عرض مصدر مبرهنة ليوفيل (ميكانيك هاملتوني)

[[ملف:Hamiltonian flow classical.gif|تصغير|200بك|يسار]]
{{عن|3=مبرهنة ليوفيل (توضيح)}}

'''مبرهنة ليوفيل''' مبرهنة رياضياتية للعالم والرياضياتي الفرنسي [[جوزيف ليوفيل]] وهي [[مبرهنة]] رياضية تعطي معادلة تربط بين تطور حجم volume مجموعة نقاط مبدئية (initial condition) لنظام معين ([[نظام (علوم)|system]]) في الزمن وهذا الحجم.<ref>[https://archive.org/stream/scientificpapers02gibbuoft#page/16/mode/2up pp.&nbsp;16]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160829203114/https://archive.org/stream/scientificpapers02gibbuoft |date=29 أغسطس 2016}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Gibbs |الأول=Josiah Willard |مؤلف-وصلة=Josiah Willard Gibbs |عنوان=[[Elementary Principles in Statistical Mechanics]] |سنة=1902 |ناشر=[[Charles Scribner's Sons]] |مكان=New York}}</ref>

<br />
== الحجم في فضاء يتجاوز بعده 3 ==
لنفرض أنه لدينا مجموعة نقاط <math>X</math> حجم هذه المجموعة في فضاء بعده n يمكن فهمه على أنه دالة نسميها <math>\rho</math> من ال <math>R^{n}\rightarrow R</math> وهي دالة تنسب لكل مجموعة من حجمها. ومن البديهي أنه على هذه الدالة أن تكون موجبة دائما حيث أنه لا وجود لحجم سالب. وبهذا يكون حجم المجموعة <math>X</math>:

<math> Vol_{\rho}\left(X\right)=\int_{X} \rho(x)dx </math>

== مبرهنة ليوفيل ==

فلنفرض أنه لدينا النظام التالي:

<math>\dot{x} = f(x)</math>

و مجموعة من النقاط البدئية <math>X</math> يمكن أن ننسب لها حجما

<math>Vol_{\rho}\left(X\right)</math>

و إذا فرضنا أن <math>\varphi_{t}\left(X \right)</math> هي مجموعة حلول النظام the set of the flows فإن مبرهنة ليوفيل تقول ما يلي:

<math>\left.\frac{\partial}{\partial t}Vol_{\rho}\left(\varphi_{t}\left(X\right) \right)\right|_{t=0}=Vol_{div \left(\rho f\right)}\left(X\right)</math>

حيث <math>div=\nabla</math>
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|الفيزياء}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:مبرهنات في الأنظمة الحركية]]
[[تصنيف:ميكانيك هاملتوني]]