عرض مصدر متجه لابلاس-رنج-لنز

{{يتيمة|تاريخ=أبريل 2017}}

'''متجه لابلاس رنج لنز''' {{إنج|Laplace–Runge–Lenz vector}} واختصاره متجه LRL في [[ميكانيكا كلاسيكية]]، هو [[متجه]] يُستخدم لتوضيح شكل و هيئة [[مدار]] جسم [[علم الفلك|فلكي]] حول جسم آخر، [[دوران|كدوران]] [[كوكب]] حول [[نجم]].

لجسمان متجاوبان مع [[جاذبية (توضيح)|جاذبية]] [[نيوتن (وحدة)|نيوتن]]، متجه LRL هو [[ثابت الحركة]]، بمعنى أنه ثابت مهما تم حسابه على أي مكان في المدار.<ref name="goldstein_1980">{{استشهاد بكتاب|الأخير=Goldstein|الأول=H.|مؤلف-وصلة=Herbert Goldstein|تاريخ=1980|عنوان=Classical Mechanics|سنة=2002|مسار=https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919|طبعة=2nd|ناشر=Addison Wesley|صفحات=[https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919/page/n111 102]–105, 421–422}}</ref> بِوَجْهِ العُمُوم، متجه لابلاس-رنج-لنز محفوظ في كل المسائل التي تخص تجاوب جسمين مع [[قوة مركزية|القوة المركزية]] التي تختلف باختلاف [[قانون التربيع العكسي|التربيع العكسي]] للمسافة بينهما، تُسمى هذه المسائل بمسائل [[يوهانس كيبلر|كبلر]].<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=Arnold|الأول=VI|مؤلف-وصلة=Vladimir Arnold|تاريخ=1989|عنوان=Mathematical Methods of Classical Mechanics|طبعة=2nd|ناشر=Springer-Verlag|مكان=New York|صفحة=[https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno/page/38 38]|isbn=0-387-96890-3|مسار=https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno/page/38| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191215084856/https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno/page/38 | تاريخ أرشيف = 15 ديسمبر 2019 }}</ref>

[[ذرة الهيدروجين]] هي مسألة من مسائل كبلر، بسبب إنها تشمل [[جسيم أولي|جُسيمات]] تتجاوب مع [[قانون كولوم]] [[علم الكهرباء الساكنة|لكهروستاتيكا]]، [[قوة]] عكسية مُربعة أخرى. هذا المتجه مهم في لأول استنتاج في مجال [[ميكانيكا الكم]] [[طيف (فيزياء)|لطيف]] [[ذرة الهيدروجين]]،<ref name="pauli_19262">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik|تاريخ=1926|صحيفة=Zeitschrift für Physik|المجلد=36|صفحات=336–363|bibcode=1926ZPhy...36..336P|الأخير=Pauli|الأول=W|مؤلف-وصلة=Wolfgang Pauli|doi=10.1007/BF01450175}}</ref> قبل استحداث [[معادلة شرودنغر]]. لكن هذه الطريقة لم تُعد تُستخدم اليوم بكثرة.

في [[ميكانيكا كلاسيكية|الميكانيكا الكلاسيكية]] و[[ميكانيكا الكم]]، الكميات المحفوظة عموماً ترتبط [[تناظر|بتماثل]] النظام، متجه LRL يرتبط بتماثل غير معتاد؛ مسألة كبل [[رياضيات|رياضياً]] تكافأ لجسيم يتحرك بحرية علي سطح [[رباعي (توضيح)|رباعي]] أبعاد [[كرة|الكرة]]. وبالتالي النظام بالكامل متماثل تحت دورانات مُعينة [[فراغ كمي|لفراغ]] رباعي الأبعاد.<ref name="bargmann_1936">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock|تاريخ=1936|صحيفة=Zeitschrift für Physik|المجلد=99|صفحات=576–582|bibcode=1936ZPhy...99..576B|الأخير=Bargmann|الأول=V|مؤلف-وصلة=Valentine Bargmann|doi=10.1007/BF01338811}}</ref> هذا التماثل نتيجة خاصيتان من خواص [[مسائل كبلر]]: متجه [[سرعة متجهة|السرعة]] دائماً يتحرك في [[دائرة]] مثالية، وجميع سرعات هذه الدوائر [[تقابل (توضيح)|تتقابل]] في نفس النقطتان.<ref name="hamilton_1847_hodograph">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction|تاريخ=1847|صحيفة=Proceedings of the Royal Irish Academy|المجلد=3|صفحات=344–353|الأخير=Hamilton|الأول=WR|مؤلف-وصلة=William Rowan Hamilton}}</ref>

سُمي متجه لابلاس- رنج- لنز بعد [[بيير لابلاس]]، [[كارل رنج]]، و[[ويلهيلم لنز]]. يُعرف أيضاً باسم متجه لابلاس، متجه رنج، ومتجه لنز. من سخرية القدر لم يتم اكتشاف هذا المتجه عن طريق هؤلاء [[عالم (مهنة)|العلماء]]. هذا المتجه أُعيد اكتشافه أكثر من مرة،<ref name="goldstein_1975_1976">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Prehistory of the Runge–Lenz vector|تاريخ=1975|صحيفة=[[المجلة الأمريكية للفيزياء]]|المجلد=43|صفحات=737–738|bibcode=1975AmJPh..43..737G|الأخير=Goldstein|الأول=H.|مؤلف-وصلة=Herbert Goldstein|doi=10.1119/1.9745}}{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=More on the prehistory of the Runge–Lenz vector|تاريخ=1976|صحيفة=[[المجلة الأمريكية للفيزياء]]|المجلد=44|صفحات=1123–1124|bibcode=1976AmJPh..44.1123G|الأخير=Goldstein|الأول=H.|مؤلف-وصلة=Herbert Goldstein|doi=10.1119/1.10202}}</ref> و هو أيضاً متكافأ مع [[متجهة الشذوذ]] [[ميكانيكا سماوية|لميكانيكا سماوية]].<ref name="hamilton_1847_quaternions">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions|تاريخ=1847|صحيفة=Proceedings of the Royal Irish Academy|المجلد=3|صفحات=Appendix III|الأخير=Hamilton|الأول=WR|مؤلف-وصلة=William Rowan Hamilton}}</ref> تم تعريف تعميمات مختلفة لمتجه LRL، التي تدمج تأثيرات [[النسبية الخاصة]]، [[مجال كهرومغناطيسي]]، وأنواع مختلفة من قوى مركزية.

== شرح ==
جسيم مُفرد يتحرك تحت تأثير قوة مركزية محفوظة الطاقة لديها على الأقل [[4 (عدد)|أربع]] [[ثوابت حركة]]، [[طاقة|الطاقة]] الكلية E، والثلاث [[نظام إحداثي ديكارتي|مركبات الكارتيزية]] لمتجه [[زخم زاوي|الزخم الزاوي]] L بالنسبة إلى [[أصل (رياضيات)|نقطة الأصل]]. مدار الجسيم محجوز بمستوى مُعرف ب[[زخم الحركة]] الأولي للجسيم p ( أو متكافأ مع سرعته v) و متجه r بين الجسيم ومركز القوة. متجه A (متجه LRL) دائماً يقع في مستوي حركة أي قوة مركزية. لكن A ثابت فقط لتربيع العكسي للقوة المركزية.<ref name="goldstein_19804">{{استشهاد بكتاب|الأخير=Goldstein|الأول=H.|مؤلف-وصلة=Herbert Goldstein|تاريخ=1980|عنوان=Classical Mechanics|سنة=2002|مسار=https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919|إصدار=2nd|ناشر=Addison Wesley|صفحات=[https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919/page/n111 102]–105, 421–422}}</ref> لمعظم القوي المركزية، متجه A غير ثابت، لكن يتغير في [[طول|الطول]] و[[اتجاه (هندسة رياضية)|الإتجاه]]؛ إذا كانت القوة المركزية تقريباً [[قانون التربيع العكسي]]، كان متجه A ثابت الطول ولكن يدور ببطء في إتجاهه. يمكن أن يُعرف متجه A لكل القوي المركزية، لكنه [[دالة]] معقدة في المكان، وعادةً لا يمكن توضيحه في نموذج مغلق.<ref name="fradkin_1967">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Existence of the Dynamic Symmetries O<sub>4</sub> and SU<sub>3</sub> for All Classical Central Potential Problems|تاريخ=1967|صحيفة=Progress of Theoretical Physics|المجلد=37|صفحات=798–812|bibcode=1967PThPh..37..798F|الأخير=Fradkin|الأول=DM|doi=10.1143/PTP.37.798}}</ref><ref name="yoshida_1987">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector|تاريخ=1987|صحيفة=European Journal of Physics|المجلد=8|صفحات=258–259|bibcode=1987EJPh....8..258Y|الأخير=Yoshida|الأول=T|doi=10.1088/0143-0807/8/4/005}}</ref>

مستوى الحركة عمودي علي [[متجه]] [[زخم زاوي]] L؛ هذا يكون موضحاً رياضياً متجه [[جداء نقطي|الجداء القياسي]] '''r·L''' = 0، بالمثل '''A·L''' = 0 لأن متجه A يقع في نفس المستوى.

== تاريخ إعادة اكتشافه ==
لم يكن متجه A معروف من قِبل [[فيزياء|الفيزيائين]] لهذا تم إعادة اكتشافه أكثر من مرة في خلال الثلاث القون الأخيرة.<ref name="goldstein_1975_1976" /> [[ياكوب هيرمان|جاكوب هيرمان]] كان أول من وضح ان متجه A حُفظ نتيجة أنه حالة خاصة من التربيع العكسي للقوة المركزية.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Unknown title|تاريخ=1710|صحيفة=Giornale de Letterati D'Italia|المجلد=2|صفحات=447–467|الأخير=Hermann|الأول=J|مؤلف-وصلة=Jakob Hermann}}{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710|تاريخ=1710|صحيفة=Histoire de l'academie royale des sciences (Paris)|المجلد=1732|صفحات=519–521|الأخير=Hermann|الأول=J|مؤلف-وصلة=Jakob Hermann}}</ref> عمل هيرمان تم إعادة صياغه في نموذج حديث علي يد [[يوهان برنولي|يوهان بيرنولي]] عام 1710.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710|تاريخ=1710|صحيفة=Histoire de l'academie royale des sciences (Paris)|المجلد=1732|صفحات=521–544|الأخير=Bernoulli|الأول=J|مؤلف-وصلة=Johann Bernoulli}}</ref> في نهاية هذا القرن إستنتج [[بيير لابلاس]] متجه A بشكل تحليلي بدلاً من شكله الهندسي.<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=Laplace|الأول=PS|مؤلف-وصلة=Laplace|تاريخ=1799|عنوان=Traité de mécanique celeste|صفحات=Tome I, Premiere Partie,  Livre II, pp.165ff|no-pp=true}}</ref> في منتصف القرن التاسع عشر، [[وليم روان هاملتون]] إستنتج متجه الشذوذ المكافأ له.<ref name="hamilton_1847_quaternions" />

== تعريف رياضي ==
[[ملف:Laplace_Runge_Lenz_vector.svg|تصغير|400x400بك|متجه LRL]]
لجسيم مُنفرد مُتأثر بقوة مركزية معادلته تكون:

<math>\mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}}~,</math>

متجه LRL تعريفه رياضياً:<ref name="goldstein_19804"/>

{{Equation box 1|border
|indent=::|equation=<math> \mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F9FFF7}}
حيث:
* m [[كتلة]] الجسيم المُتحرك تحت قوة مركزية.
* p هو [[زخم الحركة]].
* L = r × p هو متجه [[زخم زاوي]].
* k هو معيار يوضح شدة القوة المركزية.
* r هو متجه المكان للجسيم.
* <math>\mathbf{\hat{r}}\!\,</math> هو [[متجه وحدة]]؛ <math>\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r}</math> حيث r هي مقدار '''r.'''
لأن القوة المفروضة هي قوة [[قانون حفظ|محفوظة]]، الطاقة الكلية E تكون ثابتة الحركة،

<math>
E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r}  ~.
</math>

أيضاً القوة المفروضة هي قوة مركزية، وبالتالي متجه L يصبح [[قانون حفظ|محفوظ]] أيضاً ويحدد المستوي الذي يمر به الجسيم. متجه LRL عمودي علي متجه L بسبب أن '''p''' × '''L و r''' عمودي علي L.

== استنتاج مدارات كبلر ==
[[ملف:Laplace_Runge_Lenz_vector2.svg|تصغير|350x350بك|تحديد ''θ.'']]
شكل واتجاه مدارات [[مسائل كبلر]] يمكن تحديدها عن طريقمتجه LRL كالتالي:<ref name="goldstein_19804"/>

<math>
\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = Ar \cos\theta = 
\mathbf{r} \cdot \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - mkr
</math>

حيث ''θ'' هي الزاوية بين A , r.

<math>
\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) = 
\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right)\cdot\mathbf{L} = 
\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2
</math>

بعد الترتيب تعريف المعادلة [[قطع مخروطي|لقطع مخروطي]] تكون:

{{Equation box 1|border
|indent=::|equation=<math> \frac{1}{r} = \frac{mk}{L^2} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right)</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F9FFF7}}
[[انحراف مداري]] e

<math>
e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k}
</math>

و [[قطع مخروطي|الوتر البؤري]]

<math>
\left| 2\ell \right| = \frac{2L^2}{mk} ~.
</math>

المحور الكبير a [[قطع المخروطي|للقطع المخروطي]] يكون:

<math>
a \left( 1 \pm e^2 \right) = \ell = \frac{L^{2}}{mk} ~,
</math>

حيث [[قطع ناقص]] تكون إشارته سالِب و إشارة [[قطع زائد]] تكون موجبه.

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|ميكانيكا الكم|هندسة}}

[[تصنيف:تناظر دوراني]]
[[تصنيف:فيزياء رياضية]]
[[تصنيف:متجهات]]
[[تصنيف:مدارات]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:ميكانيكا كلاسيكية]]