عرض مصدر فيزياء الكرة النطاطة

[[ملف:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg|تصغير|250px|يظهر في الصورة حركة [[كرة نطاطة|الكرة النطاطة]] على شكل [[قطع مكافئ]] نتيجة [[مقاومة مائع|مقاومة الهواء]].]]

تتعلق '''فيزياء الكرة النطاطة''' بالسلوك الجسدي [[كرة نطاطة|للكرات النطاطة]] بشكل عام حيث تهتم بدراسة [[حركة (توضيح)|حركة]] [[جسم مادي|الجسم]] قبل [[سقوط|السقوط]] وأثناءه وبعد [[صدم (خواص المواد)|اصطدامه]] بالأرض لذلك فهي تعتبر مادة دراسية جيدة لشرح مقدمة عن علم [[ميكانيكا|الميكانيكا]] في [[مدرسة ثانوية|المرحلتي الثانوية]] و[[مرحلة جامعية|الجامعية]] لكن يحتاج من يتعمق فيها تطبيق مبادئ الهندسة والميكانيكا على الألعاب الرياضية.

توصف حركة الكرة بشكل كبير [[حركة مقذوف|حركة القذيفة]] حيث بتأثر كلاهما بكل من [[جاذبية (توضيح)|الجاذبية]]، [[مقاومة مائع|مقاومة الموائع]]، [[تأثير ماغنوس]] وقانون [[طفو|الطفو]] لكنها تتميز بتأثرها بمعامل الاستعادة (الذي يمكن أن يتأثر بطبيعة الكرة، طبيعة السطح المؤثر، [[سرعة]] التصادم، [[دوران|الدوران]]، والظروف المحلية مثل [[درجة حرارة|درجة الحرارة]] و[[ضغط|الضغط]]). لذلك تضع [[هيئة إدارة الرياضة]] الكرة النطاطة (الصورة المحدثة [[أولاماليزتلي|للعبة كرة أمريكا الوسطى]]) العديد من القيود على تلك المؤثرات لمنع العبث بخصائص الكرات لضمان [[روح رياضية|اللعب النظيف]].<ref name=Whittington2001/>
== القوة المؤثرة أثناء الرحلة وتأثيرها على الحركة ==
[[ملف:Ball forces during flight.svg|تصغير|250px|القوى المؤثرة على الكرة الدوارة خلال رحلتها: [[جاذبية|قوى الجاذبية]] ('''F'''<sub>G</sub>)، [[مقاومة مائع|مقاومة المائع]] ('''F'''<sub>D</sub>)، [[تأثير ماغنوس]] ('''F'''<sub>M</sub>)، [[طفو|الطفو]] ('''F'''<sub>B</sub>).]]
تتشابه حركة الكرة المرتدة مع [[حركة مقذوف|حركة القذيفة]] فهي تتعرض للعديد من القوى مثل:<ref name=Brancazio1985/><ref name=Walker2014/>
* [[جاذبية|قوى الجاذبية]] (''FG'') تؤثر من مركز الجسم إلى أسفل.
* [[مقاومة مائع|مقاومة المائع]] (''FD'') الناتجة من مقاومة الهواء.
* [[تأثير ماغنوس|قوة ماغنوس]] (''FM'') الناتجة عن دوران الكرة،
* قوة [[طفو|الطفو]] (''FB'')
لتحليل حركة الكرة يتم استخدام [[قوانين نيوتن للحركة#قانون نيوتن الثاني|قانون نيوتن الثاني]]:
:<math>\begin{align}
\sum \mathbf{F} & = m\mathbf{a}, \\
\mathbf{F}_\text{G} + \mathbf{F}_\text{D} + \mathbf{F}_\text{M} + \mathbf{F}_\text{B} & = m \mathbf{a} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2},
\end{align}</math>
حيث:
* ''m'': [[كتلة]] الكرة.
* ''a'': [[تسارع|التسارع]]
* ''v'': [[سرعة]] الكرة
* ''t'': [[زمن|الزمن]]
=== الجاذبية ===
[[ملف:Inclinedthrow.gif|تصغير|250px|مسار كرة نطاطة على زاوية 70° بدون تطبيق [[مقاومة مائع|مقاومة المائع]] {{صندوق لون|black}}، مع تطبيق {{بدون لف|[[قانون ستوكس]] {{صندوق لون|blue}}}} ومع {{بدون لف|[[مائع نيوتني|مائع نيوتوني]] {{صندوق لون|green}}}}.]]

تؤثر قوة [[جاذبية (توضيح)|الجاذبية]] على مركز الكرة إلى أسفل طبقا للمعادلة التالية:<ref name=Bush2013/>
:<math>F_\text{G} = mg,</math>
حيث
* ''m'': [[كتلة]] الكرة
* ''g'': [[تسارع الجاذبية|عجلة الجاذبية]] والتي تتراوح ما بين 9.764 [[متر في الثانية|متر/ ثانية تربيع]] و 9.834 متر/ ثانية تربيع.<ref name=Hirt2013/>
يتم اهمال باقي تأثيرات القوى كالسحب وقوى ماغنوس لصغر قيمتهم وبذلك تصبح الكرة معرضه لقوى الجاذبية فقط وهي ما تعرف ب[[إضفاء المثالية وإنقاص القيمة|الحالة المثالية]] وتكون معادلة الحركة بالشكل التالي:
:<math>\begin{align}
\mathbf{a} & = -g \mathbf{\hat{j}}, \\
\mathbf{v} & = \mathbf{v}_\text{0} + \mathbf{a}t, \\
\mathbf{r} & = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2}\mathbf{a}t^2,
\end{align}</math>
حيث
* ''a'': [[تسارع]] الكرة
* ''v'': [[سرعة]] الكرة
* ''r'': موقع الكرة
* ''V0'': السرعة الابتدائية
* ''r0'': الموقع الابتدائي
وبشكل أكثر تحديدا، إذا ارتدت الكرة بزاوية ''θ'' مع [[الأرض]]، فإن الحركة في المحورين ''x'' و ''y'' والتي تمثل الحركة الأفقية والعمودية على التوالي توصف بالمعادلة التالية:<ref name=HyperPhysicsTrajectories/>
{{columns|
|col1=
;''x''-axis
:<math>\begin{align}
a_\text{x} & = 0, \\
v_\text{x} & = v_0 \cos \left(\theta \right), \\
x & = x_0 + v_0 \cos \left( \theta \right) t,
\end{align}</math>
|col2=
;''y''-axis
:<math>\begin{align}
a_\text{y} & = -g, \\
v_\text{y} & = v_0 \sin \left(\theta \right) -gt, \\
y & = y_0 + v_0 \sin \left( \theta \right) t -\frac{1}{2}gt^2.
\end{align}</math>
}}

عند الأخذ في الاعتبار، كلا من:
* ''H'': أقصى ارتفاع
* ''R'': المدى
* ''T'': زمن الرحلة
تكون المعادلة بالشكل التالي:<ref name=Brancazio1985/><ref name=HyperPhysicsTrajectories/>
:<math>\begin{align}
H & = \frac{v_0^2}{2g}\sin^2\left(\theta\right), \\
R &= \frac{v_0^2}{g}\sin\left(2\theta\right),~\text{and} \\
T &= \frac{2v_0}{g} \sin \left(\theta \right).
\end{align}</math>

عند التعمق في حركة الكرة يتم الأخذ في الاعتبار قيمة [[مقاومة مائع|مقاومة الهواء]] (والتأثيرات ذات الصلة مثل قوى [[مقاومة مائع|مقاومة الموائع]] وقوى [[ريح|الرياح]]) و[[تأثير ماغنوس]] وقوى [[طفو|الطفو]].
=== مقاومة الموائع ===
يمكن أن يكون تدفق الهواء حول الكرة إما [[جريان صفيحي|صفائحيًا]] أو [[جريان مضطرب|مضطربًا]] استنادًا على [[عدد رينولدز]] (''Re'')، المعرّف على النحو التالي:
:<math>\text{Re} = \frac{\rho D v}{\mu},</math>
حيث:
* ''ρ'': [[كثافة الهواء]]
* ''μ'': [[لزوجة|اللزوجة]] الديناميكية للهواء
* ''D'': قطر الكرة
* ''v'': [[سرعة]] الكرة
كل هذه القيم عند 20 درجة مئوية، ''ρ = 1.2 kg/m3''، و[[لزوجة]] 1.8×10−5 باسكال ثانية.<ref name=EngineeringToolbox/>

إذا كان رقم رينولدز منخفضًا جدًا أقل من 1، يتم وصف قوى السحب المؤثرة على الكرة من [[قانون ستوكس]]:<ref name=Southard2006/>
:<math>F_\text{D} = 6 \pi \mu r v,</math>
حيث:
* ''r'': نصف قطر الكرة
* اتجاه الكرة هي اتجاه القوى،
تتراوح قيمه عدد رينولدز لمعظم الكرات الرياضية ما بين 10<sup>4</sup> و 10<sup>5</sup> وبذلك لا يتم تطبيق [[قانون ستوكس]] وإنما يتم تطبيق المعادلة التالية:<ref name=NASADragSphere/><ref name=Metha2008/>
:<math>F_\text{D} = \frac{1}{2} \rho C_\text{d} A v^2,</math>
حيث:
* ''Cd'': [[معامل السحب]]
* ''A'': مساحة [[مقطع عرضي|المقطع العرضي]] للكرة
تتسبب قوى السحب في فقدان الكرة للطاقة الميكانيكية أثناء رحلتها والتي تؤدي إلى تقليل نطاق وارتفاع الكرة، في حين تعمل [[رياح متعامدة|الرياح المتعامدة]] عن تحولها من مسارها الأصلي. يأخذ لاعبي الألعاب الرياضية مثل [[غولف|الجولف]] تأثير كلا القوتين.
=== تأثير ماغنوس ===
[[ملف:Sketch of Magnus effect with streamlines and turbulent wake.svg|تصغير|250px|تأثير [[تأثير ماغنوس|قوى ماغنوس]] على [[دوران]] الكرة، تظهر [[جريان مضطرب|خطوط التدفق مضطربة]]. ينحرف تدفق الهواء في اتجاه الدوران.]]
{{عدة صور
 | width = 250
 | direction = vertical
 | image1 = Wikipedia-TableTennis-TopspinCurve-4Phases.PNG
 | alt1 = Table tennis topspin
 | image2 = Wikipedia-TableTennis-BackspinCurve-4Phases.PNG
 | alt2 = Table tennis backspin
 | footer = في [[كرة الطاولة|تنس الطاولة]]، يستطيع اللاعب الماهر استغلال دوران الكرة للتأثير على مسار الكرة أثناء رحلتها ورد فعلها عند التأثير على السطح. مع دوران الجزء العلوي للكورة، تضل الكرة إلى أقصى ارتفاع في رحلتها قبل أن تنحني بشكل مفاجئ نحو الأسفل. يدفع التأثير الكرة للأمام ويميل إلى الارتداد صعودا عند التأثير على اللاعب المنافس. العكس تماما في حالة التأثير السفلي.}}

يؤثر [[دوران]] الكرة على مسارها من خلال [[تأثير ماغنوس]]، وفقا لنظرية كوتا - جوكويسكي التي تصف مجال الغزل مع تدفق الهواء غير المرئي فإن قوة ماغنوس تساوي:<ref name=NASAIdealLift/>
:<math>F_\text{M} = \frac{8}{3} \pi r^3 \rho \omega v,</math>
حيث:
* r: [[نصف القطر|نصف قطر]] الكرة.
* ω: [[سرعة زاوية|السرعة الزاوية]] (معدل [[دوران]] الكرة).
* ρ: [[كثافة الهواء]].
* v: سرعة الكرة بالنسبة إلى الهواء.

يتم توجيه هذه القوة بشكل عمودي على الحركة وعمودي على محور الدوران. يتم توجيه القوة لأعلى أو لأسفل عن طريق تحديد مركز الدوران. في الواقع لا يتم إهمال قيمة التدفق لتكون المعادلة بالشكل التالي:
:<math>F_\text{M}=\frac{1}{2}\rho C_\text{L} A v^2,</math>
حيث:
* ρ: [[كثافة الهواء]].
* CL: معامل الرفع.
* A: [[مساحة]] المقطع العرضي للكرة.
* v: سرعة الكرة بالنسبة للهواء.
يعتبر معامل الرفع عامل معقدا يعتمد على العديد من البيانات مثل نسبه rω/v، و[[عدد رينولدز]]، وخشونة السطح.<ref name=Nathan2008/> في بعض الحالات، يمكن أن يكون معامل الرفع سالبا مما يعني تغير اتجاه قوة ماغنوس أي أن التأثير في الاتجاه المعاكس لما تم افتراضه قبل إجراء الحسابات.<ref name=Bush2013/><ref name=Kim2011/>

في الألعاب الرياضية مثل [[كرة المضرب|التنس]] أو [[الكرة الطائرة]]، يمكن للاعب استخدام تأثير ماغنوس للتحكم في مسار الكرة أثناء الرحلة. في لعبة [[غولف|الجولف]] أيضا، يمكن أن يكون التأثير مسؤولاً عن التقطيع والتركيب التي عادة ما تكون ضارة ب[[غولف|الجولف]]، ولكنها تساعد أيضًا في زيادة مدى القيادة.<ref name=HumanKinetics/><ref name=DeForest1997/> أما في لعبة [[كرة القاعدة|البيسبول]]، يستخدم الرماة التأثير لرمي كرات منحنية.<ref name=Clanet2015/>

غالبًا ما يكون التلاعب بالكرة غير قانوني، وغالبًا ما يتسبب في حدوث خلافات خصوصا في لعبة [[كريكت|الكريكيت]] مثل الخلاف بين [[إنجلترا]] و[[باكستان]] في أغسطس 2006.<ref name=GuardianInzamam/> في لعبة [[كرة القاعدة|البيسبول]]، يشير المصطلح «تفل الكرة» إلى [[طلاء|الطلاء]] غير القانوني للكرة باستخدام البصق أو مواد أخرى لتغيير [[علم الحركة (توضيح)|الديناميكا]] الهوائية للكرة.<ref name=Okrent1989/>
=== قوى الطفو ===
أي جسم مغمور في [[مائع]] سواء كان هذا المائع [[سائل]] أو [[غاز]] يتعرض ل[[طفو|قوى الطفو]]،<ref name=Post2010/> وفقا ل[[مبدأ أرخميدس]]، فإن هذه [[قوة|القوة]] تساوي [[وزن]] السائل النازح بواسطة الجسم. في حالة الكرة، تكون قوة الطفو تساوي:
:<math>F_\text{B} = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g.</math>

عادة ما تكون قوة الطفو صغيرة مقارنة بقوتي السحب و[[تأثير ماغنوس]]، لذلك يتم إهمال قيمتها في أغلب الأحيان. لكن في حالة [[كرة السلة]] والحالات المماثلة لها، يمكن أن تصل قوى الطفو إلى حوالي ''1.5%'' من وزن الكرة- نظرا لأنه تأثير الطفو إلى أعلى- مما يؤدي إلى زيادة مدى الكرة وارتفاعها.<ref name=Post2010/>
== الإصطدام ==
[[ملف:Bouncing ball compression and decompression.svg|تصغير|250px|مسار الكرة أثناء السقوط (A→B) ومسارها بعد [[صدم (خواص المواد)|الإصطدام]] (B→C) بسطح ما. غالبا ما يكون الإصطدام عموديا على السطح ويتم تمثيله وفقا ل[[قانون هوك]].<ref name=Cross1999/><ref name=Georgallas2016/>]]
{{ملف خارجي
| float = right
| width = 250px
| video1 = {{استشهاد بويب
 |مؤلف=فلوريان كورن (2013)
 |سنة=2013
 |ناشر=[[يوتيوب]]
 |عنوان=حركة الكرة النطاطة بالتصوير البطيء: كرة مطاطة
 |تاريخ أرشيف=1 أكتوبر 2023
 |مسار=https://www.youtube.com/watch?v=sVTJNv3-mWk
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20231001020700/https://www.youtube.com/watch?v=sVTJNv3-mWk
}}
| مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20181229101812/https://www.youtube.com/watch?v=sVTJNv3-mWk | تاريخ الأرشيف = 29 ديسمبر 2018 }}
عند [[صدم (خواص المواد)|اصطدام]] الكرة بسطح ما يتكون [[حرارة]] و[[صوت]]، الناتجة من فقدان الكرة جزءا من [[طاقة حركية|طاقتها الحركية]] كما تتحول جزءا من تلك الطاقة إلى [[طاقة حركة دورانية]]. أما الجزء المفقود من تلك الطاقة فتعتمد على قيمة الرد ويتم التعبير عنه وفقا للمعادلة التالية:<ref name=RacquetResearch/><ref name="v-sign" group="note">Here, ''v'' and ''u'' are not just the [[مقدار (رياضيات)|مقدار]] of velocities, but include also their direction ([[إشارة (رياضيات)|sign]]).</ref>
:<math>e = -\frac{v_\text{f} - u_\text{f}}{v_\text{i} - u_\text{i}},</math>
حيث:
* ''v''<sub>f</sub>: السرعة النهائية للكرة
* ''v''<sub>i</sub>: السرعة الابتدائية للكرة
* ''u''<sub>f</sub>: السرعة النهائية المؤثرة على السطح
* ''u''<sub>i</sub>: السرعة الابتدائية المؤثرة على السطح
إذا وقعت كرة على سطح متحرك، يتم تعريف معامل الرد وفقا للمعادلة التالية:<ref name=Cross2006/>
:<math>e = -\frac{v_\text{f}}{v_\text{i}}.</math>
:<math>e_\text{y} = -\frac{v_\text{yf} - u_\text{yf}}{v_\text{yi} - u_\text{yi}},</math>
:<math>e_\text{x} = -\frac{(v_\text{xf}-r\omega_\text{f})-(u_\text{xf}-R\Omega_\text{f})}{(v_\text{xi}-r\omega_\text{i})-(u_\text{xi}-R\Omega_\text{i})},</math>
حيث:
* ''r'': نصف القطر
* ''ω'': السرعة الزاوية
* ''R'': نصف قطر الجسم المؤثر (مثل مضرب البيسبول)
* ''Ω'': السرعة الزاوية للجسم المؤثر
* ''rω'': السرعة العرضية لسطح الكرة
* ''RΩ'': السرعة العرضية للسطح المؤثر

تكون تلك المعادلات ذات أهمية عندما تؤثر الكرة على السطح بزاوية مائلة أو عندما يتعلق الأمر ب[[دوران|الدوران]].

أما في حالة السقوط المستقيم على الأرض بدون دوران، مع تأثير قوة الجاذبية فقط على الكرة، تكون المعادلة بالشكل التالي:<ref name=Georgallas2016/><ref name=Haron2012/>
:<math>e = \left|\frac{v_\text{f}}{v_\text{i}}\right| = \sqrt{\frac{K_\text{f}}{K_\text{i}}} = \sqrt{\frac{U_\text{f}}{U_\text{i}}} = \sqrt{\frac{H_\text{f}}{H_\text{i}}} = \frac{T_\text{f}}{T_\text{i}} =\sqrt{\frac{gT^2_\text{f}}{8H_\text{i}}}.</math>
حيث:
* ''K'': [[طاقة حركية|الطاقة الحركية]]
* ''U'': [[طاقة وضع|طاقة الوضع]]
* ''H'': أقصى ارتفاع للكرة
* ''T'': زمن رحلة الكرة
يشير الحرفان '''i''' و '''f''' إلى الحالة الأولية (قبل [[صدم (خواص المواد)|التصادم]]) والنهائي (بعد الإرتطام) للكرة. وبالمثل، يمكن ربط فقدان الطاقة بالمعامل الرد بواسطة المعادلة التالية:
:<math>\text{Energy Loss} = \frac{{K_\text{i}}-{K_\text{f}}}{K_\text{i}} \times 100\% = \left( 1 - e^2 \right) \times 100\%.</math>

يمكن أن يتأثر معامل الرد الخاص بالكرة بعدة أشياء، حيث يتأثر بشكل أساسي:
* طبيعة السطح المؤثر (مثل [[عشب|العشب]] و[[خرسانة|الخرسانة]] والشبكات السلكية).<ref name=Haron2012/><ref name=Cross2000/>
* [[مادة]] الكرة (مثل [[جلد|الجلود]] و[[مطاط|المطاط]] و[[لدائن|البلاستيك]]).<ref name=Georgallas2016/>
* الضغط داخل الكرة (إذا جوفاء).<ref name=Georgallas2016/>
* مقدار [[دوران|الدوران]] الناجم عن الكرة عند الاصطدام.<ref name=Cross2002/>
* سرعة التأثير.<ref name=Cross1999/><ref name=Georgallas2016/><ref name=Cross2000/><ref name=Zhang2002/>

يمكن للظروف الخارجية مثل [[درجة حرارة|درجة الحرارة]] تغيير خصائص السطح المؤثر أو الكرة، مما يجعلها إما أكثر [[مرونة (توضيح)|مرونة]] أو أكثر [[صلابة (توضيح)|صلابة]]. وهذا بدوره سيؤثر على معامل الرد.<ref name=Georgallas2016/> بشكل عام، سوف تتشوه الكرة بشكل أكبر عند السرعات العالية التأثير وبالتالي ستفقد المزيد من طاقتها مما يقلل من معامل الرد.<ref name=Georgallas2016/><ref name=Zhang2002/>

=== الدوران وزاوية التأثير ===
[[ملف:Impact with spin.svg|تصغير|250px|القوى المؤثرة على كرة [[دوران|الدوران]] أثناء الاصطدام هي القوة [[جاذبية (توضيح)|الجاذبية]]، [[قوة عمودية|القوة العمودية]]، قوة [[احتكاك|الاحتكاك]] (والتي تشمل الاحتكاك المتعدي والدوراني). إذا كان السطح مائل بزاوية فإن قوة الجاذبية ستكون بزاوية من السطح، في حين أن باقي القوى الأخرى ستبقى متعامدة أو موازية للسطح.]]
عند [[صدم (خواص المواد)|اصطدام]] جسم الكرة ب[[الأرض]]، يتحول جزء من [[طاقة حركية|الطاقة الحركية]] للجسم إلى [[طاقة حركة دورانية]] تحدد قيمتها واتجاه دورانها وفقا لزاوية سقوط الكرة و[[سرعة زاوية|سرعتها الزاوية]]. في حالة تحرك الكرة أفقيا عند الإصطدام، فسوف تتعرض لقوى احتكاك تؤثر في الاتجاه المعاكس لحركة الكرة. في الشكل المقابل، تتحرك الكرة في اتجاه اليمين وبالتالي يكون اتجاه تأثير قوى الاحتكاك في اليسار. أما في حالة [[دوران]] الكرة عند الاصطدام، فسيكون للاحتكاك رد فعل دوراني في الاتجاه المعاكس لدوران الكرة. يظهر في الشكل المقابل، دوران الكرة في اتجاه عقارب الساعة وتتحرك النقطة التي اصطدمت بالأرض نحو اليسار بينما تؤثى القوى الدورانية المعاكسة في اتجاه اليمين. على عكس القوة العمودية وقوة الجاذبية، تؤثر القوى الاحتكاكية على عزم دوران على الكرة وتغيير سرعتها الزاوية (''ω'').<ref name="Hesser-Knoll2014"/><ref name=Lindsey2004/><ref name=Allen2010/><ref name=Cross2005/>
عند سقوط الكرة يمكن أن تنشأ ثلاث حالات وهم:<ref name=Cross2005/><ref name=Allen2012/><ref name=Jaffri2004/>
# إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران سفلي، فإن الاحتكاك السطحي والدوراني يعمل في نفس الاتجاهات. تقل السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام وكذلك سرعتها الأفقية ويتم دفع الكرة لأعلى وربما تتجاوز ارتفاعها الأصلي بل من الممكن أيضا أن تبدأ الكرة في الدوران في الاتجاه المعاكس أو ترتد حتى إلى الخلف.
# إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران علوي، فإن كلا من قوى الاحتكاك السطحي وقوى الدوران سيعملان في اتجاهين متعاكسين. يعتمد ما سيحدث على أين من القوتين ستهيمن.
## إذا كانت الكرة تدور بسرعة أكبر بكثير مما كانت تتحرك، فإن قوى الدوران ستهيمن. تهبط قيمة السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام، لكن تزداد قيمة السرعة الأفقية. سيتم دفع الكرة للأمام ولكنها لن تتجاوز ارتفاعها الأصلي، وستظل تدور في نفس الاتجاه.
## إذا كانت الكرة تتحرك بسرعة أكبر بكثير مما كانت تدور به، فإن قوى الاحتكاك ستهيمن. يتم زيادة السرعة الزاوية للكرة بعد التصادم، لكن تنخفض سرعتها الأفقية. لن تتجاوز الكرة ارتفاعها الأصلي وستظل تدور في نفس الاتجاه.<ref name=Cross2005/>
إذا كان السطح يميل بمقدار معين θ، فسيتم تدوير المخطط بأكمله بقيمة ''θ''، لكن مع بقاء تأثير قوة الجاذبية إلى أسفل (تشكل زاوية ''θ'' مع السطح). عندها يكون للجاذبية عنصر موازٍ للسطح، مما يساهم في الاحتكاك، وبالتالي يساهم في الدوران.
في رياضات المضرب مثل [[كرة الطاولة|تنس الطاولة]] أو [[كرة المضرب]]، يستخدم اللاعبون الماهرون الدوران (بما في ذلك الدوران الجانبي) في تغيير اتجاه الكرة فجأة عند اصطدامها بسطح ما سواء كان ذلك السطح أرض أو [[مضرب]] الخصم.
=== كرات غير كروية ===
[[ملف:Football FBD.svg|تصغير|250px|القوى المؤثرة على [[كرة القدم الأمريكية]] أو [[رغبي (رياضة)|كرة الرجبي]] هي [[جاذبية|قوة الجاذبية]] و[[قوة عمودية|القوة العمودية]] و[[احتكاك|قوة الاحتكاك]]. عادة ما يكون للاحتكاك عنصر «طولاني» بسبب سرعة الكرة ودورانها والقوى الجانبية بسبب الدوران «المحوري» للكرة الناجم عن الرمية.]]
لا يمكن أن يتم التنبؤ بارتداد الكرة ذات الشكل البيضاوي (مثل تلك المستخدمة في [[كرة القدم الأمريكية]] أو [[رغبي (رياضة)|كرة الرجبي]]) بنفس القابلية التي يمكن أن نتنبأ بها من ارتداد الكرة الكروية. اعتمادا على محاذاة الكرة عند الاصطدام، يمكن للقوة العمودية أن تتحرك للأمام أو خلف [[مركز الكتلة|مركز كتلة]] الكرة، بينما تعتمد قوى الاحتكاك على محاذاة الكرة وكذلك دورانها وسرعة الاصطدام.<ref name=Cross2011/>
=== كرات مكدسة متعددة ===
{{ملف خارجي
| float = left
| width = 250px
| video1 = {{استشهاد بويب
 |مؤلف=فتاة الفيزياء
 |سنة=2015
 |ناشر=[[يوتيوب]]
 |عنوان=اسقاط كرات متعددة
 |تاريخ أرشيف=1 أكتوبر 2023
 |مسار=https://www.youtube.com/watch?v=2UHS883_P60
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20231001020843/https://www.youtube.com/watch?v=2UHS883_P60
}}
| video2= {{استشهاد بويب
 |مؤلف=striperfly2002
 |سنة=2012
 |ناشر=[[يوتيوب]]
 |عنوان=تصوير بطئ الحركة لسقوط كرتي
 |تاريخ أرشيف=1 أكتوبر 2023
 |مسار=https://www.youtube.com/watch?v=Y5jR1E2DPTI
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20231001021009/https://www.youtube.com/watch?v=Y5jR1E2DPTI
}}| مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20190713210944/https://www.youtube.com/watch?v=2UHS883_P60 | تاريخ الأرشيف = 13 يوليو 2019 }}
توجد بعض النظريات الشعبية التي تذكر الكرات متعددة التكديس. على سبيل المثال، إذا تم وضع كرة تنس أعلى [[كرة السلة|كرة سلة]] وتم اسقاطهم في نفس الوقت، فإن كرة [[كرة المضرب|التنس]] سترتد أعلى بكثير إذا كانت وقعت بمفردها.<ref name=Huebner1992/><ref name=Cross2007/> كانت النتيجة مفاجئة للبعض لرؤيتهم أنها تخترق [[حفظ الطاقة (فيزياء)|قانون حفظ الطاقة]].<ref name=Hartner1971/> لكن بعد الفحص الدقيق نرى أن كرة السلة لا ترتد عالية بنفس الارتفاع عند وضع كرة التنس فوقها وبذلك نرى أن بعض من طاقتها قد انتقلت إلى كرة التنس.<ref name=Huebner1992/>

يتضمن التفسير المعتاد دراسة تأثيرين منفصلين: كرة السلة عند اصطدامها بالأرض ثم كرة السلة واصطدامها مع كرة التنس.<ref name=Huebner1992/><ref name=Cross2007/> عند افتراض حدوث [[تصادم مرن]] تماما، فإن كرة السلة التي تصطدم بالأرض بسرعة 1 م/ ثانية سترتد بسرعة 1 [[متر في الثانية|م/ ثانية]]. بينما تصطدم كرة التنس بسرعة 1 [[متر في الثانية|م/ ثانية]] وترتد بسرعة 2 [[متر في الثانية|م/ ثانية]] بالنسبة لكرة السلة أو 3 [[متر في الثانية|م/ ثانية]] بالنسبة للأرض. هذا يعني أن الكرة سترتد تقريبا إلى 9 أضعاف ارتفاعها الأصلي.<ref group=note>Since conservation of mechanical energy implies <math>\textstyle \frac{1}{2}mv_\text{f}^2 = mgH_\text{f}</math>, then <math>\textstyle H_\text{f} \propto v^2_\text{f}</math>.</ref> في الحياة الواقعية، في التصادمات غير المرنة، ستزيد كرة التنس من سرعتها وتردد بمعامل ارتداد أصغر لكنها ترتد بشكل اسرع وأعلى مما كانت عليه بمفردها.<ref name=Cross2007/>

في حين أن افتراضات التأثيرات المنفصلة غير صالحة في الواقع (تظل الكرات على اتصال وثيق مع بعضها البعض خلال معظم التأثير) إلا أنه غالبا ما يستخدم لفهم الظواهر الأكثر تعقيدًا مثل [[مستعر أعظم من النوع II|الانهيار الجوهري]] [[مستعر أعظم|للنجوم الفائقة]]،<ref name=Cross2007/> أو مناورات [[مساعدة الجاذبية|مقلاع الجاذبية]].<ref name=Huebner1992/><ref name=HyperphysicsDoubleBallDrop/>
== اللوائح الرياضية ==
تنظم العديد من [[هيئة إدارة الرياضة|هيئات إدارة الألعاب الرياضية]] قواعد استخدام فيزياء الكرة النطاطة بطرق مختلفة، بعضها مباشر وبعضها غير مباشر. من بين تلك الهيئات:<ref name=BaseballDigest1963/><ref name=Sowell2011/>
* [[دوري كرة القدم الأسترالية]]: والتي تنص على [[قياس الضغط|ضغط]] [[كرة القدم]] يجب أن يتراوح ما بين 62 [[باسكال (وحدة)|كيلو باسكال]] و 76 [[باسكال (وحدة)|كيلو باسكال]].<ref name=AFL/>
* [[الاتحاد الدولي لكرة السلة]]: والتي تنص على أن يكون [[قياس الضغط|الضغط]] كافي لأن ترتد [[كرة السلة]] مسافة ما بين 1200 و 1400 مم (من قمة الكرة) إذا سقطت من مسافة 1800 مم (من قاع الكرة). وبذلك تتراوح قيمة الضغط ما بين 0.727 إلى 0.806.<ref name="calc" group="note">Calculated using <math>\textstyle e = \sqrt{\frac{H_\text{f}}{H_\text{i}}}</math> and (if applicable) the diameter of the ball. The calculation assumes air resistance is negligible.</ref><ref name=FIBA/>
* [[الاتحاد الدولي لكرة القدم]]: والتي تنص على أن تتراوح قيمة [[قياس الضغط|الضغط]] ما بين 0.6 إلى 1.1 [[جو (وحدة)|درجة غلاف جوي]] على [[مستوى سطح البحر]] (أي ما بين 61- 111 [[باسكال (وحدة)|كيلو باسكال]]).<ref name=FIFA/>
* [[الاتحاد الدولي للكرة الطائرة]]: والتي تنص على أن تتراوح قيمة [[قياس الضغط|ضغط]] [[الكرة الطائرة]] ما بين 0.3- 0.325 [[كيلو غرام ثقلي]]/ سم2 (29.4 إلى 31.9 [[باسكال (وحدة)|كيلو باسكال]]) للكرة الطائرة في الصالات وما بين 0.175 [[كيلو غرام ثقلي]]/ سم 2 إلى 0.225 [[كيلو غرام ثقلي]]/ سم 2 (17.2 إلى 22.1 [[باسكال (وحدة)|كيلو باسكال]]) [[كرة طائرة شاطئية|للكرة الطائرة الشاطئية]].<ref name=FIVB-Indoor/><ref name=FIVB-Beach/>
* [[الاتحاد الدولي لكرة المضرب]]: والتي تنظم ارتفاع كرة التنس عندما تسقط على مختلف أنواع الأسطح سواء كانت ناعمة مستوية أو صلبة ذات كتلة عالية. تسمح المنظمة باستخدام العديد من الكرات لمختلف الأسطح. يسمح بأنواع مختلفة من الكرة لأنواع مختلفة من الأسطح. عندما يتم الإسقاط من ارتفاع 100 [[بوصة]] (254 [[سم]])، يجب أن يكون الارتداد من 54 إلى 60 [[بوصة]] (137–152 [[سم]]) للكرات من النوع 1، من 53 إلى 58 في (135–147 [[سم]]) للكرات من النوع 2 والنوع 3، و 48–53 [[بوصة]] (122–135 [[سم]]) لكرات صاحبة الارتداد الأعلى.<ref name=ITF/> يتوافق هذا تقريبًا مع قيمة معامل الرد من 0.735-0.775 (كرة من النوع 1)، من 0.728 إلى 0.762 (من النوع 2 و 3 كرات)، ومن 0.693 إلى 0.728 (من كرات الارتفاع العالي) عندما يتم إسقاطها على سطح الاختبار.<ref name="calc" group=note/>
* [[الاتحاد الدولي لتنس الطاولة]]: تنظم سطح الطاولة بحيث ترتد الطرة حوالي 23 سم عند سقوطها من ارتفاع 30 سم.<ref name=ITTF/> وهذا يتوافق تقريبا مع قيمة معامل الرد والتي تصل إلى حوالي 0.876 ضد سطح اللعب.<ref name="calc" group=note/>
* [[إن بي أي|الرابطة الوطنية لكرة السلة]] ([[إن بي أي]]): ينظم [[قياس الضغط|ضغط]] قياس [[كرة السلة]] ليكون بين 7.5 و 8.5 [[رطل]] (51.7 إلى 58.6 [[باسكال (وحدة)|كيلو باسكال]]).<ref name=NBA/>
* [[الدوري الوطني لكرة القدم الأمريكية]]: ينظم [[قياس الضغط|قياس ضغط]] [[كرة القدم الأمريكية]] بين 12.5 و 13.5 [[رطل لكل بوصة مربعة]] (86 إلى 93 [[باسكال (وحدة)|كيلو باسكال]]).<ref name=Botelho2015/><ref name=Well2015/><ref name=NFL/>
* أر أند إيه: والذي ينص على أن لا يتجاوز ضغط كرة الغولف 0.83.<ref name="RA-USGA"/>
== انظر أيضا ==
* [[كرة نطاطة]]
* [[مدفع جاليليو]]
== ملاحظات ==
{{مراجع |group=note}}
== المصادر ==
{{مراجع|30em|refs=

<ref name=Whittington2001>
{{استشهاد بكتاب
 |محرر-الأخير=Whittington
 |محرر-الأول=E. M.
 |سنة=2001
 |عنوان=The Sport of Life and Death: The Mesoamerican Ballgame
 |ناشر=[[Thames & Hudson]]
 |isbn=0-500-05108-9
 |التسجيل=registration
 |مسار=https://archive.org/details/sportoflifedeath00emic
 | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191217021919/https://archive.org/details/sportoflifedeath00emic | تاريخ أرشيف = 17 ديسمبر 2019 }}</ref>

<ref name=Brancazio1985>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Brancazio |الأول1=P. J.
 |سنة=1985
 |عنوان=Trajectory of a fly ball
 |مسار=https://archive.org/details/sim_physics-teacher_1985-01_23_1/page/20 |صحيفة=The Physics Teacher
 |المجلد=23 |العدد=1 |صفحات=20
 |bibcode=1985PhTea..23...20B
 |doi=10.1119/1.2341702
}}</ref>

<ref name=Walker2014>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Walker |الأول=J.
 |سنة=2014
 |عنوان=Fundamentals of Physics
 |وصلة=https://archive.org/details/fundamentalsofph0000walk_n0j4 |at=Figure 4-8, p.&nbsp;70
 |إصدار=10th Extended
 |ناشر=[[وايلي (ناشر)]]
 |isbn=978-1-118-23072-5
}}</ref>

<ref name=Bush2013>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Bush |الأول=J. W. M.
 |سنة=2013
 |الفصل=The aerodynamics of the beautiful game
 |مسار الفصل=https://bloximages.newyork1.vip.townnews.com/statesville.com/content/tncms/assets/v3/editorial/7/07/7077f0fa-f415-11e4-8ffc-03cf21769235/554a4fa5e09e9.pdf.pdf
 |عنوان=Sports Physics
 |محرر-الأخير=Clanet |محرر-الأول=C.
 |صفحة=171
 |ناشر=Les Éditions de l'École Polytechnique
 |isbn=978-2-7302-1615-9
 |hdl=1721.1/87576
 |hdl-access=free
}}</ref>

<ref name=Hirt2013>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Hirt |الأول1=C.
 |الأخير2=Claessens |الأول2=S.
 |الأخير3=Fecher |الأول3=T.
 |الأخير4=Kuhn |الأول4=M.
 |الأخير5=Pail |الأول5=R.
 |الأخير6=Rexer |الأول6=M.
 |سنة=2013
 |عنوان=New ultrahigh-resolution picture of Earth's gravity field
 |صحيفة=Geophysical Research Letters
 |المجلد=40 |العدد=16 |صفحات=4279–4283
 |bibcode=2013GeoRL..40.4279H
 |doi=10.1002/grl.50838
 |doi-access=free
}}</ref>

<ref name=HyperPhysicsTrajectories>
{{استشهاد بويب
 |الأخير=Nave |الأول=R.
 |عنوان=Trajectories
 |مسار=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/traj.html
 |موقع=HyperPhysics
 |تاريخ الوصول=2017-01-27
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190718084619/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/traj.html | تاريخ أرشيف = 18 يوليو 2019 }}</ref>

<ref name=Southard2006>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Southard |الأول=J.
 |تاريخ=Fall 2006
 |الفصل=Chapter 3: Flow past a sphere II: Stoke's law, the Bernoulli equation, turbulence, boundary layers, flow separation
 |مسار الفصل=https://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-090-special-topics-an-introduction-to-fluid-motions-sediment-transport-and-current-generated-sedimentary-structures-fall-2006/lecture-notes/ch3.pdf
 |عنوان=Special Topics: An Introduction to Fluid Motions, Sediment Transport, and Current-generated Sedimentary Structures
 |صفحات=35–82
 |ناشر=[[معهد ماساتشوستس للتقانة|معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا]]
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170205013425/https://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-090-special-topics-an-introduction-to-fluid-motions-sediment-transport-and-current-generated-sedimentary-structures-fall-2006/lecture-notes/ch3.pdf
 |تاريخ أرشيف=2017-02-05
 |url-status=dead}}</ref>

<ref name=Metha2008>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Metha |الأول=R. D.
 |سنة=2008
 |الفصل=Sports ball aerodynamics
 |محرر-الأخير=Nørstrud |محرر-الأول=H.
 |عنوان=Sport Aerodynamics
 |وصلة=https://archive.org/details/sportaerodynamic0000unse |ناشر=Springer (publisher)|Springer
 |doi=10.1007/978-3-211-89297-8_12
 |isbn=978-3-211-89296-1
}}</ref>

<ref name=Nathan2008>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير=Nathan |الأول=A. M.
 |سنة=2008
 |عنوان=The effect of spin on the flight of a baseball
 |مسار=http://baseball.physics.illinois.edu/AJPFeb08.pdf
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=76 |العدد=2 |صفحات=119
 |bibcode=2008AmJPh..76..119N
 |doi=10.1119/1.2805242
|arxiv=physics/0605041| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190526232735/http://baseball.physics.illinois.edu/AJPFeb08.pdf | تاريخ أرشيف = 26 مايو 2019 }}</ref>

<ref name=Kim2011>
{{استشهاد بمنشورات مؤتمر
 |الأخير1=Kim |الأول1=J.
 |الأخير2=Park |الأول2=H.
 |الأخير3=Choi |الأول3=H.
 |الأخير4=Yoo |الأول4=J. Y.
 |سنة=2011
 |الفصل=Inverse Magnus effect on a rotating sphere
 |مسار الفصل=http://www.tsfp-conference.org/proceedings/2013/v2/aer2d.pdf
 |عنوان=64th Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics
 |ناشر=American Physical Society
 |bibcode=2011APS..DFD.A7008K
}}</ref>

<ref name=DeForest1997>
{{استشهاد بويب
 |الأخير=DeForest |الأول=C.
 |سنة=1997
 |عنوان=Why are golf balls dimpled?
 |مسار=http://math.ucr.edu/home/baez/physics/General/golf.html
 |موقع=The Original Usenet Physics FAQ
 |تاريخ الوصول=2017-01-27
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181024073825/http://math.ucr.edu/home/baez/physics/General/golf.html | تاريخ أرشيف = 24 أكتوبر 2018 }}</ref>

<ref name=Clanet2015>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير=Clanet |الأول=C.
 |سنة=2015
 |عنوان=Sports ballistics
 |مسار=http://baseball.physics.illinois.edu/clanet/ClanetSportsBallistics.pdf
 |صحيفة=Annual Review of Fluid Mechanics
 |المجلد=47 |صفحات=455
 |bibcode=2015AnRFM..47..455C
 |doi=10.1146/annurev-fluid-010313-141255
 | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170329171108/http://baseball.physics.illinois.edu/clanet/ClanetSportsBallistics.pdf | تاريخ أرشيف = 29 مارس 2017 }}</ref>

<ref name=Okrent1989>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير1=Okrent |الأول1=D.
 |الأخير2=Wulf |الأول2=S.
 |تاريخ=1989
 |عنوان=Baseball anecdotes
 |مسار=https://books.google.com/?id=t3RjFXcgXzEC&q=spitball#v=snippet&q=spitball&f=false
 |صفحة=89
 |ناشر=Oxford University Press
 |isbn=978-0-19-504396-9
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200108185259/https://books.google.com/books?id=t3RjFXcgXzEC&q=spitball&hl=en#v=snippet&q=spitball&f=false | تاريخ أرشيف = 8 يناير 2020 }}</ref>

<ref name=Post2010>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير1=Post |الأول1=S.
 |تاريخ=2010
 |عنوان=Applied and computational fluid mechanics
 |مسار=https://books.google.com/books?id=Y8e4q-BZIqYC&pg=PA280
 |ناشر=Jones and Bartlett Publishers
 |صفحات=280–282
 |isbn=978-1-934015-47-6
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191217023607/https://books.google.com/books?id=Y8e4q-BZIqYC&pg=PA280 | تاريخ أرشيف = 17 ديسمبر 2019 }}</ref>

<ref name=Cross1999>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير=Cross |الأول=R.
 |سنة=1999
 |عنوان=The bounce of a ball
 |مسار=http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/5.%20BallBounce.pdf
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=67 |العدد=3 |صفحات=222
 |bibcode=1999AmJPh..67..222C
 |doi=10.1119/1.19229
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181223022031/http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/5.%20BallBounce.pdf | تاريخ أرشيف = 23 ديسمبر 2018 }}</ref>

<ref name=Georgallas2016>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Georgallas |الأول1=A.
 |الأخير2=Landry |الأول2=G.
 |سنة=2016
 |عنوان=The coefficient of restitution of pressurized balls: A mechanistic model
 |مسار=https://www.researchgate.net/publication/281791329_The_Coefficient_of_Restitution_of_Pressurized_Balls_A_Mechanistic_Model
 |صحيفة=Canadian Journal of Physics
 |المجلد=94 |العدد=1 |صفحات=42
 |bibcode=2016CaJPh..94...42G
 |doi=10.1139/cjp-2015-0378
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170205100126/https://www.researchgate.net/publication/281791329_The_Coefficient_of_Restitution_of_Pressurized_Balls_A_Mechanistic_Model | تاريخ أرشيف = 5 فبراير 2017 }}</ref>

<ref name=Cross2006>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Cross|الأول1=R.
 |الأخير2=Nathan|الأول2=A. M.
 |سنة=2006
 |عنوان=Scattering of a baseball by a bat
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=74 |العدد=10 |صفحات=896–904
 |arxiv=physics/0605040
 |bibcode=2006AmJPh..74..896C
 |doi=10.1119/1.2209246
}}</ref>

<ref name=Haron2012>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Haron |الأول1=A.
 |الأخير2=Ismail |الأول2=K. A.
 |سنة=2012
 |عنوان=Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test
 |صحيفة=IOP Conference Series: Materials Science and Engineering
 |المجلد=36 |العدد=1 |صفحات=012038
 |bibcode=2012MS&E...36a2038H
 |doi=10.1088/1757-899X/36/1/012038
 |doi-access=free
}}</ref>

<ref name=Cross2000>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Cross |الأول1=R.
 |سنة=2000
 |عنوان=The coefficient of restitution for collisions of happy balls, unhappy balls, and tennis balls
 |مسار=http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/12.%20Unhappy.PDF
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=68 |العدد=11 |صفحات=1025
 |bibcode=2000AmJPh..68.1025C
 |doi=10.1119/1.1285945
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181222210259/http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/12.%20Unhappy.PDF | تاريخ أرشيف = 22 ديسمبر 2018 }}</ref>

<ref name=Cross2002>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Cross |الأول1=R.
 |سنة=2002
 |عنوان=Grip-slip behavior of a bouncing ball
 |مسار=http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/Gripslip.pdf
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=70 |العدد=11 |صفحات=1093
 |bibcode=2002AmJPh..70.1093C
 |doi=10.1119/1.1507792
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181222222925/http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/Gripslip.pdf | تاريخ أرشيف = 22 ديسمبر 2018 }}</ref>

<ref name=Zhang2002>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Zhang |الأول1=X.
 |الأخير2=Vu-Quoc |الأول2=L.
 |سنة=2002
 |عنوان=Modeling the dependence of the coefficient of restitution on the impact velocity in elasto-plastic collisions
 |صحيفة=[[International Journal of Impact Engineering]]
 |المجلد=27 |العدد=3 |صفحات=317–341
 |doi=10.1016/S0734-743X(01)00052-5
}}</ref>

<ref name=Hesser-Knoll2014>
{{استشهاد بويب
 |الأخير=Hesser-Knoll |الأول=M.
 |تاريخ=2014
 |عنوان=Ball spin during bounce
 |مسار=http://ffden-2.phys.uaf.edu/webproj/211_fall_2014/Max_Hesser-Knoll/max_hesserknoll/Slide4.htm
 |عمل=The Physics of Tennis
 |ناشر=University of Alaska Fairbanks
 |تاريخ الوصول=2017-02-01
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190102062421/http://ffden-2.phys.uaf.edu:80/webproj/211_fall_2014/max_hesser-knoll/max_hesserknoll/Slide4.htm | تاريخ أرشيف = 2 يناير 2019 }}</ref>

<ref name=Lindsey2004>
{{استشهاد بويب
 |الأخير1=Lindsey |الأول1=C.
 |تاريخ=April 2004
 |عنوان=Follow the bouncing ball
 |مسار=http://www.tennisindustrymag.com/articles/2004/04/follow_the_bouncing_ball.html
 |موقع=Tennis Industry
 |تاريخ الوصول=2017-02-01
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181120110419/http://www.tennisindustrymag.com:80/articles/2004/04/follow_the_bouncing_ball.html | تاريخ أرشيف = 20 نوفمبر 2018 }}</ref>

<ref name=Allen2010>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Allen |الأول1=T.
 |الأخير2=Haake |الأول2=S.
 |الأخير3=Goodwill |الأول3=S.
 |سنة=2010
 |عنوان=Effect of friction on tennis ball impacts
 |صحيفة=Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P
 |المجلد=224 |العدد=3 |صفحات=229–236
 |doi=10.1243/17543371JSET66
 |doi-access=free
}}</ref>

<ref name=Cross2005>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Cross |الأول1=R.
 |تاريخ=2005
 |عنوان=Bounce of a spinning ball near normal incidence
 |مسار=http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/31.%20Spin.pdf
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=73 |العدد=10 |صفحات=914–920
 |bibcode=2005AmJPh..73..914C
 |doi=10.1119/1.2008299
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180921013816/http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/31.%20Spin.pdf | تاريخ أرشيف = 21 سبتمبر 2018 }}</ref>

<ref name=Allen2012>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير=Allen |الأول=T.
 |سنة=2012
 |عنوان=The ball's in your court
 |مسار=http://resource.ansys.com/staticassets/ANSYS/staticassets/resourcelibrary/article/AA-V6-I2-The-Balls-in-Your-Court.pdf
 |صحيفة=ANSYS Advantage
 |العدد=Web exclusive |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170205013757/http://resource.ansys.com/staticassets/ANSYS/staticassets/resourcelibrary/article/AA-V6-I2-The-Balls-in-Your-Court.pdf
 |تاريخ أرشيف=2017-02-05
|url-status=dead}}</ref>

<ref name=Jaffri2004>
{{استشهاد بأطروحة
 |الأخير=Jafri |الأول=S. M. M.
 |سنة=2004
 |عنوان=Modeling of impact dynamics of a tennis ball with a flat surface
 |مسار=http://oaktrust.library.tamu.edu/bitstream/handle/1969.1/2441/etd-tamu-2004A-MEEN-Jafri-1.pdf?sequence=1
 |ناشر=Texas A&M University
 |hdl=1969.1/2441 |hdl-access=free
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170922020709/http://oaktrust.library.tamu.edu/bitstream/handle/1969.1/2441/etd-tamu-2004A-MEEN-Jafri-1.pdf?sequence=1 | تاريخ أرشيف = 22 سبتمبر 2017 }}</ref>

<ref name=Cross2011>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Cross |الأول1=R.
 |سنة=2011
 |عنوان=Bounce of an oval shaped football
 |مسار=http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/FootballBounce.pdf
 |صحيفة=Sports Technology
 |المجلد=3 |العدد=3 |صفحات=168
 |doi=10.1080/19346182.2011.564283
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190324121503/http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/FootballBounce.pdf | تاريخ أرشيف = 24 مارس 2019 }}</ref>

<ref name=Huebner1992>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Huebner |الأول1=J. S.
 |الأخير2=Smith |الأول2=T. L.
 |سنة=1992
 |عنوان=Multi-ball collisions
 |مسار=https://works.bepress.com/jay_huebner/3/download/
 |صحيفة=The Physics Teacher
 |المجلد=30 |العدد=1 |صفحة=46
 |bibcode=1992PhTea..30...46H
 |doi=10.1119/1.2343467
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200126111252/https://bepress-attached-resources.s3.amazonaws.com/uploads/05/60/d1/0560d19d-e52d-439a-9a53-801132b28dff/fulltext_stamped.pdf | تاريخ أرشيف = 26 يناير 2020 }}</ref>

<ref name=Cross2007>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Cross |الأول1=R.
 |سنة=2007
 |عنوان=Vertical bounce of two vertically aligned balls
 |مسار=http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/38.%202BallBounce.pdf
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=75 |العدد=11 |صفحات=1009
 |bibcode=2007AmJPh..75.1009C
 |doi=10.1119/1.2772286
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190322041947/http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/38.%202BallBounce.pdf | تاريخ أرشيف = 22 مارس 2019 }}</ref>

<ref name=Hartner1971>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |الأخير1=Harter |الأول1=W. G.
 |سنة=1971
 |عنوان=Velocity amplification in collision experiments involving superballs
 |مسار=http://www.uark.edu/ua/modphys/pdfs/Journal_Pdfs/Velocity_Amplification_in_Collision_Experiments_Involving_Superballs-Harter-1971.pdf
 |صحيفة=American Journal of Physics
 |المجلد=39 |العدد=6 |صفحات=656
 |bibcode=1971AmJPh..39..656H
 |doi=10.1119/1.1986253
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20161110085316/http://www.uark.edu/ua/modphys/pdfs/Journal_Pdfs/Velocity_Amplification_in_Collision_Experiments_Involving_Superballs-Harter-1971.pdf | تاريخ أرشيف = 10 نوفمبر 2016 }}</ref>

<ref name=HyperphysicsDoubleBallDrop>
{{استشهاد بويب
 |الأخير=Nave |الأول=R.
 |عنوان=Double ball drop
 |مسار=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/doubal.html
 |عمل=[[هايبرفيزيكس]]
 |تاريخ الوصول=2017-01-28
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190605152951/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/doubal.html | تاريخ أرشيف = 5 يونيو 2019 }}</ref>

<ref name=Sowell2011>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Sowell |الأول=T.
 |سنة=2011
 |الفصل=Dead ball vs lively ball
 |مسار الفصل=https://books.google.com/books?id=hxmQ2W-yGiwC&pg=PA62&lpg=PA62#v=onepage&q&f=false
 |عنوان=The Thomas Sowell Reader
 |ناشر={{Ill-WD2|بيزيك بوكس|id=Q4034881}}
 }}</ref>

<ref name=Botelho2015>
{{استشهاد بويب
 |الأخير1=Botelho |الأول1=G.
 |الأخير2=Castillo |الأول2=M.
 |تاريخ=11 May 2015
 |عنوان='Deflategate:' 4-game suspension for Tom Brady
 |مسار=https://edition.cnn.com/2015/05/11/us/nfl-deflategate-response/
 |ناشر=[[سي إن إن]]
 |تاريخ الوصول=2017-01-27
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170519231132/http://edition.cnn.com:80/2015/05/11/us/nfl-deflategate-response | تاريخ أرشيف = 19 مايو 2017 }}</ref>

<ref name=Well2015>
{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Well, Jr. |الأول=T. V.
 |الأخير2=Karp |الأول2=B. S.
 |الأخير3=Reisner |الأول3=L. L.
 |سنة=2015
 |عنوان=Investigative Report Concerning Footballs Used During the AFC Championship Game on January 18, 2015
 |مسار=https://nfllabor.files.wordpress.com/2015/05/investigative-and-expert-reports-re-footballs-used-during-afc-championsh.pdf
 |ناشر=[[Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191107035724/https://nfllabor.files.wordpress.com/2015/05/investigative-and-expert-reports-re-footballs-used-during-afc-championsh.pdf | تاريخ أرشيف = 7 نوفمبر 2019 }}</ref>

<!-- No author given-->

<ref name=EngineeringToolbox>
{{استشهاد بويب
 |عنوان=Dry air properties
 |مسار=https://www.engineeringtoolbox.com/dry-air-properties-d_973.html
 |موقع=[[The Engineering Toolbox]]
 |تاريخ الوصول=2017-02-11
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190409132935/https://www.engineeringtoolbox.com/dry-air-properties-d_973.html | تاريخ أرشيف = 9 أبريل 2019 }}</ref>

<ref name=NASADragSphere>
{{استشهاد بويب
 |عنوان=Drag of a sphere
 |مسار=https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/dragsphere.html
 |ناشر=[[ناسا]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190528175006/https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/dragsphere.html | تاريخ أرشيف = 28 مايو 2019 }}</ref>

<ref name=NASAIdealLift>
{{استشهاد بويب
 |عنوان=Ideal lift of a spinning ball
 |مسار=https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/beach.html
 |ناشر=[[ناسا]]
 |تاريخ الوصول=2017-02-02
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180904074416/https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/beach.html | تاريخ أرشيف = 4 سبتمبر 2018 }}</ref>

<ref name=HumanKinetics>
{{استشهاد بويب
 |عنوان=Magnus effect
 |مسار=http://www.humankinetics.com/excerpts/excerpts/magnus-effect-
 |موقع=HumanKinetics.com
 |تاريخ الوصول=2017-01-27
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181228085919/http://www.humankinetics.com:80/excerpts/excerpts/Magnus-effect- | تاريخ أرشيف = 28 ديسمبر 2018 }}</ref>

<ref name=GuardianInzamam>
{{استشهاد بويب
 |تاريخ=21 August 2006
 |عنوان=Inzamam charged by ICC
 |مسار=https://www.theguardian.com/uk/2006/aug/21/pakistan2006.cricket
 |عمل=[[الغارديان]]
 |تاريخ الوصول=2017-01-28
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181118212432/https://www.theguardian.com/uk/2006/aug/21/pakistan2006.cricket | تاريخ أرشيف = 18 نوفمبر 2018 }}</ref>

<ref name=RacquetResearch>
{{استشهاد بويب
 |عنوان=Coefficient of restitution
 |مسار=http://www.racquetresearch.com/coeffici.htm
 |موقع=RacquetResearch.com
 |تاريخ الوصول=2017-01-27
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20161123193638/http://www.racquetresearch.com/coeffici.htm
 |تاريخ أرشيف=2016-11-23
 }}</ref>

<ref name=BaseballDigest1963>
{{استشهاد بدورية محكمة
 |تاريخ=July 1963
 |عنوان=[[wikisource:Evolution of the Ball|Evolution of the ball]]
 |صحيفة=[[Baseball Digest]]
 |صفحة=67
}}</ref>

<!-- Sports regulation sources-->
<ref name=AFL>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2017
 |عنوان=Laws of Australian Football 2017
 |مسار=http://www.aflcommunityclub.com.au/fileadmin/user_upload/Coach_AFL/2017_Laws_of_Australian_Football.pdf
 |صفحة=15
 |ناشر=[[دوري كرة القدم الأسترالية|AFL]]
 |تاريخ الوصول=2018-01-19
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190305204905/http://www.aflcommunityclub.com.au/fileadmin/user_upload/Coach_AFL/2017_Laws_of_Australian_Football.pdf | تاريخ أرشيف = 5 مارس 2019 }}</ref>

<ref name=FIBA>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2014
 |عنوان=Official Basketball Rules 2014 Basketball Equipment
 |مسار=http://www.fiba.com/downloads/Rules/2014/BasketballEquipment2014_Final_V1_withCovers_LOW.pdf
 |صفحة=12
 |ناشر=[[الاتحاد الدولي لكرة السلة]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170215040404/http://www.fiba.com/downloads/Rules/2014/BasketballEquipment2014_Final_V1_withCovers_LOW.pdf | تاريخ أرشيف = 15 فبراير 2017 }}</ref>

<ref name=FIFA>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2014
 |عنوان=Laws of the Game: 2014–15
 |مسار=https://www.canadasoccer.com/files/2014_15_Laws_of_The_Game_EN.pdf
 |صفحة=15
 |ناشر=[[الاتحاد الدولي لكرة القدم]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170215173558/http://www.canadasoccer.com/files/2014_15_Laws_of_The_Game_EN.pdf | تاريخ أرشيف = 15 فبراير 2017 | تاريخ الوصول =  أكتوبر 2020  |url-status=dead}}</ref>

<ref name=FIVB-Indoor>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2016
 |عنوان=Official Volleyball Rules: 2017–2020
 |مسار=http://www.fivb.org/EN/Refereeing-Rules/documents/FIVB-Volleyball_Rules_2017-2020-EN-v06.pdf
 |صفحة=16
 |ناشر=[[الاتحاد الدولي للكرة الطائرة]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190412114438/http://www.fivb.org/EN/Refereeing-Rules/documents/FIVB-Volleyball_Rules_2017-2020-EN-v06.pdf | تاريخ أرشيف = 12 أبريل 2019 }}</ref>

<ref name=FIVB-Beach>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2017
 |عنوان=Official Beach Volleyball Rules: 2017–2020
 |مسار=http://www.fivb.org/EN/Refereeing-Rules/Documents/FIVB-BeachVolleyball_Rules_2017-2020-EN-v05.pdf
 |صفحة=15
 |ناشر=[[الاتحاد الدولي للكرة الطائرة]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180827133644/http://www.fivb.org/EN/Refereeing-Rules/Documents/FIVB-BeachVolleyball_Rules_2017-2020-EN-v05.pdf | تاريخ أرشيف = 27 أغسطس 2018 }}</ref>

<ref name=ITF>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2016
 |عنوان=ITF Approved Tennis Balls, Classified Surfaces & Recognized Courts
 |مسار=https://www.itftennis.com/media/224137/224137.pdf
 |صفحات=4–5
 |ناشر=[[الاتحاد الدولي لكرة المضرب|ITF]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170226011012/http://www.itftennis.com/media/224137/224137.pdf | تاريخ أرشيف = 26 فبراير 2017 | تاريخ الوصول =  أكتوبر 2020  |url-status=dead}}</ref>

<ref name=ITTF>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2017
 |عنوان=The International Table Tennis Federation Handbook
 |مسار=http://d3mjm6zw6cr45s.cloudfront.net/2016/12/2017_ITTF_Handbook.pdf
 |صفحة=24
 |ناشر=[[الاتحاد الدولي لتنس الطاولة|ITTF]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180424162823/http://d3mjm6zw6cr45s.cloudfront.net/2016/12/2017_ITTF_Handbook.pdf | تاريخ أرشيف = 24 أبريل 2018 }}</ref>

<ref name=NBA>
{{استشهاد بكتاب
 |تاريخ=2013
 |عنوان=Official Rules of the National Basketball Association: 2013–2014
 |مسار=https://www.nba.com/media/dleague/1314-nba-rule-book.pdf
 |صفحة=10
 |ناشر=[[إن بي أي]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190320195459/https://www.nba.com/media/dleague/1314-nba-rule-book.pdf | تاريخ أرشيف = 20 مارس 2019 | تاريخ الوصول =  أكتوبر 2020  |url-status=dead}}</ref>

<ref name=NFL>
{{استشهاد بكتاب
 |سنة=2016
 |عنوان=Official Playing Rules of the National Football League
 |مسار=https://operations.nfl.com/media/2224/2016-nfl-rulebook.pdf
 |صفحة=3
 |ناشر=[[الدوري الوطني لكرة القدم الأمريكية]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170918104206/http://edge-operations.nfl.com/media/2224/2016-nfl-rulebook.pdf | تاريخ أرشيف = 18 سبتمبر 2017 }}</ref>

<ref name=RA-USGA>
{{استشهاد بويب
 |الأخير=Rubenstein |الأول=L.
 |تاريخ=11 May 2002
 |عنوان=Getting to COR of game, finally
 |مسار=https://www.theglobeandmail.com/sports/golf/getting-to-cor-of-game-finally/article754694/
 |موقع={{وإو|ذا جلوب اند ميل|The Globe and Mail}}
 |تاريخ الوصول=2017-01-27
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191217021929/https://www.theglobeandmail.com/sports/golf/getting-to-cor-of-game-finally/article754694/ | تاريخ أرشيف = 17 ديسمبر 2019 }}</ref>

}}
== لمزيد من القراءة ==
* بريغز عام 1945، [http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/34/jresv34n1p1_a1b.pdf «طرق قياس معامل الاسترجاع وتدوير الكرة»]- مجلة أبحاث المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا.
* كروس أر عام 2011، فيزياء البيسبول والكرة اللينة. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ردمك]]: [https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-1-4419-8112-7 978-1-4419-8112-7].
* كروس أر يونيو 2014، [http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/BOUNCE.htm «فيزياء الارتداد»]- [[جامعة سيدني]].
* كروس أر عام 2015، [http://iopscience.org/physed سلوك الكرة النطاطة- تعليم الفيزياء].
* سترونج عام 2004، تأثير الميكانيكا على الألعاب الرياضية- [[مطبعة جامعة كامبريدج]].
 
== وصلات خارجية ==
* [https://www.real-world-physics-problems.com/bouncing-ball-physics.html فيزياء الكرة النطاطة- مشاكل في العالم الحقيقي للفيزياء].
* [http://shortsleeveandtieclub.com/the-physics-of-bouncing-balls-and-elasticity/ فيزياء الكرات المرنة ومفهوم المرونة].
* [https://www.scientificamerican.com/article/energetic-2-ball-bounces/ دراسة حركة كرتين نطاطتين].
* [https://www.youtube.com/watch?v=Tb19Y_PR7jk فيزياء الكرة النطاطة]- على [[يوتيوب|اليوتيوب]].
{{شريط بوابات|الفيزياء|رياضة|طيران|علم المواد|فنون}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:ألعاب خفة]]
[[تصنيف:أنظمة حركية]]
[[تصنيف:حركة]]
[[تصنيف:خواص المواد]]
[[تصنيف:علم الحركة المجردة]]
[[تصنيف:قواعد وأنظمة رياضية]]
[[تصنيف:كرات (ألعاب)]]
[[تصنيف:مرونة]]
[[تصنيف:ميكانيكا كلاسيكية]]