عرض مصدر مبرهنة الباقي الصينية

[[ملف:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|مبرهنة الباقي الصيني بُرهن عليها من طرف [[كارل فريدريش غاوس|غاوس]] في عمل المنشور عام 1801 ''[[استفسارات حسابية (كتاب)|استفسارات حسابية]]''.<ref name="Gauss1801.loc=32-36">{{Harvard citation text|Gauss|Clarke|1986|loc=Art. 32-36}}</ref>]]

'''مبرهنة الباقي الصينية''' {{إنج|Chinese remainder theorem}} هي نتيجة [[حسابيات معيارية|للحسابيات التوافقية]] في [[نظرية الأعداد]] تعالج حل أنظمة [[التقارب على الأعداد|تقارب]].<ref>[http://culturemath.ens.fr/content/le-th%C3%A9or%C3%A8me-des-restes-chinois-textes-commentaires-et-activit%C3%A9s-pour-l%E2%80%99arithm%C3%A9tique-au-lyc%C3%A9e Le théorème des restes chinois] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161124030305/http://culturemath.ens.fr/content/le-th%C3%A9or%C3%A8me-des-restes-chinois-textes-commentaires-et-activit%C3%A9s-pour-l%E2%80%99arithm%C3%A9tique-au-lyc%C3%A9e |date=24 نوفمبر 2016 }}, Textes, commentaires et activités pour l’arithmétique au lycée, sur le [http://www.math.ens.fr/culturemath/index.html site CultureMath] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120514032253/http://www.math.ens.fr/culturemath/index.html |date=14 مايو 2012 }} de l'ENS, [http://www.math.ens.fr/culturemath/materiaux/irem-toulouse11/questions-sur-les-origines.html#r3 § 1. Le problème des restes chinois : Questions sur ses origines]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161124030305/http://culturemath.ens.fr/content/le-théorème-des-restes-chinois-textes-commentaires-et-activités-pour-l’arithmétique-au-lycée |date=24 نوفمبر 2016 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب|عنوان=Elements of the Theory of Numbers|مؤلف=Joseph B. Dence, Thomas P. Dence|مسار=https://books.google.com/books?id=YiYHw7evhjkC&pg=PA156|تاريخ الوصول=28 August 2016| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180115085245/https://books.google.com/books?id=YiYHw7evhjkC&pg=PA156 | تاريخ أرشيف = 15 يناير 2018 }}</ref> هذه النتيجة خاصة أساسا في [[الحلقة Z/nZ|Z/nZ]] تعمم في [[نظرية الحلقات]]. نُشرت لأول بين القرنين الثالث والخامس للميلاد من طرف عالم الرياضيات الصيني [[سون تزو (عالم رياضيات)|سون تزو]].

في شكلها المبسط، تحدد المبرهنة عددا n، عند قسمته على عدة قواسم معلومة، يعطي بواقٍ معلومة. على سبيل المثال، ما هو أصغر عدد طبيعي الذي إذا قُسم على 3 يعطي باقيا مساويا ل 2 وإذا قُسم على 5 يعطي باقيا مساويا ل 3 وإذا قُسم على 7 يعطي باقيا مساويا ل 2 ؟

== نظام تقارب الأعداد ==
=== مبرهنة ===
ليكن <math>n_1</math>,..., <math>n_k</math> أعداد طبيعية مثنى مثنى [[أولية نسبيا|أولية فيما بينها]] (أي [[قاسم مشترك أكبر|pgcd]] (''n''<sub>''i''</sub>، ''n''<sub>''j''</sub>) = 1 عند ''i'' ≠ ''j''). إذن كل الأعداد الصحيحة <math>a_1</math>,..., <math>a_k</math>, يوجد عدد صحيح <math>x</math>, وحيد [[متقارب مع الأعداد الصحيحة|المقاربة بترديد]] <math>n=\prod_{i=1}^k n_i</math> وبحيث

<math>
\begin{matrix}
x \equiv a_1\pmod{n_1}\\ 
\ldots \\ 
x \equiv a_k\pmod{n_k}\\
\end{matrix}
</math>

الحل ''x'' يمكن إيجاده كما يلي:

لكل ''i'', الأعداد <math>n_i\,</math> و<math>\hat n_i = \frac{n}{n_i}</math> أولية فيما بينها، وباستعمال '[[أولية نسبيا#متساوية بيزوت|متساوية بيزوت]], يمكن إيجاد الأعداد <math>u_i\,</math> و<math>v_i\,</math> بحيث<math> u_in_i + v_i\hat n_i= 1</math>. إذا افترضنا <math>e_i =  v_i\hat n_i</math>, فنحصل على

:<math>e_i \equiv 1 \pmod{n_i} \,</math>
و
: <math>e_i \equiv 0 \pmod{n_j}\,</math> ل ''j'' ≠ ''i''.

== الوجود والوحدانية ==
يمكن إثبات الوحدانية والوجود من خلال التالي:
هناك {{math|''N'' {{=}} ''n''<sub>1</sub>·…·''n<sub>k</sub>''}} من k بواقٍ مختلفة. لنسم هذه المجموعة R. من ناحية أخرى، {{math|''N'' {{=}} #{1, ..., ''N''},}} وكل عنصر من {{math|{1, ..., ''N''} }} يقابل عنصر من R.

هل من الممكن أن يقابل عنصران من {{math|''a'', ''b'' ∈ {1, ..., ''N''},}} نفس العنصر من R؟ أي هل من الممكن أن يكون لهما نفس مجموعة العناصر عند القسمة على {{math|''n''<sub>1</sub>, ..., ''n<sub>k</sub>''}}؟ إذا كان هذا صحيحاً فإن كلاً من {{math|''a'' − ''b''}} سيكون قابلاً للقسمة على كلٍ من n<sub>i</sub>. وبما أن n<sub>i</sub> أوليان مثنى مثنى، فإن {{math|''a'' − ''b''}} سيكون قابلاً على القسمة على حاصل ضربهم N.<br />
 
وبما أن هذا مستحيل الحدوث فإن الدالة {{math|{1, ..., ''N''} → ''R''}} ستكون دالة تقابل، حيث أن {{math|#{1, ..., ''N''} {{=}} #''R''}}، وبالتالي نحصل على علاقة التقابل.
يمكن رؤية الوجود من خلال البناء لعناصر x. لتكن {{math|[''a''<sup>−1</sup>]<sub>''b''</sub>}} ترمز [[مقلوب عدد نمطي|للمعاكسات الضربية]] ل {{math|''a'' (mod ''b'')}} والتي يمكن الحصول عليها من خلال [[خوارزمية إقليدس الممددة|القسمة الإقليدية الممددة]]، والتي تكون معرفة إذا a و b أوليان فيما بينهما. البناء التالي للعناصر يبين لم نحتاج هذه الخاصية.

=== حالة المعادلتين ({{math|''k'' {{=}} 2}}) ===
ليكن النظام التالي المكون من معادلتين:
:<math>\begin{cases} x \equiv a_1 & \pmod{n_1} \\ x \equiv a_2 & \pmod{n_2} \end{cases}</math>

انظر إلى [[متطابقة بيزو|متطابقة بوزو]].

:<math>n_2 \left [n_2^{-1} \right ]_{n_1} + n_1 \left [n_1^{-1} \right ]_{n_2} = 1</math>

=== الحالة العامة ===

== تطبيقات ==
=== ترقيم المتتاليات ===
=== تحويل فيورييه السريع ===
=== التعمية ===
=== استيفاء هيرميت ===
انظر إلى معضلة [[استيفاء هيرميت]].

=== مبرهنة ديدكايند ===
== مراجع ==

{{مراجع}}
== وصلات خارجية ==
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:جبر تبادلي]]
[[تصنيف:حسابيات نمطية]]
[[تصنيف:مبرهنات في نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]