عرض مصدر قوس الجيب

{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = دالة قوس الجيب
| صورة = Arcsine.svg
| تعليق = التمثيل البياني للدالة
| حجم صورة =
| بدل صورة =
| ترميز = <math>\arcsin x</math>
| دالة عكسية = <math>\sin x</math> على المجال <math>\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>
| مشتق دالة = <math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
| مشتق عكسي = <math>x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C</math>
| زوجية أم فردية = فردية
| مجال = <math>[-1 , 1]</math>
| مجال مقابل = <math>\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>
| plusinf =
| minusinf =
| صفر = 0
| حد أعلى = 1
| حد أدنى = {{يسار إلى يمين|-1}}
| vr1 =
1
| f1 =
<math>\frac\pi2</math>
| vr2 =
{{تعبير رياضي|-1}}
| f2 =
<math>-\frac\pi2</math>
| vr3 =
| f3 =
| vr4 =
| f4 =
| vr5 =
| f5 =
| جذر = 0
| نقطة انقلاب = 0
| نقطة ثابتة = 0
| ملاحظات =
}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، دالة '''قوس الجيب'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|الصفحة=36}}</ref><ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q120333811|الصفحة=88}}</ref><ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q120799140|الصفحة=36}}</ref> {{إنج|Arcsine}} [[عدد حقيقي|لعدد حقيقي]] المحصور بين {{تعبير رياضي|–1}} و {{تعبير رياضي|1}} هي [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] لدالة [[جيب (رياضيات)|الجيب]]، [[مستقر دالة|مستقرها]] هو <math>\left[ -\frac\pi2 , \frac\pi2 \right]</math>، وحدتها هي ال[[راديان]].

[[دالة|الدالة]] التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين {{تعبير رياضي|–1}} و {{تعبير رياضي|1}} قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ '''arcsin''' أو {{تعبير رياضي|'''sin <sup>-1</sup>'''}}. ومن ثم تكون [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] لدالة الجيب المثلثية [[اقتصار (رياضيات)|المقتصرة]] إلى [[مجال فاصل (رياضيات)|المجال]] <math>\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> .

في المَعْلم الديكارتي [[تعامد منظم|المتعامد الوَحْديّ]] للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال <math>\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> بواسطة [[تناظر انعكاسي|انعكاس]] حول المحور ذو المعادلة {{تعبير رياضي|1=''y = x''}}.

== مشتق ==
دالة الجيب العكسية تقبل [[مشتق (رياضيات)|الإشتقاق]] على المجال {{تعبير رياضي|]–1, 1[}} ودالتها المشتقة هي:

<math>\arcsin'x=\frac1\sqrt{1-x^2}</math>

=== إثبات ===
يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:<math>(\arcsin x)' ={d \over dx} \arcsin x</math>

نضع <math>\theta = \arcsin x</math>:

:<math>\frac {d\theta}{d \sin \theta}
= \frac {d\theta}{d\theta \cos \theta}
= \frac {1}{\cos \theta}
= \frac {1}{\sqrt{1-\sin ^2 \theta}}
= \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

== تمثيل بواسطة متسلسلة ==
يمكننا تمثيل الدالة بواسطة [[متسلسلة تايلور]]:

إذا كانت <math>|z|\le1</math>،

: <math>
\begin{align}
\arcsin z& =z+\frac12\cdot\frac{z^3}3+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{z^5}5+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\frac{z^7}7+\dots\\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n} n z^{2n+1}}{4^n (2n+1)}.
\end{align}
</math>

حيث <math>(n)!!</math> هو [[عاملي ثنائي]].

{{برهان|
[[متسلسلة تايلور]] للدالة المستقة هي:
:<math>\begin{align}\arcsin'(z)&=(1-z^2)^{-\frac12}\\&=1+\left(-\frac12\right)(-z^2)+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}2(-z^2)^2+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{2\cdot3}(-z^2)^3+\cdots\\
&=1+\frac12z^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}z^4+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}z^6+\dots,\end{align}</math>
[[تكامل|بمكاملتها]] نتحصل على المتسلسلة غير المنتهية للدالة.}}

== الشكل التكاملي ==
يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :

{{Pad}}<math>\arcsin x = \int_0^x \frac {1}{\sqrt {1-t^2}} dt</math>

== المشتق العكسي ==
[[ملف:Arcsine_Arccosine.svg|يسار|تصغير| {{تعبير رياضي|arccos ''x''}} (بالأزرق) و {{تعبير رياضي|arcsin ''x''}} (بالأحمر)|195x195بك]]يتم الحصول على [[مشتق عكسي|المشتق العكسي]] لدالة قوس الجيب عن طريق [[تكامل بالتجزئة|التكامل بالتجزئة]] :

<math>\int\arcsin x\,\mathrm dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C</math>

== العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام ==
من أجل كل عدد حقيقي {{تعبير رياضي|''x''}} محصور بين {{تعبير رياضي|–1}} و {{تعبير رياضي|1}} : <math>\arccos x+\arcsin x=\frac\pi2</math>

== على المستوي المركب ==
[[ملف:Complex_arcsin.jpg|بديل=|تصغير|141x141بك|[[تلوين المجال|التمثيل البياني اللوني]] للدالة <math>\arcsin z</math>]]
=== الشكل اللوغاريتمي ===
يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام [[لوغاريتم عقدي|اللوغاريتم العقدي]]:

<math>\arcsin x= -i\ln\left(ix+\sqrt{1-x^2}\right)</math>

== طالع أيضًا ==

* [[دوال مثلثية عكسية]]
* [[قوس جيب التمام|دالة جيب التمام العكسية]]
* [[قوس الظل|دالة الظل العكسية]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|هندسة رياضية}}
{{روابط شقيقة}}

{{شريط سفلي حساب المثلثات}}

[[تصنيف:دوال مثلثية]]