عرض مصدر فضاء هيلبرت

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Standing waves on a string.gif|تصغير|يمكن نمذجة حالة الوتر المهتز كنقطة في فضاء هلبرت. يتم تحليل الوتر المهتز إلى نغماته التوافقية المميزة عن طريق إسقاط النقطة على محاور الإحداثيات في الفضاء.]]

المفهوم [[رياضيات|الرياضياتي]] '''لفضاء هيلبرت''' {{إنج|Hilbert space}} يعمم مفهوم [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]].<ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://www.jstor.org/topic/hilbert-spaces | عنوان = معلومات عن فضاء هيلبرت على موقع jstor.org | ناشر = jstor.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190525162319/https://www.jstor.org/topic/hilbert-spaces/ | تاريخ أرشيف = 25 مايو 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0032649.xml | عنوان = معلومات عن فضاء هيلبرت على موقع enciclopedia.cat | ناشر = enciclopedia.cat| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190815122317/https://www.enciclopedia.cat/EC-GEC-0032649.xml | تاريخ أرشيف = 15 أغسطس 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://babelnet.org/synset?word=bn:00044140n | عنوان = معلومات عن فضاء هيلبرت على موقع babelnet.org | ناشر = babelnet.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210101830/https://babelnet.org/synset?word=bn:00044140n|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref> فهو [[فضاء متجهي معياري|فضاء معياري]] معرف عليه دالة [[فضاء الجداء الداخلي|الجداء الداخلي]] بشرط أن يكون المعيار المعرف عليه هو بدلالة دالة الجداء الداخلي هذه، بالإضافة إلى وجوب كونه [[فضاء كامل|فضاء معياريا كاملا]] أو ما يدعى ب [[فضاء باناخ]]. وهذا يعني أن أي فضاء هيلبرت هو فضاء باناخ ولكن العكس غير صحيح.
مثال على ذلك، الفضاء Q هو فضاء منتظم تحت النظيم العادي ولكنه ليس بفضاء بانخ.

يمكننا فضاء هلبرت من تعميم أساليب [[جبر خطي|الجبر الخطي]] [[تفاضل وتكامل|والتفاضل والتكامل]] المستخدمة في [[فضاء إقليدي|الفضاءات الإقليدية]] ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد إلى فضاءات قد تكون لانهائية [[بعد|البُعد]]. فضاء هلبرت هو فضاء [[فضاء متجهي|متجهي]] مزود [[فضاء الجداء الداخلي|بجداء داخلي]]، وبذا يسمح بتعريف [[دالة مسافة]] [[تعامد (هندسة)|و]][[تعامد (رياضيات)|تعامد]]. وإضافة لذلك، فإن فضاء هلبرت هو [[فضاء كامل|فضاء متري كامل]] مع دالة المسافة المعرفة فيه (في هذه الحالة هي دالة [[معيار (رياضيات)|المعيار]])، مما يعني توفر [[نهاية (رياضيات)|النهايات]] التي تسمح باستخدام التفاضل والتكامل.

فضاءات هلبرت تظهر بشكل طبيعي كثيرًا في الرياضيات [[فيزياء|والفيزياء]]، عادةً [[فضاء دالي|كفضاء دالي]] لا نهائي [[بعد (فضاء متجهي)|الأبعاد]]. أقدم فضاءات هلبرت دراسةً كانت على يد [[ديفيد هيلبرت]] [[أرهارد شميت|وإرهارد شميدت]] وفريجيس ريش "Frigyes Riesz" في العقد الأول من القرن العشرين. وتعتبر من الأدوات الهامة في [[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]]، [[صياغة رياضية لميكانيكا الكم|وميكانيكا الكم]]، [[تحليل فورييه|وتحليل فورييه]] (الذي يتضمن تطبيقات [[معالجة الإشارة|لمعالجة الإشارات]] ونقل الحرارة)، [[نظرية إرجوديك|ونظرية إرجوديك]] (التي تشكل الأساس الرياضي [[ديناميكا حرارية|للديناميكا الحرارية]]). صاغ [[جون فون نيومان]] ''مصطلح فضاء هيلبرت'' للمفهوم التجريدي المستخدم في العديد من هذه التطبيقات المتنوعة. أدى نجاح أساليب فضاء هيلبرت إلى ازدهار [[تحليل دالي|التحليل الدالي]]. بعيدًا عن الفضاءات الإقليدية الكلاسيكية، فإن من أمثلة فضاءات هيلبرت فضاءات [[دالة كمولة تربيعيا|الدوال الكمولة تربيعيًا]] "''L<sup>p</sup>'' space"، وفضاءات المتسلسلات "Sequence space"، وفضاءات سوبوليف "Sobolev space" المكونة من [[دالة معممة|دوال معممة]]، وفضاءات هاردي "Hardy space" [[دالة تامة الشكل|للدوال تامة الشكل]].

يلعب الحدس الهندسي دورًا مهمًا في العديد من جوانب نظرية فضاء هلبرت. توجد نظائر مطابقة [[مبرهنة فيثاغورس|لنظرية فيثاغورس]] [[قانون متوازي الأضلاع|وقانون متوازي الأضلاع]] في فضاء هلبرت. على مستوى أعمق، يلعب الإسقاط العمودي على فضاء جزئي (مناظر لـ «[[ارتفاع (مثلث)|إسقاط ارتفاع]]» المثلث) دورًا مهمًا في [[استمثال (رياضيات)|مسائل التحسين]] وجوانب أخرى في النظرية. يمكن تحديد بشكل فريد عنصر في فضاء هيلبرت عن طريق إحداثياته المنسوبة [[زمرة (رياضيات)|لزمرة]] من محاور الإحداثيات ([[قاعدة ممنظمة متعامدة|متعامدة القاعدة]] في فضاء هلبرت)، على غرار [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]] في المستوى. عندما تكون هذه المجموعة من المحاور [[مجموعة قابلة للعد|معدودة غير منتهية]]، في هذه الحالة يمكن النظر لفضاء هيلبرت على أنه فضاء [[متتالية|متسلسلات لانهائية]] التي يمكن جمعها تربيعيًا. فضاء المتسلسلات اللانهائية هذا هو ما يشار إليه في كثير من الأحيان في الأدبيات الرياضية القديمة بفضاء هلبرت. [[تحويل خطي|المؤثرات الخطية]] في فضاء هلبرت أيضًا لها حضور كبير: في الحالات الجيدة، هي تحويلات تساهم في تمديد الفضاء بواسطة عوامل مختلفة في اتجاهات متعامدة تبادليًا بصورة دقيقة تظهر من خلال دراسة طيفها.

== تعريف وتوضيح ==

=== مثال تحفيزي: فضاء المتجه الإقليدي ===
أحد الأمثلة الأكثر شيوعًا لفضاء هيلبرت هو فضاء [[فضاء إقليدي|المتجه الإقليدي]] المكون من [[متجه]]ات ثلاثية الأبعاد، وعملية [[جداء نقطي|الجداء النقطي]]، ويُشار إليه بالرمز '''R'''<sup>3</sup>. عملية الجداء القياسي تأخذ متجهين '''x''' و'''y''' وينتج عنها عدد حقيقي '''x''' ⋅ '''y'''. لو مثلنا '''x''' و'''y''' [[نظام إحداثي ديكارتي|بالإحداثيات الديكارتية]]، فإن حاصل الجداء القياسي يكون:<math display="block">\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \,.</math>

الجداء النقطي يستوفي الخصائص التالية:
* متماثل في '''x''' و '''y''': {{تعبير رياضي|1='''x''' ⋅ '''y''' = '''y''' ⋅ '''x'''}}
* [[دالة تآلفية|خطي]] '''لأول جزء من العنصر''': {{تعبير رياضي|1=(''a'''''x'''<sub>1</sub> + ''b'''''x'''<sub>2</sub>) ⋅ '''y''' = ''a'''''x'''<sub>1</sub> ⋅ '''y''' + ''b'''''x'''<sub>2</sub> ⋅ '''y'''}} لأي قيمة عددية {{Mvar|a}} و {{Mvar|b}} والمتجهات '''x'''<sub>1</sub> و'''x'''<sub>2</sub> و'''y'''
* محدد إيجابيا: لجميع المتجهات '''x'''، {{تعبير رياضي|'''x''' ⋅ '''x''' ≥ 0}} ، ويساوي الصفر [[إذا وفقط إذا]] كان {{تعبير رياضي|1='''x''' = '''0'''}}

[[جداء نقطي|الجداء النقطي]] الذي يتم إجراؤه على أزواج المتجهات والمستوفي لهذه الخصائص الثلاث، يعرف [[فضاء الجداء الداخلي|بالجداء الداخلي]] (الحقيقي). [[فضاء متجهي|فضاء المتجه]] الحاوي لهذا الجداء الداخلي الحقيقي يُعرف كـ [[فضاء الجداء الداخلي|فضاء جداء داخلي]] (حقيقي). كل فضاء جداء داخلي ذو أبعاد محدودة هو أيضًا فضاء هيلبرت.<ref>However, some sources call finite-dimensional spaces with these properties pre-Hilbert spaces, reserving the term "Hilbert space" for infinite-dimensional spaces; see, e.g., {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Levitan|2001}}.</ref> الخاصية الأساسية للجداء النقطي التي تربطه بالهندسة الإقليدية هي أنه مرتبط بطول (أو [[معيار (رياضيات)|معيار]]) المتجه، المشار إليه بـ ||x|| ، والزاوية {{Mvar|θ}} بين متجهين '''x''' و '''y''' عن طريق الصيغة:<math display="block">\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \left\|\mathbf{x}\right\| \left\|\mathbf{y}\right\| \, \cos\theta \,.</math>

[[ملف:Completeness_in_Hilbert_space.png|يسار|تصغير| الاكتمال يعني أنه إذا تحرك جسيم على طول المسار المتعرج (باللون الأزرق) قاطعًا مسافة إجمالية محدودة، فإن الجسيم لديه إزاحة صافية [[عبارة معرفة جيدا|محددة جيدًا]] (باللون البرتقالي).]]

[[حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات]] في الفضاء الإقليدي يعتمد على حساب [[نهاية (رياضيات)|النهايات]]، وللحصول على معايير مفيدة لاستنتاج وجود النهايات. فإن [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلة الرياضية]]<math display="block">\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n</math>المكونة من متجهات في '''R'''<sup>3</sup> [[تقارب مطلق|تتقارب بشكل مطلق]] شريطة أن يتقارب مجموع الأطوال كأي متسلسلة عادية من الأعداد الحقيقية:<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Marsden|1974}}</ref><math display="block">\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty \,.</math>تمامًا كما هو الحال مع متسلسلة من القيم، فإن متسلسلة من المتجهات التي تتقارب مطلقًا تتقارب أيضًا لـ متجه نهائي '''L''' في الفضاء الإقليدي، بمعنى أن<math display="block">\left\| \mathbf{L} - \sum_{k=0}^N \mathbf{x}_k \right\| \to 0 \quad \text{as } N \to\infty \,.</math>تعبر هذه الخاصية عن ''اكتمال'' الفضاء الإقليدي: أي أن المتسلسلة التي تتقارب مطلقًا تتقارب أيضًا بالمعنى المعتاد.

غالبًا ما يغلب استخدام [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] في فضاءات هلبرت. [[مستوى عقدي|فالمستوى العقدي]] المشار له بـ '''C''' يحوي مفهوم الحجم، [[قيمة مطلقة|والقيمة المطلقة]] {{قيمة مطلقة|''z''}} المُعَّرَف بأنه الجذر التربيعي لجداء {{Mvar|z}} مع [[مرافق عدد مركب|مرافقه المركب]]:
<math display="block">|z|^2 = z\overline{z} \,.</math>
إذا كان {{تعبير رياضي|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}} هو تحليل {{Mvar|z}} إلى جزئيه الحقيقي والخيالي، فإن المقياس هو الطول الإقليدي ثنائي الأبعاد المعتاد:<math display="block">|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \,.</math>الجداء الداخلي لزوج من الأعداد المركبة {{Mvar|z}} و {{Mvar|w}} هو {{Mvar|z}} مع مرافق {{Mvar|w}}:<math display="block">\langle z, w\rangle = z\overline{w}\,.</math>والناتج مركب القيمة. الجزء الحقيقي من ⟨''z'', ''w''⟩ يعطي [[جداء نقطي|الجداء النقطي]] الإقليدي المعتاد ثنائي الأبعاد.

المثال الثاني هو الفضاء '''C'''<sup>2</sup> الذي تتكون عناصره من أزواج من الأعداد المركبة {{تعبير رياضي|1=''z'' = (''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>)}}. وحاصل الجداء الداخلي لـ {{Mvar|z}} مع متجه آخر {{تعبير رياضي|1=''w'' = (''w''<sub>1</sub>, ''w''<sub>2</sub>)}}يعطى بالصيغة التالية:<math display="block">\langle z, w\rangle = z_1\overline{w_1} + z_2\overline{w_2}\,.</math>الجزء الحقيقي من {{تعبير رياضي|⟨''z'', ''w''⟩}}هو [[جداء نقطي|الجداء النقطي]] الإقليدي ثنائي الأبعاد. هذا الجداء الداخلي يتميز بأنه ''متناظر هيرميتيا "Hermitian symmetric"''، مما يعني أن نتيجة التبادل بين {{Mvar|z}} و {{Mvar|w}} هي ترافق مركب:<math display="block">\langle w, z\rangle = \overline{\langle z, w\rangle}\,.</math>

=== تعريف ===
فضاء هلبرت ''H'' هو [[فضاء الجداء الداخلي|فضاء جداء داخلي]] [[عدد حقيقي|حقيقي]] أو [[عدد مركب|مركب]] وهو أيضًا [[فضاء كامل|فضاء متري كامل]] مع [[دالة مسافة|دالة المسافة]] الناتجة عن الجداء الداخلي.<ref name="General">The mathematical material in this section can be found in any good textbook on functional analysis, such as {{Harvard citation text|Dieudonné|1960}}, {{Harvard citation text|Hewitt|Stromberg|1965}}, {{Harvard citation text|Reed|Simon|1980}} or {{Harvard citation text|Rudin|1987}}.</ref>

عندما نقول أن ''H'' هو فضاء جداء داخلي مركب فإننا نعني أن ''H'' هو [[فضاء متجهي]] [[عدد مركب|مركب]] يحوي جداء داخلي <math>\langle x, y \rangle</math> يربط كل زوج من العناصر <math>x, y</math> في ''H'' بعدد مركب، ويتمتع هذا الجداء بالخصائص التالية:
# الجداء الداخلي مترافق متناظر؛ أي أن الجداء الداخلي لزوج من العناصر يكافئ [[مرافق عدد مركب|المرافق المركب]] للجداء الداخلي لنفس العناصر مع تبديل ترتيبها:<math>\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}\,.</math><math display="block"> \langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}\,.</math>
# الجداء الداخلي خطي '''لأول جزء من العنصر''' <ref>In some conventions, inner products are linear in their second arguments instead.</ref> لجميع الأعداد المركبة <math>a</math> و <math>b,</math> <math display="block"> \langle ax_1 + bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle\,.</math>
# الجداء الداخلي لعنصر مع نفسه هو إيجابي منتهي: <math display="block">\begin{alignat}{4}
 \langle x, x\rangle > 0 & \quad \text{ if } x \neq 0, \\
 \langle x, x\rangle = 0 & \quad \text{ if } x = 0\,.
\end{alignat}</math>

نستنتج من الخاصيتين 1 و 2 أن الجداء الداخلي المركب هو اقتران غير خطي "antilinear map"، ويسمى أيضًا "conjugate linear"، '''للجزء الثاني من العنصر'''، بمعنى أن:<math display="block">\langle x, ay_1 + by_2\rangle = \bar{a}\langle x, y_1\rangle + \bar{b}\langle x, y_2\rangle\,.</math>فضاء الجداء الداخلي الحقيقي يُعرف بنفس الطريقة، عدا أن ''H'' هو فضاء متجهي حقيقي وأن الجداء الداخلي يأخذ قيمًا حقيقية. مثل هذا الجداء الداخلي سيكون [[اقتران ثنائي خطي|اقترانا ثنائي الخطوط]] و<math>(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> سيشكل [[نظام ثنائي]].{{Sfn|Schaefer|Wolff|1999}}

[[معيار (رياضيات)|المعيار]] هي دالة حقيقية القيمة تعرف على النحو التالي:
<math display="block">\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\,,</math>

والمسافة <math>d</math> بين نقطتين <math>x, y</math> في ''H'' تُعَرَّف عن طريق المعيار بالشكل التالي:<math display="block">d(x, y) = \|x - y\| = \sqrt{\langle x - y, x - y \rangle}\,.</math>ودالة المسافة هذه تعني أولاً أنها متناظرة في <math>x</math> و <math>y</math> (نفس القيمة سواء من <math>x</math> إلى <math>y</math> أو من <math>y</math> إلى <math>x</math>) وثانيا أن المسافة بين <math>x</math> ونفسها صفر، وعدا ذلك فالمسافة بين <math>x</math> و <math>y</math> يجب أن تكون موجبة، وأخيرًا تظل [[متباينة المثلث]] قائمة، مما يعني أن طول أحد أضلاع المثلث xyz لا يمكن أن يتجاوز مجموع طولي الساقين الآخرين:<math display="block">d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\,.</math>

: [[ملف:Triangle_inequality_in_a_metric_space.svg|يسار|300x300بك]]

هذه الخاصية الأخيرة هي في الأخير نتاج [[متباينة كوشي-شفارز|لمتباينة كوشي -شوارتز]]، والتي تؤكد أن:<math display="block">\left|\langle x, y\rangle\right| \leq \|x\| \|y\|</math>ويتساوون إذا وفقط إذا كان <math>x</math> و <math>y</math> غير [[استقلال خطي|مستقلين خطيًا]].

بوجود دالة مسافة مُعَرَّفة بهذا الشكل، فإن أي فضاء جداء داخلي هو [[فضاء متري]]، ويُعرف أحيانًا باسم «فضاء هاوسدورف ما قبل هلبرت» (Hausdorff pre-Hilbert space).<ref name="مولد تلقائيا2">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Dieudonné|1960}}</ref> أي فضاء ما قبل هلبرت وأيضًا [[فضاء كامل]] فهو فضاء هيلبرت.

يُعبر عن [[فضاء كامل|اكتمال]] ''H'' باستخدام نموذج من اختبار كوشي للمتسلسلات في ''H'': ففضاء ما قبل هلبرت ''H'' مكتمل إذا كان كل [[متتالية كوشي|متسلسلة كوشية]] [[نهاية (رياضيات)|تتقارب]] بالنسبة [[معيار (رياضيات)|للمعيار]] إلى عنصر في الفضاء. يمكن وصف الاكتمال بالشرط المكافئ التالي: إذا كانت متسلسلة المتجهات<math display="block">\sum_{k=0}^\infty u_k</math>[[تقارب مطلق|تتقارب بشكل مطلق]] بمعنى أن<math display="block">\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty\,,</math>فإن المتسلسلة تتقارب في ''H''، بمعنى أن المجاميع الجزئية تتقارب إلى عنصر في ''H''

ولأن فضاءات هلبرت معيارية كاملة، فإنها بالتعريف هي أيضًا [[فضاء باناخ|فضاءات باناخ]]. ولذا فهي [[فضاء متجهي طوبولوجي|فضاءات متجهات طوبولوجية]]، حيث مفاهيم [[طوبولوجيا|الطوبولوجيا]] مُعَرَفَة بشكل جيد مثل [[مجموعة مفتوحة|انفتاح]] [[مجموعة مغلقة|وانغلاق]] المجموعات الفرعية. لفكرة الفضاء الجزئي الخطي المغلق في فضاء هلبرت أهمية خاصة، حيث يصبح فضاءًا مكتملًا أيضًا مع الجداء الداخلي المُقَيد، (كونه مجموعة مغلقة في فضاء متريّ كامل) وبالتالي فهو فضاء هيلبرت في حد ذاته.

=== المثال الثاني: فضاءات المتسلسلات ===
فضاء المتسلسلة الذي يرمز له بـ ''l''<sup>2</sup> يتكون من جميع [[متتالية|المتتاليات اللانهائية]] {{تعبير رياضي|1='''z''' = (''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>, …)}} من الأعداد المركبة بحيث تكون [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلة]]<math display="block">\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2</math>[[متسلسلة متقاربة|متقاربة]]. ويُعَرَّف الجداء الداخلي في ''l''<sup>2</sup> على النحو التالي:<math display="block">\langle \mathbf{z}, \mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\overline{w_n}\,,</math>وكنتيجة [[متباينة كوشي-شفارز|لمتباينة كوشي -شفارز]]، فإن المتسلسلة الأخيرة تتقارب.

شرط اكتمال الفضاء متحقق طالما أن متسلسلة من العناصر من ''l''<sup>2</sup> تتقارب مطلقًا بالنسبة [[معيار (رياضيات)|للمعيار]]، إذا فإنها تتقارب لـ عنصر في ''l''<sup>2</sup>. يعتبر البرهان أساسيًا في [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]، ويسمح بالتعامل مع متسلسلة من عناصر الفضاء بنفس السهولة كما في حالة متسلسلة أرقام مركبة (أو متجهات في فضاء إقليدي محدود الأبعاد).<ref name="مولد تلقائيا2" />

== تاريخ ==
[[ملف:Hilbert.jpg|يسار|تصغير| [[ديفيد هيلبرت]]]]
قبل فضاءات هلبرت، كانت التعميمات الأخرى للفضاءات الإقليدية معروفة [[عالم رياضيات|لعلماء الرياضيات]] والفيزياء. على وجه الخصوص، اكتسبت فكرة [[فضاء متجهي|الفضاء الخطي المجرد (فضاء المتجهات)]] بعض الزخم قرب نهاية القرن التاسع عشر:<ref>Largely from the work of [[هيرمان غراسمان|Hermann Grassmann]], at the urging of [[أوغست فيرديناند موبيوس|August Ferdinand Möbius]] {{Harvard citation|Boyer|Merzbach|1991|pp=584–586}}. The first modern axiomatic account of abstract vector spaces ultimately appeared in [[جوزيبه بيانو|Giuseppe Peano]]'s 1888 account ({{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Grattan-Guinness|2000}}; {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|O'Connor|Robertson|1996}}).</ref> ففي فضاء المتجهات يمكن للمرء جمع [[متجه|المتجهات]] معا أو ضربها في [[كمية قياسية (رياضيات)|كميات قياسية]] (مثل الأعداد [[عدد حقيقي|الحقيقية]] أو [[عدد مركب|المركبة]]) ولا يشترط بالضرورة أن تكون معبرة عن عناصر هندسية فيزيائية، مثل متجهات الموقع والزخم. في مطلع القرن العشرين درس علماء الرياضيات أيضًا فضاءات يمكن اعتبارها خطية كـ [[متتالية|المتواليات]] (بما في ذلك [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلات]]) والدوال.<ref>A detailed account of the history of Hilbert spaces can be found in {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Bourbaki|1987}}.</ref> فعلى سبيل المثال، في فضاءات الدوال يمكن إضافة الدوال معًا أو ضربها بعدد قياسي ثابت، وهذه العمليات تخضع لنفس القواعد الجبرية التي تنطبق على عمليات الجمع والضرب القياسي في فضاء المتجهات.

في العقد الأول من القرن العشرين، أدت تطورات موازية لظهور فضاءات هلبرت. كان أولها أثناء دراسة [[ديفيد هيلبرت]] [[أرهارد شميت|وإيرهارد شميدت]] [[معادلة تكاملية|للمعادلات التكاملية]]،<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Schmidt|1908}}</ref> حيث لاحظوا أن الدالتين {{Mvar|f}} و {{Mvar|g}} لهم قيم حقيقية [[دالة كمولة تربيعيا|قابلين للتكامل تربيعيا]] على ''a'', ''b'' لهما [[فضاء الجداء الداخلي|جداء داخلي]] بالشكل التالي:
<math>\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\, \mathrm{d}x</math>

له العديد من الخصائص المعروفة [[جداء نقطي|للجداء النقطي]] الإقليدي. بالتحديد، خاصية فئة الدوال [[تعامد (رياضيات)|المتعامدة]]. استغل [[أرهارد شميت|شميدت]] تشابه هذا [[فضاء الجداء الداخلي|الجداء الداخلي]] مع [[جداء نقطي|الجداء النقطي]] المعروف لإثبات وجود تناظر بين [[نظرية طيفية|التفريق الطيفي]] و[[مؤثر|المؤثر]] من الشكل التالي

: <math>f(x) \mapsto \int_a^b K(x, y) f(y)\, \mathrm{d}y</math>

حيث {{Mvar|K}} [[دالة مستمرة|دالة متصلة]] [[دالة متناظرة|متناظرة]] في {{Mvar|x}} و {{Mvar|y}}. ويعبر التوسع [[دالة ذاتية|الذاتي]] عن الدالة {{Mvar|K}} في صورة متسلسلة من الشكل التالي:

: <math>K(x, y) = \sum_n \lambda_n\varphi_n(x)\varphi_n(y)</math>

حيث الدوال {{Mvar|φ<sub>n</sub>}} متعامدة بمعنى أن {{تعبير رياضي|1=⟨''φ''<sub>''n''</sub>, ''φ''<sub>''m''</sub>⟩ = 0}}لجميع القيم ''n'' ≠ ''m'' يشار أحيانًا [[حد (رياضيات)|للحدود]] الفردية في هذه المتسلسلة على أنها حلول جداء أولية "elementary product solutions". ومع ذلك، هناك توسعات [[دالة ذاتية|للدالة الذاتية]] تفشل في التقارب نحو [[دالة كمولة تربيعيا]]: وهنا نشير لأهمية [[اكتمال الأعداد الحقيقية|الاكتمال]]، الذي يضمن حدوث التقارب.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Titchmarsh|1946}}</ref>

كان التطور الثاني هو [[تكامل لوبيغ]] الذي طوره [[هنري لوبيغ]] عام 1904 كبديل [[تكامل ريمان|لتكامل ريمان]].<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Lebesgue|1904}}. Further details on the history of integration theory can be found in {{Harvard citation text|Bourbaki|1987}} and {{Harvard citation text|Saks|2005}}.</ref> وأصبح من الممكن تكامل فئة أوسع بكثير من الدوال. في عام 1907، أثبت كلا من Frigyes Riesz و Ernst Sigismund Fischer بشكل مستقل أن الفضاء ''L''<sup>2</sup> لدوال لوبيغ القابلة للتكامل (الكمولة) هو [[فضاء كامل|فضاء متري كامل]].<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Bourbaki|1987}}.</ref> بسبب مفهوم [[اكتمال الأعداد الحقيقية|الاكتمال]]<nowiki/>وتوظيفه هندسيا، فإن نتائج القرن التاسع عشر [[جوزيف فورييه|لجوزيف فورييه]] [[فريدريش بيسل|وفريدريك بيسيل]] ومارك أنطوان بارسيفال "Marc-Antoine Parseval" على [[متسلسلة مثلثية|المتسلسلات المثلثية]] تم استخدامها بيسر في هذه الفضاءات العامة، مما أنتج أداة هندسية وتحليلية تعرف الآن عادة باسم نظرية ريش فيشر "Riesz–Fischer theorem".<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Dunford|Schwartz|1958}}</ref>

اُثبتت المزيد من النتائج الأساسية في أوائل القرن العشرين. على سبيل المثال، وُضِعَتْ نظرية تمثيل ريش "Riesz representation theorem" بشكل مستقل من قبل [[موريس رينيه فريشيه|موريس فريشيه]] وفريغيس ريش "Frigyes Riesz" في عام 1907.<ref>In {{Harvard citation text|Dunford|Schwartz|1958}}, the result that every linear functional on {{تعبير رياضي|''L''<sup>2</sup>[0,1]}} is represented by integration is jointly attributed to {{Harvard citation text|Fréchet|1907}} and {{Harvard citation text|Riesz|1907}}. The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in {{Harvard citation text|Riesz|1934}}.</ref> كما صاغ [[جون فون نيومان]] مصطلح ''فضاء هيلبرت المجرد'' في عمله على المؤثرات الهرميتية "Hermitian operators" غير المحدودة.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|von Neumann|1929}}.</ref> على الرغم من أن علماء رياضيات آخرين مثل [[هيرمان فايل]] [[نوربرت فينر|ونوربرت وينر]] قد درسوا بالفعل بتعمق فضاءات معينة من فضاءات هلبرت، غالبًا من وجهة نظر فزيائية، فإن فون نيومان قدم أول معالجة كاملة مع [[مسلمة (فلسفة)|مسلماتها]].<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Kline|1972}}</ref> واستخدمها فون نيومان لاحقًا في عمله الأساسي في أسس ميكانيكا الكم،<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Hilbert|Nordheim|von Neumann|1927}}</ref> وفي عمله مع [[يوجين ويغنر]]. وسرعان ما تبنى آخرون اسم «فضاء هلبرت»، مثل [[هيرمان فايل]] في كتابه عن ميكانيكا الكم ونظرية المجموعات.<ref name="Weyl31">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Weyl|1931}}.</ref>

تأكدت أهمية مفهوم فضاء هلبرت بتوفيره واحدة من أفضل [[صياغة رياضية لميكانيكا الكم|الصيغ الرياضية لميكانيكا الكم]].<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Prugovečki|1981}}.</ref> وإختصارًا، فإن حالات نظام ميكانيكي كمي هي متجهات في فضاء هيلبرت معين، والمرصودات "observables" هي مؤثرات هرميتية "Hermitian operators" في هذا الفضاء، و[[تناظر|المتناظرات]] في النظام هي مؤثر واحدي "Unitary operator"، و[[القياس في ميكانيكا الكم|القياسات]] هي [[إسقاط (جبر خطي)|إسقاط عمودي]]. قدمت العلاقة بين التناظرات الميكانيكية الكمومية والمؤثرات الواحدية حافزًا لتطوير [[نظرية التمثيل]] الوحدوي [[زمرة (رياضيات)|للمجموعات]]، التي بدأت في عمل هيرمان فايل عام 1928.<ref name="Weyl31" /> من ناحية أخرى، في أوائل الثلاثينيات من القرن العشرين أصبح من الممكن وصف الميكانيكا الكلاسيكية بمصطلحات فضاء هيلبرت (ميكانيكا كوبمان-فون نيومان الكلاسيكية "Koopman–von Neumann classical mechanics") وتحليل خصائص معينة [[نظام تحريكي|للأنظمة الديناميكية]] الكلاسيكية باستخدام تقنيات فضاء هلبرت في إطار [[نظرية إرجوديك]].<ref name="von Neumann 1932">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|von Neumann|1932}}</ref>

وفقًا لصياغة [[فيرنر هايزنبيرغ|فيرنر هايزنبرغ]] [[ميكانيكا المصفوفة|لميكانيكا المصفوفة]] الكمية فإن جبر {{وإو|المرصودات|Observable}} في ميكانيكا الكم هو بطبيعة الحال جبر المؤثرات المعرفة في فضاء هيلبرت.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Peres|1993}}.</ref> بدأ فون نيومان دراسة جبر المؤثرات في ثلاثينيات القرن العشرين، [[حلقة (رياضيات)|كحلقة]] مؤثرات في فضاء هيلبرت. يُعرف نوع الجبر الذي درسه فون نيومان ومعاصروه الآن باسم جبر فون نيومان "Von Neumann algebra".<ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Murphy|1990}}</ref> في الأربعينيات من القرن العشرين، قدم [[إسرائيل غيلفاند|إسرائيل جيلفاند]] ومارك نيمارك "Mark Naimark" [[إيرفينغ سيغال|وإيرفينغ سيغال]] تعريفًا لنوع من جبر المؤثرات يُدعى "C*-algebra" الذي لم يشر إلى فضاء هيلبرت، ولكنه استنبط العديد من المميزات المفيدة في جبر المؤثرات السابق دراستها. النظرية الطيفية للمؤثرات الهرميتية على وجه الخصوص والتي تكمن وراء الكثير من نظرية فضاء هلبرت الحالية عُممت على "C * -algebras".<ref name="مولد تلقائيا1" /> هذه التقنيات هي الآن أساسية في [[تحليل توافقي|التحليل التوافقي]] التجريدي و[[نظرية التمثيل]].

== انظر أيضًا ==

* [[نظرية طيفية|النظرية الطيفية]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{تحليل دالي}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|رياضيات|ميكانيكا الكم}}

[[تصنيف:فضاء هيلبرت|*]]
[[تصنيف:تحليل دالي]]
[[تصنيف:جبر خطي]]
[[تصنيف:ديفيد هيلبرت]]
[[تصنيف:ميكانيكا الكم]]
[[تصنيف:نظرية المؤثرات]]