عرض مصدر مبرهنة مضرب التنس

{{يتيمة|تاريخ=أكتوبر 2021}}
[[ملف:Tennis_racquet_principal_axes.svg|تصغير|239x239px|محاور عزم القصور الذاتي لمضرب التنس.]]'''مبرهنة مضرب التنس''' {{إنج|'''Tennis racket theorem'''}}، تعرف أيضًا '''بمبرهنة المحور الوسطي'''، هي نتيجة في [[ميكانيكا كلاسيكية|الميكانيك الكلاسيكي]] تصف حركة [[جسم جاسئ|جسم صلد]] يحتوي على ثلاثة محاور [[عزم القصور الذاتي|عزم قصور ذاتي]] أساسية، وتفسر المبرهنة سبب دوران الجسم حول المحورين القصوريين الأول والثالث بشكل مستقر بينهما يكون الدوران غير مستقر عند المحور الثاني (أو المحور الوسطي).

يمكن ملاحظة هذا التأثير عند مسك [[مضرب|مضرب تنس]] من مقبضه وجعل وجهه أفقيًا ثم رميه بالهواء يلاحظ أنه بالإضافة لدورانه حول المحور الأفقي (<math>\hat{e_2}</math> في الشكل التخطيطي) سيقوب بالإنقلاب حول المحاور الأخرى وعند مسك المقبض في جميع المحاولات تقريبًا سيكون المضرب قد أكمل نصف دورة بحيث يكون الوجه العلوي في البداية نحو الأسفل بعد نزوله، وعلى النقيض من هذا يمكن ملاحظة أن المضرب يدور حول محور قبضته (<math>\hat{e_1}</math> في الشكل) دون أن يصاحبه إلتفاف حول محور آخر، وهذا ينطبق على الدوران حول المحور المتعامد مع المقبض ووجه المقبض (<math>\hat{e_3}</math>) دون حدوث التأثير أيضًا. يمكن أداء نفس التجربة عمليًا مع أي جسم يملك ثلاثة محاور عزم قصورية مثل [[كتاب]] أو [[جهاز تحكم عن بعد|جهاز تحكم]] أو [[هاتف محمول]]، سبب حدوث هذا التأثير هو إنحرف محور الدوران بشكل طفيف عن المحور القصوري الثاني للجسم، ولا يعتمد هذا على [[مقاومة مائع|مقاومة الهواء]] أو [[جاذبية أرضية|الجاذبية]].<ref>{{استشهاد بكتاب
| مسار = {{كتب جوجل|plainurl=yes|id=uVSYswEACAAJ|page=151}}
| عنوان = Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction
| الأخير = Levi
| الأول = Mark
| ناشر = American Mathematical Society
| سنة = 2014
| isbn = 9781470414443
| صفحات = 151–152
}}</ref>
[[ملف:Théorie_Nouvelle_de_la_Rotation_des_Corps.jpg|تصغير|الصفحة الأولى من كتاب الفيزياء الذي ذكر التفسير الرياضي لهذا التأثير أول مرة، طبعة عام 1852.]]
يشار إلى هذه المبرهنة أيضًا '''بتأثير جانيبيكوف''' ('''Dzhanibekov effect''') نسبًة إلى [[رائد فضاء|رائد الفضاء]] [[الاتحاد السوفيتي|السوفييتي]] {{وإو|فلادمير جانيبيكوف|Vladimir Dzhanibekov|en}} الذي يعتقد بأنه أول من لاحظ هذا التأثير عيانيًا أثناء وجوده في الفضاء عام 1985،<ref>[http://oko-planet.su/science/sciencehypothesis/15090-yeffekt-dzhanibekova-gajka-dzhanibekova.html Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова)], 23 July 2009 {{باللغة|ru}}. The software can be downloaded [http://live.cnews.ru/forum/index.php?s=5091d296ac0d22ad6b6e9712f3b0edbe&act=Attach&type=post&id=87112 from here] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201113213443/https://oko-planet.su/science/sciencehypothesis/15090-yeffekt-dzhanibekova-gajka-dzhanibekova.html|date=2020-11-13}}</ref> لكن في الحقيقة وجد أن كتاب فيزياء قبل 150 سنة أشار إلى هذا التأثير.<ref>Poinsot (1834) [[iarchive:thorienouvelled00poingoog/page/n9|''Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps'']], Bachelier, Paris</ref><ref>{{استشهاد بوسائط مرئية ومسموعة|ناشر=Veritasium|عنوان=The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained|تاريخ=September 19, 2019|مسار=https://www.youtube.com/watch?v=1VPfZ_XzisU|تاريخ الوصول=February 16, 2020|المؤلفون=[[ديريك مولر]]| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20211012013815/https://www.youtube.com/watch?v=1VPfZ_XzisU | تاريخ أرشيف = 12 أكتوبر 2021 }}</ref>

== النظرية ==
يمكن تحليل نظرية مضرب التنس باستخدام {{وإو|معادلات أويلر (ديناميكا الجسم الصلد)|Euler's equations (rigid body dynamics)|en|معادلات أويلر}} في حالة عدم وجود عزم دوران، تأخذ الشكل التالي:

<math>\begin{align}
I_1\dot{\omega}_1 &=(I_3-I_2)\omega_3\omega_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}\\
I_2\dot{\omega}_2 &=(I_1-I_3)\omega_1\omega_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}\\
I_3\dot{\omega}_3 &=(I_2-I_1)\omega_2\omega_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(3)}
\end{align}</math>
هنا (<math>I_1, I_2, I_3</math>) تمثل محاور [[عزم القصور الذاتي]] الأساسية على إعتبار أن (<math>I_1 < I_2 < I_3</math>)، بينما [[سرعة زاوية|السرع الزاوية]] للجسم عند دورانه حول هذه المحاور تكون (<math>\omega_1, \omega_2, \omega_3</math>) ومشتقتها الزمنية (<math>\dot\omega_1, \dot\omega_2, \dot\omega_3</math>).[[ملف:Dzhanibekov_effect.ogv|تصغير|273x273بك|توضيع لتأثير جانيبيكوف من قبل [[ناسا|وكالة الفضاء الأمريكية]] في وسط [[جاذبية صغرى|بجاذبية مايكروية]].]][[ملف:Intersecting_ellipsoids.gif|تصغير|213x213بك|تصور لعدم الإستقرارية حول المحور الدوراني القصوري الثاني، في حالة كون كلاً من مقدار الزخم الزاوي والطاقة الحركية للجسم محافظان، يتأثر متجه السرعة الزاوية بتقاطع شكلين إهليجيين.]]
=== الدوران المستقر حول المحور الأول والثالث ===
نفترض حالة يدور فيها الجسم حول المحور الدوراني القصوري الأول <math>I_1</math>، ولتحديد طبيعة الإتزان نفرض وجود سرعات دوران إبتدائية صغيرة حول المحاور الأخرى، كنتيجة وحسب المعادلة (1) تكون (<math>~\dot{\omega}_1</math>) صغيرة جدًا، لذا يمكن إهمال إعتماد (<math>~\omega_1</math>) على الزمن:

الآن بتفاضل المعادلة (2) والتعويض بدل (<math>\dot{\omega}_3</math>) في المعادلة (3):

<math> \begin{align}
    I_2 \ddot{\omega}_2 &= (I_1-I_3) \omega_1\dot{\omega}_3 \\
I_3 I_2 \ddot{\omega}_2 &= (I_1-I_3) (I_2-I_1)(\omega_1)^2\omega_2 \\
\text{i.e. }~~~~ \ddot{\omega}_2 &= \text{(negative quantity)} \cdot \omega_2
\end{align}</math>

لكون (<math>I_2 - I_1 > 0</math>) و (<math>I_1 - I_3 < 0</math>)، يلاحظ أن (<math>\omega_2</math>) سالبة القيمة (معاكسة) لذا يكون دوران هذا الجسم حول هذا المحور دورانًا مستقرًا.

تنطبق النتيجة نفسها على المحور الدوراني الثالث <math>I_3</math>.
=== الدوران غير المستقر حول المحور الثاني ===
بإعادة تطبيق التحليل على المحور الدوراني الثاني <math>I_2</math>، لأن المشتقة الزمنية (<math>\dot{\omega}_{2}</math>) صغيرة القيمة يتم إهمال إعتماد (<math>~\omega_2</math>) على الزمن.

الآن، بتفاضل المعادلة (1) وتعويضها بدلاً عن (<math>\dot{\omega}_3</math>) في المعادلة (3):

<math>\begin{align}
I_1 I_3 \ddot{\omega}_1 &= (I_3 - I_2) (I_2 - I_1) (\omega_2)^2\omega_1\\
\text{i.e.}~~~~ \ddot{\omega}_1 &= \text{(positive quantity)} \cdot \omega_1
\end{align}</math>

نلاحظ أن (<math>\omega_1</math>) تأخذ قيم موجبة (غير معاكسة) أي تنمو مع الزمن ويفسر هذا لماذا الدوران حول المحور الثاني يكون غير مستقرًا، لذا حتى وجود إضطراب صغير على طول المحور سيؤدي إلى إنقلاب الجسم أثناء دورانه.

{{تحديد}}

== مراجع ==
{{مراجع|2|محاذاة=ltr}}

== طالع أيضًا ==

* [[فيزياء كلاسيكية]]
* [[عزم القصور الذاتي]]
* [[سرعة زاوية]]
* [[دوران]]

== روابط خارجية ==

* [https://www.youtube.com/watch?v=4dqCQqI-Gis&ab%20channel=DanRussell تأثير جانيبيكوف بالحركة البطيئة لمضرب كرة طاولة.]
* [https://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw فيديو لتأثير جانيبيكوف] على محطة الفضاء الروسية [[مير]].
* [https://www.youtube.com/watch?v=l51LcwHOW7s الاشكال الإهليجية والسلوك الشاذ للأجسام الدوارة] شرح [[مات باركر]].
{{فيزياء كلاسيكية وترموديناميك}}
{{هامش-فيزياء}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رحلات فضائية|هندسة ميكانيكية}}

[[تصنيف:ألعاب خفة]]
[[تصنيف:مبرهنات الفيزياء]]
[[تصنيف:مبرهنات فيزيائية]]
[[تصنيف:ميكانيكا كلاسيكية]]