يعتمد أحد الأساليب الحديثة على نظرية [[مجردة متعدد السطوح|المجردة متعددة السطوح]]. يمكن تعريف هذه [[مجموعة مرتبة جزئيا|المجموعات على أنها مجموعات مرتبة جزئيًا]] تكون عناصرها هي الرؤوس والحواف والوجوه في متعدد السطوح. يكون عنصر الرأس أو الحافة أقل من عنصر حافة أو وجه (بهذا الترتيب الجزئي) عندما تكون الرأس أو الحافة جزءًا من الحافة أو الوجه. بالإضافة إلى ذلك، يمكن للمرء أن يتضمن عنصرًا سفليًا خاصًا لهذا الترتيب الجزئي (يمثل المجموعة الفارغة) وعنصرًا علويًا يمثل متعدد السطوح بأكمله. إذا كانت أقسام الترتيب الجزئي بين العناصر ثلاثة مستويات متباعدة (أي بين كل وجه والعنصر السفلي، وبين العنصر العلوي وكل رأس) لها نفس بنية التمثيل المجرد للمضلع، فإن هذه المجموعات المرتبة جزئيًا تحمل بالضبط نفس المعلومات مثل متعدد الوجوه الطوبولوجي. ومع ذلك، غالبًا ما يتم تخفيف هذه المتطلبات، بدلاً من ذلك تتطلب فقط أن الأقسام بين العناصر بمستويين متباعدتين لها نفس البنية مثل التمثيل المجرد لقطعة خطية.<ref name="bursta">{{استشهاد|الأخير=Burgiel|الأول=H.|الأخير2=Stanton|الأول2=D.|DOI=10.1007/s004540010030|العدد=2–3|صحيفة=[[Discrete and Computational Geometry]]|mr=1758047|صفحات=241–255|عنوان=Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}|المجلد=24|سنة=2000}}.</ref> (هذا يعني أن كل حافة تحتوي على رأسين وتنتمي إلى وجهين، وأن كل رأس على وجه ما ينتمي إلى حافتين من ذلك الوجه.) يمكن وصف متعددات الوجوه الهندسية، المحددة بطرق أخرى، بشكل تجريدي بهذه الطريقة، ولكن من الممكن أيضًا استخدام متعددات الوجوه المجردة كأساس لتعريف متعدد السطوح الهندسية. ''يؤخذ إدراك'' متعدد السطوح المجرد عمومًا على أنه تعيين من رؤوس متعدد السطوح المجرد إلى نقاط هندسية، بحيث تكون نقاط كل وجه متحد المستوى. يمكن بعد ذلك تعريف متعدد السطوح الهندسي على أنه تحقيق متعدد السطوح المجرد.<ref>{{Harvard citation text|Grünbaum|2003}}, pp.&nbsp;468–469.</ref> كما تم النظر في الإدراك الذي يحذف متطلبات الاستواء، التي تفرض متطلبات إضافية من التناظر، أو التي تعين الرؤوس إلى مسافات ذات أبعاد أعلى.<ref name="bursta" /> على عكس التعريفات ذات الأساس الصلب والسطح، فإن هذا يعمل بشكل جيد مع متعدد السطوح النجمية. ومع ذلك، بدون قيود إضافية، يسمح هذا التعريف [[انعدام|بتعدد السطوح المتدهور]] أو غير المخلص (على سبيل المثال، عن طريق تعيين جميع الرؤوس إلى نقطة واحدة) ولم تتم تسوية مسألة كيفية تقييد الإدراك لتجنب هذه الانحرافات.

في كل هذه التعريفات، يُفهم متعدد السطوح عادةً على أنه مثال ثلاثي الأبعاد [[عديد الأبعاد|للكوليتوب]] الأكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد. على سبيل المثال، يحتوي المضلع على جسم ثنائي الأبعاد وليس له وجوه، بينما [[رباعي الأبعاد|يحتوي الشكل 4 متعدد الأضلاع]] على جسم رباعي الأبعاد ومجموعة إضافية من «الخلايا» ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك، فإن بعض الأدبيات المتعلقة بالهندسة عالية الأبعاد تستخدم مصطلح «متعدد السطوح» ليعني شيئًا آخر: ليس متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد، ولكن شكل مختلف عن متعدد الأطوار بطريقة ما. على سبيل المثال، تحدد بعض المصادر متعدد السطوح المحدب ليكون تقاطعًا بين عدد محدود من [[نصف مساحة (هندسة)|المسافات النصفية]]، وأن يكون متعدد السطوح متعدد السطوح محددًا.<ref name="polytope-bounded-1">{{استشهاد|الأخير=Grünbaum|الأول=Branko|مؤلف-وصلة=Branko Grünbaum|DOI=10.1007/978-1-4613-0019-9|طبعة=2nd|ISBN=978-0-387-00424-2|مكان=New York|mr=1976856|صفحة=26|ناشر=Springer-Verlag|ref=Grünbaum-Convex-Polytopes<!-- Don't interfere with harv links to the other Grünbaum 2003 reference -->|سلسلة=Graduate Texts in Mathematics|عنوان=Convex Polytopes|المجلد=221|سنة=2003}}.</ref><ref name="polytope-bounded-2">{{استشهاد|الأخير=Bruns|الأول=Winfried|الأخير2=Gubeladze|الأول2=Joseph|الفصل=Definition 1.1|مسار الفصل=https://books.google.com/books?id=pbgg1pFxW8YC&pg=PA5|DOI=10.1007/b105283|ISBN=978-0-387-76355-2|mr=2508056|صفحة=5|ناشر=Springer|مكان=Dordrecht|سلسلة=Springer Monographs in Mathematics|عنوان=Polytopes, Rings, and ''K''-theory|سنة=2009}}.</ref> ما تبقى من هذه المقالة يعتبر فقط ثلاثي الأبعاد متعدد السطوح.

== مميزات ==
{| class="wikitable" style="float:left; margin-left:1em; text-align:center; font-size:88%;"
|[[ملف:Tetrahedron.png|120x120بك]][[رباعي سطوح|منتظم رباعي السطوح]]
[[مجسم أفلاطوني|صلبة أفلاطونية]]
|[[ملف:Small_stellated_dodecahedron.png|127x127بك]][[صغير ثنائي الوجوه نجمي]]
[[مادة صلبة كبلر-بوينسو]]
|-
|[[ملف:Icosidodecahedron.png|120x120بك]][[إيكوسيدوديكاهيدرون]]
[[مجسم أرخميدي|أرخميدس الصلبة]]
|[[ملف:Great_cubicuboctahedron.png|120x120بك]][[مكعب رباعي الوجوه كبير]]
[[نجمة متعددة السطوح موحدة]]
|-
|[[ملف:Rhombic_triacontahedron.png|120x120بك]][[ثلاثي السطوح المعيني]]
[[صلبة الكاتالونية]]
|[[ملف:Hexagonal_torus.png|120x120بك]][[متعدد السطوح حلقي]]
|}
=== عدد الوجوه ===
يمكن تصنيف المجسمات المتعددة الوجوه وغالبًا ما يتم تسميتها وفقًا لعدد الوجوه. ويستند نظام تسمية في اليونانية الكلاسيكية، على سبيل المثال [[رباعي سطوح|رباعي الاسطح]] (مجسم ذي أربعة وجوه)، [[خماسي الأوجه]] (خمسة وجوه)، [[سداسي سطوح|المكعب]] (ستة وجوه)، [[Triacontahedron|ثلاثي السطوح]] (30 وجوه)، وهكذا.

للحصول على قائمة كاملة ببادئات الأرقام اليونانية، انظر {{وصلة قسم|بادئة عددية|جدول عدد البادئات}}، في عمود الأرقام الأصلية اليونانية.

=== التصنيف الطوبولوجي ===
[[ملف:Klein_bottle2.svg|تصغير|[[زجاجة كلاين]] متعددة السطوح ذاتية التقاطع ذات وجوه رباعية]]
{{مفصلة|متعدد السطوح حلقي}}بعض متعددات الوجوه لها وجهان متميزان على سطحها. على سبيل المثال، [[متعدد رؤوس محدب|يمكن إعطاء كل من النموذج الورقي المحدب متعدد السطوح]] من الداخل والخارج لونًا مختلفًا (على الرغم من أن اللون الداخلي سيكون مخفيًا عن الأنظار). هذه متعددات الوجوه قابلة [[توجيه (توضيح)|للتوجيه]]. وينطبق الشيء نفسه على متعددات الوجوه غير المحدبة بدون تقاطعات ذاتية. يمكن تلوين بعض الأشكال المتعددة السطوح غير المحدبة ذاتيًا بنفس الطريقة ولكن بها مناطق مقلوبة «من الداخل إلى الخارج» بحيث يظهر كلا اللونين من الخارج في أماكن مختلفة؛ هذه لا تزال تعتبر قابلة للتوجيه. ومع ذلك، بالنسبة لبعض الأشكال المتعددة السطوح الأخرى ذات الوجوه البسيطة المضلعة، مثل [[رباعي سطوح|رباعي السطوح]]، لا يمكن تلوين جانبي كل وجه بلونين مختلفين بحيث يكون للوجوه المجاورة ألوان متسقة. في هذه الحالة، يُقال أن متعدد السطوح غير قابل للتوجيه. بالنسبة إلى متعددات الوجوه ذات الوجوه المتقاطعة ذاتيًا، قد لا يكون من الواضح ما يعنيه أن يتم تلوين الوجوه المجاورة بشكل ثابت، ولكن بالنسبة لهذه الأشكال المتعددة السطوح، لا يزال من الممكن تحديد ما إذا كانت قابلة للتوجيه أو غير قابلة للتوجيه من خلال التفكير في [[مجمع الخلايا|مجمع خلية]] طوبولوجي باستخدام نفس المسافات بين رؤوسه وأطرافه ووجوهه.

يتم إعطاء تمييز أكثر دقة بين الأسطح متعددة السطوح من خلال [[مميزة أويلر|خاصية أويلر]] الخاصة بهم، والتي تجمع بين عدد الرؤوس <math>V</math>، حواف <math>E</math> والوجوه <math>F</math> من متعدد الوجوه في رقم واحد <math>\chi</math> التي تحددها الصيغة

: <math>\chi=V-E+F.\ </math>

تُستخدم نفس الصيغة أيضًا لخاصية أويلر لأنواع أخرى من الأسطح الطوبولوجية. إنه ثابت للسطح، مما يعني أنه عندما ينقسم سطح واحد إلى رؤوس وحواف ووجوه بأكثر من طريقة، فإن خاصية أويلر ستكون هي نفسها بالنسبة لهذه التقسيمات الفرعية. بالنسبة إلى متعدد السطوح المحدب، أو بشكل عام أي متعدد السطوح متصل بسطح كروي طوبولوجي، يكون دائمًا يساوي 2.<ref>{{Harvard citation text|Richeson|2008}}, p.&nbsp;157.</ref> بالنسبة للأشكال الأكثر تعقيدًا، تتعلق خاصية أويلر بعدد [[سطح حلقي|الثقوب الحلقية]] أو المقابض أو [[غطاء مستعرض|الأغطية المتقاطعة]] في السطح وستكون أقل من 2.<ref>{{Harvard citation text|Richeson|2008}}, p.&nbsp;180.</ref> كل المجسمات ذات الأرقام الفردية بخاصية أويلر غير قابلة للتوجيه. قد يكون الشكل المحدد الذي له خاصية أويلر قابلاً للتوجيه وقد لا يكون كذلك. على سبيل المثال، يحتوي كل من [[سطح حلقي|الحلقي]] [[زجاجة كلاين|ذو الفتحة الواحدة وزجاجة كلاين]] <math>\chi = 0</math>، حيث يكون الأول قابلاً للتوجيه والآخر لا.

بالنسبة للعديد من (ولكن ليس كل) طرق تعريف متعدد السطوح، يجب أن يكون سطح متعدد السطوح [[متعدد شعب|متشعبًا]]. هذا يعني أن كل حافة هي جزء من حدود وجهين بالضبط (عدم السماح بأشكال مثل اتحاد مكعّبين يلتقيان فقط على طول حافة مشتركة) وأن كل رأس هو نتيجة لدورة متناوبة واحدة من الحواف والوجوه (عدم السماح بأشكال مثل اتحاد مكعبين يشتركان في رأس واحد فقط). بالنسبة إلى متعددات الوجوه المحددة بهذه الطرق، يشير [[تصنيف الفتحات|تصنيف المشعبات]] إلى أن النوع الطوبولوجي للسطح يتم تحديده تمامًا من خلال الجمع بين خاصية أويلر وقابلية التوجيه. على سبيل المثال، يجب أن يكون كل متعدد الوجوه يكون سطحه متشعبًا قابلاً للتوجيه وخاصية أويلر الخاصة به 2 عبارة عن كرة طوبولوجية.

[[متعدد السطوح حلقي|متعدد السطوح الحلقي]] هو متعدد السطوح تكون [[مميزة أويلر|خصائص أويلر]] أقل من أو تساوي 0، أو مكافئها [[جنس (رياضيات)|جنسها]] هو 1 أو أكبر. من الناحية الطوبولوجية، فإن أسطح هذه متعددات الوجوه عبارة عن [[طارة (رياضيات)|أسطح حلقية بها]] ثقب واحد أو أكثر من خلال الوسط.

=== الازدواجية ===
[[ملف:Dual_Cube-Octahedron.svg|تصغير|181x181بك|الثماني الوجوه مزدوج للمكعب]]
{{مفصلة|متعدد السطوح المزدوج}}لكل متعدد السطوح محدب، يوجد متعدد السطوح مزدوج

* وجوه بدلاً من رؤوس النسخة الأصلية والعكس صحيح.
* نفس عدد الحواف.

يمكن الحصول على ثنائي متعدد السطوح المحدب من خلال عملية [[متعدد السطوح المزدوج|التبادل القطبي]].<ref>{{استشهاد|الأخير=Cundy|الأول=H. Martyn|مؤلف-وصلة=Martyn Cundy|الأخير2=Rollett|الأول2=A.P.|طبعة=2nd|مكان=Oxford|mr=0124167|ناشر=Clarendon Press|عنوان=Mathematical models|سنة=1961|الفصل=3.2 Duality|صفحات=78–79}}.</ref> توجد متعددات الوجوه المزدوجة في أزواج، ومزدوجة الوجوه المزدوجة هي مجرد متعدد السطوح الأصلي مرة أخرى. بعض متعدد السطوح هو مزدوج ذاتي، مما يعني أن ثنائي متعدد السطوح متطابق مع متعدد السطوح الأصلي.<ref>{{استشهاد|الأخير=Grünbaum|عنوان=Convex polytopes|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170222114014/http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf|تاريخ الوصول=2017-02-21|سنة=1969|العدد=3|المجلد=1|مسار=http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf|صفحات=257–300|الأول=B.|mr=0250188|صحيفة=[[جمعية الرياضيات في لندن]]|DOI=10.1112/blms/1.3.257|مؤلف2-وصلة=Geoffrey Colin Shephard|الأول2=G.C.|الأخير2=Shephard|مؤلف-وصلة=Branko Grünbaum|تاريخ أرشيف=2017-02-22}}. See in particular the bottom of page 260.</ref>

تحتوي المجردة متعددة السطوح أيضًا على ثنائيات، والتي ترضي بالإضافة إلى أنها تتمتع بنفس خاصية أويلر وقابلية التوجيه مثل متعدد السطوح الأولي. ومع ذلك، فإن هذا الشكل من الازدواجية لا يصف شكل متعدد الوجوه المزدوج، ولكن فقط هيكله الاندماجي. بالنسبة لبعض تعريفات متعدد السطوح الهندسية غير المحدبة، توجد متعددة السطوح التي لا يمكن إدراك ثنائياتها المجردة على أنها متعددة السطوح الهندسية تحت نفس التعريف.

=== أرقام فيرتكس ===
{{مفصلة|شخصية فيرتكس}}يمكن للمرء تحديد شكل [[شكل رأس|قمة]]، والذي يصف الهيكل المحلي لمتعدد السطوح حول الرأس. تختلف التعريفات الدقيقة، ولكن يمكن اعتبار شكل الرأس على أنه المضلع المكشوف حيث تقطع الشريحة عبر متعدد السطوح الزاوية.<ref name="cromwell" /> إذا كان شكل الرأس عبارة عن [[مضلع منتظم]]، فيُقال إن الرأس نفسه منتظم.

=== الصوت ===
تحتوي المواد الصلبة متعددة السطوح على كمية مرتبطة بها تسمى [[حجم|الحجم]] الذي يقيس مقدار المساحة التي تشغلها. قد تحتوي العائلات البسيطة من المواد الصلبة على صيغ بسيطة لأحجامها؛ على سبيل المثال، [[متوازي السطوح|يمكن بسهولة التعبير عن أحجام الأهرامات والمنشورات ومتوازي]] السطوح من حيث أطوال حوافها أو إحداثيات أخرى. (راجع [[حجم|المجلد § صيغ الحجم]] للحصول على قائمة تتضمن العديد من هذه الصيغ.)

قد لا تحتوي أحجام متعددات الوجوه الأكثر تعقيدًا على صيغ بسيطة. يمكن حساب أحجام متعددات الوجوه هذه عن طريق تقسيم متعدد السطوح إلى أجزاء أصغر (على سبيل المثال، عن طريق [[تثليث مجموعة النقاط|التثليث]]). على سبيل المثال، يمكن حساب [[مجسم أفلاطوني|حجم متعدد السطوح المنتظم]] [[هرم (هندسة)|بتقسيمه إلى أهرامات]] متطابقة، بحيث يكون لكل هرم وجه متعدد السطوح كقاعدته ويكون مركز متعدد السطوح قمته.

بشكل عام، يمكن أن يُشتق من [[مبرهنة التباعد|نظرية التباعد]] أن حجم المادة الصلبة متعددة السطوح يُعطى بواسطة

<math display="block">
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
</math>حيث المبلغ هو أكثر يواجه {{Mvar|F}} من متعدد الوجوه، {{تعبير رياضي|''Q''<sub>''F''</sub>}} هو إجراء تعسفي نقطة على وجهه {{Mvar|F}} {{تعبير رياضي|''N''<sub>''F''</sub>}} هو [[متجه وحدة|متجه الوحدة]] عمودي {{Mvar|F}} مشيرا خارج الصلبة، ونقطة الضرب هو [[جداء نقطي|نقطة المنتج]].<ref>{{استشهاد|الأخير=Goldman|الأول=Ronald N.|مؤلف-وصلة=Ron Goldman (mathematician)|محرر1-الأخير=Arvo|عنوان=Graphic Gems Package: Graphics Gems II|ناشر=Academic Press|سنة=1991|صفحات=170–171|الفصل=Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra}}</ref> في الأبعاد الأعلى، قد يكون حساب الحجم صعبًا، ويرجع ذلك جزئيًا إلى صعوبة سرد وجوه متعدد السطوح المحدب المحدد فقط من خلال رؤوسه، وهناك [[خوارزمية|خوارزميات]] متخصصة لتحديد الحجم في هذه الحالات.<ref>{{استشهاد|الأخير=Büeler|الأول=B.|الأخير2=Enge|الأول2=A.|الأخير3=Fukuda|الأول3=K.|DOI=10.1007/978-3-0348-8438-9_6|الفصل=Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study|عنوان=Polytopes — Combinatorics and Computation|صفحات=131|سنة=2000|ISBN=978-3-7643-6351-2}}</ref>

=== ثابت ديهن ===
{{مفصلة|ثابت ديهن}}[[مبرهنة بوياي|تؤكد نظرية مبرهنة بوياي]] أن أي مضلع يمكن تحويله إلى أي مضلع آخر في نفس المنطقة عن طريق [[تشريح شكل|تقطيعه إلى عدد محدود من القطع متعددة الأضلاع وإعادة ترتيبها]]. كان السؤال المماثل بالنسبة لمتعدد الوجوه موضوع [[مشكلة هيلبرت الثالثة]]. [[ماكس ديهن|حل ماكس ديهن]] هذه المشكلة من خلال إظهار أنه، على عكس الحالة ثنائية الأبعاد، توجد متعددات الوجوه من نفس الحجم لا يمكن تقطيعها إلى متعددات وجوه أصغر وإعادة تجميعها في بعضها البعض. لإثبات هذا اكتشف دهن قيمة أخرى مرتبطة بمتعدد الوجوه، [[دهن ثابت|ثابت دهن]]، بحيث لا يمكن تشريح اثنين من متعددات الوجوه إلى بعضهما البعض إلا عندما يكون لهما نفس الحجم ونفس ثابت دهن. ثبت فيما بعد من قبل سيدلرأن هذا هو العائق الوحيد للتشريح: يمكن تقطيع كل اثنين من متعددات الوجوه الإقليدية مع نفس الأحجام وثوابت دهن وإعادة تجميعها في بعضها البعض.<ref>{{استشهاد|الأخير=Sydler|الأول=J.-P.|مؤلف-وصلة=Jean-Pierre Sydler|عنوان=Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions|صحيفة=[[Commentarii Mathematici Helvetici|Comment. Math. Helv.]]|لغة=fr|المجلد=40|سنة=1965|صفحات=43–80|DOI=10.1007/bf02564364|mr=0192407|مسار=https://eudml.org/doc/139296| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210507022809/https://eudml.org/doc/139296 | تاريخ أرشيف = 7 مايو 2021 }}</ref> ثابت دهن ليس رقمًا، ولكنه [[متجه]] في فضاء متجه لا نهائي الأبعاد.<ref>{{Springer|first=M.|last=Hazewinkel|title=Dehn invariant}}</ref>

مشكلة أخرى لهيلبرت، وهي مشكلة [[مشكلة هيلبرت الثامنة عشر|هيلبرت الثامنة عشرة]]، تتعلق (من بين أمور أخرى) بمعدلات السطوح تلك [[قرص العسل (هندسة)|المساحة المربعة]]. يجب أن يكون لكل متعدد الوجوه من هذا القبيل الصفر الثابت ديهن.<ref>{{استشهاد|الأخير=Debrunner|الأول=Hans E.|DOI=10.1007/BF01235384|العدد=6|صحيفة=[[Archiv der Mathematik]]|لغة=de|mr=604258|صفحات=583–587|عنوان=Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln|المجلد=35|سنة=1980}}.</ref> تم ربط ثابت دهن أيضًا [[متعدد السطوح مرنة|بمتعددة السطوح المرنة من]] خلال نظرية الخوار القوية، التي تنص على أن ثابت دهن لأي متعدد الوجوه المرن يظل ثابتًا أثناء ثنيه.<ref>{{استشهاد|الأخير=Alexandrov|الأول=Victor|arxiv=0901.2989|DOI=10.1007/s00022-011-0061-7|العدد=1–2|صحيفة=Journal of Geometry|mr=2823098|صفحات=1–13|عنوان=The Dehn invariants of the Bricard octahedra|المجلد=99|سنة=2010}}.</ref>

== متعدد الوجوه المحدب ==
[[ملف:UniversumUNAM19.JPG|تصغير|كتل محدبة متعددة السطوح معروضة في [[يونيفرسوم (يونام)|متحف يونيفيرسم]] في مكسيكو سيتي]]
المادة الصلبة ثلاثية الأبعاد هي مجموعة [[مجموعة محدبة|محدبة]] إذا كانت تحتوي على كل مقطع خطي يربط بين نقطتين من نقطته. [[متعدد رؤوس محدب|متعدد السطوح المحدب]] هو متعدد الوجوه الذي، كمادة صلبة، يشكل مجموعة محدبة. يمكن أيضًا تعريف متعدد السطوح المحدب على أنه تقاطع محدود من عدة [[نصف مساحة (هندسة)|مسافات نصفية]] [[مجموعة محاطة|محدودة]]، أو [[انغلاق محدب|كبدن محدب]] للعديد من النقاط بشكل محدود.

تشمل الفئات المهمة من متعددات الوجوه المحدبة [[مجسم أفلاطوني|المواد الصلبة الأفلاطونية]] شديدة التناظر، [[مجسم أرخميدي|والمواد الصلبة]] الأرميدية وثنائياتها، [[صلبة الكاتالونية|المواد الصلبة الكتالونية]]، والمواد الصلبة ذات الوجه العادي من [[مجسم جونسون|جونسون]].

== تناظرات ==
العديد من متعددات الوجوه الأكثر دراسة [[تناظر|متناظرة]] للغاية، أي أن مظهرها لا يتغير عن طريق بعض الانعكاس أو دوران الفضاء. قد يغير كل تناظر موقع رأس أو وجه أو حافة معينة، لكن مجموعة جميع الرؤوس (مثل الوجوه والحواف) لم تتغير. تسمى مجموعة تماثلات متعدد الوجوه [[زمرة التناظر|مجموعة التناظر]].

يُقال إن جميع العناصر التي يمكن أن تُركب على بعضها البعض بواسطة التماثلات تشكل [[تناظر المدار|مدارًا تناظرًا]]. على سبيل المثال، تقع جميع أوجه المكعب في مدار واحد، بينما تقع جميع الحواف في مدار آخر. إذا كانت جميع عناصر بُعد معين، لنقل جميع الوجوه، تقع في نفس المدار، فيُقال إن الشكل متعد في هذا المدار. على سبيل المثال، يكون المكعب عابرًا للوجه، بينما يحتوي المكعب المقطوع على مداري تناظر من الوجوه.

قد يدعم نفس الهيكل المجرد أكثر أو أقل من الأشكال المتعددة السطوح الهندسية. ولكن عندما يتم إعطاء اسم متعدد السطوح، مثل [[إيكوسيدوديكاهيدرون|ثنائي عشرية]] الوجوه، فإن الهندسة الأكثر تماثلًا تكون ضمنية دائمًا تقريبًا، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

هناك عدة أنواع من متعدد الوجوه شديد التناظر، مصنفة حسب نوع العنصر - الوجوه، أو الحواف، أو الرؤوس - التي تنتمي إلى مدار تناظر واحد:

* [[متعدد السطوح المنتظم|عادي]]: قمة الرأس متعدية، ومتعددة الأطراف ومتعددة الوجه. (هذا يعني أن كل وجه هو نفس [[مضلع منتظم|المضلع المنتظم]]؛ هذا يعني أيضًا أن كل رأس منتظم.)
* [[متعدد السطوح شبه الزوايا|شبه منتظم]]: قمة الرأس متعدية وحافة متعدية (وبالتالي لها وجوه عادية) ولكن ليس الوجه متعدٍ. الثنائي شبه العادي هو عابر للوجه ومتعدٍ للحافة (ومن ثم فإن كل رأس يكون منتظمًا) ولكنه ليس عابرًا للقمة.
* [[متعدد السطوح شبه دائري|شبه منتظم]]: قمة الرأس متعدية لكن ليست متعدية الأطراف، وكل وجه عبارة عن مضلع منتظم. (هذا واحد من عدة تعريفات للمصطلح، اعتمادًا على المؤلف. تتداخل بعض التعريفات مع الفئة شبه العادية.) تشمل هذه متعددات الوجوه [[منشور (هندسة)|المنشورات]] [[منشور مضاد|شبه الدائرية والمضادات]]. الثنائية شبه العادية هي انتقالية للوجه ولكنها ليست متعدية الرأس، وكل رأس يكون منتظمًا.
* [[متعدد السطوح موحدة|موحد]]: قمة الرأس متعدية وكل وجه عبارة عن مضلع منتظم، أي أنه منتظم أو شبه منتظم أو شبه منتظم. الازدواج المنتظم هو متعد للوجه وله رؤوس منتظمة، ولكنه ليس بالضرورة عابرًا للرأس.
* [[شخصية متساوية|متساوي]]: قمة الرأس متعدية.
* [[متساوي السم|متساوي السموم]]: حافة متعدية.
* [[إسوهيدرال|إيزوهيدرال]]: وجه متعد.
* [[نبيل متعدد السطوح|نوبل]]: وجه متعدٍ ومتعدٍ للرأس (لكن ليس بالضرورة أن يكون متعدّدًا للحافة). كما أن المجسمات المتعددة الوجوه المنتظمة نبيلة. هم الوحيدون متعدد الوجوه النبيلة موحدة. ثنائيات متعددات الوجوه النبيلة هي نفسها نبيلة.

تحتوي بعض فئات متعددات الوجوه على محور تناظر رئيسي واحد فقط. وتشمل هذه [[هرم (هندسة)|الأهرامات]]، و[[هرم مزدوج]]، و[[شبه منحرف]]، و[[القبيبة (توضيح)|القباب]]، وكذلك المنشورات شبه الدائرية والمضادات.

=== متعددات الوجوه العادية ===
{{مفصلة|صلبة أفلاطونية|متعدد السطوح كبلر-بوينسوت}}تعد متعددات الوجوه المنتظمة هي الأكثر تناظرًا. إجمالاً، هناك تسعة متعددات وجوه منتظمة: خمسة مجسمات وأربعة نجوم.

عُرفت الأمثلة الخمسة المحدبة منذ العصور القديمة وتسمى [[مجسم أفلاطوني|بالمواد الصلبة الأفلاطونية]]. هذه هي الهرم الثلاثي أو [[رباعي سطوح|الرباعي السطوح]]، [[مكعب|المكعب]]، [[ثماني سطوح|المجسم الثماني]]، [[اثنا عشري سطوح|الثنعشري]] و[[عشروني سطوح|العشروني الوجوه]]:

هناك أيضًا أربع مجسمات نجمية منتظمة، تُعرف باسم متعدد السطوح [[متعدد السطوح كبلر وبوينسو|كبلر – بوينسوت نسبةً لمكتشفيها]].

كما أن ثنائي متعدد السطوح منتظم منتظم.

=== المجسمات المتعددة السطوح وثنائياتها ===
{{مفصلة|متعدد السطوح موحدة}}متعددات الوجوه [[قمة الرأس المتعدية|المنتظمة هي متعدية الرؤوس]] وكل وجه عبارة عن [[مضلع منتظم]]. يمكن تقسيمها إلى [[متعدد السطوح المنتظم|العادية]] أو [[متعدد السطوح شبه الزوايا|شبه العادية]] أو [[متعدد السطوح شبه دائري|شبه العادية]]، وقد تكون محدبة أو مرصعة بالنجوم.

إن ثنائيات المجسمات المتعددة السطوح المنتظمة لها وجوه غير منتظمة ولكنها متقاطعة [[وجه متعد|للوجه]]، وكل [[شكل رأس|شكل قمة]] هو مضلع منتظم. متعدد السطوح المنتظم له نفس مدارات التناظر مثل مداراته المزدوجة، مع تبديل الوجوه والرؤوس ببساطة. تسمى ثنائيات مجسمات أرخميدس المحدبة أحيانًا [[صلبة الكاتالونية|بالمواد الصلبة الكاتالونية]].

تُصنف متعددات الوجوه المنتظمة وثنائياتها بشكل تقليدي وفقًا لدرجة التناظر، وما إذا كانت [[متعدد رؤوس محدب|محدبة]] أم لا.
{| class="wikitable"
!
!زي محدب
!زي محدب مزدوج
!ستار موحد
!ستار موحد مزدوج
|-
![[متعدد السطوح المنتظم|عادي]]
| colspan="2" style="text-align:center;" |[[مجسم أفلاطوني|المواد الصلبة الأفلاطونية]]
| colspan="2" style="text-align:center;" |[[متعدد السطوح كبلر-بوينسوت|متعدد السطوح كبلر وبوينسو]]
|- style="text-align:center;"
![[متعدد السطوح شبه الزوايا|شبه دائري]]
| rowspan="2" |[[مجسم أرخميدي|المواد الصلبة أرخميدس]]
| rowspan="2" |[[صلبة الكاتالونية|المواد الصلبة الكاتالونية]]
| colspan="2" rowspan="2" |[[متعدد السطوح نجمة موحدة]]
|- style="text-align:center;"
! rowspan="3" |[[متعدد السطوح شبه دائري|نصف دائري]]
|- style="text-align:center;"
|[[منشور (هندسة)|الموشورات]]
|[[هرم مزدوج|بيبيراميدز]]
|[[منشور (هندسة)|مناشير النجوم]]
|[[هرم مزدوج|نجمة بيبراميدز]]
|- style="text-align:center;"
|[[منشور مضاد|الانتقادات]]
|[[شبه منحرف]]
|[[منشور مضاد]]
|[[نجمة شبه منحرفة]]
|}

=== الإيسوهيدرون ===
{{مفصلة|الإيسوهيدرون}}'''الإيسوهيدرون''' هو متعدد الوجوه مع تماثلات تعمل بشكل عابر على وجوهها. يمكن تمثيل طوبولوجيتها من خلال [[تكوين الوجه]]. جميع [[مجسم أفلاطوني|المواد الصلبة الأفلاطونية]] الخمسة و 13 مادة [[صلبة الكاتالونية|صلبة كاتالونية]] هي إيزوهيدرا، بالإضافة إلى العائلات اللانهائية من [[شبه منحرف|شبه المنحرفين]] و[[هرم مزدوج]]. تسمح بعض إيزوهيدرا بالاختلافات الهندسية بما في ذلك الأشكال المقعرة وذاتية التقاطع.

=== مجموعات التماثل ===
[[ملف:Icosahedral_reflection_domains.png|تصغير|التناظر الكامل [[تناظر إيكوساهدرا|عشروني الوجوه]] يقسم الكرة إلى 120 مجالًا مثلثيًا.]]
تمت تسمية العديد من التناظرات أو [[مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد]] على اسم متعددات الوجوه التي لها التناظر المرتبط بها. وتشمل هذه:

* '''(T)''' - '''التناظر اللولبي [[تناظر رباعي السطوح|رباعي السطوح]]'''؛ مجموعة الدوران [[رباعي سطوح|لرباعي السطوح]] المنتظم.
* '''(T<sub>d</sub>''')- '''[[تناظر رباعي السطوح]] كامل'''؛ مجموعة التناظر [[رباعي سطوح|لرباعي السطوح]] المنتظم.
* ('''T<sub>h</sub>''')- '''[[تناظر رباعي السطوح|تناظر]]''' بيريتوهيدرون؛ تناظر [[اثنا عشري سطوح|مجسم بيريوسيدرون]].
* '''(O)''' - '''التناظر اللولبي [[تناظر ثماني السطوح|ثماني السطوح]]'''؛ مجموعة دوران [[مكعب|المكعب]] [[ثماني سطوح|وثماني]] الوجوه.
* '''(O<sub>h</sub>''')- '''[[تناظر ثماني السطوح]] الكامل'''؛ مجموعة التناظر [[مكعب|للمكعب]] [[ثماني سطوح|والثماني]] الوجوه.
* '''(I)''' - '''[[تناظر إيكوساهدرا|التناظر اللولبي إيكوساهدرا]]'''؛ مجموعة دوران [[عشروني سطوح|العشروني الوجوه]] و[[اثنا عشري سطوح|الثنعشري]].
* '''(I<sub>h</sub>''') - '''التناظر الكامل [[تناظر إيكوساهدرا|عشروني الوجوه]]'''؛ مجموعة التماثل من [[عشروني سطوح|العشروني الوجوه]] و[[اثنا عشري سطوح|الثنعشري]].
* '''(C <sub>nv</sub>''') - [[تناظرات دورية|تناظر هرمي أضعاف]].
* '''(D <sub>nh</sub>''')- [[زمرة زوجية|تناظر موشوري]].
* '''(D <sub>nv</sub>''') - [[زمرة زوجية|تناظر مضاد للثني]].

أولئك الذين لديهم [[لا انطباقية|التناظر اللولبي]] ليس لديهم [[تناظر انعكاسي]] وبالتالي لديهم شكلين متشابهين يمثلان انعكاسات لبعضهما البعض. وتشمل الأمثلة [[Snub مكعبة الوجوه|مكعبة الوجوه]] و[[إقصاء ثنائي عشرية الوجوه|ثنائي عشرية الوجوه]].

== عائلات أخرى مهمة من متعددات الوجوه ==

=== متعددات الوجوه ذات الوجوه المنتظمة ===
إلى جانب متعددات الوجوه المنتظمة والمنتظمة، هناك بعض الفئات الأخرى التي لها وجوه منتظمة ولكن لها تماثل إجمالي أقل.

==== وجوه منتظمة متساوية ====
يمكن العثور على الأشكال المتعددة السطوح المحدبة حيث يكون كل وجه من نفس النوع من المضلع المنتظم بين ثلاث عائلات:

* المثلثات: تسمى هذه متعددات الوجوه [[دلتاهيدرون|دلتا]] السطوح. هناك ثمانية أشكال دلتا محدبة: ثلاثة من المواد الصلبة الأفلاطونية وخمسة أمثلة غير موحدة.
* المربعات: المكعب هو المثال المحدب الوحيد. يمكن الحصول على أمثلة أخرى ([[متعدد مكعبات|المكعبات المتعددة]]) عن طريق ضم المكعبات معًا، على الرغم من أنه يجب توخي الحذر إذا كان يجب تجنب الوجوه [[اشتراك في مستوى|المستوية.]]
* خماسي الوجوه: الشكل الثنائي الوجوه العادي هو المثال المحدب الوحيد.

متعددات الوجوه ذات الوجوه المنتظمة المتطابقة من ستة جوانب أو أكثر كلها غير محدبة.

وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للمجسمات المتعددة السطوح المحدبة ذات الوجوه المنتظمة المتساوية هو عشرة: المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة وخمسة الأشكال الدلتاهدية غير المنتظمة.<ref>{{Harvard citation text|Cromwell|1997}}, [https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA86 p.&nbsp;86]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210427142523/https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA86|date=2021-04-27}}</ref> هناك عدد لا نهائي من الأمثلة غير المحدبة. توجد أمثلة لا حصر لها تشبه الإسفنج تسمى [[انحراف الوجه المنحني|الأشكال المتعددة السطوح اللانهائية]] في بعض هذه العائلات.

==== المواد الصلبة لجونسون ====
{{مفصلة|  المواد الصلبة لجونسون}}[[نورمان جونسون|بحث نورمان جونسون]] عن الأشكال المتعددة السطوح المحدبة وغير المنتظمة التي لها وجوه منتظمة، وإن لم تكن كلها متشابهة بالضرورة. في عام 1966، نشر قائمة تضم 92 مادة صلبة، وأعطاها أسماء وأرقامًا، وتوقع أنه لا يوجد غيرها. [[فيكتور زالجالر|أثبت فيكتور زالجالر]] في عام 1969 أن قائمة مواد جونسون الصلبة كانت كاملة.

=== الاهرام ===
{{مفصلة|الهرم (هندسة)}}تشمل الأهرامات بعضًا من أكثر الأشكال متعددة الوجوه شهرةً وشهرةً، مثل [[قائمة أهرام مصر|الأهرامات المصرية]] ذات الجوانب الأربعة.

=== النجوم والوجهات ===
{{مفصلة|شكل نجمي الوجوه|}}نجمية متعدد السطوح هي عملية تمديد الوجوه (داخل طائراتها) بحيث تلتقي لتشكيل متعدد السطوح جديد.

إنها المعاملة بالمثل بالضبط  لعملية الوجه، وهي عملية إزالة أجزاء من متعدد السطوح دون إنشاء أي رؤوس جديدة.

توضح الأشكال أدناه بعض النجوم من المجسم الثماني، والعشري الوجوه، والعشريني الوجوه.
=== زونوهيدرا ===
إن زونوهيدرن هو متعدد السطوح محدب يكون فيه كل وجه عبارة عن [[مضلع]] متماثل تحت [[دوران]] 180 درجة. زونوهيدرا يمكن أيضا وصفها بأنها [[مجموع مينكوفسكي|مبالغ مينكوفسكي]] من شرائح الخط، وتشمل العديد من المجسمات الثلاثية الأبعاد المهم ملء الفضاء.<ref>{{استشهاد|الأخير=Taylor|الأول=Jean E.|مؤلف-وصلة=Jean Taylor|DOI=10.2307/2324178|العدد=2|صحيفة=[[الرياضيات الأمريكية الشهرية]]|mr=1144350|صفحات=108–111|عنوان=Zonohedra and generalized zonohedra|المجلد=99|سنة=1992|jstor=2324178}}.</ref>

=== متعدد الوجوه يملأ الفراغ ===
{{مفصلة|قرص العسل (هندسة)}}حزم متعددة السطوح تملأ الفراغ مع نسخ من نفسها لملء الفراغ. غالبًا ما يُطلق على هذا التعبئة القريبة أو ملء الفراغ اسم التغطية بالفسيفساء للمساحة أو قرص العسل. يجب أن تحتوي المجسمات المتعددة السطوح التي تملأ الفراغ على ثابت دهن يساوي صفرًا. تحتوي بعض أقراص العسل على أكثر من نوع واحد من متعدد السطوح.

=== بنية متعددات الوجوه ===
{{مفصلة|كثير الحدود لإيرهارت}}يسمى متعدد السطوح المحدب الذي تحتوي جميع الرؤوس فيه على إحداثيات صحيحة على [[Polytope محدب شعرية|متعدد السطوح الشبكية]] أو [[برمجة خطية|متعدد السطوح متكامل]]. إن كثير حدود إيرهارت لمتعدد السطوح الشبكي يحسب عدد النقاط ذات [[عدد صحيح|الإحداثيات الصحيحة التي]] تقع داخل نسخة معدلة من متعدد السطوح، كدالة لعامل المقياس. تكمن دراسة كثيرات الحدود في تقاطع [[تركيبات|التوافقية]] [[جبر تبادلي|والجبر التبادلي]].<ref>{{استشهاد|الأخير=Stanley|الأول=Richard P.|تاريخ=1997|عنوان=Enumerative Combinatorics, Volume I|طبعة=1|ناشر=Cambridge University Press|صفحات=235–239|ISBN=978-0-521-66351-9|مؤلف-وصلة=Richard P. Stanley}}</ref>

=== متعددات الوجوه المرنة ===
{{مفصلة|متعددات السطوح المرنة}}من الممكن لبعض متعددات الوجوه أن تغير شكلها العام، مع الحفاظ على أشكال وجوهها كما هي، عن طريق تغيير زوايا حوافها. يسمى متعدد السطوح الذي يمكنه القيام بذلك باسم متعدد السطوح المرن. من خلال [[نظرية كوشي (الهندسة)|نظرية صلابة كوشي]]، يجب أن تكون متعددات الوجوه المرنة غير محدبة. يجب أن يظل حجم متعدد السطوح المرن ثابتًا أثناء ثنيه ؛ تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية الخوار.<ref>{{استشهاد|الأخير=Demaine|الأول=Erik D.|مؤلف-وصلة=Erik Demaine|الأخير2=O'Rourke|الأول2=Joseph|مؤلف2-وصلة=Joseph O'Rourke (professor)|الفصل=23.2 Flexible polyhedra|DOI=10.1017/CBO9780511735172|ISBN=978-0-521-85757-4|mr=2354878|صفحات=345–348|ناشر=Cambridge University Press, Cambridge|عنوان=Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra|سنة=2007}}.</ref>

=== مركبات ===
{{مفصلة|مجمع متعدد السطوح}}يتكون المركب متعدد السطوح من اثنين أو أكثر من متعدد السطوح يتشاركان مركزًا مشتركًا. غالبًا ما تشترك المركبات المتناظرة في نفس الرؤوس مثل الأشكال المتعددة السطوح الأخرى المعروفة ويمكن أيضًا أن تتشكل عن طريق التألق. بعضها مدرج في [[قائمة نماذج Wenninger متعدد السطوح|قائمة نماذج متعدد السطوح لوينينجر]].

=== متعددات الوجوه المتعامدة ===
متعدد السطوح المتعامد هو الذي تلتقي جميع وجوهه [[زاوية قائمة|بزوايا قائمة]]، وجميع حوافه موازية لمحاور نظام الإحداثيات الديكارتية. ([[عشري الوجوه لجيسن|يقدم جيسن ذو الوجوه العشرينية]] مثالاً على أن متعدد الوجوه يلتقي بواحد ولكن ليس كلا الشرطين.) بصرف النظر عن [[متوازي مستطيلات|الصناديق المستطيلة]]، فإن الأشكال المتعددة السطوح المتعامدة غير محدبة. إنها النظائر ثلاثية الأبعاد للمضلعات المتعامدة ثنائية الأبعاد، والمعروفة أيضًا باسم [[المضلع المستقيم|المضلعات المستقيمة]]. تُستخدم متعددات الوجوه المتعامدة في [[هندسة رياضية حاسوبية|الهندسة الحسابية]]، حيث أتاح هيكلها المقيد التقدم في المشكلات التي لم يتم حلها بالنسبة لمتعدد الوجوه التعسفي، على سبيل المثال، كشف سطح متعدد السطوح إلى [[شبكة (متعدد أوجه)|شبكة متعددة الأضلاع]].<ref>{{استشهاد|الأخير=O'Rourke|الأول=Joseph|مؤلف-وصلة=Joseph O'Rourke (professor)|الفصل=Unfolding orthogonal polyhedra|DOI=10.1090/conm/453/08805|mr=2405687|صفحات=307–317|ناشر=Amer. Math. Soc., Providence, RI|سلسلة=Contemp. Math.|عنوان=Surveys on discrete and computational geometry|المجلد=453|سنة=2008|ISBN=978-0-8218-4239-3}}.</ref>

== تعميمات المجسمات المتعددة ==
أصبح اسم «متعدد السطوح» يستخدم لمجموعة متنوعة من الكائنات التي لها خصائص هيكلية مماثلة لمتعدد السطوح التقليدية.

=== أبيروجيدرون ===
يحتوي السطح الكلاسيكي متعدد السطوح على عدد محدود من الوجوه، متصلة في أزواج على طول الحواف. [[أبيروجيدرون|تشكل الوجوه أبيروجيدرون]] فئة ذات صلة من الكائنات مع عدد لا نهائي من الوجوه. تتضمن أمثلة الأوجه المنحرفة ما يلي:

* تبليط أو [[فسيفساء (رياضيات)|فسيفساء]] من الطائرة.
* هياكل تشبه الإسفنج تسمى [[انحراف الوجه المنحني|الأشكال المتعددة السطوح اللانهائية]].

=== متعددات الوجوه المعقدة ===
{{مفصلة|بوليتوب معقد}}هناك كائنات تسمى متعددات الوجوه المعقدة، والتي يكون الفضاء الأساسي لها هو [[فضاء هيلبرت|مساحة هيلبرت]] [[عدد مركب|المعقدة]] بدلاً من الفضاء الإقليدي الحقيقي. توجد تعريفات دقيقة فقط لمتعدد الوجوه المعقد المنتظم، والذي تكون مجموعات تناظره عبارة عن [[مجموعة انعكاس معقد|مجموعات انعكاس معقدة]]. ترتبط المجسمات المتعددة السطوح المعقدة رياضيًا ارتباطًا وثيقًا [[التكوين (بوليتوب)|بالتكوينات]] أكثر من ارتباطها بالمجسمات المتعددة السطوح الحقيقية.<ref>{{استشهاد|الأخير=Coxeter|الأول=H.S.M.|مؤلف-وصلة=Harold Scott MacDonald Coxeter|مكان=Cambridge|mr=0370328|ناشر=Cambridge University Press|عنوان=Regular Complex Polytopes|سنة=1974}}. {{بحاجة لرقم الصفحة}}</ref>

=== متعددات الوجوه المنحنية ===
تسمح بعض مجالات الدراسة بأن يكون للجوانب والحواف منحنية. يمكن أن تسمح [[مضلع ثنائي|الوجوه المنحنية بتواجد]] الوجوه الرقمية بمساحة موجبة.

==== متعدد الوجوه الكروية ====
{{مفصلة|متعدد السطوح الكروية}}عندما يتم تقسيم سطح الكرة بواسطة عدد محدود من [[منحنى|الأقواس الكبيرة]] (بالتساوي، عن طريق المستويات التي تمر عبر مركز الكرة)، فإن النتيجة تسمى متعدد السطوح الكروية. يمكن إسقاط العديد من بوليتوبس المحدبة التي لها درجة معينة من التناظر (على سبيل المثال، جميع المواد الصلبة الأفلاطونية) على سطح كرة متحدة المركز لإنتاج متعدد الوجوه الكروية. ومع ذلك، فإن العملية العكسية ليست ممكنة دائمًا ؛ بعض المجسمات الكروية (مثل [[هوسوهيدرون|الهشوهيدرا]]) ليس لها نظير مسطح الوجه.<ref>{{استشهاد|عنوان=Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere|الأول=Edward S.|الأخير=Popko|ناشر=CRC Press|سنة=2012|ISBN=978-1-4665-0430-1|صفحة=463|مسار=https://books.google.com/books?id=HjTSBQAAQBAJ&pg=PA463|اقتباس="A hosohedron is only possible on a sphere"|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20230426203005/https://books.google.com/books?id=HjTSBQAAQBAJ&pg=PA463|تاريخ أرشيف=2023-04-26}}.</ref>

==== مجسمات منحنية لملء الفراغ ====
إذا سُمح للوجوه بأن تكون مقعرة ومحدبة، يمكن عمل الوجوه المجاورة لتلتقي مع بعضها بدون فجوة. يمكن لبعض هذه المجسمات المنحنية أن تجمع معًا لملء الفراغ. نوعان مهمان هما:

* فقاعات في رغوة ورغوة، مثل [[هيكل Weaire – Phelan|فقاعات ويير فيلان]].<ref>{{استشهاد|الأخير=Kraynik|الأول=A.M.|الأخير2=Reinelt|الأول2=D.A.|محرر1-الأخير=Mortensen|الفصل=Foams, Microrheology of|طبعة=2nd|صفحات=402–407|ناشر=Elsevier|عنوان=Concise Encyclopedia of Composite Materials|سنة=2007}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=zs_lGeGsuaAC&pg=PA403 p.&nbsp;403]: "foams consist of polyhedral gas bubbles ... each face on a polyhedron is a minimal surface with uniform mean curvature ... no face can be a flat polygon with straight edges".</ref>
* النماذج المستخدمة في العمارة.<ref>{{استشهاد|الأخير=Pearce|الأول=P.|عنوان=Structure in nature is a strategy for design|ناشر=MIT Press|سنة=1978|صفحة=224|مسار=https://books.google.com/books?id=sfc2OEuE8oQC&pg=PA224|الفصل=14 Saddle polyhedra and continuous surfaces as environmental structures|ISBN=978-0-262-66045-7|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20230409025357/https://books.google.com/books?id=sfc2OEuE8oQC&pg=PA224|تاريخ أرشيف=2023-04-09}}.</ref>

=== متعدد الوجوه المثالي ===
{{مفصلة|مثالي متعدد السطوح}}يمكن تعريف متعددات الوجوه المحدبة في [[الفضاء الزائدي]] ثلاثي الأبعاد بنفس الطريقة كما في الفضاء الإقليدي، مثل [[انغلاق محدب|الهياكل المحدبة]] لمجموعات محدودة من النقاط. ومع ذلك، في الفضاء الزائدي، من الممكن أيضًا مراعاة [[نقطة مثالية|النقاط المثالية]] بالإضافة إلى النقاط التي تقع داخل الفضاء. [[مثالي متعدد السطوح|متعدد السطوح المثالي]] هو الهيكل المحدب لمجموعة محدودة من النقاط المثالية. وجوهها عبارة عن مضلعات مثالية، لكن حوافها محددة بخطوط زائدية كاملة بدلاً من مقاطع خطية، ولا تقع رؤوسها (النقاط المثالية التي تكون بدنها محدبًا) داخل الفضاء الزائدي.

=== الهياكل العظمية والمتعددة السطوح كرسومات بيانية ===
من خلال نسيان بنية الوجه، فإن أي متعدد السطوح يؤدي إلى [[بيان (رياضيات منفصلة)|رسم بياني]] يسمى [[N- هيكل عظمي|الهيكل العظمي]]، مع الرؤوس والحواف المقابلة. هذه الأرقام لها تاريخ طويل: [[ليوناردو دا فينشي]] وضع نماذج إطارات من المواد الصلبة العادية''،'' ويشبه [[إظهار سلكي|سلك الإطار]] تظهر المجسمات الثلاثية الأبعاد في [[إيشر]] الصورة المطبوعة [[ستارز (MC Escher)|''نجوم'']] .<ref>{{استشهاد|الأخير=Coxeter|الأول=H.S.M.|مؤلف-وصلة=Harold Scott MacDonald Coxeter|DOI=10.1007/BF03023010|العدد=1|صحيفة=The Mathematical Intelligencer|صفحات=59–69|عنوان=A special book review: M.C. Escher: His life and complete graphic work|المجلد=7|سنة=1985}} Coxeter's analysis of ''Stars'' is on pp. 61–62.</ref> إحدى أبرز ما [[نظرية شتاينتس|يميز هذا النهج هي نظرية شتاينتس]]، التي تعطي توصيفًا نظريًا بحتًا للهياكل العظمية لمتعدد السطوح المحدب: تنص على أن الهيكل العظمي لكل متعدد السطوح المحدب عبارة عن [[مخطط مستو|رسم بياني مستوٍ]] [[اتصال فيرتكس|متصل بثلاث]] نقاط، وكل رسم بياني مستوٍ متصل بثلاثة أشكال هو هيكل عظمي لبعض متعدد السطوح محدب.

تم تطوير فكرة مبكرة عن متعددات الوجوه المجردة في دراسة [[برانكو جرونباوم]] لـ «متعددات الوجوه المجوفة». حدد جرونباوم الوجوه لتكون مجموعات من الرؤوس مرتبة بشكل دوري، وسمح لها بأن تكون [[مضلع منحرف|منحرفة]] ومستوية.<ref>{{Harvard citation text|Grünbaum|1994}}.</ref>

يسمح منظور الرسم البياني للمرء بتطبيق [[مسرد نظرية الرسم البياني|مصطلحات وخصائص الرسم البياني]] على متعددات الوجوه. على سبيل المثال، [[متعدد السطوح Császár|متعدد السطوح ورباعي السطوح]] هو الوحيد المعروف متعدد السطوح الذي هياكله العظمية عبارة عن [[رسم بياني كامل|رسوم بيانية كاملة]] (K <sub>4</sub>)، وتؤدي قيود التماثل المختلفة على متعدد السطوح إلى ظهور هياكل عظمية عبارة عن [[رسم بياني متماثل|رسوم بيانية متماثلة]].

== الاستخدامات البديلة ==
منذ النصف الأخير من القرن العشرين، وُجد أن العديد من التركيبات الرياضية لها خصائص موجودة أيضًا في متعددات الوجوه التقليدية. بدلاً من حصر مصطلح «متعدد الوجوه» لوصف متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد، فقد تم اعتماده لوصف أنواع مختلفة من الهياكل ذات الصلة ولكن المتميزة.

=== الأبعاد المتعددة السطوح ===
تم تعريف متعدد السطوح على أنه مجموعة من النقاط في [[فضاء تآلفي|فضاء أفيني]] [[عدد حقيقي|حقيقي]] (أو [[فضاء إقليدي|إقليدي]]) بأي بعد ''n'' له جوانب مسطحة. يمكن بدلاً من ذلك تعريفه على أنه تقاطع العديد [[نصف مساحة (هندسة)|من المسافات النصفية]]. على عكس متعدد السطوح التقليدي، قد يكون مقيدًا أو غير مقيد. في هذا المعنى، فإن [[عديد الأبعاد]] هو متعدد السطوح محدد.<ref name="polytope-bounded-1" /><ref name="polytope-bounded-2" />

من الناحية التحليلية، يتم التعبير عن مثل هذا متعدد السطوح المحدب على أنه مجموعة الحلول لنظام من عدم المساواة الخطية. يوفر تعريف متعدد الوجوه بهذه الطريقة منظورًا هندسيًا لمشاكل [[برمجة خطية|البرمجة الخطية]]. العديد من الأشكال التقليدية متعددة السطوح هي متعددات الوجوه بهذا المعنى. تشمل الأمثلة الأخرى:

* على سبيل المثال، تتكون منطقة المستوى الديكارتي من جميع النقاط فوق المحور الأفقي وعلى يمين المحور الرأسي: {{تعبير رياضي|{ ( ''x'', ''y'' ) : ''x'' ≥ 0, ''y'' ≥ 0 }}ضلعه هما المحوران الموجبان، وبخلاف ذلك فهو غير مقيد.
* ثماني في الفضاء الإقليدي 3، {{تعبير رياضي|{ ( ''x'', ''y'', ''z'' ) : ''x'' ≥ 0, ''y'' ≥ 0, ''z'' ≥ 0 }}
* منشور من مدى لانهائي. على سبيل المثال، منشور مربع لانهائي مضاعف في 3 ''مسافات، ويتألف من مربع في المستوى xy'' على طول المحور ''z'' {{تعبير رياضي|{ ( ''x'', ''y'', ''z'' ) : 0 ≤ ''x'' ≤ 1, 0 ≤ ''y'' ≤ 1 }}
* كل [[وجه (هندسة)|خلية]] في [[مخطط فورونوي|مخطط فورونوي بالفسيفساء]] هي عبارة عن متعدد الوجوه محدب. في مخطط فورونوي بالفسيفساء لمجموعة ''S''، تكون الخلية ''A'' المقابلة للنقطة {{تعبير رياضي|''c'' ∈ ''S''}} محدودة (ومن ثم متعدد السطوح التقليدي) عندما يقع ''c'' [[داخل (طوبولوجيا)|داخل]] [[انغلاق محدب|الهيكل المحدب]] لـ ''S''، وبخلاف ذلك (عندما يقع ''c'' [[الحدود (طوبولوجيا)|على حدود]] البدن المحدب لـ ''S'') ''A'' غير محدود.

=== المجسمات الطوبولوجية ===
البوليتوب الطوبولوجي عبارة عن مساحة طوبولوجية يتم تقديمها جنبًا إلى جنب مع تحلل معين إلى أشكال مكافئة طوبولوجيًا [[متعدد رؤوس محدب|للفئات المتعددة المحدبة]] والتي ترتبط ببعضها البعض بطريقة منتظمة.

يسمى هذا الشكل البسيط إذا كانت كل منطقة من مناطقه بسيطة، أي في فضاء ذي أبعاد n، تحتوي كل منطقة على رؤوس n + 1. يسمى ثنائي من بوليتوب البسيط بسيط. وبالمثل، فإن فئة من بوليتوبس (متعددات الوجوه) المدروسة على نطاق واسع هي تلك الخاصة بالمجسمات متعددة السطوح، عندما تكون لبنة البناء الأساسية عبارة عن مكعب ذو أبعاد n.

=== مجردة متعدد الوجوه ===
{{مفصلة|مجردة بوليتوب}}[[مجردة بوليتوب]] هي مجموعة [[مجموعة مرتبة جزئيا|مرتبة جزئيًا]] (موجب) من العناصر التي يخضع ترتيبها الجزئي لقواعد معينة للوقوع (التوصيل) والترتيب. تتوافق عناصر المجموعة مع الرؤوس والحواف والوجوه وما إلى ذلك من مجردة بوليتوب: الرءوس لها رتبة 0، والحواف مرتبة 1، وما إلى ذلك مع ترتيب مرتب جزئيًا يتوافق مع أبعاد العناصر الهندسية. المجموعة الفارغة، التي تتطلبها نظرية المجموعة، لها رتبة −1 ويقال أحيانًا إنها تتوافق مع مجردة بوليتوب الفارغة. متعدد الوجوه المجرد هو مجردة متعدد السطوح له الترتيب التالي:

* المرتبة الثالثة: العنصر الأقصى، وأحيانًا يتم تحديده مع الجسم.
* المرتبة الثانية: الوجوه المضلعة.
* المرتبة الأولى: الحواف.
* المرتبة الصفرية: القمم.
* رتبة سالب واحد: المجموعة الفارغة، يتم تحديدها أحيانًا باستخدام بوليتوب أو نيليتوب.<ref>[[نورمان جونسون|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ردمك|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite Symmetry Groups'', 11.1 ''Polytopes and Honeycombs'', p.224</ref>

ثم يقال إن أي متعدد الوجوه الهندسي هو «إدراك» في الفضاء الحقيقي للوضع المجرد كما هو موصوف أعلاه.

== تاريخ ==
عصور ما قبل التاريخ ظهرت [[عمارة|متعددات الوجوه في أشكال معمارية]] مبكرة مثل المكعبات والمكعبات، كما يرجع تاريخ أقدم الأهرامات الرباعية الجوانب في [[مصر]] القديمة أيضًا إلى العصر الحجري.و [[الحضارة الإتروسكانية|الاتروريون]] سبقت اليونان في وعيهم على الأقل بعض المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية، كما يتضح من اكتشاف وجود [[الحضارة الإتروسكانية|الأترورية]] [[اثنا عشري سطوح|الثنعشري]] مصنوعة من [[حجر أملس|الحجر الأملس]] على [[مونتي لوفا]]. تم تمييز وجوهها بتصميمات مختلفة، مما يوحي لبعض العلماء أنه ربما تم استخدامه كنموذج للألعاب.<ref>{{استشهاد|عنوان=An Etruscan dodecahedron|الأول=Amelia Carolina|الأخير=Sparavigna|سنة=2012|arxiv=1205.0706}}</ref>

== الحضارة اليونانية ==
تأتي أقدم ''السجلات المكتوبة'' المعروفة لهذه الأشكال من [[اليونان القديمة|المؤلفين اليونانيين]] الكلاسيكيين، الذين قدموا أيضًا أول وصف رياضي معروف لها. كان الإغريق الأوائل مهتمين في المقام الأول [[متعدد السطوح المنتظم|بالمجسمات المنتظمة المحدبة]]، والتي أصبحت تُعرف باسم [[مجسم أفلاطوني|المواد الصلبة الأفلاطونية]]. [[فيثاغورس|عرف فيثاغورس]] ثلاثة منهم على الأقل، وعرف [[ثايتوس|ثياتيتوس]] (حوالي 417 ب.&nbsp;ج) وصف كل خمسة. في النهاية، [[إقليدس|وصف إقليدس]] بنائها في ''[[الأصول (كتاب)|عناصره]]'' . في وقت لاحق، [[أرخميدس|وسع أرخميدس]] دراسته لتشمل [[متعدد السطوح موحدة|متعدد السطوح المنتظم المحدب]] الذي يحمل اسمه الآن. [[ببس الرومي|ضاع عمله الأصلي وأتت مواده]] الصلبة إلينا من خلال بابوس

== الصين ==
يعود تاريخ لعبة النرد المكعبة في الصين إلى 600 قبل الميلاد

بحلول عام 236 بعد الميلاد، كان ليو هوي يصف تشريح المكعب إلى رباعي السطوح المميز (تقويم العظام) والمواد الصلبة ذات الصلة، باستخدام تجمعات هذه المواد الصلبة كأساس لحساب أحجام الأرض التي سيتم نقلها أثناء عمليات التنقيب الهندسية.

== الحضارة الإسلامية ==
بعد نهاية العصر الكلاسيكي، واصل علماء الحضارة الإسلامية دفع المعرفة اليونانية إلى الأمام (انظر [[الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية|الرياضيات في إسلام العصور الوسطى]]).

قدم الباحث في القرن التاسع عشر [[ثابت بن قرة]] صيغًا لحساب أحجام متعددات الوجوه مثل الأهرامات المقطوعة.

ثم في القرن العاشر، [[أبو الوفاء البوزجاني|وصف أبو الوفا]] الأشكال المتعددة السطوح الكروية المنتظمة وشبه الدائرية.

=== عصر النهضة ===
كما هو الحال مع مجالات الفكر اليوناني الأخرى التي تم الحفاظ عليها وتعزيزها من قبل العلماء المسلمين، انتعش الاهتمام الغربي بالمجسمات المتعددة السطوح خلال [[عصر النهضة]] الإيطالية. قام الفنانون ببناء الهياكل المتعددة السطوح، وتصويرها من الحياة كجزء من تحقيقاتهم في [[رسم منظوري|المنظور]]. يظهر العديد في ألواح التطعيم في تلك الفترة. [[بييرو ديلا فرانشيسكا|قدم بييرو ديلا فرانشيسكا]] أول وصف مكتوب للبناء الهندسي المباشر لوجهات نظر منظور متعدد السطوح. [[ليوناردو دا فينشي|صنع ليوناردو دافنشي]] نماذج هيكلية للعديد من متعددات الوجوه ورسم توضيحات لها لكتاب باتشيولي. تصور لوحة لفنان مجهول لـ [[المعين المعيني|باسيولي وتلميذ]] زجاجًا معينيًا نصفه مملوء بالماء.

مع انتشار عصر النهضة إلى ما بعد إيطاليا، صور فنانون [[وينزل جامنيتسر|لاحقون مثل وينزل جامنيتسر]] ودورر وغيرهم أيضًا الأشكال المتعددة السطوح، وكثير منها رواية، في نقوش خيالية.

=== نجمة متعددات الوجوه ===
لما يقرب من 2000 عام، ظل مفهوم متعدد السطوح باعتباره صلبًا محدبًا كما طوره علماء الرياضيات اليونانيون القدماء.

خلال [[عصر النهضة|عصر النهضة،]] تم اكتشاف أشكال نجمية. رسم ترسيا رخامي في أرضية [[كنيسة سان ماركو|كاتدرائية القديس مرقس]]، البندقية، يصور اثني عشر وجهًا منمقًا. كان فنانون مثل [[وينزل جامنيتسر]] سعداء بتصوير أشكال جديدة شبيهة بالنجوم تزداد تعقيدًا.

[[يوهانس كيبلر|استخدم يوهانس كيبلر]] (1571–1630) [[نجمة (مضلع)|المضلعات النجمية]]، [[نجمة خماسية|الخماسية]] عادةً، لبناء نجمة متعددة السطوح. ربما تم اكتشاف بعض هذه الأشكال قبل زمن كبلر، لكنه كان أول من أدرك أنه يمكن اعتبارها «عادية» إذا أزال أحد القيود التي تنص على أن متعدد الوجوه المنتظم يجب أن يكون محدبًا. لاحقًا، أدرك [[لوي بوانسو|لويس بوانسوت]] [[شكل رأس|أنه يمكن أيضًا استخدام أشكال قمة]] النجم (دوائر حول كل زاوية)، واكتشف الباقيين متعددي الوجوه النجمية المنتظمة. أثبت كوشي أن قائمة بوينسو كاملة، وأعطاهم كايلي أسماءهم الإنجليزية المقبولة: (كبلر) [[صغير ثنائي الوجوه نجمي|الصغير]] [[كبير dodecahedron نجمي|ذو]] [[عشري الوجوه الكبير|الاثنا عشر الوجوه النجمية والثنائي الوجوه الكبير]]، و (بوينسو) العشر [[ثنائى الوجوه العظيم|الوجوه الكبير والعشري الوجوه العظيم]]. بشكل جماعي يطلق [[متعدد السطوح كبلر وبوينسو|عليهم متعدد السطوح كبلر – بوينسو]].

يمكن بناء متعدد السطوح كبلر – بوينسو من المواد الصلبة الأفلاطونية من خلال عملية تسمى [[تمديد مضلع|النجومية]]. معظم النجوم ليست منتظمة. حظيت دراسة النجوم من المواد الصلبة الأفلاطونية بدفعة كبيرة من قبل [[سكوت ماكدونالد كوكستر]] وآخرون في عام 1938، مع الورقة الشهيرة الآن ''59 عشرونية الوجوه'' .<ref>{{استشهاد|الأخير=Coxeter|الأول=H.S.M.|مؤلف-وصلة=Harold Scott MacDonald Coxeter|الأخير2=Du Val|الأول2=P.|الأخير3=Flather|الأول3=H.T.|الأخير4=Petrie|الأول4=J.F.|ISBN=978-1-899618-32-3|mr=676126|سنة النشر الأصلية=1938|ناشر=Tarquin Publications|عنوان=The Fifty-Nine Icosahedra|سنة=1999}}.</ref>

وتسمى هذه العملية متبادلة لتمديد مضلع [[الوجه|الوجوه]] (أو النحت). كل تأليف من بوليتوب هو [[متعدد السطوح المزدوج|مزدوج]]، أو متبادل، إلى بعض الوجوه من بوليتوب المزدوج. يمكن أيضًا الحصول على متعددات الوجوه النجمية العادية عن طريق مواجهة المواد الصلبة الأفلاطونية. {{Harvard citation text|جسر|1974}} أوجه أبسط للثني عشر الوجوه، وردها بالمثل لاكتشاف نجمية للعشروني الوجوه التي كانت مفقودة من مجموعة "59".<ref>{{استشهاد|الأخير=Bridge|الأول=N.J.|DOI=10.1107/s0567739474001306|العدد=4|صحيفة=Acta Crystallographica Section A|صفحات=548–552|عنوان=Faceting the dodecahedron|المجلد=30|سنة=1974|bibcode=1974AcCrA..30..548B}}.</ref> تم اكتشاف المزيد منذ ذلك الحين، ولم تنته القصة بعد.

=== صيغة وطوبولوجيا أويلر ===
تطوران رياضيان حديثان آخران كان لهما تأثير عميق على نظرية متعدد السطوح.

في عام 1750 [[ليونهارت أويلر|نظر ليونارد أويلر]] لأول مرة في حواف متعدد السطوح، مما سمح له باكتشاف صيغته متعددة السطوح المتعلقة بعدد الرؤوس والحواف والوجوه. يشير هذا إلى ولادة [[طوبولوجيا|الطوبولوجيا]]، التي يشار إليها أحيانًا باسم «هندسة الألواح المطاطية»، وقد [[هنري بوانكاريه|طور هنري بوانكاريه]] أفكاره الأساسية في نهاية القرن التاسع عشر. سمح هذا بالعديد من المشكلات طويلة الأمد حول ما كان أو لم يكن متعدد السطوح ليتم حلها.

[[ماكس بروكنر|لخص ماكس بروكنر]] العمل على متعددات الوجوه حتى الآن، بما في ذلك العديد من النتائج التي توصل إليها، في كتابه «المضلعات والمضلعات: النظرية والتاريخ» (المضلعات ومتعدد الوجوه: النظرية والتاريخ). نُشرت باللغة الألمانية عام 1900، وظلت معروفة قليلاً.

وفي الوقت نفسه، أدى اكتشاف أبعاد أعلى إلى فكرة متعدد السطوح كمثال ثلاثي الأبعاد على متعدد الأطوار أكثر عمومية.

=== إحياء القرن العشرين ===
بحلول السنوات الأولى من القرن العشرين، كان علماء الرياضيات قد تقدموا ولم تدرس الهندسة كثيرًا. قدم تحليل كوكستر في الإيكوساهدرا التسعة والخمسون أفكارًا حديثة من [[نظرية البيان|نظرية الرسم البياني]] [[تركيبات|والتوليفات]] في دراسة متعددات الوجوه، مما يشير إلى ولادة جديدة للاهتمام بالهندسة.

استمر كوكستر نفسه في تعداد متعدد السطوح النجمية الموحدة لأول مرة، ولمعاملة أسقف المستوي على أنها متعددات الوجوه، واكتشاف [[منتظم متعدد السطوح الانحراف|الانحراف متعدد السطوح المنتظم]]، ولتطوير نظرية [[بوليتوب معقد|متعددات الوجوه المعقدة]] التي اكتشفها شيفارد لأول مرة في عام 1952، بالإضافة إلى جعلها أساسية. مساهمات في العديد من مجالات الهندسة الأخرى.

في الجزء الثاني من القرن العشرين، نشر جرونباوم أعمالًا مهمة في مجالين. كان أحدهما في [[متعدد رؤوس محدب|بوليتوبس محدبة]]، حيث لاحظ وجود ميل بين علماء الرياضيات لتعريف «متعدد الوجوه» بطرق مختلفة وأحيانًا غير متوافقة لتناسب احتياجات اللحظة. كان الآخر عبارة عن سلسلة من الأوراق التي وسعت التعريف المقبول لمتعدد الوجوه، على سبيل المثال اكتشاف العديد من [[متعدد السطوح المنتظم|الأشكال المتعددة السطوح العادية]] الجديدة. في نهاية القرن العشرين، اندمجت هذه الأفكار الأخيرة مع أعمال أخرى حول [[مجمع الوقوع|مجمعات الوقوع]] لإنشاء الفكرة الحديثة لمتعدد الوجوه المجرد (باعتباره مجردة 3 متعدد السطوح)، قدمها بشكل خاص مكمولين وشولت.

== في الطبيعة ==
من أجل ايجاد الأمثلة حيث يظهر مرعدد أوجم منتظم في الطبيعة، انظر إلى [[متعدد السطوح المنتظم#في الطبيعة|متعدد سطوح منتظم في الطبيعة]]. تظهر متعددات الأوجم غير المنتظمة في الطبيعة على شكل [[بلورة|بلورات]].

== انظر أيضًا ==
{{تصنيف كومنز|Polyhedra}}
* [[شبكة (متعدد أوجه)]].
* [[قائمة الأشكال الهندسية]].
* [[:en:Angular defect|خلل]].
* [[:en:Trapezohedron|دلتوهيدرون]].
* [[:en:Extension complexity|تمديد متعدد السطوح]].
* [[:en:Goldberg polyhedron|متعدد الوجوه غولدبرغ]].
* [[:en:List of books about polyhedra|قائمة الكتب حول المجسمات المتعددة الوجوه]].
* [[:en:List of small polyhedra by vertex count|قائمة المجسمات الصغيرة من خلال عدد الرؤوس]].
* [[:en:Polyhedron model|نماذج متعدد السطوح]].
* [[:en:Schlegel diagram|مخطط شليغل]].
* [[:en:Spidron|سبايدرون]].
* [[:en:Lists of shapes|قوائم الأشكال]].
* [[:en:Stella (software)|ستيلا (برمجيات)]].

== ملحوظات ==
{{مراجع}}

== مراجع ==
{{مراجع}}

=== فهرس ===
* كتاب الرياضيات الدراسي الصف الثالث ثانوي الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432، المملكة العربية السعودية.

== روابط خارجية ==

=== النظرية العامة ===

* وايسشتاين، إريك دبليو، «متعدد الوجوه»، ماثوورلد.
* [http://www.steelpillow.com/polyhedra/ صفحات المجسمات المتعددة السطوح].
* [https://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf حل موحد لمتعدد السطوح الموحدة للدكتور تسفي هاريل].
* [https://web.archive.org/web/20170224151555/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/symmetry.htm التماثل والبلورات ومتعدد السطوح].

=== قوائم وقواعد بيانات المجسمات المتعددة الوجوه ===

* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html الواقع الافتراضي متعدد السطوح] - موسوعة المجسمات المتعددة السطوح.
* [http://www.eg-models.de/index.html نماذج الهندسة الإلكترونية] - تحتوي على مجموعة مختارة من متعدد السطوح تمت مراجعتها من قِبل النظراء بخصائص غير عادية.
* [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/index.html نماذج] المجسمات المتعددة السطوح - المجسمات المتعددة السطوح الافتراضية.
* [http://www.polyedergarten.de/ النماذج الورقية للزي الموحد (وغيره) متعدد السطوح]
* [https://polyhedra.tessera.li/ عارض] متعدد السطوح - أداة قائمة على الويب لتصور العلاقات بين متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة.

=== البرمجيات الحرة ===

* [https://web.archive.org/web/20170616023727/http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-en.html عدد كبير] من المجسمات المتعددة السطوح - مجموعة تفاعلية ومجانية من متعددات الوجوه في جافا. تشتمل الميزات على شبكات، وأقسام مستوية، وثنائيات، ومقتطعات ونجوم لأكثر من 300 متعدد الوجوه.
* [http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html قطاعة هيبر سبيس ستار بوليتوب] - مستكشف جافا الصغير، يتضمن مجموعة متنوعة من خيارات العارض ثلاثي الأبعاد.
* [http://www.openscad.org/ أوبن سكاد] - برنامج مجاني عبر الأنظمة الأساسية للمبرمجين. المجسمات المتعددة الوجوه هي مجرد واحدة من الأشياء التي يمكنك نمذجتها. [[wikibooks:OpenSCAD User Manual|دليل مستخدم أوبن سكاد]] متاح أيضًا.
* [http://www.openvolumemesh.org/ أوبين فوليوميش] - مكتبة C ++ مفتوحة المصدر ومتعددة المنصات للتعامل مع الشبكات متعددة السطوح. تم تطويره بواسطة مجموعة رسومات الحاسوب بجامعة آخن.
* [https://levskaya.github.com/polyhedronisme/ تعدد] الوجوه - أداة قائمة على الويب لتوليد نماذج متعددة السطوح باستخدام [[تدوين كونواي متعدد السطوح|تدوين كونواي]] متعدد السطوح. يمكن تصدير النماذج كصور PNG ثنائية الأبعاد، أو كملفات (OBJ) أو (VRML2) ثلاثية الأبعاد. يمكن فتح الملفات ثلاثية الأبعاد في برنامج (CAD)، أو تحميلها للطباعة ثلاثية الأبعاد في خدمات مثل [http://www.shapeways.com/ الأشكال] .

=== موارد لصنع النماذج المادية ===

* [http://www.korthalsaltes.com/ نماذج ورقية] لشبكات متعددة السطوح خالية من المجسمات.
* [http://ldlewis.com/How-to-Build-Polyhedra/ تعليمات بسيطة لبناء أكثر من 30 متعدد الوجوه الورقية].
* [http://hbmeyer.de/flechten/indexeng.htm متعدد السطوح مضفر بشرائط ورقية] - نماذج متعددة السطوح مبنية بدون استخدام الغراء.
* [https://www.polytopia.eu/en/ اعتماد] متعدد السطوح - شاشة تفاعلية وشبكات وبيانات طابعة ثلاثية الأبعاد لجميع الأنواع الاندماجية من متعدد السطوح مع ما يصل إلى تسعة رؤوس.
{{متعددات الوجوه}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:سطوح]]
[[تصنيف:متعددات الوجوه]]
[[تصنيف:هندسة ابتدائية]]