عرض مصدر قاعدة الرفع إلى أس

{{لا مصدر|تاريخ=يناير 2022}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، تستعمل '''قاعدة الرفع إلى أس''' أو '''قاعدة القوة'''{{إنج|power rule}} للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.

تُعتبر [[متعددة الحدود|متعددات الحدود]] من أبسط [[دالة|الدوال]] المستعملة في [[تفاضل وتكامل|الحسبان]]. وتُعطى [[مشتق (رياضيات)|مشتقاتها]] و[[مشتق عكسي|تكاملها غير المحدود]] بواسطة القوانين التالية:

:<math>\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)' = \sum^n_{k=0} ka_kx^{k-1}</math>
و
:<math>\int\!\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} + C \,\!</math>.

لذلك, تكون مشتقة <math>x^{100}</math> هي <math>100x^{99}</math> و[[مشتق عكسي|التكامل غير المحدود]] للقيمة <math>x^{100}</math> هو <math>\frac{x^{101}}{101}+C</math> حيث أن C هو [[ثابت التكامل|الثابت الكيفي للتكامل]].

== قاعدة القوة ==

تذكر قاعدة القوة ''للتفاضل'' بأنه إذا كان ''n'' هو [[عدد طبيعي]], تكون مشتقة <math>f(x)=x^n \!</math> هي <math>f'(x)=nx^{n-1}\!</math>, وبالتالي تكون القاعدة هي
:<math>\left(x^n\right)'=nx^{n-1}.</math>

و قاعدة القوة ''للتكامل'' هي
:<math>\int\! x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>
عندما يكون ''n'' عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة و[[التحويل الخطي]] للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

=== البرهان ===

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال [[مشتق (رياضيات)|طريقة الاشتقاق]] [[نهاية (رياضيات)|كنهاية رياضياتية]]:
:<math>f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. </math>
و عند تعويض <math> f(x) = x^n </math> ستكون المعادلة على النحو التالي
:<math>f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}.</math>
ثم يمكن للمرء التعبير عن <math>(x+h)^n</math> باستعمال [[مبرهنة ذي الحدين|مبرهنة ثنائية الحد]] للحصول على
:<math>f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n} {{n \choose i} x^i h^{n-i}}-x^n}{h}. </math>
يمكن كتابة الحد <math>i = n</math> من المجموع في جهة مستقلة للحصول على
:<math>f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i}} + x^n -x^n}{h}. </math>
و بسبب إلغاء قيم الحدود <math>x^n</math> ستكون المعادلة
:<math>f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i}}}{h}.</math>
و يمكن إخراج قيمة <math>h</math> من جميع الحدود من المجموع للحصول على
:<math>f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{h\sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i-1}}}{h}.</math>
و بذلك يمكننا إلغاء قيم <math>h</math> من المقام والحصول على
:<math>f'(x) = \lim_{h\rarr0} \sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i-1}}.</math>
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن <math> n-i-1 > 0</math> لكل <math>i < n - 1</math> وتساوي صفر لكل<math>i=n-1.</math> لذلك نجد قيمة <math>h^0</math> فقط عندما يكون <math>i = n - 1</math>, وبالتالي تكون المعادلة
:<math>f'(x) = {n \choose {n-1}} x^{n-1}. </math>
و بإيجاد قيمة [[المعامل الثنائي الحد]] سنجد هذه المعادلة
:<math>{n \choose {n-1}} = \frac{n!}{(n-1)!\ 1!} = \frac{n\ (n-1)!}{(n-1)!} = n.</math>
و بالتالي هذه المعادلة
:<math>f'(x) = n x^{n-1}. \! </math>

== تفاضل متعددات الحدود الكيفية ==

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال [[تحويل خطي|الخاصية الخطية]] [[مؤثر تفاضلي|للمؤثر التفاضلي]] (differential operator) للحصول على:

:<math>\left(\sum_{r=0}^n a_r x^r \right)' =
\sum_{r=0}^n \left(a_r x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n a_r \left(x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n ra_rx^{r-1}.</math>

و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
:<math>\int\!\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1}  + c.</math>

== تعميم ==

يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس [[عدد حقيقي|حقيقي]], والمعادلة هي

:<math>\left(x^a\right)' = ax^{a-1}</math>

عندما تكون قيمة ''a'' أي عدد حقيقي ما دام أن قيم ''x'' من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع
:<math>\int \! x^{-1}\, dx= \ln x+c,</math>
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة ''x'', والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

== المراجع ==
{{مراجع}}

* Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). ''Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions'' (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.

{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:قواعد التفاضل]]
[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الرياضي]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:مطابقات رياضية]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]