عرض مصدر متعددة حدود غير قابلة للاختزال

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''متعددة حدود غير قابلة للاختزال''' {{إنج|Irreducible polynomial}} هي [[متعددة الحدود|متعددة حدود]] غير [[ثابت (رياضيات)|ثابتة]] لا يمكن أن [[تحليل إلى عوامل|تُعمل]] إلى جداء متعددتي حدود غير ثابتتين.<ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://ncatlab.org/nlab/show/irreducible polynomial | عنوان = معلومات عن متعددة حدود غير قابلة للاختزال على موقع ncatlab.org | ناشر = ncatlab.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210511024347/https://ncatlab.org/nlab/show/irreducible%20polynomial | تاريخ أرشيف = 11 مايو 2021 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/IrreduciblePolynomial.html | عنوان = معلومات عن متعددة حدود غير قابلة للاختزال على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210308163125/https://mathworld.wolfram.com/IrreduciblePolynomial.html|تاريخ أرشيف=2021-03-08}}</ref> خاصية قابلية الاختزال من عدمه تتعلق بطبيعة معاملات هذه الحدودية، وبالتحديد، بطبيعة [[حقل (رياضيات)|الحقل]] أو [[حلقة (رياضيات)|الحلقة]] الذي تنتمي إليها [[معامل]]ات الحدودية. على سبيل المثال، {{تعبير رياضي|''x''<sup>2</sup> − 2}} هي متعددة حدود معاملاتها [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]]، ولكن بما أن كل عدد صحيح هو أيضا [[عدد حقيقي]]، فإنها تصير أيضا متعددةَ حدود بمعاملات حقيقية. هي غير قابلة للاختزال إذا اعتُبرت متعددة حدود بمعاملات صحيحة، ولكنها قابلة لاختزال إذا اعتُبرت متعددة حدود بمعاملات حقيقية كما يلي : <math>\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)</math>.
يستنتج إذن أن هذه المتعددة للحدود غير قابلة للاختزال على مجموعة الأعداد الصحيحة وقابلة للاختزال على مجموعة الأعداد الحقيقية.

من خلال [[المبرهنة الأساسية في الجبر]]، [[متعددة الحدود|متعددة حدود أحادية المتغير]] هي غير قابلة للاختزال بشكل مطلق [[إذا وفقط إذا]] درجتها تساوي الواحد.

تظهر متعددات الحدود بشكل طبيعي خلال دراسة [[تعميل متعددات الحدود]] و[[امتداد جبري|الامتدادات الجبرية للحقول]].

== أمثلة ==
:<math>\begin{align}
  p_1(x) &= x^2 + 4x + 4\, = {(x + 2)(x + 2)}\\
  p_2(x) &= x^2 - 4\, = {(x - 2)(x + 2)}\\
  p_3(x) &= 9x^2 - 3\, = 3\left(3x^2 - 1\right)\, = 3\left(x\sqrt{3} - 1\right)\left(x\sqrt{3} + 1\right)\\
  p_4(x) &= x^2 - \frac{4}{9}\, = \left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x + \frac{2}{3}\right)\\
  p_5(x) &= x^2 - 2\, = \left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\\
  p_6(x) &= x^2 + 1\, = {(x - i)(x + i)}
\end{align}</math>

== على مجموعة الأعداد المركبة ==
على حقل [[عدد مركب|الأعداد العقدية]]، وبشكل عام على [[حقل مغلق جبريا]]، متعددة حدود [[متعددة الحدود#التصنيف|أحادية المتغير]] هي غير قابلة للاختزال إذا وفقط إذا كانت من [[درجة متعددة حدود|الدرجة]] الأولى. تُعرف هذه الحقيقة باسم [[المبرهنة الأساسية في الجبر]] في حالة الأعداد المركبة، وأكثر عموما، هي الشرط الأساسي من أجل أن يكون حقلٌ ما مغلقا جبريا.

:<math>a\left(x - z_1\right) \cdots \left(x - z_n\right)</math>

هناك متعددات حدود [[متعددة الحدود#التصنيف|متعددات المتغيرات]] من أي درجة، معرفةً على الأعداد المركبة، لسن قابلات للاختزال. على سبيل المثال، متعددة الحدود
:<math>x^n + y^n - 1,</math>
والتي تعرِّف [[منحنى فيرما]] هي متعدد حدود غير قابلة للاختزال مهما كانت قيمة العدد الطبيعي n.

== على مجموعة الأعداد الحقيقية ==
على [[عدد حقيقي|حقل الأعداد الحقيقية]]، متعددة حدود أحادية المتغير غير قابلة للاختزال هي من [[درجة متعددة حدود|الدرجة]] الأولى أو الثانية على الأكثر.

== الخوارزميات ==
{{مفصلة|تعميل متعددات الحدود}}

== امتداد الحقول ==
{{مفصلة|امتداد جبري}}

انظر إلى [[امتداد الحقول]] وإلى [[متعددة حدود واحدية المدخل]] وإلى [[متعددة الحدود الدنيا (نظرية الحقول)]] وإلى [[مثالي (نظرية الحلقات)]].

== انظر أيضًا ==
* [[عنصر غير قابل للاختزال|عنصر غير خزول]]
* [[مبرهنة الجذر النسبي]]
* [[دالة تكعيبية]]
* [[معادلة تربيعية]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==
{{شريط بوابات|جبر|رياضيات}}

{{بذرة جبر}}

[[تصنيف:جبر]]
[[تصنيف:جبر مجرد]]
[[تصنيف:متعددات الحدود]]