عرض مصدر قائمة المتطابقات المثلثية

{{شريط جانبي حساب المثلثات}}[[ملف:Unit circle angles.svg|300px|تصغير|الجيوب وجيوب التمام حول [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''المتطابقات المثلثية''' أو '''المطابقات المثلثية''' أو '''المعادلات المثلثية''' هي مجموعة من المساواة تتألف من [[دوال مثلثية]]. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل [[معادلة رياضية|المعادلات الرياضية]] خاصة في [[دالة عكسية|معكوس الدالة]] (ك[[دالة تكعيبية|صيغة كاردان]]) و[[تكامل|التكامل]] (كتكامل مربع [[جيب التمام|جيب تمام الزاوية]]).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية ([[جيب (رياضيات)|جا]]، [[جيب التمام|جتا]]، [[ظل (حساب المثلثات)|ظا]]) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من [[معادلة رياضية|المعادلات]] كباقي المعادلات [[جبرية|الجبرية]] العادية وبطرق التحليل المعروفة.<ref>ملخصات ايزي شوم</ref>

== ملاحظات ==
* لتجنب الالتباس حول (''sin<sup>−1</sup>(''x ومثيلاتها هل هي [[مقلوب عدد|مقاليب]] أم [[دالة عكسية|معاكيس]]، سيتم استخدام (''csc(''x ومثيلاتها للمقاليب و(''arcsin(''x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
!colspan="2"| الدالة
!colspan="2"| [[دالة عكسية|الدالة العكسية]]
!colspan="2"| [[مقلوب عدد|المقلوب]]
!colspan="2"| معكوس المقلوب
|-
|[[جيب (رياضيات)|جيب الزاوية]]
| sin
| [[قوس الجيب|قوس جيب الزاوية]]
| arcsin
| [[قاطع التمام|قاطع تمام الزاوية]]
| csc
| قوس قاطع تمام الزاوية
| arccsc
|-
|[[جيب التمام|جيب تمام الزاوية]]
| cos
| [[قوس جيب التمام|قوس جيب تمام الزاوية]]
| arccos
| [[قاطع (حساب المثلثات)|قاطع الزاوية]] 
| sec
| قوس قاطع الزاوية 
| arcsec
|-
|[[ظل (حساب المثلثات)|ظل الزاوية]]
| tan
| [[قوس الظل|قوس ظل الزاوية]]
| arctan
| [[ظل التمام|ظل تمام الزاوية]]
| cot
| قوس ظل تمام الزاوية
| arccot
|}

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF; text-align: center;"
|-
! [[درجة (زاوية)|الدرجات]]
| 30
| 45
| 60
| 90
| 120
| 180
| 270
! 360
|-
! [[راديان|الراديان]]
| <math>\pi/6</math>
| <math>\pi/4</math>
| <math>\pi/3</math>
| <math>\pi/2</math>
| <math>2\pi/3</math>
| <math>\pi</math>
| <math>3\pi/2</math>
! <math>2\pi</math>
|-
! [[غراد]]
| 33 ⅓
| 50
| 66 ⅔
| 100
| 133 ⅓
| 200
| 300
! 400
|}

== علاقات أساسية ==
<div style="text-align: center;">
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
![[متطابقة فيثاغورس المثلثية]]
|<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,</math>
|-
! [[إثباتات المتطابقات المثلثية|متطابقة النسبة]]
|<math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>
|}
</div>

<div style="text-align: center;">
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى. 
! الدالة
! <math>(\sin \theta)</math>
! <math>(\cos \theta)</math>
! <math>(\tan \theta)</math>
! <math>(\csc \theta)</math>
! <math>(\sec \theta)</math>
! <math>(\cot \theta)</math>
|-
! <math>   \sin \theta =</math>
| <math>   \sin \theta\ </math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\ </math>
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\ </math>
| <math>   \frac{1}{\csc \theta}\ </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\ </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\ </math>
|-
! <math>   \cos \theta =</math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\ </math>
| <math>   \cos \theta\ </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\ </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\ </math>
| <math>   \frac{1}{\sec \theta}\ </math>
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\ </math>
|-
! <math>   \tan \theta =</math>
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\ </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\ </math>
| <math>   \tan \theta\ </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\ </math>
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\ </math>
| <math>   \frac{1}{\cot \theta}\ </math>
|-
! <math>   \csc \theta =</math>
| <math>   \frac{1}{\sin \theta}\ </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\ </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\ </math>
| <math>   \csc \theta\ </math>
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\ </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\ </math>
|-
! <math>   \sec \theta =</math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\ </math><div style="text-align: center;">
| <math>   \frac{1}{\cos \theta}\ </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\ </math>
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\ </math>
| <math>   \sec \theta\ </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\ </math>
|-
! <math>   \cot \theta =</math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\ </math>
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\ </math>
| <math>   \frac{1}{\tan \theta}\ </math>
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\ </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\ </math>
| <math>   \cot \theta\ </math>
|}
</div>

== التطابق، والإزاحة والدورية ==
من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

=== التطابق ===
تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! انعكاس في <math>\theta=0 </math>
! انعكاس في <math>\theta= \pi/2</math><br />(متطابقة مساعدة)
! انعكاس في <math>\theta= \pi</math>
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}
</math>
|}

=== الإزاحة والدورية ===

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!{{تعبير رياضي|''θ''}} مزاحة بمقدار π/2
!{{تعبير رياضي|''θ''}} مزاحة بمقدار π
!{{تعبير رياضي|''θ''}} مزاحة بمقدار 2π 
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}
</math>
|}

== متطابقات مجموع وفرق الزوايا ==

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" 
! الجيب
| align="center" | <math>\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,</math>
|-
! جيب التمام
| align="center" | <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math>
|-
! الظل
| align="center" | <math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math>
|-
! قوس الجيب
| align="center" | <math>\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})</math>
|-
! قوس جيب التمام
| align="center" | <math>\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})</math>
|-
! قوس الظل
| align="center" | <math>\arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)</math>
|}

=== شكل المصفوفة ===

: <math> \left[\begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\  \sin\alpha & \cos\alpha \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\cos\beta & -\sin\beta \\  \sin\beta & \cos\beta\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\  \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right]. </math>

=== جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية ===

: <math> \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{odd}\  k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

: <math> \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{even}\  k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

=== ظلال مجاميع حدود محدودة ===

: <math>\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}, </math>

مثال:

:<math> \begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\  \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\  \\
&{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align} </math>

وهكذا

=== قواطع مجاميع حدود محدودة ===

: <math> \sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} </math>

مثلا,

: <math> \sec(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma }. </math>

== صيغ الزوايا المتعددة ==
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"
!''T<sub>n</sub>'' هو [[متعددات الحدود لتشيبيشيف|متعدد الحدود لشيبيشيف]] من الدرجة ''n''
|<math>\cos n\theta =T_n (\cos \theta)\,</math>&nbsp;&nbsp;
|-
![[صيغة دي موافر]]، <math>i</math> هي [[وحدة تخيلية]]
|<math>\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|}

: <math>1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math>

=== صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا ===

'''أنظر أيضا:''' {{وإو|تر=Tangent half-angle formula|عر=صيغة فايرشتراس}}

==== صيغ ضعف زاوية ====
: <math> \sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}</math>

: <math> \cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
</math>

: <math> \tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}</math>

: <math> \cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}</math>

: <math> \sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta}</math>

: <math> \csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2}</math>

==== صيغ ثلاثة أضعاف زاوية ====
: <math>\sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin(\frac{\pi}{3} -\theta)\sin(\frac{\pi}{3} + \theta)</math>

: <math>\cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos(\frac{\pi}{3} -\theta)\cos(\frac{\pi}{3} + \theta)</math>

: <math>\tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan(\frac{\pi}{3} - \theta)\tan(\frac{\pi}{3} + \theta)</math>

: <math>\cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}</math>

: <math>\sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}</math>

: <math>\csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}</math>

==== صيغ نصف زاوية ====

:<math>
\begin{align}
& \sin \frac{\theta}{2} = \sgn \left(2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\
\end{align}
</math>

حيث <math>\sgn x = \pm 1 </math> و <math>\lfloor f(x) \rfloor</math> هي [[دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى|دالة الجزء الصحيح]].

: <math> \sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}</math>

: <math> \cos \frac{\theta}{2} = \sgn \left(\pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>

: <math> \cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}</math>

: <math>
\begin{align}
\tan \frac{\theta}{2} & = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\
& = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}}
\end{align}
</math>

: <math> \cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} </math>
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><ref name="mathworld_half_angle">{{ماثوورلد|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref>

أيضا: <math> \tan\frac{\eta+\theta}{2} = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} </math>

: <math> \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec\theta + \tan\theta </math>

: <math> \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} = \frac{|1 - \tan\frac{\theta}{2}|}{|1 + \tan\frac{\theta}{2}|} </math>

=== جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة ===

:<math>\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>

:<math>\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>

:<math>\tan\,(n{+}1)\theta = \frac{\tan n\theta + \tan \theta}{1 - \tan n\theta\,\tan \theta}.</math>

:<math>\cot\,(n{+}1)\theta = \frac{\cot n\theta\,\cot \theta - 1}{\cot n\theta + \cot \theta}.</math>

=== ظل المتوسط ===

:<math> \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}</math>

=== جداء Viète اللانهائي ===

: <math> \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta. </math>

حيث تشير sinc إلى [[دالة سينك|دالة الجيب الجوهري]]
وهي تكافئ
<math>\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}{x}</math>

== صيغ اختصار الأس ==

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!جيب
!جيب التمام
!أخرى
|-
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}</math>
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}</math>
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}</math>
|-
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}</math>
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}</math>
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}</math>
|-
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}</math>
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}</math>
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}</math>
|-
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}</math>
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}</math>
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}</math>
|}

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! 
!جيب التمام
!جيب
|-
! إذا كان n فردي
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}</math>
|-
!إذا كان n زوجي
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
|-
|}

== متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس ==

{|
|style="vertical-align:top"|
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!من الجداء إلى المجموع
|-
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|}
|
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!من المجموع/الفرق إلى الجداء
|-
|<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left(\frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left(\frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math>
|-
|<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left(\frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left(\frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>
|-
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)</math>
|}
|}
=== متطابقات أخرى ذات صلة ===

:إذا كانت <math>x + y + z = \pi </math> تساوي نصف دائرة، فإن:
:<math>\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z)</math>
:و <math>\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z)</math>

=== مبرهنة بطليموس ===
{{مفصلة|مبرهنة بطليموس}}

:إذا كانت <math> w + x + y + z = \pi  </math> تساوي نصف دائرة، فإن:
::<math>\begin{align} \sin(w + x)\sin(x + y)
&   = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}</math>

== مركبات خطية ==

:<math>a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,</math>

حيث:<math>
\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
& \text{if }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{if }a <0,
\end{cases}
</math>

أو:<math>\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if }a \ge 0, \\
\pi & \text{if }a <0.
\end{cases}
</math>

:<math>a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,</math>

حيث:<math>
  c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,</math>

و:<math>
  \beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{if } a + b\cos \alpha <0.
\end{cases}
</math>

== مجاميع أخرى للدوال المثلثية ==

:<math>\sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + 
\cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.</math>
:<math>\cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + 
\cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.</math>

: <math>a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;</math>

:<math>\tan(x) + \sec(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).</math>

:<math>\cot(x)\cot(y) + \cot(y)\cot(z) + \cot(z)\cot(x) = 1.\,</math>

== تحويلات كسرية خطية معينة ==

: <math> f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha}, </math>

وبالمثل: <math> g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta}, </math>

وعليه: <math> f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}. </math>

: <math> f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \, </math>

== الدوال المثلثية العكسية ==
:<math> \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;</math>

:<math> \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;</math>

:<math>\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x> 0 \\  -\pi/2, & \mbox{if }x <0 \end{matrix}\right.</math>

=== مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها ===
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
|-
|<math>\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math> 
|<math>\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|-
|<math>\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|-
|<math>\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>
|<math>\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|}

== علاقة بالأس المركب ==

:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,</math> ([[صيغة أويلر]]),

:<math>e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,</math>

:<math>e^{i\pi} = -1\,</math>

: <math>\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;</math>

: <math>\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;</math>

: <math>\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math>

حيث <math>i^2 = -1</math>.

== صيغ الجداء اللانهائي ==

{{بداية-عمو}}
{{عمو-2}}
: <math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)</math>
{{عمو-2}}
: <math>\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>

: <math>\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>
{{نهاية-عمو}}

== المتطابقات الخالية من المتغيرات ==

:<math>\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}</math>

:<math>\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.</math>

:<math> \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}, </math>

:<math>\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.</math>

:<math>\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.</math>

:<math> \cos\left(   \frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  \,+\, \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right)</math>
::<math> 
  \,+\, \cos\left(5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.</math>

=== حساب π ===

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math>

:<math>\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.</math>

=== بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة ===

:<math>
\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ &  =  & \cos \left(\frac {\pi} {2} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {3} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {4} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {6} \right)\\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 
\end{matrix}
</math>

=== قيم أخرى شيقة ===

:<math>\sin{\frac{\pi}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{6}-
\frac{\sqrt{7}}{189} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j+1)!}{189^j j!\,(2j+2)!}
\!</math>

:<math>\sin{\frac{\pi}{18}}=
\frac{1}{6} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j)!}{27^j j!\,(2j+1)!}
\!</math>

بـ[[نسبة ذهبية|النسبة الذهبية]] φ:

:<math>\cos \left(\frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \varphi /2
</math>

:<math>\sin \left(\frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4}  = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}</math>

== التفاضل والتكامل ==
في [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا
بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات [[طول قوس|طول القوس]] والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من [[نهاية دالة|نهايتين]]. الأولى هي:

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,</math>

محققة باستخدام [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] و[[مبرهنة الساندويتش]]. النهاية الثانية هي:

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0</math>

محققة باستخدام هذه المتطابقة {{تعبير رياضي|tan {{كسر|''x''|2}} {{=}} {{كسر|1 − cos ''x''|sin ''x''}}}}. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن {{تعبير رياضي|(sin ''x'')′ {{=}} cos ''x''}} و {{تعبير رياضي|(cos ''x'')′ {{=}} −sin ''x''}}. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة ب[[متسلسلة تايلور]] الخاصة بهم، فيمكن إيجاد [[مشتق (رياضيات)|المشتقات]] عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى [[حد (رياضيات)|حدًا]] بحد.

:<math>\frac{d}{dx}\sin x = \cos x</math>

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

:<math>
\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x          ,& {d \over dx} \arcsin x & =  {1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x         ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \tan x & = \sec^2 x        ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x       ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x   ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}   \\  \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x  ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}\ 
</math>

يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في [[قائمة تكاملات الدوال المثلثية]]. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C</math>

== تعاريف أسية ==
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
!الدالة
!الدالة المعكوسة
|-
|<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,</math>
|<math>\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,</math>
|-
|<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,</math>
|<math>\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,</math>
|-
|<math>\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,</math>
|<math>\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,</math>
|-
|<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,</math>
|-
|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,</math>
|-
|<math>\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,</math>
|-
!
!
|-
|<math>\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,</math>
|<math>\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,</math>
|}

== متفرقات ==
=== نواة ديراك ===

:<math>1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx) = \frac{ \sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\rbrack }{ \sin\left(\frac{x}{2}\right) }. </math>

=== تعويض ظل نصف الزاوية ===

إذا وضعنا <math>t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> :

: <math>\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}</math> و <math>\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}</math> و <math>e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math> .

== انظر أيضًا ==
{{روابط شقيقة}}
* [[إثبات المتطابقات المثلثية]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{شريط سفلي حساب المثلثات}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:تحليل حقيقي]]
[[تصنيف:دوال مثلثية]]
[[تصنيف:حساب المثلثات]]
[[تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات]]
[[تصنيف:مطابقات رياضية]]