عرض مصدر قيم ذاتية ومتجهات ذاتية

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Mona Lisa eigenvector grid.png|تصغير|270px|السهم الأحمر يغير اتجاهه بينما السهم الأزرق لم يغير اتجاهه. إذن ، السهم الأزرق هو متجه خاص ذو قيمة خاصية تعادل 1 بما أن طول المتجهة واتجاهها لم يتغيرا.]]

'''القيمة الخاصة''' و'''المتجه الخاص''' و'''الفضاء الخاص''' ويقال أيضا '''الذاتي'''<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي|مسار=https://books.google.dz/books?id=mE9uDwAAQBAJ&pg=PA1&dq=Termes+scientifiques&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwj1l4CcoIvnAhUJ1BoKHUilD9wQ6AEIJzAA#v=onepage&q=Termes%20scientifiques&f=false|ناشر=دار الكتب العلمية|تاريخ=2007-01-01|ISBN=978-2-7451-5445-3|لغة=ar|مؤلف1=ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200513010430/https://books.google.dz/books?id=mE9uDwAAQBAJ&pg=PA1&dq=Termes+scientifiques&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwj1l4CcoIvnAhUJ1BoKHUilD9wQ6AEIJzAA | تاريخ أرشيف = 13 مايو 2020 }}</ref> في [[رياضيات|الرياضيات]] هي اصطلاحات متعلقة [[جبر خطي|بالجبر الخطي]].<ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://id.loc.gov/authorities/sh85041390 | عنوان = معلومات عن متجه خاص على موقع id.loc.gov | ناشر = id.loc.gov|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191212233105/https://id.loc.gov/authorities/sh85041390|تاريخ أرشيف=2019-12-12}}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://psh.techlib.cz/skos/PSH7693 | عنوان = معلومات عن متجه خاص على موقع psh.techlib.cz | ناشر = psh.techlib.cz|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191212233107/http://psh.techlib.cz/skos/PSH7693|تاريخ أرشيف=2019-12-12}}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://d-nb.info/gnd/4013802-1 | عنوان = معلومات عن متجه خاص على موقع d-nb.info | ناشر = d-nb.info|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191212233114/https://d-nb.info/gnd/4013802-1|تاريخ أرشيف=2019-12-12}}</ref> البادئة eigen مشتقة من [[اللغة الألمانية|الألمانية]] (تلفظ «أيْ-غِن») وتعني [[خاصة (منطق)|الخاص]] (بالفرنسي charactéristique وpropre)

يهتم [[جبر خطي|الجبر الخطي]] بدراسة [[تحويل خطي|التحويلات الخطية]]، والتي تمثلها [[مصفوفة (رياضيات)|مصفوفات]] مؤثرة على [[متجه]]ات. تعد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية والفراغات الذاتية خواص المصفوفة. يتم حسابها بواسطة طريقة تعطي معلومات عن المصفوفة ويمكن استعمالها في [[تفكيك مصفوفة|تفريق المصفوفة]]. لهذا النوع تطبيقاته الخاصة في مجالات [[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]] وبشكل أوسع في [[تمويل|التمويل]] و[[ميكانيكا الكم]].

عموماً، تؤثر مصفوفة على متجه بتغيير كلاً من قيمته واتجاهه. لكن يمكن أن تؤثر المصفوفة على بعض المتجهات بتغيير قيمها مع الإبقاء على اتجاهاتها دون تغيير (أو ربما عكسها). تمثل هذه المتجهات متجهات ذاتية للمصفوفة. تؤثر مصفوفة على متجه ذاتي بضرب قيمته بعامل معين، والذي يكون موجباً عندما لايتغير اتجاهه وسالباً إن انعكس الاتجاه. يمثل هذا العامل القيمة الذاتية المصاحبة لذلك المتجه الذاتي. يكون الفضاء الذاتي مجموعة كل المتجهات الذاتية التي لها نفس القيمة الذاتية، معاً ومع المتجه الصفري. لا يمكن تعريف المفهوم بشكل رسمي بدون متطلبات أساسية، بما فيها فهم المصفوفات والمتجهات و [[تحويل خطي|التحويلات الخطية]].

بتعبير رسمي، إذا كانت ''A'' [[مصفوفة (توضيح)#المصفوفة المربعة|مصفوفة مربعة الشكل]]، فإن متجها لا صفريا '''x''' يكون متجها ذاتيا ل''A'' إذا وجد عدد ''λ'' حيث
: <math>A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \,.</math>
يسمى العدد ''λ'' قيمة ذاتية ل''A'' تقابل المتجه الذاتي '''x'''.

== تعريف ==
=== المتطلبات والهدف ===
[[ملف:Eigenvalue equation.svg|تصغير|يسار|250px|تعمل المصفوفة '''A''' على تمديد المتجهة '''x''', وليس على تغير اتجاهها, إذن '''x''' هي متجهة ذاتية للمصفوفة '''A'''.]]

=== مثال ===
[[ملف:Eigenvectors.gif|إطار|يسار|مصفوفة التحويل <math>\bigl[ \begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr]</math> تحافظ على المتجهات الموازية ل <math>\bigl( \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \bigr)</math> (باللون الأزرق) و<math>\bigl( \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix} \bigr)</math> باللون البنفسجي. النقط التي تقع على المستقيم المار من مركز المعلم، الموازي لمتجهة ذاتية، تبقى على هذا المستقيم بعد التحويل. المتجهات المبينة باللون الأحمر ليست متجهات ذاتية، هكذا، تغير اتجاهها بعد التحويل.]]

بالنسبة للمصفوفة ''A''
:<math>A = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}.</math>
المتجهة
:<math>\mathbf x = \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}</math>
هي متجهة ذاتية بقيمة ذاتية مساوية ل 1. يظهر ذلك من خلال ما يلي.
:<math>A \mathbf x = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix} = 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}.</math>

من جهة ثانية، المتجهة
:<math>\mathbf x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>
ليست متجهة ذاتية بما أن
:<math>\begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.</math>
وهاته المتجهة ليست مضاعفا للمتجهة الأصلية '''x'''.

== مقاربة الرياضيات التفاضلية للقيمة الممتلكة ==
'''حساب حل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى:'''
على سبيل المثال، المعادلة التفاضلية البسيطة التالية (مع غض الطرف مبدئيا عن وجوب اعتبار الشروط الأولى أي عند حساب الحل):

<math>\mathcal {}Ax=\lambda x</math>

<br/>
<math>\dot{x}+10x=0</math>

و لنحاول البحث عن حل هذه المعادلة. المعروف هو أنه يمكن أن نقول أن حل هذالمعادلة هو:

<math>\mathcal {}e^{ct}</math>

أي أن <math>\mathcal {}x=e^{ct}</math> وإذا عوضت <math>\mathcal {}x</math> ب <math>\mathcal {}e^{ct}</math> فإنك تتحصل على المعادلة التالية:

<math>\frac{d}{dt} (e^{ct})+10e^{ct}=0</math>

أي <math>\mathcal {}ce^{ct}+10e^{ct}=0</math>

أي بعد أن نشطب <math>\mathcal {}e^{ct}</math> من المعادلة فإنك تتحصل على المعادلة
<math>\mathcal {}c+10=0</math> وهذا بدوره يعني أن<math>\mathcal {}c=-10</math>.
== القيمة الممتلكة ==
في عملية الحساب أعلاه، بُسطت معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى إلى معادلة بسيطة لحساب القيمة الممتلكة c ألا وهي المعادلة <math>-c+10=0</math>. يمكن تعميم هذه الطريقة أي كيفية الوصول من معادلة تفاضلية ذات درجة ثانية أو ثالثة أو غيرهما إلى المعادلة لحساب القيمة الممتلكة أو في هذه الحالة القيم الممتلكة (لأن درجة العلاقة التفاضلية تتطابق دائما مع عدد القيم الخاصة التي تحسبها حيث يكون من الضروري في هذه الحالة حل [[متعددة الحدود|كثيرات حدود]] وأن تراعي طبعا أن بعض الحلول قد تكون مكررة أي أنه يجب أن تعدها عدة مرات حتى تكون هذه الملاحظة).<br/>
كما يجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة أو المعالجة حيث فقط للنظم أو المعادلات التفاضلية الخطية أي أنه في صورة انعدام الخطية لا يمكن الحديث عن قيمة ممتلكة.<br/>
كما أن القيمة الممتلكة تعلمنا إذا كان نظام ما [[نظرية الاستقرار|مستقرا]] (إذا كانت القيمة الممتلكة سالبة) أو غير مستقر (إذا كانت القيمة موجبة). وهي كذلك دليل على سرعة النظام أو سرعة رده (إذا كانت [[قيمة مطلقة|القيمة المطلقة]] للقيمة الممتلكة كبيرة فإن النظام سريع أي سرعة ردة فعله سريعة).

== الحساب ==
det(λI-A)=0
حيث Ι هي المصفوفة الوحدة

== التاريخ ==
عادة ما تذكر القيم الذاتية في مجال [[جبر خطي|الخط الجبري]] أو {{المقصود|نظرية المصفوفات|مصفوفة}}، ولكن من الناحية التاريخية، برزت خلال دراسة [[صيغة تربيعية|الصيغ التربيعية]] و[[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]].

في القرن الثامن عشر، درس [[ليونهارت أويلر]] حركة دوران [[جسم جاسئ|جسم صلب]] مكتشفا أهمية [[عزم القصور الذاتي|المحاور الأساسية]].

انظر إلى [[متعددة حدود مميزة]].

== تطبيقات ==
=== معادلة شرودنغر ===

انظر [[معادلة شرودنغر]].

=== تحليل العنصر الرئيسي ===

{{مفصلة|تحليل العنصر الرئيسي}}

== انظر أيضا ==
* [[خوارزمية قيمة ذاتية|خوارزمية قيمة ممتلكة]]
* [[متعددة حدود مميزة|كثيرة حدود مميزة]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{تحليل دالي}}
{{جبر خطي}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|جبر|رياضيات}}

[[تصنيف:تفريق القيمة المنفردة]]
[[تصنيف:جبر مجرد]]
[[تصنيف:جبر خطي]]
[[تصنيف:فيزياء رياضية]]
[[تصنيف:مصفوفات]]
[[تصنيف:مقالات بتلفظ مسجل]]
[[تصنيف:نظرية المصفوفات]]