عرض مصدر فضاء متجهي

[[ملف:Vector addition ans scaling.png|200px|تصغير|يسار|جمع المتجهات والضرب في كمية قياسية: متجهة '''v''' (باللون الأزرق) أُضيفت إلى متجهة أخرى '''w''' (باللون الأحمر، في أعلى الشكل). أسفله، '''w''' ضُربت في معامل مساو ل 2, مما أعطى المجموع {{بدون لف|'''v''' + 2·'''w'''}}.]]

{{ميز|حقل شعاعي}}

'''الفضاء الاتجاهي''' أو '''الفضاء المتجهي''' أو '''الفضاء الشعاعي''' كائن أساسي في دراسة [[جبر خطي|الجبر الخطي]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/science/vector-space | عنوان = معلومات عن فضاء متجهي على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171209204830/https://www.britannica.com/topic/vector-space | تاريخ أرشيف = 9 ديسمبر 2017 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://bigenc.ru/mathematics/text/1904281 | عنوان = معلومات عن فضاء متجهي على موقع bigenc.ru | ناشر = bigenc.ru|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200427224702/https://bigenc.ru/mathematics/text/1904281|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://brockhaus.de/ecs/enzy/article/vektorraum | عنوان = معلومات عن فضاء متجهي على موقع brockhaus.de | ناشر = brockhaus.de|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210101716/https://brockhaus.de/ecs/enzy/article/vektorraum|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref> هو مجموعة من عدة [[متجه]]ات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد، التي يطلق عليها [[كمية قياسية (رياضيات)|كميات قياسية]] في هذا السياق. غالبا ما تكون الكميات القياسيات [[عدد حقيقي|أعدادا حقيقية]]، ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من [[عدد مركب|أعداد مركبة]] أو [[عدد كسري|أعداد نسبية]] أو حتى [[حقل (رياضيات)|حقول]] عامة. عمليتا جمع المتجهات وضرب متجهة ما في كمية قياسية ينبغي لهما أن تحققا مجموعة من المتطلبات تدعى [[مسلمة (فلسفة)|موضوعات]] جاءت أسفله. فضاء [[متجه|المتجهات الإقليدية]] هو مثال على الفضاءات المتجهية حيث يمكن أن تمثلن كميات [[فيزياء|فيزيائية]] مختلفة [[قوة|كالقوى]] وغيرها.

فعندما تعتبر [[متجه|المتجهات]] مع العمليات المطبقة عليها من [[متجه#جمع متجهات|جمع]] و[[جداء نقطي|ضرب قياسي]] وبعض العمليات الأخرى مثل [[انغلاق (رياضيات)|الانغلاق]] و[[عملية تجميعية|التجميعية]]، فإنه يوصل إلى وصف كائن رياضي يُدعى '''''فضاءً اتجاهياً'''''.

المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. ف[[متعددة الحدود|متعددات الحدود]] من الدرجة ≤''n'' على سبيل المثال، بمعاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً.

تدرس الفضاءات المتجهية في إطار [[جبر خطي|الجبر الخطي]] وهي مفهومة بشكل كامل من هذا المنطلق، حيث يتميز كل فضاء متجهي [[بعد (فضاء متجهي)|ببُعده]]. يحدد هذا البُعد عدد الاتجاهات (أو الحركات) المستقلة عن بعضها البعض داخل الفضاء المعين. قد تُضاف إلى فضاء متجهي بُنى أخرى [[معيار (رياضيات)|كالمعيار]] و[[فضاء الجداء الداخلي|الجداء الداخلي]].

تاريخيا، تعود أول فكرة أدت إلى الفضاء المتجي إلى القرن السابع عشر في إطار [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]] و[[مصفوفة (توضيح)|المصفوفات]] و[[معادلة خطية|المعادلات الخطية]] والمتجهات الإقليدية. انظر إلى [[جوزيبه بيانو|جيوسيبي بيانو]] وإلى أعماله في هذا المجال.

حاليا، تطبق الفضاءات المتجهية في الرياضيات و[[علم|العلوم]] و[[هندسة|الهندسة]]، حيث تشكلن البنية الجبرية الملائمة لدراسة [[نظام معادلات خطية|أنظمة المعادلات الخطية]]، وتُشكلن أيضا الإطار العام لدراسة [[متسلسلة فورييه|متسلسلات فورييه]] اللائي يستعملن بدورهن في [[ضغط صورة|ضغط الصور]]، ولتقنيات حلحلة [[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]]. انظر أيضا إلى [[موتر]] و[[متعدد شعب|متعدد شُعب]] و[[جبر مجرد|جبر تجريدي]].

== مقدمة وتعريف ==
=== المثال الأول: الأسهم في المستوى ===
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|width=50%|[[ملف:Vector addition3.svg|180px|Vector addition: the sum {{تعبير رياضي|'''v''' + '''w'''}} (black) of the vectors {{تعبير رياضي|'''v'''}} (blue) and {{تعبير رياضي|'''w'''}} (red) is shown.]]
|width=50%|[[ملف:Scalar multiplication.svg|230px|Scalar multiplication: the multiples {{تعبير رياضي|−'''v'''}} and {{تعبير رياضي|2'''w'''}} are shown.]]
|}

=== المثال الثاني: أزواج مرتبة من الأعداد ===
المثال الثاني على الفضاءات المتجهية هو الأزواج من الأعداد الحقيقية <math>x</math> و <math>y</math> (الترتيب الذي جاءا فيه العددان<math>x</math> و مهم يعني بصفة ''عامة''<math>(x, y)\neq (y,x)</math>. لهذا السبب سمي هذا الزوج ب[[زوج مرتب]]).

* <math>(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)</math>
* <math>a(x, y) = (ax, ay)</math>

=== تعريف شامل ===
لتكن <math>E</math> [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] من العناصر (ليس بالضرورة أعداد) مزودة ب[[قانون تركيب داخلي]] يرمز له بـ <math>+</math> (ليس بالضرورة الجمع المألوف)

وليكن <math>\bigl(K,\oplus,\otimes\bigr)</math> [[حقل (رياضيات)|حقل]] تبادلي (استعملت الرموز<math>\oplus</math>و <math>\otimes</math> لكي لا يتم الخلط بينها وبين <math>+</math>و <math>\cdot</math> لكنها لا تعدو كونها مجرد رموز)

نعرف الفضاء المتجهي على أنه مجموعة <math>E</math> مزودة بـ

* [[قانون تركيب داخلي]] يرمز له بـ <math>+</math><math display="block"> \begin{alignat}{2} + :   \quad & E\times E \longrightarrow E \\ &(x,y) \longmapsto x+y \\ \end{alignat}
 </math>
* قانون تركيب خارجي يرمز له بـ <math>\cdot</math><math display="block"> \begin{alignat}{2} \cdot  \quad :   \quad & K\times E \longrightarrow E \\ &(a,x) \longmapsto a\cdot x \\ \end{alignat}
 </math>

حيث تحقق الخاصيات التالية :

<math>\forall x ,y,z \in E, \quad   \forall a,b \in K </math>
{| class="wikitable" border="0" style="width:100%;"
|-
|'''الموضوعة'''||'''المعنى'''
|-
|[[عملية تجميعية|تجميعية]] الجمع ||<math>(x+y)+z=x+(y+z)</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
|[[عملية تبديلية|تبديلية]] الجمع ||<math>x+y=y+x</math>
|-
| وجود العنصر المحايد للجمع <math>0_E</math> داخل <math>E</math> (<math>0_E \in E</math>) الذي يحقق لكل <math>x</math>: ||<math>x + 0_E = x</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
| وجود [[عنصر معاكس|العنصر المعاكس]] للجمع <math>-
x</math>داخل <math>E</math>(<math>-x \in E</math>)  لكل <math>x</math>، والذي يحقق : ||<math> \qquad x+ (-x) = 0_E</math>
|-
|[[توزيعية]] قانون التركيب الخارجي <math>\cdot</math>على الجمع الداخلي <math>+</math>في <math>E</math>  ||<math>a\cdot(x + y) = (a\cdot x )+ (a\cdot y)</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
| توزيعية قانون التركيب الخارجي <math>\cdot</math>على الجمع الداخلي <math>\oplus</math>في <math>K</math>||<math>(a \oplus b)\cdot x = (a\cdot x) + (b\cdot x)</math>
|-
| توافق الجداء <math>\otimes</math> المعرف على <math>K</math> مع الجداء الخارجي لـ <math>E</math>||<math>a\cdot(b\cdot x) = (a\otimes b)\cdot x </math>
|- style="background:#F8F4FF;"
| العنصر المحايد <math>1_K</math> لعملية الجداء الداخلي <math>\otimes</math> في <math>K</math> يحقق لكل <math>x</math>: ||<math>1_K\cdot x = x</math>
|}
نقول أن <math>\bigl(E,+,\cdot\bigr)</math>هو فضاء متجهي معرف على <math>K</math>

==== تسمية ونرميز ====

* عناصر<math>E</math>تسمى '''''المتجهات''''' . تكتب عادة بحروف لاتينية صغيرة <math>x, y ,z, v, u, w ...</math>و غالبا ما تميز عن كونها مجرد أعداد برسم سهم فوق اسم المتجهة <math>\vec v</math> وخصوصا في الفيزياء والهندسة، أو ببساطة قد تكتب بخط غليظ <math>\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}...</math>
* عناصر<math>K</math>تسمى الكميات القياسية أو ''كميات سُلمية'' (scalaire). مثل [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] أو<nowiki/>[[عدد مركب|الأعداد العقدية]]. عادة ما تُمَيـز عن المتجهات بكتابتها بحروف يونانية صغيرة <math>\alpha, \beta,\lambda , \mu \cdots</math>.

<br />
== التاريخ ==
{{مفصلة|تاريخ الجبر}}

تنبثق الفضاءات المتجهية من [[هندسة تآلفية|الهندسة التآلفية]]، من خلال تقديم [[نظام إحداثي|الإحداثيات]] في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في حوالي عام 1636، أسس كل من [[رينيه ديكارت|ديكارت]] و[[بيير دي فيرما|فيرما]] [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]]، وذلك من خلال الربط بين حلول معادلة ذات متغيرين من جهة، ونقط من [[منحنى]] في المستوى من جهة ثانية.

عرفت الفضاءات المتجهية تطورا مهما يعود فضله إلى وضع أسس [[فضاء الدوال|فضاءات الدوال]] من طرف [[هنري لوبيغ]].

== أمثلة ==
{{مفصلة|أمثلة على الفضاءات المتجهية}}

=== فضاءات الإحداثيات ===
{{مفصلة|فضاء الإحداثيات}}

=== الأعداد العقدية وامتدادات حقول أخرى ===
مجموعة [[عدد مركب|الأعداد العقدية]] C تكوّن فضاء متجهيا:

(.,+,C)
هو فضاء متجهي على الحقل C
حيث + هو الجمع بين الاعداد العقدية المألوف
و . هو الضرب المألوف بين العداد العقدية

يمكنك التحقق بنفسك ( كتمرين ) من أن هاذان القانونين + و . يحققان بدهيات الفضاء المتجهي

انظر أيضا إلى [[امتداد الحقول]] وإلى [[نظرية الأعداد الجبرية]]

=== فضاءات الدوال ===
:(''f'' + ''g'')(''w'') = ''f''(''w'') + ''g''(''w'')

انظر إلى [[فضاء الدوال]] وإلى [[مستقيم الأعداد الحقيقية]].

=== المعادلات الخطية ===
{{مفصلة|معادلة خطية|معادلة تفاضلية خطية|نظام معادلات خطية}}
:{|
|-
| style="text-align:right;"| ''a''
| +
| 3''b''
| +
| style="text-align:right;"| ''c''
| = 0
|-
| 4''a''
| +
| 2''b''
| +
| 2''c''
| = 0
|}

== القواعد والبُعد ==
{{مفصلة|قاعدة (جبر خطي)|بعد (فضاء متجهي)}}

== التطبيقات الخطية والمصفوفات ==
{{مفصلة|تحويل خطي}}

=== المصفوفات ===
{{مفصلة|مصفوفة|محدد (مصفوفات)}}

[[ملف:Matrix.svg|يسار|تصغير|200px|شكل مبين لمصفوفة]]

:<math>\mathbf x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \mapsto \left(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \right)</math>
حيث <math>\sum</math> تعني [[جمع|الجمع]].

=== القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ===
{{مفصلة|القيم الذاتية والمتجهات الذاتية}}

== فضاءات متجهية بُبنى إضافية ==
=== فضاءات متجهية طوبولوجية ===
{{مفصلة|فضاء متجهي طوبولوجي}}

==== فضاءات باناخ ====
{{مفصلة|فضاء باناخ}}

==== فضاءات هيلبرت ====
{{مفصلة|فضاء هلبرت}}

== تطبيقات ==
=== التوزيعات ===
{{مفصلة|توزيع (رياضيات)}}

=== تحليل فورييه ===
{{مفصلة|تحليل فورييه}}

=== الهندسة التفاضلية ===
{{مفصلة|فضاء المماس}}

== انظر أيضا ==
* [[نظام إحداثي ديكارتي]]
* [[متجه]]
* [[فضاء متري]]
* [[فضاء رياضي|فضاء (رياضيات)]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{روابط شقيقة}}
{{مواضيع مهمة في علم الجبر}}
{{ضبط استنادي}}
{{جبر خطي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|جبر|الفيزياء}}

[[تصنيف:بنى جبرية]]
[[تصنيف:بنى رياضية]]
[[تصنيف:متجهات]]
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]
[[تصنيف:نظرية الزمر]]