عرض مصدر قانون جيب التمام

{{بطاقة عامة}}
{{شريط جانبي حساب المثلثات}}
[[ملف:Triangle with notations 2.svg|تصغير|270x270بك|في المثلث ABC الزوايا α, β, γ هي المقابلة على الترتيب للأضلاع a, b, c.|بديل=|مركز]]
'''قانون جيب التمام''' أو '''قانون التجيب''' أو '''مبرهنة الكاشي''' هي [[مبرهنة]] في [[حساب المثلثات|هندسة المثلثات]]<ref group="ملاحظة">هي أيضاً تعميم [[مبرهنة فيثاغورس|لمبرهنة فيثاغورس]] على أي زاوية من زوايا المثلث (ليست بالضرورة قائمة).</ref> تربط ضلع أي مثلث بضلعيه الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ينص قانون [[جيب التمام]] على أنه في أي مثلث أطوال أضلاعه a, b, c المقابلة للزوايا α, β, γ فإنَّ:<ref name="Joyce">[https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII12.html Java applet version] by Prof. D E Joyce of Clark University. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170805191728/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII12.html |date=05 أغسطس 2017}}</ref>

<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
</math>

<math>b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta
</math>

<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha
</math>.

قانون جيب التمام يُعمم [[مبرهنة فيثاغورس|نظرية فيثاغورس]] لأي مثلث بأي زوايا. بوضع <math>\gamma = 90^\circ
</math> نجد أنَّ <math>\cos \gamma = 0
</math> ومنها نظرية فيثاغورس <math>c^2=a^2+b^2
</math>.

== التسمية ==
سُميت بهذا الاسم نسبة إلى العالم [[غياث الدين الكاشي]] الذي نشر هذه المبرهنة في كتابه «[[مفتاح الحساب]]» عام 1429 م.

== التاريخ ==
[[ملف:Obtuse-triangle-with-altitude.png|تصغير|200بك|شكل. 2 - مثلث ABC مع ارتفاع BH]]
في [[الأصول (كتاب)|كتاب العناصر]] ل[[إقليدس]]، نجد مقاربة هندسية لتعميم [[مبرهنة فيثاغورس]]: نجد في الكتاب 2 العبارتين 12 و13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة وفي مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] (آنذاك) وكذلك [[جبر|الجبر]] أدى إلى استعمال المساحات.

فالعبارة 12 :

{{اقتباس|في المثلث المنفرج الزاوية تكون مساحة المربع المنشأ على الضلع المقابل للزاوية المنفرجة مساوياً لمجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين مضافاً إلى هذا المجموع ضعف مساحة المستطيل الذي بعداه طول أحد هذين الضلعين وطول مسقط الضلع الآخر عليه.}}

وفي الشكل المقابل المثلث ABC مثلث منفرج الزاوية في C والقطعة المستقيمة CH هي مسقط الضلع BC على الضلع AC (انظر شكل2) وبالتالي وطبقاً للنظرية يكون
:<math>AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2 (CA)(CH)</math>
و كان يجب انتظار العرب المسلمين لتظهر الدوال المثلثية لرؤية المبرهنة في تطورها: فالفلكي والرياضي [[محمد بن جابر بن سنان البتاني|البتاني]] عمم نتيجة [[إقليدس]] في الهندسة الفضائية والتي مكنت من القيام بحساب المسافات بين النجوم. وفي نفس الوقت تم إنشاء جداول للدوال المثلثية والتي أتاحت للعالم [[غياث الدين الكاشي]] صياغة المبرهنة في شكلها النهائي.

== تطبيقات ==
مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيثاغورس، عندما تكون الزاوية :<math>\gamma</math> قائمة، أو عندما يكون: <math>\cos\gamma = 0</math>، المبرهنة تصبح:<math>\,c^2=a^2+b^2</math>,
و عكسيا.

[[ملف:Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.png|تصغير|240بك|يسار|شكل. 3 - تطبيق المبرهنة :الكاشي زاوية أو ضلع مجهول.]]
النظرية تستعمل في [[مثلث|المثلثات]](انظر شكل. 3) [[حل المثلثات|حل مثلث]]، أي تحديد:
* الضلع الثالث لمثلث نعرف فيه زاوية والضلعين المكونين لها:
:<math>\,c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}</math> ;
* زوايا مثلث نعرف فيه الأضلاع:
:<math>\,\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>.

== البراهين ==
=== بتقسيم المساحات ===
من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:
* <math>a^2</math>, <math>b^2</math> و<math>c^2</math> هي مساحات [[مربع|لمربع]] أضلاعه على التوالي <math>a</math>, <math>b</math> و<math>c</math>
* <math>ab |\cos\gamma|</math> وهو ل [[متوازي أضلاع]] من جهة<math>a</math> و<math>b</math> يكونان زاوية <math>\pi/2-\gamma</math>، تغيير إشارة: <math>\cos\gamma</math> تصبح الزاوية <math>\gamma</math> منفرجة تجعل دراسة الحالات ضرورية.

[[ملف:Law of cosines with acute angles.svg|تصغير|شكل. 4أ - البرهنة بالنسبة للزوايا الحادة : « طريقة التقسيم ».]]
الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :
* بالوردي، المساحات <math>a^2</math>, <math>b^2</math> في اليسار، والمساحات <math>2ab \cos\gamma</math> و<math>c^2</math> في اليمين ؛
* بالأزرق، المثلث ABC، في اليمين كما في اليسار ؛
* بالرمادي، بعض المثلثات الإضافية، متطابقة مع المثلث ABC وبنفس العدد في التقسيمين.

تساوي المساحات في اليمين واليسار يعطي:
:<math>\,a^2+b^2 = c^2+2ab \cos\gamma</math>
{{تحديد}}

[[ملف:Law of cosines with an obtuse angle.svg|تصغير|شكل. 4ب - البرهنة بالنسبة للزوايا المنفرجة : « طريقة التقسيم ».]]
الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين
* بالوردي، المساحات <math>a^2</math>, <math>b^2</math> و<math>-2ab \cos\gamma</math> في اليسار، والمساحات <math>c^2</math> في اليمين ؛
* بالأزرق، مرتين المثلث ABC، في اليمين كما في اليسار.

تساوي المساحتين يمينا ويسارا يعطي:
:<math>\,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2</math>

=== باستعمال نظرية فيتاغورس ===
[[ملف:Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.png|يسار|تصغير|319بك|شكل. 5 - البرهنة باستعمال العلاقات المثلثية]]
الشكل 5 (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع : <math>\,c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b-a\cos\gamma)^2</math>

بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة.

== في الهندسة اللاإقليدية ==
=== في الهندسة الكروية ===
{{أيضا|حساب المثلثات الكروية}}
[[ملف:Law-of-haversines.svg|يسار|تصغير|حل المثلث الكروي باستخدام قانون جيب التمام]]
توجد نسخ مشابهة لقانون جيب التمام للمثلثات المستوية أيضًا في كرة الوحدة (نصف قطرها يساوي 1) وفي المستوي الزائدي. في [[هندسة كروية|الهندسة الكروية]]، يعرّف المثلث بثلاث نقاط {{تعبير رياضي|'''u'''}} و{{تعبير رياضي|'''v'''}}، و {{تعبير رياضي|'''w'''}} على كرة الوحدة، وأقواس [[دائرة عظمى|الدوائر العظمى]] التي تربط تلك النقاط.  إذا كانت هذه الدوائر العظمى تصنع الزوايا {{تعبير رياضي|''A''}}، {{تعبير رياضي|''B''}}، و {{تعبير رياضي|''C''}} مع الأضلاع المقابة {{تعبير رياضي|''a''}}، {{تعبير رياضي|''b''}}، {{تعبير رياضي|''c''}} فإن القانون الكروي لجيب التمام ينص أن:
:<math>\begin{align}
\cos a &= \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A\\
\cos A &= -\cos B\cos C + \sin B\sin C\cos a.
\end{align}</math>

=== في الهندسة الزائدية ===
{{أيضا|مثلث زائدي}}
في [[هندسة زائدية|الهندسة الزائدية]]، تُعرف المعادلتين معًا باسم قانون جيب التمام للمثلثات الزائدية. الأولى هي:
:<math>\cosh a = \cosh b\cosh c - \sinh b \sinh c \cos A</math>

حيث {{تعبير رياضي|sinh}} و {{تعبير رياضي|cosh}} هي [[دوال زائدية|دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان]].

والثانية هي:
:<math>\cos A = -\cos B \cos C + \sin B\sin C\cosh a.</math>

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، يمكن للمرء استخدام قانون جيب التمام لتحديد الزوايا {{تعبير رياضي|''A''}}, {{تعبير رياضي|''B''}}, {{تعبير رياضي|''C''}} من معرفة الأضلاع {{تعبير رياضي|''a''}}، {{تعبير رياضي|''b''}}، {{تعبير رياضي|''c''}}. على عكس الهندسة الإقليدية، فإن العكس ممكن أيضًا في كلا المثلثين اللاإقليديين: تحدد الزوايا {{تعبير رياضي|''A''}}، {{تعبير رياضي|''B''}}، {{تعبير رياضي|''C''}} الأضلاع {{تعبير رياضي|''a''}}، {{تعبير رياضي|''b''}}، {{تعبير رياضي|''c''}}.

== انظر أيضًا ==
* [[تثليث (تقنية)|طريقة التثليث]]
* [[قانون الجيب]]
* [[قانون الظل]]
* [[قانون ظل التمام]]
* [[دوال مثلثية]]
* [[صيغة مولفيده]]
* [[حل المثلثات]].

== ملاحظات ==
{{مراجع|مجموعة=ملاحظة}}
{{تصنيف كومنز|Law of cosines}}

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|العالم الإسلامي|رياضيات|هندسة رياضية}}

{{شريط سفلي حساب المثلثات}}

[[تصنيف:دوال مثلثية]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:زوايا]]
[[تصنيف:حساب المثلثات]]
[[تصنيف:مبرهنات في الهندسة المستوية]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:هندسة المثلث]]
[[تصنيف:مبرهنات حول المثلثات]]