عرض مصدر قاعدة الضرب

[[ملف:Schema_Règle_produit.png|تصغير|300px|يسار|بيان هندسي يمكن من البرهان على قاعدة الضرب]]

{{تفاضل وتكامل}}
في [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]، '''قاعدة الضرب''' (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب [[مشتق (رياضيات)|اشتقاق]] حاصل ضرب [[دالة|دالتين]] قابلتين للاشتقاق :

لهذا يمكن القول تبعا [[ترميز الاشتقاق#ترميز لاغرانج|لترميز لاغرانج]] :

:<math>(fg)'=f'g+fg' \,</math>

أو ب[[تدوين لايبنتس|ترميز لايبنز]] :

:<math>{\mathrm d\over\mathrm  dx}(uv)=u{\mathrm dv\over \mathrm dx}+v{\mathrm du\over \mathrm dx}.</math>.<ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://brilliant.org/wiki/product-rule/ | عنوان = معلومات عن قاعدة الضرب على موقع brilliant.org | ناشر = brilliant.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230208011119/https://brilliant.org/wiki/product-rule/|تاريخ أرشيف=2023-02-08}}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://ncatlab.org/nlab/show/product law | عنوان = معلومات عن قاعدة الضرب على موقع ncatlab.org | ناشر = ncatlab.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230704090729/https://ncatlab.org/nlab/show/product%20law|تاريخ أرشيف=2023-07-04|حالة المسار=live}}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://www.britannica.com/topic/product-rule | عنوان = معلومات عن قاعدة الضرب على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230220110537/https://www.britannica.com/topic/product-rule|تاريخ أرشيف=2023-02-20}}</ref>
== أمثلة ==
لنحسب تفاضل <math>f(x)=\sin (x)\cos (x)</math>. حسب قاعدة الضرب لدينا:

:<math>
\begin{align}{\mathrm d\over\mathrm  dx}\big[\sin(x)\cos(x)\big]&=\sin (x){\mathrm d\over \mathrm dx}\big[\cos(x)\big]+\cos(x){\mathrm d\over \mathrm dx}\big[\sin(x)\big] \\ &=-\sin^2(x)+\cos^2(x)\\&=1-2\sin^2(x).
\end{align}
</math>

== البراهين ==

لتكن <math>h(x)=f(x)g(x)</math>، ونعتبر أن <math>g'(x)</math> و<math>f'(x)</math> موجودين. لدينا:

:<math>\begin{align}
h'(x) &= \lim_{a\to 0} \frac{h(x+a)-h(x)}{a} = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a} \\
 &= \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a} \\ &= \lim_{a\to 0} \frac{[f(x+a)-f(x)] \cdot g(x+a) + f(x) \cdot [g(x+a)-g(x)]}{a} \\
&= \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a} \cdot \lim_{a\to 0} g(x+a)
+ \lim_{a\to 0} f(x) \cdot \lim_{a\to 0} \frac{g(x+a)-g(x)}{a} \\
&= f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
\end{align}</math>

== تعميمات ==
=== جداء أكثر من حدين ===
قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:
:<math>\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.</math>

من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال <math>f_1, \dots, f_k</math>، يتوفر ما يلي:

:<math>\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]
 = \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right)
= \left(  \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).</math>
=== اشتقاق من درجات عليا ===
{{مفصلة|قاعدة لايبنيز العامة}}

انظر إلى [[مبرهنة ذي الحدين]].

:<math>d^n(uv) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot d^{(n-k)}(u)\cdot  d^{(k)}(v).</math>

:<math>(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot  v^{(k)}(x).</math>

:<math>\left(\prod_{i=1}^kf_i\right)^{(n)}=\sum_{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}{n\choose j_1,j_2,\ldots,j_k}\prod_{i=1}^kf_i^{(j_i)}.</math>

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضا ==
{{روابط شقيقة}}
* [[قاعدة الدوال العكسية|دوال عكسية وتفاضلها]]

{{تحليل رياضي}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{بذرة تحليل رياضي}}

[[تصنيف:حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:قواعد التفاضل]]
[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الرياضي]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]