عرض مصدر قانون الجيب

{{بطاقة عامة}}
{{شريط جانبي حساب المثلثات}}

في [[حساب المثلثات]]، '''قانون الجيب''' هو قانون أو معادلة تربط بين أطوال أضلاع [[مثلث|المثلث]] [[جيب (رياضيات)|بجيوب]] [[زاوية داخلية وزاوية خارجية|زواياه الداخلية]] طبقاً للعلاقة:

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math>

حيث ''c'' ،''b'' ،''a'' هي أطوال [[ضلع (توضيح)|أضلاع]] المثلث، و''C'' ،''B'' ،''A''، هي [[زاوية (توضيح)|الزوايا]] المقابلة لهذه الأضلاع على الترتيب.

من المفيد أحياناً كتابة قانون الجيب بصورة مقلوبة:

:<math> \frac {\sin A}{a} = \frac {\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}</math>

== أهمية قانون الجيب ==
* يستخدم قانون الجيب بشكل رئيس عند حساب طولي ضلعين مجهولين في [[مثلث]] بمعرفة طول الضلع الثالث وقياس أي زاويتين من زواياه الثلاث، تعد هذه المسألة من أشهر [[مسألة رياضية|المسائل الرياضية]] في [[تثليث (تقنية)|التثليث]] في [[حساب المثلثات]].
* يمكن استخدام قانون الجيب لمعرفة قياس زاوية ما في [[مثلث]] إذا علم طولا أي ضلعين فيه وقياس زاوية غير المحصورة بينهما، وفي هذا النوع من المسائل قد نصل أحياناً إلى ما يعرف بالحالة المبهمة للمثلث، حيث نحصل على قيمتين مختلفتين للزاوية المحصورة بين الضلعين المعلومين.
* يكثر استخدام قانون الجيب في مسائل التفكير العالي وفي [[برهان رياضي|البراهين]] والإثباتات في [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]].

== إثبات القانون ==

=== البرهان الأول ===
[[ملف:LabeledTriangle.svg|تصغير|يسار|المثلث ABC.]]

في حساب المثلثات يمكن حساب مساحة المثلث بدلالة ضلعين و[[جيب (توضيح)|جيب الزاوية]] المحصورة بينهما بالعلاقة:

:<math> k= \frac {1}{2} ab \sin C  = \frac {1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2}  bc \sin A</math>

حيث K مساحة المثلث ABC.

:<math> \frac {1}{2} ab \sin C  = \frac {1}{2} ac \sin B </math>
←
:<math> b \sin C  = c \sin B </math>
←
:<math> \frac {c}{\sin C}   = \frac {b}{\sin B} </math>

و بتكرار الخطوات السابقة مرة أخرى نصل إلى ما تبقى من القانون.

=== البرهان الثاني ===
[[ملف:Sine law.png|تصغير|يسار|المثلث ABC.]]

نسقط [[عمودي (توضيح)|عمود]] من أي زاوية في المثلث ولتكن A على الضلع المقابل لها يقطعه في N.

من المعلوم أن [[جيب (توضيح)|جيب الزاوية]] في [[مثلث قائم|المثلث القائم الزاوية]] يساوي النسبة بين طولي الضلع المقابل لها و[[وتر (مثلث)|الوتر]].

في المثلث ANC
:<math> \sin C = \frac {AN}{b} </math>
←
AN = b sin C

و في المثلث ANB
:<math> \sin B = \frac {AN}{c} </math>
←
AN = c sin B

مما سبق نصل إلى أن c sin B = b sin C ومنها نصل إلى القانون.

== الحالة المبهمة ==
[[ملف:Sine Law - Ambiguous Case.svg|تصغير|الحالة المبهمة لمثلث مستوٍ]]

عند استخدام قانون الجيب لحساب قياس زاوية قد نحصل أحياناً على حلين مختلفين للمثلث، هذا يعني أنه يوجد مثلثان يتفقان في عناصر المثلث المعلومة ولكنهما يختلفان في قيم العناصر المجهولة. هذه الحالة تسمى الحالة المبهمة، ولا تحصل هذه الحالة إلا بتحقق الشروط التالية:
# أن تكون العناصر المعلومة في المثلث هي طول ضلعين وليكونا ''b'' ، ''a'' وقياس زاوية غير المحصورة بينهما، ولتكن الزاوية ''A''.
# أن تكون الزاوية المعلومة ''A'' [[زاوية (توضيح)|زاوية حادة]] (''A'' <90°).
# أن يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة (الضلع ''a'' في حالتنا) أصغر طولاً من الضلع الآخر المعلوم (الضلع ''b'') أي أن ''a'' <''b''.
# أن يكون الضلع ''a'' أطول من [[ارتفاع (مثلث)|ارتفاع المثلث]] القائم الذي وتره ''b'' وإحدى زاوياه ''A'' (أي ''a''> ''b'' sin ''A'').

في الواقع هذه الحالة ناتجة من إحدى خواص [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] وبالتحديد دالة [[جيب (توضيح)|الجيب]] لأن (Sin x = Sin (180-x.

ولهذا سنحصل على قيمتين للزاوية ''B'' عند تحقق هذه الشروط الأربعة: إما أن تكون حادة ''B'' <90 أو أن تكون منفرجة ''B> 90''.

: <math>B = \sin^{-1} \left({b \sin A \over a} \right)</math>
أو
: <math>B= 180^\circ - \sin^{-1} \left({b \sin A \over a} \right)</math>

== علاقة قانون الجيب بالدائرة المحيطة بالمثلث ==
[[ملف:Sines law.PNG|تصغير|يسار|المثلث ABC.]]

إذا كان R [[نصف القطر|نصف قطر]] [[دائرة محيطة|الدائرة المارة برؤوس المثلث]] (الدائرة المحيطة بالمثلث أو الدائرة الخارجة للمثلث) فإن:
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R</math>

لإثبات ما سبق نرسم [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]] بالمثلث ABC والتي [[مركز (هندسة رياضية)|مركزها]] M و[[نصف القطر|نصف قطرها]] R ونسقط [[عمودي (توضيح)|عمود]] من M على AB يقطعه في N.

المثلث BMA [[مثلث متساوي الساقين|متساوي الساقين]] فيه BM,AM يساويان نصف القطر R.

قياس الزاوية ACB يساوي نصف قياس الزاوية AMB (قياس [[زاوية محيطية]] يساوي نصف قياس [[زاوية مركزية|الزاوية المركزية]] التي تشترك معها في نفس [[قوس (هندسة)|القوس]]).

و قياس الزاوية AMN يساوي نصف قياس الزاوية AMB (من [[تطابق (هندسة)|تطابق المثلثين]] AMN وBMN).

← AMN = ACB

←
:<math> \sin \widehat{AMN} = \frac {AN}{AM} </math> ([[جيب (توضيح)|جيب الزاوية]] يساوي المقابل على [[وتر (مثلث)|الوتر]] في [[مثلث قائم|المثلث القائم]]).
←
:<math> \sin C = \frac {\frac {AB}{2}}{R} </math> (الزاوية AMN = الزاوية C، نصف القطر R = AM، طول القطعة المستقيمة AN نصف طول القطعة AB).
←
:<math> R \sin C = \frac {AB}{2} </math>.
←
:<math> 2R = \frac {c}{\sin C} </math> (لأن AB = c).

و بما أن اختيارنا للزاوية C لم يكن لميزة خاصة بها فبإمكاننا تكرار ما سبق مع الزاويتين A،B.

== في الهندسة اللاإقليدية ==

=== في حالة المثلثات الكروية ===
{{أيضا|حساب المثلثات الكروية}}

[[ملف:Spherical trigonometry vectors.svg|تصغير|يسار|200px]]

في حالة المثلثات الكروية، تنص الصيغة:

:<math>\frac{\sin A}{\sin \alpha} = \frac{\sin B}{\sin \beta} = \frac{\sin C}{\sin \gamma}.</math>

هنا، {{تعبير رياضي|''α''}}، و {{تعبير رياضي|''β''}}، و {{تعبير رياضي|''γ''}} هي الزوايا المركزية (الواقعة في مركز الكرة) التي تقابلها ثلاثة أقواس لمثلث السطح الكروي {{تعبير رياضي|''a''}}، و{{تعبير رياضي|''b''}} و {{تعبير رياضي|''c''}}، على التوالي. {{تعبير رياضي|''A''}}، و{{تعبير رياضي|''B''}}، و {{تعبير رياضي|''C''}} هي زوايا السطح المقابلة لأقواسها.

=== في حالة المثلثات الزائدية ===
{{أيضا|مثلث زائدي}}
في [[هندسة زائدية|الهندسة الزائدية]]، عندما يكون الانحناء يساوي {{يسار إلى يمين|-1}}، يصبح قانون الجيب:

: <math>\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.</math>

في الحالة الخاصة عندما تكون {{تعبير رياضي|''B''}} زاوية قائمة، نتحصل على:

: <math>\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} </math>

وهو مماثل للصيغة في الهندسة الإقليدية معبرًا عن جيب الزاوية باعتباره الضلع المقابل مقسومًا على الوتر.

:

== التاريخ ==
نسبة إلى [[أوبيراتان دامبروزو]] و[[سيلين هيلين]]، فإن قانون الجيب قد اكتشف في القرن العاشر الميلادي. نسب إلى كل من العلماء [[أبو محمود الخجندي|الخجندي]] و[[أبو الوفاء البوزجاني|أبو الوفا البوزجاني]] و[[نصير الدين الطوسي]] و[[منصور بن عراق]].<ref name=Sesiano>Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in {{استشهاد|عنوان=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|الأول1=Helaine|الأخير1=Selin|الأول2=Ubiratan|الأخير2=D'Ambrosio|سنة=2000|ناشر=[[شبرينغر|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2}}</ref>

== اقرأ أيضاً ==
* [[تثليث (توضيح)|تثليث]]
* [[قانون جيب التمام]]
* [[قانون الظل]]
* [[قانون ظل التمام]]
* [[جيب (رياضيات)|دالة الجيب]]
* [[دوال مثلثية]]
* [[صيغة مولفيده]]

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{تصنيف كومنز|Law of sines}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}
{{شريط سفلي حساب المثلثات}}

[[تصنيف:دوال مثلثية]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:زوايا]]
[[تصنيف:حساب المثلثات]]
[[تصنيف:مبرهنات في الهندسة المستوية]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:هندسة المثلث]]
[[تصنيف:مبرهنات حول المثلثات]]