عرض مصدر فرضية ريمان

[[ملف:RiemannCriticalLine.svg|تصغير|الجزء الحقيقي (بالأحمر) والجزء التخيلي (بالأزرق) لدالة زيتا لريمان عبر المستقيم الحرج Re(''s'') = 1/2 (الجزء الحقيقي ل s مساويا للنصف). الجذور الأولى غير البديهية يمكن أن ترى عندما يكون الجزء التخيلي ل s مساويا ل 14.135± أو 21.022± أو 25.011±.]]

{{جائزة مسائل الألفية}}

'''فرضية ريمان''' {{إنج|Riemann hypothesis}} هي حدسية حدسها سنة 1859م عالم الرياضيات الألماني [[برنارد ريمان]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=28310 | عنوان = معلومات عن فرضية ريمان على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it | ناشر = thes.bncf.firenze.sbn.it|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210055636/http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=28310|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb144123556 | عنوان = معلومات عن فرضية ريمان على موقع catalogue.bnf.fr | ناشر = catalogue.bnf.fr| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190430045915/https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb144123556 | تاريخ أرشيف = 30 أبريل 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://d-nb.info/gnd/4704537-1 | عنوان = معلومات عن فرضية ريمان على موقع d-nb.info | ناشر = d-nb.info|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210055642/https://d-nb.info/gnd/4704537-1|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref> تعتبر هذه المسألة من أعظم المسائل وأقدمها ومن أصعب الفرضيات التي استعصت على البرهان.

دالة زيتا معرفة بالنسبة لجميع الأعداد العقدية المختلفة عن 1. جميع الأعداد الزوجية السالبة(2-, 4-, 6-, ...) هي جذور لهذه الدالة وتسمى «جذورا بديهية». فرضية ريمان تتعلق بالجذور غير البديهية وتقول :

:الجزء الحقيقي للجذور غير البديهية ل[[قائمة دوال زيتا|لدالة زيتا]] هو 1/2.

تعتبر هذه الحدسية أحد المسائل الأكثر أهمية في الرياضيات الحالية، حيث جاءت ثامنَ [[مسائل هيلبرت]] المشهورة التي نُشرت سنة 1900م. كما أنها إحدى المسائل السبع التي اختارتها [[معهد كلاي للرياضيات|مؤسسة كلاي]] سنة 2000م, المعروفة ب [[جائزة مسائل الألفية|مسائل الألفية]] والتي حددت جائزة مالية لحلها. فرضية ريمان هي المسألة الوحيدة المشتركة بين هاتين اللائحتين.

تتعلق فرضية ريمان بدالة أبدعها ريمان منذ حوالي قرن ونصف واسمها [[دالة زيتا لريمان]]. تنص الفرضية على أن الجزء الحقيقي للجذور العقدية لهذا التابع ثابت دوماً ويساوي النصف. جرت محاولات كثيرة خلال قرن ونصف لإثبات الفرضية ولم تكلل بالنجاح. مسألة تقرير وضع الفرضية (من الصحة أو الخطأ أو استحالة إثبات بالرياضيات الحالية).

حل هذه الفرضية يساهم في فهم توزيع [[عدد أولي|الأعداد الأولية]].

== دالة زيتا لريمان ==

[[قائمة دوال زيتا|دالة زيتا لريمان]] تعرف بالنسبة لعدد عقدي <math>s </math>، جزئه الحقيقي أكبر قطعا من 1 ب[[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلة غير المنتهية]] و[[تقارب مطلق|المتقاربة مطلقا]]، التالية:

:<math>
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
\!</math>

أثبت [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] أن هذه المتسلسلة تساوي [[جداء أويلر]] والمعرف بما يلي :
:<math>\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots</math>

حيث يشمل هذا [[جداء غير منته|الجداء غير المنتهي]] جميع الأعداد الأولية، وأيضا، يؤول إلى عدد معين عندما يكون الجزء الحقيقي ل <math>s </math> أكبر قطعا من 1. كون جداء أويلر متقاربا عندما يكون الجزء الحقيقي ل <math>s </math> أكبر قطعا من الواحد، يعني أنه ليس للدالة <math>\zeta(s) </math> جذرا في هذه المنطقة.

تتعلق فرضية ريمان بالجذور الواقعة خارج المنطقة التي تكون فيها هاته المتسلسلة متقاربة، ولهذا السبب، فإنه ينبغي لدالة زيتا لريمان أن [[امتداد تحليلي|تُمدد تحليليا]] إلى جميع الأعداد العقدية. انظر إلى [[دالة إيتا لدركليه]].

دالة زيتا لريمان تستوفي [[دالة زيتا لريمان#المعادلة الدالية|المعادلة الدالية]] الآتية :<blockquote><math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) </math></blockquote>

== الأصل ==
السبب الذي دفع ريمان لدراسة الدالة زيتا وجذورها هو إرتباطها بالصيغة الكاملة للدالة المعدة للأعداد الأولية <math>\pi(x) </math>، التي تقوم بحساب عدد الأعداد اللأعداد الأولية الأقل من عددٍ ما <math>x </math>. والتي قام بنشرها في ورقته عام 1859 «حول عدد الأعداد الأولية الأقل من مقدار محدد». الصيغة الكاملة ل <math>\pi(x) </math> هي :<blockquote><math>\Pi_0(x)= \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) -\log(2) + \int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log(t)} </math>.</blockquote>بحيث أن <math>\rho  </math> هي الجذور غير البديهية لدالة زيتا لريمان، بالنسبة ل <math>\operatorname{li} </math> طالع دالة التكامل اللوغاريتمي.

== نتائج ==

=== توزيع الأعداد الأولية ===

إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فإن قيمة الخطأ بين [[دالة التكامل اللوغاريتمي|التكامل اللوغاريتمي لأويلر]] و <math>\pi(x) </math> (انظر إلى [[الدالة المعدة للأعداد الأولية]] وإلى أعمال [[هيلغ فون كوخ]] في هذا المجال) تستوفي المتفاوتة الآتية :<blockquote><math>|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \log(x) </math> لكل <math> x \ge 2657 </math>.</blockquote>

=== نمو الدوال الحسابية ===

فرضية ريمان تفرض حدودا قصوى على مجموعة من الدوال الحسابية بالإضافة إلى [[الدالة المعدة للأعداد الأولية]] المتحَدث عنها أعلاه.

من الأمثلة على ذلك، [[دالة موبيوس]] <math>\mu </math>. كون المعادلة التالية:<blockquote><math>\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}</math></blockquote>صحيحة عندما يكون الجزء الحقيقي ل <math>s </math> أكبر قطعا من النصف، مع كون المجموع الموجود في يمين المعادلة متقاربا، '''يكافئ''' فرضية ريمان. نتيجة لذلك، يُمكن أن يُستنتج أنه إذا عُرفت [[دالة ميرتنز]] كما يلي:
:<math>M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)</math>
إذن فإن القول بأن
:<math>M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon}) \,</math>
بالنسبة لأي عدد موجب '''يكافئ''' فرضية ريمان. (انظر إلى [[تمثيل O الكبرى|رمز O الكبير]])

=== الهندسة غير التبادلية ===

في عامي 1999 و 2000، وصف [[ألان كون|ألان كن]] علاقة بين فرضية ريمان و[[هندسة لاتبادلية|الهندسة غير تبديلية]].

== الجذور على المستقيم الحرج ==

بداية القرن العشرين، برهن [[غودفري هارولد هاردي]] و[[جون إيدنسور ليتلوود]] على أن هناك عددا لا نهائي من الأصفار لدالة زيتا على المستقيم الحرج.

=== حسابات عددية ===

{| class="wikitable"
|-
!السنة
!عدد الأصفار
! عالم الرياضيات
|-
|1859?
|3
|استعمل برنارد ريمان [[صيغة ريمان-سيغل]]  (دالة لم تنشر ولكنها ذُكرت في {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|سيغل|1932}}).
|-
|1903
|15
|J. P. {{Harvard citation text|غرام|1903}} استعمل [[صيغة أويلر-ماكلورين]] فاكتشف قانون غرام. He showed that all 10 zeros with imaginary part at most 50 range lie on the critical line with real part 1/2 by computing the sum of the inverse 10th powers of the roots he found.
|-
|1914
|79 (γ<sub>''n''</sub> ≤ 200)
|R. J. {{Harvard citation text|Backlund|1914}} introduced a better method of checking all the zeros up to that point are on the line, by studying the argument ''S''(''T'') of the zeta function.
|-
|1925
|138 (γ<sub>''n''</sub> ≤ 300)
|J. I. {{Harvard citation text|Hutchinson|1925}} found the first failure of Gram's law, at the Gram point ''g''<sub>126</sub>.
|-
|1935
|195
|E. C. {{Harvard citation text|Titchmarsh|1935}} used the recently rediscovered [[صيغة ريمان-سيغل]] , which is much faster than Euler–Maclaurin summation.It takes about O(''T''<sup>3/2+ε</sup>) steps to check zeros with imaginary part less than ''T'', while the Euler–Maclaurin method takes about O(''T''<sup>2+ε</sup>) steps.
|-
|1936
|1041
|E. C. {{Harvard citation text|Titchmarsh|1936}} and L. J. Comrie were the last to find zeros by hand.
|-
|1953
|1104
|A. M. {{Harvard citation text|Turing|1953}} found a more efficient way to check that all zeros up to some point are accounted for by the zeros on the line, by checking that ''Z'' has the correct sign at several consecutive Gram points and using the fact that ''S''(''T'') has average value 0. This requires almost no extra work because the sign of ''Z'' at Gram points is already known from finding the zeros, and is still the usual method used. This was the first use of a digital computer to calculate the zeros.
|-
|1956
|{{فجوات|15|000}}
|D. H. {{Harvard citation text|Lehmer|1956}} discovered a few cases where the zeta function has zeros that are "only just" on the line: two zeros of the zeta function are so close together that it is unusually difficult to find a sign change between them. This is called "Lehmer's phenomenon", and first occurs at the zeros with imaginary parts 7005.063 and 7005.101, which differ by only .04 while the average gap between other zeros near this point is about 1.
|-
|1956
|{{فجوات|25|000}}
|D. H. Lehmer
|-
|1958
|{{فجوات|35|337}}
|N. A. Meller
|-
|1966
|{{فجوات|250|000}}
|R. S. Lehman
|-
|1968
|{{فجوات|3|500|000}}
|{{Harvard citation text|Rosser|Yohe|Schoenfeld|1969}} stated Rosser's rule (described below).
|-
|1977
|{{فجوات|40|000|000}}
|[[ريتشارد بي. برنت]]
|-
|1979
|{{فجوات|81|000|001}}
|R. P. Brent
|-
|1982
|{{فجوات|200|000|001}}
|R. P. Brent, [[Johan van de Lune|J. van de Lune]], {{Ill-WD2|H. J. J. te Riele|id=Q454904}}, D. T. Winter
|-
|1983
|{{فجوات|300|000|001}}
|J. van de Lune, H. J. J. te Riele
|-
|1986
|{{فجوات|1|500|000|001}}
|{{Harvard citation text|van de Lune|te Riele|Winter|1986}} gave some statistical data about the zeros and give several graphs of ''Z'' at places where it has unusual behavior.
|-
|1987
|A few of large (~10<sup>12</sup>) height
|{{Harvard citations|txt|first=A. M. |last=Odlyzko|year1=1987}} computed smaller numbers of zeros of much larger height, around 10<sup>12</sup>, to high precision to check [[Montgomery's pair correlation conjecture]].
|-
|1992
|A few of large (~10<sup>20</sup>) height
|{{Harvard citations|txt|first=A. M. |last=Odlyzko|year1=1992}} computed a 175 million zeroes of heights around 10<sup>20</sup> and a few more of heights around 2{{*10^|20}}, and gave an extensive discussion of the results.
|-
|1998
|10000 of large (~10<sup>21</sup>) height
|{{Harvard citations|txt|first=A. M. |last=Odlyzko|year1=1998}} computed some zeros of height about 10<sup>21</sup>
|-
|2001
|{{فجوات|10|000|000|000}}
|J. van de Lune (unpublished)
|-
|2004
|{{فجوات|900|000|000|000}}
|S. Wedeniwski ([[ZetaGrid]] distributed computing)
|-
|2004
|{{فجوات|10|000|000|000|000}} and a few of large (up to ~10<sup>24</sup>) heights
|X. {{Harvard citation text|Gourdon|2004}} and Patrick Demichel used the [[Odlyzko–Schönhage algorithm]]. They also checked two billion zeros around heights 10<sup>13</sup>, 10<sup>14</sup>, ... , 10<sup>24</sup>.
|}

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|نظرية الأعداد}}
{{ضبط استنادي}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:استحداثات 1859]]
[[تصنيف:برنارد ريمان]]
[[تصنيف:حدسيات رياضية]]
[[تصنيف:زيتا والدوال اللامية]]
[[تصنيف:فرضيات]]
[[تصنيف:مسائل القرن 21]]
[[تصنيف:مسائل غير محلولة في الرياضيات]]
[[تصنيف:مسائل هيلبرت]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد التحليلية]]