عرض مصدر مبرهنة تايلور

[[ملف:Taylorspolynomialexbig.svg|يسار|تصغير|300x300بك|[[دالة أسية|الدالة الأسية]] <math display="inline">y=e^x</math> (بالأحمر) كثير الحدود لتايلور الموافق من الدرجة الرابعة (بالأخضر المتقطع) حول الأصل.]]
{{تفاضل وتكامل}}

في [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]، تعطي '''مبرهنة تايلور<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|صفحة=703}}</ref>''' تقريبًا [[دالة قابلة للاشتقاق|لدالة قابلة للتفاضل]] بـ <math display="inline">k</math> مرات حول نقطة معينة بواسطة [[متعددة الحدود|كثير الحدود]] من الدرجة <math display="inline">k</math>، يسمى '''كثير الحدود لتايلور''' من الدرجة <math display="inline">k</math>. للحصول على [[نعومة دالة|دالة ملساء]]، فإن كثير الحدود لتايلور هو التدوير عند الرتبة ''<math display="inline">k</math>'' من [[متسلسلة تايلور]] للدالة. كثير الحدود لتايلور من الدرجة الأولى هو [[تقريب خطي|التقريب الخطي]] للدالة، وغالبًا ما يُشار إلى كثير الحدود لتايلور من الدرجة الثانية باسم '''التقريب التربيعي'''.<ref>(2013). [http://www.math.ubc.ca/~sujatha/2013/103/week10-12/Linearapp.pdf "Linear and quadratic approximation"] Retrieved December 6, 2018 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220818194225/https://www.math.ubc.ca/~sujatha/2013/103/week10-12/Linearapp.pdf|date=2022-08-18}}</ref> هناك عدة نسخ من مبرهنة تايلور، بعضها يعطي تقديرات صريحة للخطأ التقريبي للدالة بواسطة كثير الحدود لتايلور.

سميت مبرهنة تايلور على اسم عالم الرياضيات [[بروك تايلور]]، الذي ذكر نسخة منها في عام 1715،<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Methodus Incrementorum Directa et Inversa|مؤلف=Taylor|مؤلف1-الأول=Brook|في=p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2)|لغة=la|مسار=https://archive.org/details/UFIE003454_TO0324_PNI-2529_000000|مكان=London|تاريخ=1715|عنوان مترجم=Direct and Reverse Methods of Incrementation}} Translated into English in {{استشهاد بكتاب|عنوان=A Source Book in Mathematics 1200–1800|مسار=https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru|مؤلف=Struik|مؤلف1-الأول=D. J.|ناشر=Harvard University Press|صفحات=[https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru/page/329 329]–332|مكان=Cambridge, Massachusetts|تاريخ=1969}}</ref> على الرغم من ذكر [[جيمس غريغوري (عالم)|جيمس غريغوري]] للنسخة السابقة للنتيجة في عام 1671.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Kline|1972}}.</ref>

تُدَرَّس مبرهنة تايلور في دورات حساب التفاضل والتكامل للمستوى التمهيدي وهي إحدى الأدوات الأساسية المركزية في [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]. إنه يعطي صيغًا حسابية بسيطة لحساب قيم العديد من [[دالة متسامية|الدوال المتسامية]] بدقة مثل [[دالة أسية|الدالة الأسية]] [[دوال مثلثية|والدوال المثلثية]]. إنها نقطة البداية لدراسة [[دالة تحليلية|الدوال التحليلية]]، وهي أساسية في مختلف مجالات الرياضيات، وكذلك في [[تحليل عددي|التحليل العددي]] [[فيزياء رياضية|والفيزياء الرياضية]]. تعمم مبرهنة تايلور أيضًا على الدوال [[دالة متعددة المتغيرات الحقيقية|متعددة المتغيرات]] وذات [[دالة متجهية|القيم المتجهية]].

== الدافع ==
[[ملف:E^x_with_linear_approximation.png|يسار|تصغير|رسم بياني لـ <math display="inline">f(x)=e^x</math> (بالأزرق) بتقريبه [[تقريب خطي|الخطي]] <math display="inline">P_1(x)=1+x</math> (بالأحمر) عند <math display="inline">a=0</math> .]]
[[ملف:E^x_with_quadratic_approximation_corrected.png|يسار|تصغير|رسم بياني لـ <math display="inline">f(x)=e^x</math> (بالأزرق) بتقريبه التربيعي <math>P_2(x) = 1 +x + \dfrac{x^2}{2}</math> (بالأحمر) عند <math display="inline">a=0</math>. لاحظ التحسن في التقريب.]]

إذا كانت [[دالة]] ذات قيم حقيقية <math display="inline">f(x)</math> [[مشتق (رياضيات)|قابلة للتفاضل]] عند هذه النقطة <math display="inline">x=a</math>، فإن لها [[تقريب خطي]] بالقرب من هذه النقطة. هذا يعني أن هناك دالة ''h''<sub>1</sub>(''x'') بحيث:

<math display="block"> f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + h_1(x)(x - a), \quad \lim_{x \to a} h_1(x) = 0.</math>

هنا:

<math display="block">P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)</math>

هو التقريب الخطي لـ <math display="inline">f(x)</math> لـ ''x'' بالقرب من النقطة ''a''، التي رَسْمُها البياني <math display="inline">y=P_1(x)</math> هو [[مماس]] الرسم البياني <math display="inline">y=f(x)</math> عند {{بدون لف|1=''x'' = ''a''}}. خطأ التقريب هو:

<math display="block">R_1(x) = f(x) - P_1(x) = h_1(x)(x - a).</math>

لما يقترب ''x'' من ''a''، هذا الخطأ يؤول إلى الصفر أسرع بكثير من <math>f'(a)(x{-}a)</math>، مما يجعل <math>f(x)\approx P_1(x)</math> تقريبًا مفيدًا.

لتقريب أفضل لـ <math display="inline">f(x)</math>، يمكننا أن نلائم [[دالة تربيعية|كثير الحدود من الدرجة الثانية]] بدلاً من [[دالة خطية]]:

<math display="block">P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2.</math>

هذا كثير الحدود له نفس المشتقات الأولى والثانية لـ <math display="inline">f(x)</math> عند <math display="inline">x=a</math>، كما هو واضح عند التفاضل.

تضمن مبرهنة تايلور أن يكون "التقريب التربيعي"، في جوار صغير لـ <math display="inline">x=a</math> بصورة كافية، أكثر دقة من التقريب الخطي. بشكل خاص:

<math display="block">f(x) = P_2(x) + h_2(x)(x - a)^2, \quad \lim_{x \to a} h_2(x) = 0.</math>

هنا الخطأ في التقريب هو:

<math display="block">R_2(x) = f(x) - P_2(x) = h_2(x)(x - a)^2,</math>

والتي، نظرًا للسلوك المحدود لـ <math>h_2</math>، يؤول إلى الصفر أسرع من <math>(x - a)^2</math> لما ''x'' يقترب من ''a''.

== مبرهنة تايلور في دالة وحيدة المتغير ==

=== نص المبرهنة ===
النص الدقيق للنسخة الأساسية من مبرهنة تايلور هو كما يلي:

{{مبرهنة|اسم=مبرهنة تايلور<ref>{{ استشهاد|الأول1=Angelo|الأخير1=Genocchi|الأول2= Giuseppe|الأخير2=Peano|عنوان=Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale|مكان=(N. 67, pp.&nbsp;XVII–XIX)|ناشر={{Ill-WD2|Fratelli Bocca ed.|id=Q72625009}}|سنة=1884}}</ref><ref>{{استشهاد | الأخير1=Spivak | الأول1=Michael | مؤلف1-وصلة=Michael Spivak | عنوان=Calculus  | ناشر=Publish or Perish | مكان=Houston, TX | إصدار=3rd | isbn=978-0-914098-89-8 | سنة=1994| صفحة=383}}</ref><ref>{{springer|title=Taylor formula|id=p/t092300}}</ref>|نص =ليكن ''k''&nbsp;≥&nbsp;1 [[عدد صحيح|عددًا صحيحًا]] و  {{بدون لف|''f'' : '''R''' → '''R'''}} [[دالة قابلة للاشتقاق]] ''k'' مرات عند النقطة {{بدون لف|''a'' ∈ '''R'''}}. عندئذ توجد دالة {{بدون لف|''h<sub>k</sub>'' : '''R''' → '''R'''}} بحيث: 

<math display="block"> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,</math>
و
<math display="block">\lim_{x\to a} h_k(x) = 0.</math>

يسمى هذا '''شكل [[جوزيبه بيانو|بيانو]]''' للباقي.}}

كثير الحدود الذي يظهر في مبرهنة تايلور هو '''كثير الحدود لتايلور من الدرجة 𝑘''':<math display="block">P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k </math>للدالة ''f'' عند النقطة ''a''. كثير الحدود لتايلور هو كثير الحدود "الأنسب في التقارب" الوحيد بمعنى أنه في حالة وجود دالة {{بدون لف|''h<sub>k</sub>'' : '''R''' → '''R'''}} وكثير الحدود p من الدرجة 𝑘 بحيث:
<math display="block"> f(x) = p(x) + h_k(x)(x-a)^k, \quad \lim_{x\to a} h_k(x) = 0 ,</math>فإن ''p''&nbsp;=&nbsp;''P<sub>k</sub>''. توصف المبرهنة السلوك التقاربي '''للحد الباقي''':<math display="block"> R_k(x) = f(x) - P_k(x),</math>

وهو [[خطأ التقريب]] عند تقريب ''f'' بكثير الحدود لتايلور الخاص به. باستخدام تدوين [[:en:Little-o_notation|o]] الصغير، يكتب نص مبرهنة تايلور على هذا الشكل:<math display="block">R_k(x) = o(|x-a|^{k}), \quad x\to a.</math>

=== الصيغ الصريحة للباقي ===
تحت افتراضات الانتظام الأقوى حول ''f''، هناك العديد من الصيغ الدقيقة للحد المتبقي ''R<sub>k</sub>'' لكثير الحدود لتايلور، وأكثرها شيوعًا هي التالية:

{{مبرهنة|اسم=شكل القيمة المتوسطة للباقي|نص=لتكن {{بدون لف|''f'' : '''R''' → '''R'''}} دالة قابل للاشقاق ''k''&nbsp;+&nbsp;1 مرات على [[مجال فاصل (رياضيات)|الفترة]] المفتوحة ''f''{{i sup|(''k'')}} [[دالة مستمرة|مستمرة]] على الفترة المغلقة بين <math display=inline>a</math> و <math display=inline>x</math>.<ref group ="ملاحظة">فرضية كون الدالة ''f''{{i sup|(''k'')}} مستمرة على الفترة المغلقة بين <math display=inline>a</math> و <math display=inline>x</math> هي أمر ضروري لا يمكن الاستغناء عنه. على الرغم من أن ''f'' قابلة للإشتقاق  ''k''&nbsp;+&nbsp;1 مرات على الفترة المفتوحة بين <math display=inline>a</math> و <math display=inline>x</math> تقتضي أن ''f''{{i sup|(''k'')}} مستمرة على المجال المفتوح <math display=inline>a</math> و <math display=inline>x</math>، إلا أنها لا تقتضي أن ''f''{{i sup|(''k'')}} مستمرة الفترة المفتوحة بين <math display=inline>a</math> و <math display=inline>x</math>، معناه أنها لا تقتضي أن ''f''{{i sup|(''k'')}} مستمرة عند طرفي الفترة. نعتبر على سبيل المثال الدالة {{بدون لف|''f'' : [0,1] → '''R'''}} معرفة بـ <math> \sin(1/x)</math> على الفترة <math>(0,1]</math> وبـ <math>f(0)=0</math>. إنها غير مستمرة على الفترة <math>(0,1)</math> لكنها مستمرة على <math>(0,1)</math>. علاوة على ذلك، يمكن إظهار أن هذه الدالة لها [[مشتق عكسي]]. إذن هذا المشتق العكسي قابل للاشتقاق على الفترة <math>(0,1)</math>، [[مشتق (رياضيات)|مشتقها]] (الدالة ''f'') مستمرة على الفترة المغلقة <math>(0,1)</math>, لكن [[مشتق (رياضيات)|مشتقها]] ''f'' ليست مستمرة على الفترة المفتوحة <math>[0,1]</math>. لذا فإن المبرهنة لا تنطبق في هذه الحالة.</ref> عندئذ:

<math display="block"> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_L)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1} </math>

من أجل بعض الأعداد الحقيقية <math display="inline">\xi_L</math> بين <math display=inline>a</math> و <math display=inline>x</math>. هذا '''شكل [[جوزيف لوي لاغرانج|لاغرانج]]'''<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Kline|1998|loc=§20.3}}; {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Apostol|1967|loc=§7.7}}.</ref> للباقي.

بشكل مماثل،

<math display="block"> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_C)}{k!}(x-\xi_C)^k(x-a) </math>

من أجل بعض الأعداد الحقيقية <math display="inline">\xi_C</math> بين <math display=inline>a</math> و <math display=inline>x</math>. هذا '''شكل [[أوغستين لوي كوشي|كوشي]]'''<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Apostol|1967|loc=§7.7}}.</ref> للباقي.}}عادة ما تُثبَت هذه التنقيحات لمبرهنة تايلور باستخدام [[مبرهنة القيمة المتوسطة]]، من هنا جاء الاسم. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن هذه هي بالضبط مبرهنة القيمة المتوسطة حيث <math display="inline">k=0</math>. يمكن أيضًا إيجاد تعبيرات أخرى مماثلة. على سبيل المثال، إذا كانت ''G''(''t'') مستمرة على الفترة المغلقة وقابلة للاشتقاق بمشتق لا يختفي في الفترة المفتوحة بين 𝑎 و 𝑥، فإن:<math display="block"> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)} </math>
من أجل بعض الأعداد <math display="inline">\xi</math> بين 𝑎 و 𝑥. تغطي نسخته شِكْلَيِْ لاغرانج وكوشي للباقي حالاتٍِ خاصة، وقد أثبتت أدناه باستخدام [[مبرهنة القيمة المتوسطة#مبرهنة القيمة المتوسطة المعممّة|مبرهنة القيمة المتوسطة لكوشي]]. يُحْصَل على شكل لاغرانج بأخذ <math>G(t)=(x-t)^{k+1}</math> ويُحْصَل على شكل كوشي بأخذ <math>G(t)=t-a</math>.
== الملاحظات ==
<references group="ملاحظة" responsive="1"></references>

== المراجع ==
{{مراجع}}

=== معلومات الكتب كاملة ===

*{{استشهاد بكتاب|عنوان=Calculus|مؤلف-وصلة=|الأول=Tom|الأخير=Apostol|ناشر=Wiley|سنة=1967|isbn=0-471-00005-1|التسجيل=registration|مسار=https://archive.org/details/calculus01apos|لغة=en}}
*{{استشهاد بكتاب
 | عنوان=Calculus: An Intuitive and Physical Approach
 | وصلة=https://archive.org/details/calculusintuitiv0000klin_o9z9
 | الأول=Morris
 | الأخير=Kline
 | ناشر=Dover
 | سنة=1998
 | isbn=0-486-40453-6
 |لغة=en
}}
*{{استشهاد بكتاب
|عنوان=Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2
|مؤلف-وصلة=موريس كلاين
|الأول=Morris
|الأخير=Kline
|ناشر=[[دار نشر جامعة أكسفورد|Oxford University Press]]
|سنة=1972
|مسار=https://archive.org/details/mathematicalthou0000unse/page/n7/mode/2up
|لغة=en
}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الحقيقي]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]