عرض مصدر قوس بواسون

[[ملف:Simeon_Poisson.jpg|تصغير|[[سيميون بواسون|سيمون دينيس بواسون]]]]
في [[رياضيات|الرياضيات]] و[[ميكانيكا كلاسيكية|الميكانيكا الكلاسيكية]] '''قوس بواسون''' هو [[عملية ثنائية]] مهمة في [[ميكانيكا هاملتوني|الميكانيكا الهاملتونية]]، حيث يُؤدي دورًا مركزيًا في [[معادلة رياضية|معادلات]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتون]] [[حركة (فيزياء)|للحركة]] التي تَصِفُ التطور [[زمن|الزمني]] للنظام [[علم الحركة|الديناميكي]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|الهاملتوني]]، كما يميز قوس بواسون فئة معينة من التحويلات [[إحداثيات|الإحداثية]] تسمى التحويلات القانونية، والتي بدورها تحول [[نظام (توضيح)|الأنظمة]] [[إحداثيات|الإحداثية]] الكنسية إلى [[نظام (توضيح)|أنظمة]] [[إحداثيات|إحداثية]] أساسية، حيث يتكون «[[نظام (توضيح)|النظام]] [[إحداثيات|الإحداثي]] الكنسي» من متغيران هما: [[الموقع (توضيح)|الموقع]] الكنسي و[[زخم الحركة|الزخم]]، ويرمز إليهما أدناه ب: <math>q_i</math> و<math>p_i</math> على التوالي حيث يخضعان [[علاقة (توضيح)|لعلاقات]] قوس بواسون الكنسي، كما أن هناك دائمًا [[مجموعة (توضيح)|مجموعة]] من التحويلات القانونية المحتملة ذات قيمة عالية، على سبيل المثال غالبًا ما يكون من الممكن اختيار [[دالة]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] نفسها <math>H =H(q, p; t)</math> كأحد [[إحداثيات]] [[زخم الحركة|الزخم]] الكنسي الجديدة.

بمعنى أكثر عمومية يُستخدم قوس بواسون لتحديد [[جبر|جَبْر]] بواسون،حيث يُعتبر [[جبر]] [[دالة|الاقترانات]] على متشعب [[سيميون بواسون|بواسون]] [[حالة خاصة]]، وهناك أمثلةٌ عامةٌ أخرى كالذي يحدث في [[نظرية]] [[جبر لي النمطي|جبر لاي]] لتشكيل [[جبر]] [[سيميون بواسون|بواسون]] من [[جبر]] [[موتر|الموتر]] [[جبر لي النمطي|لجبر لاي]]،حيث أُعطيَ بناءٌ مُفصّل لكيفية حدوث ذلك في [[مقالة]] [[:en:Universal enveloping algebra|الجبر الشامل المغلف]] [[اللغة الإنجليزية|الإنجليزية]]، و[[انفعال (علم المواد)|التشوهات]] [[كم (فيزياء)|الكمومية]] [[جبر|للجبر]] الشامل المغلف تؤدي إلى تدوين [[زمرة كمومية|مجموعات الكم]].

كل هذه المواضيع سُميت تكريمًا [[سيميون بواسون|لسيمون دينيس بواسون]].

{{ميكانيكا كلاسيكية}}
== خصائص ==
[[دالة|الاقترانان]] المُعطيان  f وg اللذان يعتمدان على [[فضاء الطور]] و[[زمن|الوقت]]، قوس بوايسون لهما هو <math>\{f, g\}</math>: [[دالة|اقتران]] آخر يعتمد على [[فضاء الطور]] و[[زمن|الوقت]]، و[[قواعد (توضيح)|القواعد]] الآتية تنطبق لأي ثلاث [[دالة|اقترانات]] على سبيل المثال: <math>f,\, g,\, h</math> حيث أنهم يعتمدون على [[فضاء الطور]] و[[زمن|الوقت]]، و[[قواعد (توضيح)|القواعد]] هي:

عكس [[عملية تبديلية|تبديلية]]

<math>\{f, g\} = -\{g, f\}</math>

[[اقتران ثنائي خطي|ثنائية الخطية]]

<math>\{af + bg, h\} = a\{f, h\} + b\{g, h\}, \quad \{h, af + bg\} = a\{h, f\} + b\{h, g\}, \quad a, b \in \mathbb R</math>

[[قاعدة الضرب|قاعدة ليبنيز]]

<math>\{fg, h\} = \{f, h\}g + f\{g, h\}</math>

[[متطابقات هامة|متطابقة]] [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|ياكوبي]]

<math>\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} +  \{h, \{f, g\}\} = 0</math>

أيضًا إذا كانت [[دالة|الدالة]] <math>k</math> [[ثابت (توضيح)|ثابت]] على [[فضاء الطور]] لكن من الممكن أن تعتمد [[دالة|الدالة]] على [[زمن|الوقت]]، فإن <math>\{f,\, k\} = 0</math> لأي [[دالة|اقتران]] <math>f</math>.

== التعريف في الإحداثيات الكنسية ==
في [[إحداثيات|الإحداثيات]] الكنسية المعروفة أيضًا ب<nowiki/>[[إحداثيات]] [[جون غاستون داربو|داربو]] <math> (q_i,\, p_i)</math> في [[فضاء الطور]]، [[دالة|الاقترانان]] المُعطيان: <math> f(p_i,\, q_i, t)</math> و<math> g(p_i,\, q_i, t)</math> يأخذ قوس بوايسون لهما الشكل الآتي:<ref group="تعليق"><math> f(p_i,\, q_i,\, t)</math> يعني أن <math>f</math> هو [[دالة|اقتران]] يحوي عدد <math>2N + 1</math> من [[متغير (رياضيات)|المتغيرات]] المستقلة وهم: [[زخم الحركة|الزخم]] {{sub|1…N}}<math>p</math>، والموقع {{sub|1…N}}<math>q</math>، و[[زمن|الوقت]] <math>t</math>.</ref>

<math>\{f, g\} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}\right).</math>

أقواس بواسون لل<nowiki/>[[إحداثيات]] الكنسية هم:

<math>\begin{align}
  \{q_i,q_j\} &= 0 \\
  \{p_i,p_j\} &= 0 \\
  \{q_i,p_j\} &= \delta_{ij}
\end{align}</math>

حيث ''<math>\delta_{ij}</math>'': هي [[دالة]] [[دلتا كرونكر]].

== معادلات هاملتون للحركة ==
[[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|معادلات هاملتون للحركة]] تمتلك تعبير مكافئ عند كتابتها باستخدام قوس بواسون، وهذا من الممكن توضيحهُ مباشرةً في [[إطار (توضيح)|إطار]] [[إحداثيات|إحداثي]] واضح، لنفترض أن <math>f(p, q, t)</math>: هو [[دالة|اقتران]] يعتمد على مسار [[حل (توضيح)|الحل]] [[المتعدد]]، ثم باستخدام [[قاعدة السلسلة]] [[المتعدد|متعددة]] [[متغير (رياضيات)|المتغيرات]] فإننا نحصل على:

<math>\frac{d}{dt} f(p, q, t) = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{dq}{dt} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac{dp}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}.</math>

بالإضافة إلى هذا، من الممكن اعتبار<math>p=p(t)</math> و<math>q=q(t)</math> حلولًا [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|لمعادلات هاملتون]]، حيث أن:

<math>\begin{cases}
  \dot{q} =  \frac{\partial H}{\partial p} = \{q, H\}; \\ 
  \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = \{p, H\}.
\end{cases}</math>

ثم ينتج لدينا:

<math>\begin{align}
  \frac {d}{dt} f(p, q, t) &= \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} + \frac{\partial f}{\partial t} \\
                                             &= \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} ~.
\end{align}</math>

من الممكن أن يُعطى التحول [[زمن|الزمني]] لل<nowiki/>[[دالة|اقتران]] <math>f</math> في المشعب [[التماسك في المادة وفي الفضاء|التماسكي]] كمجموعة معامل واحد من [[تماثل (رياضيات)|التماثل]] حيث أنه في التحويلات القانونية هناك حفاظ على منطقة اختلاف الأشكال، ومع اعتبار [[زمن|الوقت]] ''<math>t</math>'' [[وسيط (رياضيات)|عامل]] فإن [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|حركة هاملتونيان]] تمثل تحول كنسي أُنشئ بواسطة [[دالة]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]]، أي أن قوس بواسون محفوظ في  [[دالة]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] لذلك فإن أي [[زمن|وقت]] ''<math>t</math>'' عند حل [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|معادلات هاملتون]] يمكن أن يكون بمثابة [[إحداثيات]] القوس:

<math> q(t) = \exp (-t \{ H, \cdot \} ) q(0), \quad  p(t) = \exp (-t \{ H, \cdot \}) p(0), </math>

إذًا أقواس بواسون هي [[ثابت (توضيح)|الثوابت]] الكنسية، ومن خلال إسقاط [[إحداثيات|الإحداثيات]]:

<math>\frac{d}{dt} f = \left(\frac{\partial}{\partial t} - \{H, \cdot\}\right)f.</math>

فإن العامل في الجزء الحراري من المشتقة هو: <math>i\hat{L} = -\{H, \cdot\}</math> يُشار إليه أحيانًا باسم [[جوزيف ليوفيل|ليوفيليان]] (انظر إلى [[مبرهنة ليوفيل (ميكانيك هاملتوني)|نظرية ليوفيلي (هاملتونيان)]]).

== ثوابت الحركة ==
[[نطام قابل للتكامل|النظام الديناميكي المتكامل]] سيملك [[ثابت فيزيائي|ثوابت]] [[حركة (فيزياء)|الحركة]] بالإضافة إلى [[طاقة|الطاقة]]، كهذه [[ثابت فيزيائي|الثوابت]] من [[حركة (فيزياء)|الحركة]] ستُستبدل مع [[دالة]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] في قوس بواسون، لتوضيح ذلك فلنفترض [[دالة|الاقتران]] التالي: <math>f(p, q)</math> هو [[ثابت فيزيائي|ثابت]] [[حركة (فيزياء)|الحركة]]، وهذا يُوحي أنه إذا كان <math>p(t), q(t)</math> مسارًا أو حلًا [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|لمعادلات هاملتون للحركة]]، فإن:

<math>0 = \frac{df}{dt}</math>

على طول ذلك المسار، إذًا:

<math>0 = \frac{d}{dt} f(p,q) = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}</math>

كما هو موضح أعلاه فإن الخطوة المتوسطة تُتبع بتطبيق [[معادلة حركة|معادلات الحركة]] ونحن فرضنا بوضوح أن [[دالة|الاقتران]] <math>f</math> لا يعتمد على [[زمن|الوقت]]، وتُعرف هذه المعادلة باسم [[مبرهنة ليوفيل (توضيح)|معادلة ليوفيلي]]، حيث ينص محتوى [[مبرهنة ليوفيل (توضيح)|نظرية ليوفيلي]] أن التغير [[زمن|الزمني]] [[قياس (فيزياء)|للقياس]] أو [[دالة التوزيع (فيزياء)|دالة التوزيع]] في [[فضاء الطور]] هو ما ورد أعلاه.

إذا كان قوس بواسون لل<nowiki/>[[دالة|اقترانين]] <math>f</math> و<math>g</math>  يتلاشى أي أن: <math>\{f,g\} = 0</math>؛ فإن [[دالة|الاقترانين]]: <math>f</math> و<math>g</math> يُقال أنهما في [[الطي (رياضيات)|التفاف]] ، ولكي يكون نظام [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] [[نطام قابل للتكامل|قابلًا للتكامل]] تمامًا يجب أن تكون <math>n</math> من [[ثابت فيزيائي|ثوابت]] [[حركة (فيزياء)|الحركة]] المستقلة في [[الطي (رياضيات)|الالتفاف]] المتبادل، حيث تمثل <math>n</math> [[درجة حرية (ميكانيكا)|عدد درجات الحرية]].

وعلاوةً على ذلك وفقًا [[نظرية علمية|لنظرية]] [[سيميون بواسون|بواسون]]، إذا كان هناك اثنتين من الكميات <math>A</math> و<math>B</math> لا تعتمدان على الوقت بشكل واضح (<math>A(p, q), B(p, q)</math>) ومن ثوابت الحركة، فإن قوس بواسون الخاص بهم هو: <math>\{A,\, B\}</math>، وهذا لا يوفر دائمًا نتيجةً مفيدة حيث أن عدد [[ثابت فيزيائي|الثوابت]] [[نظرية الاحتمال|المحتمل]] [[حركة (فيزياء)|للحركة]] محدود مثلًا يساوي <math>2n - 1</math> لنظام يملك <math>n</math> من [[درجة حرية (ميكانيكا)|درجات الحرية]]، وبالتالي فإن النتيجة قد تكون عديمة الأهمية [[ثابت فيزيائي|كثابت]] أو [[دالة]] بدلالة <math>A</math> و<math>B</math>.

== قوس بواسون في لغة خالية من الإحداثيات ==
لنفترض أن <math>M</math> متشعب تماسكي، كما أن المتشعب مزود بنموذج  تماسك: نموذجين <math>\omega</math> كلاهما متقاربان حيث أن [[مشتق خارجي|المشتق الخارجي]] <math>d \omega</math> يختفيK و آخر غير منحل، على سبيل المثال في المعالجة أعلاه نأخذ <math>M</math> لتكون <math>\mathbb{R}^{2n}</math> ولنأخذ أيضًا أن:

<math>\omega = \sum_{i=1}^{n} d q_i \wedge d p_i.</math>

إذا كان <math> \iota_v \omega</math> هو [[ضرب|الضرب]] الداخلي أو [[عملية (رياضيات)|عملية]] الانكماش المُعرّف من خلال <math> (\iota_v \omega)(w) =  \omega(v,\, w)</math>؛ فإن عدم الانحلال يعادل قول أن لكل نموذج <math>\alpha</math> هناك [[حقل متجهات|مجال متجه]] مميز هو <math>\Omega_\alpha</math>، بحيث يكون عوضًا عن <math> \Omega_{d H} = \omega^{-1}(d H)</math>، وإذا كان <math>H</math> [[نعومة دالة|اقتران ناعم]] في <math>M</math> فإن [[حقل متجهات|مجال المتجه]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] <math>X_H</math> يمكن تعريفه على أنه <math> \Omega_{d H}</math>، حيث من السهل ملاحظة أن:

<math>\begin{align}
  X_{p_i} &=  \frac{\partial}{\partial q_i} \\
  X_{q_i} &= -\frac{\partial}{\partial p_i}.
\end{align}</math>

قوس بواسون <math>\ \{\cdot,\, \cdot\} </math> في (''M'', ω) يمثل [[اقتران ثنائي خطي|عملية ثنائية الخطية]] في [[دالة قابلة للاشتقاق]] معرفة من خلال: <math> \{f,\, g\} \;=\; \omega(X_f,\, X_g) </math>، وقوس بواسون [[دالة|لاقترانين]] في ''M'' هو نفسه [[دالة|اقتران]] في ''M''، و كما أن قوس بواسون [[علاقة ضد تناظرية|غير متماثل]] لأن:

<math>\{f, g\} = \omega(X_f, X_g) = -\omega(X_g, X_f) = -\{g, f\} </math>

ضف إلى ذلك أن:{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
  \{f, g\} &= \omega(X_f, X_g) = \omega(\Omega_{df}, X_g) \\
           &= (\iota_{\Omega_{df}}\omega)(X_g) = df(X_g) \\
           &= X_gf = \mathcal{L}_{X_g} f
\end{align}</math>.|{{EquationRef|1}}}}هنا ''X<sub>g</sub>f'' تدل أن [[حقل متجهات|المجال المتجه]] ''X<sub>g</sub>'' طُبِق [[دالة|للاقتران]] ''f'' ك<nowiki/>[[مشتق اتجاهي]] ،حيث أن <math>\mathcal{L}_{X_g} f</math> تُشير إلى [[اشتقاق لي|مشتقة لاي]] للاقتران ''f'' بشكل مكافئ بالكامل.

إذا كان α نموذج [[تعسف]]ي أحادي في ''M'' فإن [[حقل متجهات|المجال المتجه]] Ω<sub>α</sub> يُنتج محليًا على الأقل [[تدفق (رياضيات وفيزياء)|تدفق]] <math> \phi_x(t)</math> يُطبق [[مسألة القيمة الحدية|الشروط الحدية]] <math> \phi_x(0) = x</math> و[[معادلة تفاضلية|المعادلة التفاضلية]] من الرتبة الأولى:

<math>\frac{d\phi_x}{dt} = \left. \Omega_\alpha \right|_{\phi_x(t)}.</math>

<math> \phi_x(t)</math> سيكون هناك تماثل لكل ''t'' ك<nowiki/>[[دالة|اقتران]] في ''x'' إذا وفقط إذا كان <math> \mathcal{L}_{\Omega_\alpha}\omega \;=\; 0</math>، حيث أنه عندما يكون هذا الشرط صحيح فإن Ω<sub>α</sub> تُسمى [[حقل متجهات|مجال متجه]] تماسكي، باستدعاء [[متطابقات هامة|متطابقة]] كارتان (الضرب الداخلي): <math>  \mathcal{L}_X\omega \;=\; d (\iota_X \omega) \,+\, \iota_X d\omega</math> وأن: ''d''ω = 0، هذا يتبعه أن: <math> \mathcal{L}_{\Omega_\alpha}\omega \;=\; d\left(\iota_{\Omega_\alpha} \omega\right) \;=\; d\alpha</math>، لذلك Ω<sub>α</sub>: هو [[حقل متجهات|مجال متجه]] تماسكي إذا وفقط إذا كان α شكل مغلق، وبما أن <math> d(df) \;=\; d^2f \;=\; 0</math>، فهذا يتبعه أن كل [[حقل متجهات|مجال متجه]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتوني]] ''X<sub>f</sub>'' هو [[حقل متجهات|مجال متجه]] تماسكي وأن [[تدفق (رياضيات وفيزياء)|تدفق]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] يحوي تحولات كنسية، ومن ''X<sub>H</sub>'' أعلاه وتحت [[تدفق (رياضيات وفيزياء)|تدفق]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] نستنتج أن:

<math>\frac{d}{dt}f(\phi_x(t)) = X_Hf = \{f,H\}.</math>

هذه نتيجة أساسية في [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|الميكانيكا الهاملتونية]] التي تحكم التحول الزمني [[دالة|للاقترانات]] المُعرفة في [[فضاء الطور]]، كما هو موضح أعلاه عندما يكون ''{f,H} = 0؛'' فإن ''f'' هو [[ثابت (رياضيات)|ثابت]] [[حركة (فيزياء)|حركة]] النظام، بالإضافة إلى ذلك في [[إحداثيات|الإحداثيات]] الكنسية باعتبار <math> \{p_i,\, p_j\} \;=\; \{q_i,q_j\} \;=\; 0</math> و<math>\{q_i,\, p_j\} \;=\; \delta_{ij}</math>: هي [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|معادلات هاملتون]] لتحول [[زمن|وقت]] النظام مُتْبَعةً مباشرةً من هذه الصيغة، كما يُتبع من {{EquationRef|1|(1)}} أن قوس بواسون هو [[مشتق (رياضيات)|اشتقاق]]، وهذا يعني أنه يوافق الصيغة غير [[عملية تبديلية|التبديلة]] ل<nowiki/>[[ضرب|قاعدة ضرب]] [[غوتفريد لايبنتس|لايبنز]]:{{NumBlk|:|<math>\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}</math>, and <math>\{f,gh\} = g\{f,h\} + h\{f,g\}</math>|{{EquationRef|2}}}}قوس بواسون متصل بشكلٍ وثيق بقوس [[سوفوس لاي|لاي]] ل<nowiki/>[[حقل متجهات|متجه مجالات]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] لأن [[مشتق (رياضيات)|مشتق]] [[سوفوس لاي|لاي]] هو اشتقاق حيث أن:

<math>\mathcal L_v\iota_w\omega = \iota_{\mathcal L_vw}\omega + \iota_w\mathcal L_v\omega = \iota_{[v,w]}\omega + \iota_w\mathcal L_v\omega</math>

لذلك إذا كان ''v'' و''w'' تماسكيين وباستخدام: <math> \mathcal{L}_v\omega \;=\; 0</math> و[[متطابقات هامة|متطابقة]] كارتان، وحقيقة أن <math>\iota_w\omega</math> متماثلين:

<math>\iota_{[v,w]}\omega = \mathcal L_v\iota_w\omega = d(\iota_v\iota_w\omega) + \iota_vd(\iota_w\omega) = d(\iota_v\iota_w\omega) = d(\omega(w,v)).</math>

هذا يتبعه أن: <math>[v,w] = X_{\omega(w,v)}</math> إذًا:{{NumBlk|:|<math>[X_f,X_g] = X_{\omega(X_g,X_f)} = -X_{\omega(X_f,X_g)} = -X_{\{f,g\}}</math>.|{{EquationRef|3}}}}لذلك فإن قوس بواسون في [[دالة|الاقترانات]] يتوافق مع [[قوس (رياضيات)|قوس]] [[سوفوس لاي|لاي]] ل<nowiki/>[[حقل متجهات|متجه لمجالات]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتونيان]] والمرتبطة به، وكما أظهرنا أن [[قوس (رياضيات)|قوس]] [[سوفوس لاي|لاي]] يتكون من [[حقل متجهات|مجالين متجهين]] تماسكيين هما عبارة عن [[حقل متجهات|مجال متجه]] [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتوني]] وبالتالي هو أيضًا تماسكي. في لغة [[جبر مجرد|الجبر المجرد]] تشكل [[حقل متجهات|المجالات المتجهة]] التماسكية [[الجبر الجزئي (الفرعي)|جبرًا جزئيًا]] ل<nowiki/>[[جبر]] [[سوفوس لاي|لاي]] [[حقل متجهات|لمتجه المجالات]] [[نعومة دالة|الناعمة]] في ''M''، كما يُشكل [[حقل متجهات|متجه المجالات]] هاملتونيان مثالًا مثاليًا لهذا [[الجبر الجزئي (الفرعي)|الجبر الجزئي]]، ومتجه المجالات التماسكية هو جبر لاي لمجموعة لاي اللانهائية الأبعاد من التماثل في ''M''.

على نطاق واسع من المؤكد أن متطابقة [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|ياكوبي]] لقوس بواسون تابعٌ توافقها مع قوس [[سوفوس لاي|لاي]] للمجالات المتجهة:

<math>\ \{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0</math>

لكن هذا صحيح فقط لل<nowiki/>[[دالة|اقتران]] المحلي [[ثابت فيزيائي|الثابت]]، ومع ذلك لإثبات متطابقة [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|ياكوبي]] لقوس بواسون فإنه يكفي إثبات أن:

<math>\operatorname{ad}_{\{f,g\}}=[\operatorname{ad}_f,\operatorname{ad}_g]</math>

حيث <math>\operatorname{ad}_g</math>: هو [[مشغل (توضيح)|عامل]] في [[نعومة دالة|الاقترانات الناعمة]] في ''M'' يُعرف ب <math>\operatorname{ad}_g(\cdot) \;=\; \{\cdot,\, g\}</math> والقوس في الجانب الأيمن هو [[مبدل رياضي|مبدل]] العوامل <math> [\operatorname A,\, \operatorname B] \;=\; \operatorname A\operatorname B - \operatorname B\operatorname A</math>، بواسطة {{EquationRef|1|(1)}} فإن العامل <math>\operatorname{ad}_g</math> مساوي للعامل ''X<sub>g</sub>''، وإثبات متطابقة [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|ياكوبي]] تُتبع من {{EquationRef|3|(3)}}؛ لأن قوس [[سوفوس لاي|لاي]] لمتجه المجالات هو فقط مبدلهم كالعوامل التفاضلية.

جبر [[نعومة دالة|الاقترانات الناعمة]] في M بجانب قوس بواسون يُشكل [[جبر]] [[سيميون بواسون|بواسون]]؛ لأنه هو [[جبر لي النمطي|جبر لاي]] في قوس بواسون الذي يوافق [[قاعدة الضرب|قاعدة لايبنز]] {{EquationRef|2|(2)}}، كما أظهرنا أن كل متشعب تماسكي هو متشعب بواسون وهو متشعب مع عامل [[قوس (ترقيم)|الحاصرتان]] في [[نعومة دالة|الاقترانات الناعمة]]، حيث أن [[نعومة دالة|الاقترانات الناعمة]] تُشكل [[جبر]] بواسون، ومع ذلك ليس كل متشعب بواسون ينشأ بهذه الطريقة؛ لأن متشعبات بواسون تسمح للانحلال الذي لا يمكن أن ينشأ في حالة التماسك.

== نتيجة الزخم المرافق ==
أُعطي <math>X</math> [[حقل متجهات|كمجال متجه]] سَلِس في [[فضاء (توضيح)|فضاء]] التكوين، وجُعل <math>P_X</math> هو [[زخم الحركة|الزخم]] المرافق له؛ فإن [[زخم الحركة|الزخم]] المرافق الذي وُضع يُمثل جبر لاي العاكس للتشابه الشكلي من قوس بواسون لقوس لاي:

<math>\{P_X, P_Y\} = -P_{[X, Y]}.\,</math>

هذه النتيجة المهمة تستحق إثبات قصير، فلنكتب أن [[حقل متجهات|المجال المتجه]] <math>X</math> عند النقطة <math>q</math> في [[فضاء (توضيح)|فضاء]] التكوين هو كالآتي:

<math>X_q = \sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}</math>

حيث أن <math>\scriptstyle \frac{\partial}{\partial q^i}</math>:هو [[إطار مرجعي|الإطار]] [[إحداثيات|الإحداثي]] المحلي، ف<nowiki/>[[زخم زاوي|العزم]] المرافق لِ<math>X</math> يمتلك التعبير التالي:

<math>P_X(q, p) = \sum_i X^i(q) \;p_i</math>

حيث أن <math>p_i</math>: هم [[دالة|اقترانات]] [[زخم زاوي|العزم]] المرافقة لل<nowiki/>[[إحداثيات]]، أما الآن فلنكتب التعبيرات السابقة للنقطتين <math>(q,p)</math> في [[فضاء الطور]]، حاصلين على التالي:

<math>\begin{align}
  \{P_X,P_Y\}(q,p) &=  \sum_i \sum_j \left\{ X^i(q) \;p_i, Y^j(q)\; p_j \right\} \\
                   &=  \sum_{ij} p_i Y^j(q) \frac{\partial X^i}{\partial q^j} -  p_j X^i(q) \frac{\partial Y^j}{\partial q^i} \\
                   &= -\sum_i p_i \; [X, Y]^i(q) \\
                   &= - P_{[X, Y]}(q, p). 
\end{align}</math>

النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه صحيحة لجميع النقاط <math>(q, p)</math> مُعطيًا النتيجة المطلوبة.

== تكميم ==
تشوه أقواس بواسون لأقواس مويال عند [[تكميم (فيزياء)|القياس الكمي (التكميم)]] تُعمم [[جبر|لجبر]] [[سوفوس لاي|لاي]] مختلف أو [[جبر]] مويال أو ما يكافئ ذلك في [[فضاء هيلبرت]] وهو [[مبدل رياضي|مبدل]] [[كم (فيزياء)|الكم]]، حيث أن مجموعة انكماش [[يوجين ويغنر|ويغنر]]- إينون لهم مع اعتبار أن نهاية [[حد كلاسيكي|الحد الكلاسيكي]] تصبح: {{تعبير رياضي|ħ → 0}}فإن هذا يُسفرُ عن [[جبر]] [[سوفوس لاي|لاي]] أعلاه.

لعرض ذلك بشكل أكثر وضوح ودقة فإن [[جبر|الجبر]] الشامل المغلف ل<nowiki/>[[جبر]] [[فيرنر هايزنبيرغ|هايزنبرغ]] هو [[جبر]] [[هيرمان فايل|فايل]] حيث أن نموذج العلاقة أن العنصر المركزي لجبر [[فيرنر هايزنبيرغ|هايزنبرغ]] هو وحدة الجبر الشامل المغلف، ويكون ناتج مويال حالة خاصة من [[ضرب|الضرب]] النجمي على [[جبر]] الرموز، كما أُعطيَ تعريف واضح لجبر الرموز و[[ضرب|الضرب]] النجمي في [[مقالة]] [[:en:Universal enveloping algebra|الجبر الشامل المغلف]] [[اللغة الإنجليزية|الإنجليزية]].

== انظر أيضًا ==
{{Div col}}
* [[مبدل رياضي]]
* [[قوس بيرلز]]
* [[فضاء الطور]]
{{Div col end}}

== تعليقات ==
{{مراجع|مجموعة=تعليق}}
== ملاحظات ==
{{مراجع|4}}

== مراجع ==

* {{استشهاد بكتاب
| عنوان = Mathematical Methods of Classical Mechanics
| ناشر = Springer
| سنة = 1989
| isbn = 978-0-387-96890-2
| إصدار = 2nd
| مسار = https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno
| مكان = New York
| الأخير = Arnold
| الأول = Vladimir I.
| مؤلف-وصلة = Vladimir Arnold
| التسجيل = registration
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220421234951/https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno|تاريخ أرشيف=2022-04-21}}
* {{استشهاد بكتاب
| عنوان = Mechanics
| مؤلف1-الأخير = Landau
| مؤلف2-الأخير = Lifshitz
| ناشر = Butterworth-Heinemann
| سنة = 1982
| isbn = 978-0-7506-2896-9
| إصدار = 3rd
| المجلد = Vol. 1
| سلسلة = [[Course of Theoretical Physics]]
| مؤلف1-الأول = Lev D.
| مؤلف1-وصلة = Lev Landau
| مؤلف2-الأول = Evegeny M.
| مؤلف2-وصلة = Evgeny Lifshitz
}}
* {{استشهاد بكتاب
| عنوان = Nonlinear Poisson brackets, Geometry and Quantization
| مؤلف1-الأخير = Karasëv
| مؤلف2-الأخير = Maslov
| ناشر = American Mathematical Society
| سنة = 1993
| isbn = 978-0821887967
| المجلد = 119
| سلسلة = Translations of Mathematical Monographs
| مكان = Providence, RI
| mr = 1214142
| مؤلف1-الأول = Mikhail V.
| مؤلف2-الأول = Victor P.
| مترجم1-الأول = Alexey
| مترجم1-الأخير = Sossinsky
| مترجم2-الأخير = Shishkova
| مؤلف2-وصلة = Victor Pavlovich Maslov
| مترجم2-الأول = M.A.
}}

== روابط خارجية ==

* {{springer|title=Poisson brackets|id=p/p073270}}
* {{ماثوورلد|urlname=PoissonBracket|title=Poisson bracket|author=[[إيريك ويستاين]]}}{{هامش-فيزياء}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|ميكانيكا الكم|تاريخ العلوم|علوم|رياضيات}}

[[تصنيف:تقانات الكم]]
[[تصنيف:فراغ]]
[[تصنيف:فضاء رياضي]]
[[تصنيف:فضاء هيلبرت]]
[[تصنيف:فيزياء]]
[[تصنيف:فيزياء الجسم الصلب]]
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]
[[تصنيف:ميكانيك هاملتوني]]
[[تصنيف:هندسة تماسكية]]
[[تصنيف:كميات فيزيائية]]
[[تصنيف:ميكانيكا الكم]]
[[تصنيف:ميكانيكا المواد الصلبة]]
[[تصنيف:تعليم الفيزياء]]