عرض مصدر قاعدة لايبنيز العامة

{{تفاضل وتكامل}}
في [[تفاضل وتكامل|علم التفاضل والتكامل]] تعمل '''قاعدة لايبنيز العامة'''<ref>Olver, ''[https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22General%20Leibniz%20rule%22&f=false Applications of Lie groups to differential equations]'', page 318 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200425203900/https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&printsec=frontcover |date=25 أبريل 2020}}</ref> - والتي أعطيت اسمها تيمنًا بمؤسسها [[غوتفريد لايبنتس]] - على تعميم [[قاعدة الضرب]] (والتي تُعرف أيضًا باسم "'''قاعدة لايبنيز'''"). حيث تلعب مشتقات الاقترانات دورًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل وتطبيقاتها. على وجه الخصوص، ويمكن استخدامها لدراسة هندسة المنحنيات، وإيجاد القيم المُثلى للاقترانات، وصياغة المعادلات التفاضلية التي توفر نماذج رياضية في مجالات عدة، مثل: الفيزياء، والكيمياء، والبيولوجيا، والتمويل. <ref>Mary L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', 3rd Edition, John Wiley & Sons., Inc 2006.</ref>

وتنص القاعدة على أنه إذا كان كل من <math>f</math> و<math>g</math> [[اقترانات قابلة للاشتقاق]] مرفوعة بقوة <math>n</math> فإن الناتج <math>fg</math> هو أيضًا مرفوع بقوة <math>n</math>، ومشتقته الـ<math>n</math> فإنها تُعطَى بالشكل التالي:
::<math>(fg)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x)</math>

حيث <math>{n \choose k}={n!\over k! (n-k)!}</math> تعد [[معامل ذات الحدين|المعامل الثنائي]] و <math>f^{(0)}(x)=f(x)</math>.

يمكن برهنة هذا من خلال قاعدة الضرب وال[[استقراء رياضي|استقراء الرياضي]] ''(انظر البرهان أسفله)''.

== التاريخ ==
ظهرت فكرة المشتقة لأول مرة من المحامي والرياضي الشهير [[بيير دي فيرما]] (1601–1665) لحل العديد من المسائل، مثل: العثور على المماس لمنحنى عند نقطة. وبحلول عام 1670 وما بعده، أسس [[إسحاق نيوتن|إسحق نيوتن]] (1642–1727) و[[غوتفريد لايبنتس|غوتفريد لايبنيز]] (1646–1716) لعلم التفاضل والتكامل الحديث، وذلك بإدخال المفاهيم العامة للتفاضل والتكامل وآلية حساب كل منهما، خصوصًا أن كل منهما يعدّ عملية معكوسة للأخرى، كما تم وضع نظام ترميز سهل ومبسط لكل منهما وما زال العمل به جاريًا حتى وقتنا الحالي.

== المشتقة الأولى ==
في علم التفاضل والتكامل، يمكن تعميم مشتقة حاصل الجمع، الضرب، والاقترانات المركبة أو ما يعرف بقاعدة "السلسلة"، بشكل جيد ومن أي رتبة <math>n</math> من المشتقات. مشتقة حاصل جمع اقترانين هي الأسهل، حيث إنّ مشتقة <math>f+g</math> من أي رتبة <math>n</math> هي ببساطة حاصل جمع المشتقات من نفس الرتبة، <math display="inline">f(n) + g(n)</math>. قاعدة لايبنيز العامة، عبارة عن تعميم للمشتقة من الرتبة <math>n</math> لحاصل ضرب اقترانين، وتنص على أنه إذا كان كل من الاقترانين <math>f(x)</math> و <math>g(x)</math> قابلًا للاشتقاق <math>n</math> من المرات، فإن حاصل ضربهما <math>fg</math> عبارة عن اقتران قابل للاشتقاق أيضًا من المرات، ومشتقته من الرتبة <math>n</math> تُعطى بالعلاقة:

<math display="block">(fg)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x)</math>

''حيث'' <math display="inline">{n \choose k}={n!\over k! (n-k)!}</math> ''هو معامل'' [[معامل ذات الحدين|ذات الحدّين]]''، و'' <math display="inline">f^{(0)}(x)=f(x)</math>''.'' فعلى سبيل المثال، فإن المشتقة الأولى لحاصل الضرب <math>fg</math> تُعطى بالعلاقة:

<math display="block">(fg)'(x)=\sum\limits_{k=0}^{1}{{1 \choose k} f^{(k)}(x)g^{(1-k)}(x)}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x) = f(x)g'(x)+g(x)f'(x)</math>

== المشتقة الثانية <math>(n = 2)</math> ==
يمكن حساب المشتقة الثانية للاقتران <math>f(x)</math> إذا عُلمت مشتقته الأولى <math>f'(x)</math> وذلك باشتقاق المشتقة الأولى للاقتران <math>f(x)</math> مرة ثانية، أي أن:

<math display="block">(f)''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) </math>

'''بما أن:'''

<math display="block">(fg)' = f'g + g'f </math>'''فإن:'''<math display="block">(fg)''=\frac{d}{dx}((fg)'')=\frac{d}{dx}(f'g+g'f) = \frac{d}{dx}(f'g) + \frac{d}{dx}(g'f) = (f''g+f'g') + (g''f+f'g') = f''+2f'g'+g''</math>

'''وبتطبيق قاعدة لايبنيز نجد أن:<math display="block">(fg)''(x)=\sum\limits_{k=0}^{2}{{2 \choose k} f^{(k)}(x)g^{(2-k)}(x)}
=
{2 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(2)}(x) + {2 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(1)}(x) + {2 \choose 2}f^{(2)}(x)g^{(0)}(x) =
g''(x)+2f'(x)g'(x)+f''(x)</math>

== برهان القاعدة ==
يمكن برهان قاعدة لايبنيز باستخدام مبدأ [[استقراء رياضي|الاستقراء الرياضي]]. لتكن: <math display="block">\sum_{k=0}^1{1 \choose k}f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) </math>

القاعدة صحيحة عندما <math>m = 1</math> وذلك لأن:

<math>(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>

'''و'''

<math>\sum_{k=0}^1{1 \choose k}f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>

نفترض أن قاعدة: <math display="inline">(fg)^{(m)}(x)=\sum_{k=0}^m{{m}\choose{k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x)</math> صحيحة لأي عدد صحيح <math>m\geq1</math>

المطلوب الآن برهان صحة العلاقة لمشتقة من الرتبة <math>(m+1)</math>، وهذا يتم على النحو التالي:

<math>\begin{align}
    (fg)^{(m+1)}(x)&=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum_{k=0}^{m}{{m}\choose{k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x)\\
    &=\sum_{k=0}^{m}{{m}\choose{k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)+\sum_{k=0}^{m}{{m}\choose{k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)\\
    &=\sum_{k=1}^{m+1}{{m}\choose{k-1}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+\sum_{k=0}^{m}{{m}\choose{k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)\\
    &={{m}\choose{m}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum_{k=1}^{m}{{m}\choose{k-1}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+\sum_{k=1}^{m}{{m}\choose{k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m}\choose{0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\
    &={{m}\choose{m}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum_{k=1}^{m}\left[{{m}\choose{k-1}}+{{m}\choose{k}}\right]f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m}\choose{0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\
    &={{m+1}\choose{m+1}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum_{k=1}^m{{m+1}\choose{k}}   f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m+1}\choose{0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\
    &=\sum_{k=0}^{m+1}{{m+1}\choose{k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x).
\end{align}</math>

== تعميم القاعدة لأكثر من اقترانين ==
لتكن <math>\left(f_1 f_2 \cdots f_m\right)^{(n)}</math> مجموعة من الاقترانات القابلة للاشتقاق <math>n</math> من المرات، فإن حاصل الضرب <math>\left(f_1 f_2 \cdots f_m\right)^{(n)}</math> قابل للاشتقاق <math>n</math> من المرات، كذلك:

<math display="block">\left(f_1 f_2 \cdots f_m\right)^{(n)}=\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
  \prod_{1\le t\le m}f_{t}^{(k_{t})}\,</math>'''حيث:''' <math display="inline"> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}</math>

فعلى سبيل المثال، المشتقة الثانية للاقتران g(x)=xexsin x <math>g(x) = xe^xsin(x)</math> يمكن حسابها باستخدام تعميم قاعدة لايبنيز كما يلي:

<math display="block">\begin{align}
\\&
\frac{d^2}{dx^2}( xe^xsin(x))  =
\\&

(\frac{2}{2.0.0})x^{(2)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(0)}+

\frac{2}{0.2.0}x^{(0)}e^{x^{(2)}}sin(x)^{(0)}
+
\frac{2}{0.0.2}x^{(0)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(2)}
+
\\&
\frac{2}{1.1.0}x^{(1)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(0)}
+
\frac{2}{1.0.1}x^{(1)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(1)}
+
\frac{2}{0.1.1}x^{(0)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(1)}
\\&
\\&
= 0 + xe^{x}sin x - x e^ {x} sin x + 2 x e^ {x} sin x + 2 x e^ {x} cos x + 2 x e^ {x} cos x
\\&
\\&
= 2e^{x}[sinx + (1 + x) cos x]

\end{align}

</math>

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:غوتفريد لايبنتس]]
[[تصنيف:قواعد التفاضل]]
[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الرياضي]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:مطابقات رياضية]]