عرض مصدر عملية تبديلية

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Commutativity of binary operations (without question mark).svg|تصغير|العملية التبادلية: تعني رياضياً '''إذا وفقط إذا''' ''if and only if'' كانت "x \ y = y \ x" لكلٍّ من القيمتين (أو المتحولين): ''x'' و ''y''. توضح هذه الصورة هذه الخاصية في مفهوم العملية باعتبارها "آلة حساب". لا يهم ترتيب (أو موضع) القيمتين (أو المتحولين) ''x'' و''y'' في العملية الرياضية طالما أن النتيجة النهائية تبقى هي نفسها.]]

في [[رياضيات|الرياضيات]] '''العملية التبادلية''' أو -أحياناً- '''التبديلية''' {{إنج|''Commutativity''}}<ref group="هامش">تُعتبر الصفة "تبادلية" أدق -من حيث المعنى- من "تبديلية". إن زيادة ألف المفاعلة بعد فاء الفعل: "بَدَلَ؛ بادل" تدل على التفاعل، أو على فعلٍ مشتركٍ بين كينونتين؛ شيئين؛ شخصين؛ أمرين... الخ مثل "لعب، لاعب"، "عمل، عامل"، "قتل، قاتل"، "شغل، شاغل".</ref> هي قابلية العملية الرياضية لتبديل مواضع مُدْخلاتها دونما تغيّرٍ في النتيجة.<ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Copi |الأول=Irving M. |الأخير2=Cohen |الأول2=Carl |عنوان=Introduction to Logic |مسار=https://archive.org/details/isbn_9780536179364 |ناشر=Prentice Hall |سنة=2005}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=A Concise Introduction to Logic 4th edition |مسار=https://archive.org/details/studyguidetoacco00burc |الأخير=Hurley |الأول=Patrick  |المؤلفون= |سنة=1991 |ناشر=Wadsworth Publishing }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Mathematics in Victorian Britain|محرر1-الأول=Raymond|محرر1-الأخير=Flood|محرر2-الأول=Adrian|محرر2-الأخير=Rice|محرر3-الأول=Robin|محرر3-الأخير=Wilson|محرر3-وصلة=Robin Wilson (mathematician)|ناشر=[[دار نشر جامعة أكسفورد]]|سنة=2011|مسار=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|صفحة=4| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190614002757/https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4 | تاريخ أرشيف = 14 يونيو 2019 }}</ref> وهي إحدى الخصائص الأساسية في العديد من فروع الرياضيات.

في [[رياضيات|الرياضيات]] تكون العملية الثنائية تبادليةً إذا [وفقط إذا] كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة. وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية، وعليها يعتمد العديد من [[برهان رياضي|البراهين الرياضية]]. والأكثر شيوعاً [للتدليل عليها] -مثل اسم الخاصية- المقولة التي تقول شيئاً ما مثل:<br />"3 + 4 = 4 + 3"، أو "2 × 5 = 5 × 2"<br />يمكن أيضاً استخدام هذه الخاصية في إعداداتٍ أكثر تقدماً. تحديد اسم «العملية التبادلية» مطلوب لأنه ثمة عملياتٌ مثل القسمة والطرح لا تتضمن هذه الخاصية التبادلية<br />(على سبيل المثال: "3 - 5 ≠ 5 - 3")<br />فهذه العمليات ليست تبادليةً، ولذلك يشار إليها بـ«'''العمليات غير التبادلية'''». إن الفكرةَ القائلة بأن العملياتِ البسيطةَ -مثل «ضرب» الأرقام و«جمعها»- هي عمليات تبادلية كانت مفترضةً ضمنياً لسنواتٍ عديدةٍ خلت. ولهذا لم تجرِ تسمية هذه الخاصية حتى [[القرن 19|القرن التاسع عشر]] عندما بدأتِ الرياضيات تغدو موحدةً.<ref name="Cabillón" /><ref name=Flood11 /> توجد خاصية مقابلة للعلاقات الثنائية؛ يُقال إن العلاقةَ الثنائية متماثلةٌ إذا كانتِ العلاقة تنطبق بغض النظر عن ترتيب معاملاتها؛ على سبيل المثال [علاقة] المساواة متماثلةٌ حيث إن كائنين رياضيين متساويان بغض النظر عن ترتيبهما.<ref>{{ماثوورلد|id=SymmetricRelation|title=Symmetric Relation}}</ref> كما في قولنا:<br />
"x = y"، وكذلك "y = x".

== الاستخدامات الشائعة ==

الخاصية التبادلية (أو القانون التبادلي) هي خاصية مرتبطة بشكلٍ عامٍّ بالعمليات والوظائف الثنائية. إذا كانت الخاصية التبادلية صحيحةً لزوجٍ من العناصر في إطار عمليةٍ ثنائيةٍ معينةٍ، فيقال عندئذٍ إن العنصرين يتبادلان في إطار تلك العملية.

== المفاهيم الرياضية ==
{{أيضا|الجبر التجريدي}}

في [[رياضيات|الرياضيات]] -ولا سيما في [[جبر مجرد|الجبر التجريدي]]- تكون [[عملية ثنائية]] ما <math>\times </math> معرفةً على [[مجموعة (توضيح)|مجموعة]] ''S'' '''تبادليةً''' إذا حققتِ الشرط التالي:

:<math>x\times y = y\times x</math>

أيّاً كان ''x'' و''y'' ضمن المجموعة ''S''. أو بتعبيرٍ آخرَ في العملية <math>*</math> إذا كان:

<math display="block">x * y = y * x\qquad\mbox {for all } x,y\in S.</math>
<ref name="Krowne, p.1">Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>

وتسمى العملية التي لا تفي بالخاصية المذكورة أعلاه غير تبادليةٍ.

ويقال عندئذٍ إن x يتبادل مع y، أو إن x وy يتبادلان في العملية <math>*</math> أو إن x وy متبادلان إذا كان:

<math display="block"> x * y = y * x.</math>

وبمعنىً آخرَ تكون العملية تبادليةً إذا كان كل زوجٍ من العناصر قابلين للتبادل.

وتسمى الدالة الثنائية <math>f \colon A \times A \to B</math> -أحياناً- تبادليةً إذا كان:

<math display="block">f(x, y) = f(y, x)\qquad\mbox {for all } x,y\in A.</math>

مثل هذه الوظيفة تدعى بشكلٍ أكثر شيوعاً «الوظيفة المتماثلة».

من أمثلة العمليات غير التبادلية [[تركيب الدوال]] (''f''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''g'')، و[[tetration]] أو (''a''↑↑''b'')، وجداء [[مصفوفة (توضيح)|المصفوفات]].

== أمثلة ==

=== العمليات التبادلية في الحياة اليومية ===

[[ملف:Commutative Addition.svg|يسار|تصغير|220 بك|مثال يظهر العملية التبادلية في عملية [[جمع]] التفاح (3+2 = 2+3)، والذي يمكن النظر إليه على أنه جمعٌ في مجموعة الأعداد الطبيعية.]]

* عملية التشفير وفك التشفير في [[أمن المعلومات]] الحاسوبية تعدّ عمليةً تبادليةً، حيث إن فك التشفير لا يهتم بترتيب التشفير، وكمثالٍ على ذلك '''[[لعبة البوكر العقلية]]'''.
* يعتبر ارتداء الحذاء عمليةً تبادليةً، لأنه لا يهم إذا مابدأتِ العملية بالقدم اليسرى أم اليمنى. وبالمثل يشبه ارتداء الجوارب عمليةً تبادليةً حيث إن ارتداء أيٍّ من الجوربين أولاً غير مهمٍّ، ففي كلتا الحالتين النتيجة (ارتداء كلا الجوربين) هي نفسها. في المقابل فإن ارتداء الملابس الداخلية والسراويل ليس تبادلياً.
* تلاحظ تبادلية «عملية الجمع» عند الدفع مقابل عنصرٍ ما نقداً، فبغضّ النظر عن ترتيب تسليم الإيصالات (الفواتير)، فإنها دائماً تظهر الإجمالي نفسه.

=== العمليات التبادلية في الرياضيات ===

[[ملف:Vector Addition.svg|تصغير|تعتبر إضافة "المتجهات" (الأشعة) تبادليةً، لأن:<br /> <math>\vec a+\vec b=\vec b+ \vec a</math>.]]

مثالان مشهوران للعمليات الثنائية التبادلية:<ref name="Krowne, p.1"/>

* [[جمع]] «[[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]]» تبادلي طالما أن:
<math display="block">y + z = z + y \qquad\mbox{for all }y,z\in \mathbb{R}</math>
<br />على سبيل المثال: "4 + 5 = 5 + 4" بما أن كلا التعبيرين يساوي 9.

* [[ضرب]] «[[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]]» تبادلي طالما أن:
<math display="block">y z = z y \qquad\mbox{for all }y,z\in \mathbb{R}</math>
<br />على سبيل المثال: "3 × 5 = 5 × 3" بما أن كلا التعبيرين يساوي 15.

كنتيجةٍ مباشرةٍ لهذا فإنه من الصحيح أيضاً أن التعبيرات على الشكل y٪ من z، وكذلك z٪ من y هي تبادلية لجميع «[[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]]» y وz
<ref>{{استشهاد ويب |مسار=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html |عنوان=Compatible Numbers to Simplify Percent Problems |تاريخ الوصول=2020-07-17 | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201015153420/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html | تاريخ أرشيف = 15 أكتوبر 2020 }}</ref> على سبيل المثال فإن: 64٪ من 50 = 50٪ من 64، لأن كلا التعبيرين يساوي 32، كما أن: 30٪ من 50٪ = 50٪ من 30٪، لأن كلا التعبيرين يساوي 15٪.

* بعض وظائف الأعداد الحقيقية الثنائية هي -كذلك- تبادلية، لأن جداول الأعداد الحقيقية للوظائف تبقى ذاتها عندما يغير المرء ترتيب المعاملات.

فعلى سبيل المثال الدالة المنطقية ثنائية الشرط p ↔ q تكافئ q ↔ p. تكتب هذه الوظيفة أيضاً على الشكل p IFF q، أو على الشكل p ≡ q، أو على الشكل Epq.

والشكل الأخير هو مثال على التدوين الأكثر إيجازاً في المقالة حول وظائف الأعداد الحقيقية، والذي يسرد ستة عشر دالةً للأعداد الحقيقية الثنائية المحتملة، ثمانية منها تبادلية:
* Vpq = Vqp؛
* Apq (OR) = Aqp؛
* Dpq (NAND) = Dqp؛
* Epq (IFF) = Eqp؛
* Jpq = Jqp؛
* Kpq (AND) = Kqp؛
* Xpq (NOR) = Xqp؛
* Opq = Oqp.
* تتضمن الأمثلة الأخرى للعمليات الثنائية التبادلية جمع الأعداد المركبة وضربها، بالإضافة إلى [[جداء نقطي|الضرب القياسي]] للمتجهات (الأشعة)، وتقاطع المجموعات واتحادها.

=== العمليات غير التبادلية في الحياة اليومية ===

* تسلسل الحروف، إن عملية تبديل ترتيب الحروف في الكلمة الواحدة هو عملية غير تبادليةٍ، لأنه بتغير أماكن الحروف غالباً ما تنتج كلمة جديدة تختلف عن الكلمة الأصلية كالإبدال بين القاف والراء في «قاربَ»، و«راقبَ» مثلاً.<br />كذلك الأمر: ''EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA''.
* يشبه غسيل وتنشيف الملابس عمليةً غير تبادليةٍ، إذ يؤدي الغسيل ثم التجفيف إلى نتيجةٍ مختلفةٍ بشكلٍ ملحوظٍ عن التجفيف ثم الغسيل.
* يؤدي تدوير الكتاب بمقدار 90 درجة حول محورٍ عموديٍّ ثم بـ 90 درجة حول محورٍ أفقيٍّ إلى إنتاج اتجاهٍ مختلفٍ عما هو عليه عند إجراء التدويرات بالترتيب المعاكس.
* حركات أي لغزٍ تركيبيٍّ (مثل تقليبات «[[مكعب روبيك]]» على سبيل المثال) غير تبادليةٍ. يمكن دراسة ذلك باستخدام نظرية المجموعة.
* عمليات التفكير غير تبادليةٍ: إذا طرح شخص سؤالاً (أ)، ثم السؤال (ب) فقد يعطي إجاباتٍ مختلفةً لكل سؤالٍ عن شخصٍ طرح أولاً (ب)، ثم (أ)، لأن طرح سؤالٍ ما قد يغير حالة عقل الشخص، [واتجاه تفكيره].
* فعل ارتداء الملابس إما تبادلي وإما غير تبادليٍّ اعتماداً على العناصر، فارتداء الملابس الداخلية، والملابس العادية غير قابلٍ للتبديل، في حين إن ارتداء الجوارب اليمنى واليسرى تبادلي (لا يهم أيهما أولاً طالما النتيجة واحدة)، وكذا الحال في انتعال الأحذية.
* خلط مجموعة أوراق اللعب أمر غير تبادلي. بالنظر إلى طريقتين ''A''، و''B'' لخلط مجموعة أوراق اللعب، فإن القيام بـ ''A'' أولاً ثم ''B'' بشكلٍ عامٍّ يختلف عن القيام بـ ''B'' أولاً ثم ''A''.

=== العمليات غير التبادلية في الرياضيات ===

تعتبر العمليات الرياضية «الطرح» {{إنج|''Subtraction''}}، و«القسمة» {{إنج|''Division''}}، و«الرفع إلى أس» {{إنج|''Exponentiation''}} بعض العمليات الثنائية غير التبادلية:<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Yark|p=1}}</ref>

* [[طرح|الطرح]] غير تبادليٍّ بما أن:
:<math>0 - 1 \neq 1 - 0</math>.
: وعلى كلٍّ يجري تصنيف «الطرح» بشكلٍ أكثرَ دقةً على أنه «عكس التبادل» {{إنج|''anti-commutative''}} حيث: <math>0 - 1 = - (1 - 0)</math>.
* [[قسمة (رياضيات)|القسمة]] غير تبادليةٍ بما أن:
:<math>1 \div 2 \neq 2 \div 1</math>.
* الرفع إلى [[رفع (رياضيات)|أس]] غير تبادليٍّ بما أن:
:<math>2^3\neq3^2</math>.

=== دوال (توابع) مجموعة الأعداد الحقيقية ===

بعض دوالِّ مجموعة [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] غير تبادليةٍ، لأن جداول هذه المجموعة للدوالِّ تختلف عندما يغير المرء ترتيب المعاملات {{إنج|''operands''}}. على سبيل المثال جداول الأعداد الحقيقية لـ (A ⇒ B) = (A ∨ B¬) و (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) هي:
{{aligned table
 | class=wikitable
 | style=text-align:center; width:20%;
 | cols=4
 | col3style=width:30%;
 | col4style=width:30%;
 | row1header=yes
 | {{تعبير رياضي|A}} | {{تعبير رياضي|B}} | {{تعبير رياضي|A ⇒ B}} | {{تعبير رياضي|B ⇒ A}} 
 | F | F | T | T
 | F | T | T | F
 | T | F | F | T
 | T | T | T | T
 }}
حيث F = خطأ، T = صحيح.

=== التركيب الدالّي للدوالّ (التوابع) الخطية ===

[[ملف:Function machine2.svg|تصغير|يسار|220 بك|تصوير تخطيطي لدالّةٍ رياضيةٍ (تابعٍ رياضيٍّ) موصوفةٍ مجازياً على أنها "آلة"، أو "[[الصندوق الأسود (توضيح)|الصندوق الأسود]]" ينتج عنها مخرجات مقابلة لكل إدخال.]]

التركيب الدالّي للدوالِّ الخطيةِ {{إنج|''linear functions''}} من [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] إلى الأعداد الحقيقية يكاد يكون دائماً غير تبادليٍّ. على سبيل المثال لنفرض:<br />
<math>f(x)=2x+1</math> and <math>g(x)=3x+7</math>.

ثم:
:<math>(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x+7)+1 = 6x+15</math>

وكذلك:
:<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x+1)+7 = 6x+10</math>

ينطبق هذا أيضاً بشكلٍ أكثرَ عموميةً على التحولات الخطية والمرتبطة من فضاءٍ متجهٍ إلى نفسه (انظر أدناه للحصول على تمثيل المصفوفة).

=== ضرب المصفوفات ===

غالباً ما تكون عملية [[ضرب المصفوفات]] للمصفوفات المربعة غير تبادليّةٍ، على سبيل المثال:

:<math>
  \begin{bmatrix}
    0 & 2 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} \neq
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
</math>

=== المتجه ===

منتج «المتجه» (أو المنتج العرضي) لمتجهين في ثلاثة أبعادٍ هو مضاد للتبادل؛ مثال:<br />
''b'' × ''a'' = −(''a'' × ''b'').

== التاريخ وأصل الكلمة ==

[[ملف:Commutative Word Origin.PNG|يسار|تصغير|250 بك|كان أول استخدامٍ معروفٍ لهذا المصطلح في مجلةٍ فرنسيةٍ نُشرت في العام [[1814]].]]

تعود سجلات الاستخدام الضمني للخاصية التبادلية إلى العصور القديمة. استخدم المصريون خاصيةَ تبادليةِ [[ضرب|الضربِ]] لتبسيط المنتجات الحاسوبية.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Lumpkin|1997|p=11}}</ref><ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Gay|Shute|1987}}</ref> ومن المعروف أن «[[إقليدس]]» قد افترض الخاصية التبادلية للضرب في كتابه العناصر.<ref>O'Conner & Robertson ''Real Numbers''</ref> ظهرت الاستخدامات الرسمية للخاصية التبادلية في أواخر [[القرن 18|القرن الثامن عشر]] وأوائل [[القرن 19|القرن التاسع عشر]] عندما بدأ علماء [[رياضيات|الرياضيات]] في العمل على نظرية الوظائف. واليوم تعتبر خاصية التبادل خاصيةً معروفةً وأساسيةً تستخدم في معظم فروع الرياضيات.

كان أول استخدامٍ مسجلٍ لمصطلح التبادل في مذكرات فرانسوا سيرفوا في العام [[1814]]،<ref name="Cabillón">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Cabillón|Miller|loc=''Commutative and Distributive''}}</ref><ref>O'Conner & Robertson, ''Servois''</ref> والتي استخدمت كلمة التبادلات عند وصف الوظائف التي لها ما يسمى الآن بالخاصية التبادلية. والكلمة عبارة عن مزيجٍ من الكلمة الفرنسية ''commuter'' التي تعني «للاستبدال أو التبديل»، واللاحقة ''ative-'' ذات المعنى «يميل إلى»، لذا فإن المعنى الحرفي للكلمة هو «تميل إلى الاستبدال أو التبديل». ظهر المصطلح بعد ذلك باللغة الإنجليزية في العام [[1838]]<ref name=Flood11>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Mathematics in Victorian Britain|محرر1-الأول=Raymond|محرر1-الأخير=Flood|محرر2-الأول=Adrian|محرر2-الأخير=Rice|محرر3-الأول=Robin|محرر3-الأخير=Wilson|محرر3-وصلة=Robin Wilson (mathematician)|ناشر=[[دار نشر جامعة أكسفورد]]|سنة=2011|مسار=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|صفحة=4|isbn=9780191627941| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210819112342/https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4 | تاريخ أرشيف = 19 أغسطس 2021 }}</ref> في مقال «دنكان فاركوهارسون جريجوري» بعنوان {{اقتباس مضمن|عن الطبيعة الحقيقية للجبر الرمزي}} المنشور في العام [[1840]] في عمليات [[الجمعية الملكية]] في [[إدنبرة]].<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأول=D. F. |الأخير=Gregory|عنوان=On the real nature of symbolical algebra|دورية=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|المجلد=14|صفحات=208–216|سنة=1840|مسار=https://archive.org/details/transactionsofro14royal| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20211122074816/https://archive.org/details/transactionsofro14royal | تاريخ أرشيف = 22 نوفمبر 2021 }}</ref>

== المنطق الاقتراحي ==

=== قاعدة الاستبدال ===

في المنطق الافتراض الدالّي [[عدد حقيقي|للأعداد الحقيقية]] يشير التخفيف،<ref>Moore and Parker</ref><ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Copi|Cohen|2005}}</ref> أو التبادلية<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Hurley|Watson|2016}}</ref> إلى قاعدتين صالحتين للاستبدال. تسمح القواعد للمرء بنقل المتغيرات المقترحة ضمن التعبيرات المنطقية في البراهين المنطقية. والقواعد هي:<br />
:<math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math>
و:<math>(P \land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math>
<br />حيث:
"<math>\Leftrightarrow</math>" هو رمز منطقي يمثل [عبارة] «يمكن استبداله في برهان بـ».

=== الروابط الدالّية في الأعداد الحقيقية ===

التبادلية خاصية لبعض الوصلات المنطقية للمنطق الافتراضى الدالّي [[عدد حقيقي|للأعداد الحقيقية]]. توضح المعادلات المنطقية التالية أن التبادل هو خاصية لوصلاتٍ معينةٍ. فيما يلي عرض دالّي للأعداد الحقيقية.

تبادلية الاقتران:<math>(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)</math>
تبادلية الانفصال:<math>(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)</math>
تبادلية التضمين (وتسمى أيضاً قانون التقليب):<math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (Q \leftrightarrow P)</math>

== نظرية المجموعات ==

في المجموعة ونظرية المجموعات يُطلق على العديد من الهياكل الجبرية لقب «تبادلي» عندما تفي معاملات معينة بالخاصية التبادلية. في الفروع العليا للرياضيات -مثل «التحليل» و«[[جبر خطي|الجبر الخطي]]»- غالباً ما تُستخدم تبادلية العمليات المعروفة (مثل «[[جمع|الجمع]]» و«[[ضرب|الضرب]]» على [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]]، والمركبة) (أو المفترضة ضمنياً) في البراهين.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Axler|1997|p=2}}</ref><ref name="Gallian, p.34">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Gallian|2006|p=34}}</ref><ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Gallian|2006|pp=26,87}}</ref>

== الهياكل الرياضية والخاصة التبادلية ==

* المجموعة شبه التبادلية هي مجموعة تتمتع بعمليةٍ إجماليةٍ وترابطيةٍ وتبادليةٍ.
* إذا كانتِ العملية تحتوي أيضاً على عنصرٍ محايدٍ، فسيكون لدينا عنصر تبادلي أحادي.
* «[[زمرة أبيلية|المجموعة الأبيلية]]»،<ref group="هامش">سميت كذلك على اسم الرياضي النرويجي "[[نيلس هنريك أبيل]]" (02-[[1829]]).</ref> أو «المجموعة التبادلية» هي المجموعة التي تكون العملية المعرفة عليها تبادلية.<ref name="Gallian, p.34"/>
* "الحلقة التبادلية" هي حلقة يكون «[[ضرب|الضرب]]» فيها تبادلياً. (دائماً ما يكون "«[[جمع|الجمع]]» في الحلقة تبادلياً).<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Gallian|2006|p=236}}</ref>
* في حقلٍ رياضيٍّ كل من «[[جمع|الجمع]]» و«[[ضرب|الضرب]]» تبادليان.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Gallian|2006|p=250}}</ref>

== الخصائص ذات الصلة ==

=== الخاصية الترابطية ===

ترتبط «الخاصية الترابطية» {{إنج|''Associativity''}} ارتباطاً وثيقاً بالخاصية التبادلية. إذ تنص «الخاصية الترابطية» للتعبير الذي يحتوي على تكررين أو أكثر للعامل نفسه على أن ترتيب العمليات التي يجري تنفيذها لا يؤثر على النتيجة النهائية طالما أن ترتيب المصطلحات لا يتغير. في المقابل تنص «الخاصية التبادلية» على أن ترتيب الشروط ''terms'' لا يؤثر على النتيجة النهائية.

معظم العمليات التبادلية التي جرت معاينتها في الممارسة هي أيضاً ترابطية. ومع ذلك فإن التبادلية لا تعني الترابط [بالضرورة]. المثال المضاد يبين الأمر:
:<math>f(x, y) = \frac{x + y}{2}</math>

هذا المثال -مع أنه تبادلي واضح (حيث لا يؤثر تبادل x وy على النتيجة)- إلا أنه ليس ترابطياً بما أنه على سبيل المثال:
<math>f(-4, f(0, +4)) = -1</math>
<br />ولكن <math>f(f(-4, 0), +4) = +1</math>

يمكن العثور على المزيد في العديد من مجموعة الأمثلة التبادلية غير الترابطية.

=== خاصية التوزيع ===
{{مفصلة|خاصية التوزيع}}

=== خاصية التناظر ===

[[ملف:Symmetry Of Addition.svg|يسار|تصغير|220 بك|رسم بياني يوضح تناظر {{إنج|''Symmetry''}} دالة [[جمع|الجمع]].]]

يمكن ربط بعض أشكال التناظر {{إنج|''Symmetry''}} بشكلٍ مباشرٍ بالتبادل. عندما تجري كتابة عمليةٍ تبادليةٍ كدالّةٍ ثنائيةٍ <math>z=f(x,y)</math> فإن هذه الوظيفة تسمى دالةً متماثلةً، ويكون الرسم البياني الخاص بها في الفضاء ثلاثي الأبعاد متماثلاً عبر المستوي <math>y=x</math>.

على سبيل المثال إذا جرى تعريف الدالّة {{تعبير رياضي|''f''}} على أنها <math>f(x,y)=x+y</math> إذن <math>f</math> هي دالة متماثلة.

وبالنسبة إلى العلاقات تكون العلاقة المتماثلة مطابقةً لعمليةٍ تبادليةٍ حيث إذا كانت العلاقة R متماثلةً، فإن:<br />
<math>a R b \Leftrightarrow b R a</math>.

== المشغلين غير التبادليين في «ميكانيك الكم» ==
{{مفصلة|علاقة التبديل القانوني}}

في [علاقات] «[[ميكانيكا الكم|ميكانيك الكم]]» {{إنج|''quantum mechanics''}} -كما صاغها «[[إرفين شرودنغر|شرودنغر]]» ''Schrödinger''- يجري تمثيل المتغيرات الفيزيائية بواسطة عواملَ خطيةٍ مثل <math>x</math> (بمعنى الضرب في <math>x</math>)، و<math display="inline">\frac{d}{dx}</math>. لا يتبادل هذان العاملان كما قد يُرى من خلال النظر في تأثير تراكيبهما<br />
<math display="inline">x \frac{d}{dx}</math>، و<math display="inline">\frac{d}{dx} x</math> (وتدعى أيضاً منتجات المشغلين) على دالّةٍ موجيةٍ أحادية البعد <math>\psi(x)</math>
:<math> x\cdot {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\psi = x\cdot \psi' \ \neq \ \psi + x\cdot \psi' = {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\left( x\cdot \psi \right) </math>

ووفق «مبدأ الارتياب» [ويسمى أيضاً «مبدأ عدم اليقين»] لـ«[[فيرنر هايزنبيرغ|هايزنبرغ]]» ''Heisenberg'' إذا كان العاملان اللذان يمثلان زوجاً من المتغيرات لا يتبادلان، فإن هذا الزوج من المتغيرات يكمّل بعضه بعضاً، مما يعني أنه لا يمكن قياسهما أو معرفتهما بدقةٍ في الوقت نفسه. على سبيل المثال يجري تمثيل الموضع، والزخم الخطي {{إنج|''linear momentum''}} في اتجاه <math>x</math> لجسيمٍ ما بواسطة عامليْ التشغيل<br />
<math>x</math>، و<math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math> على التوالي (حيث <math>\hbar</math> هو «[[ثابت بلانك]] المنخفض»). هذا هو المثال عينه باستثناء الثابت <math>-i \hbar</math> لذا -مرةً أخرى- لا يتبادل المشغلان، والمعنى الفيزيائي هو أن الموضع [(أو موقع الجسيم)] والزخم الخطي [له] في اتجاهٍ معينٍ متكاملان.

== انظر أيضاً ==
* [[عملية ثنائية]]

== الهوامش ==

{{مراجع|مجموعة=هامش}}

== مراجع ==
{{مراجع}}

== المصادر ==

=== كتب ===

* {{استشهاد بكتاب| الأول=Sheldon | الأخير=Axler | عنوان=Linear Algebra Done Right, 2e | ناشر=Springer | سنة=1997 | isbn=0-387-98258-2}}
*: ''Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.''
* {{استشهاد بكتاب |الأخير1=Copi |الأول1=Irving M. |الأخير2=Cohen |الأول2=Carl |عنوان=Introduction to Logic |مسار=https://archive.org/details/isbn_9780536179364 |ناشر=Prentice Hall |سنة=2005 |طبعة=12th |isbn=9780131898349 }}
* {{استشهاد بكتاب|الأول=Joseph|الأخير=Gallian|عنوان=Contemporary Abstract Algebra |مسار=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall|طبعة=6e|سنة=2006|isbn=0-618-51471-6|ناشر=Houghton Mifflin }}
*: ''Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.''
* {{استشهاد بكتاب| الأول=Frederick | الأخير=Goodman | عنوان=Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry | مسار=https://archive.org/details/algebraabstractc0000good_c6k2 |طبعة=2e | ناشر=Prentice Hall | سنة=2003 | isbn=0-13-067342-0}}
*: ''Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.''
* {{استشهاد بكتاب |الأول1=Patrick J. |الأخير1=Hurley |الأول2=Lori |الأخير2=Watson |عنوان=A Concise Introduction to Logic |مسار= https://books.google.com/books?id=l-W5DQAAQBAJ&pg=PA675 |تاريخ=2016 |ناشر=Cengage Learning |isbn=978-1-337-51478-1 |طبعة=12th|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20231023045038/https://books.google.com/books?id=l-W5DQAAQBAJ&pg=PA675|تاريخ أرشيف=2023-10-23}}

=== مقالات ===

* {{استشهاد بدورية محكمة |مسار=http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf |الأخير=Lumpkin |الأول=B. |سنة=1997 |عنوان=The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf |تاريخ أرشيف=13 July 2007 |النوع=Unpublished manuscript}}
*: ''Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.''
* {{استشهاد بكتاب |الأول1=Robins R. |الأخير1=Gay |الأول2=Charles C. D. |الأخير2=Shute |سنة=1987 |عنوان=The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text |مسار=https://archive.org/details/rhindmathematica0000robi_h8l4 |ناشر=British Museum |isbn=0-7141-0944-4}}
*: ''Translation and interpretation of the [[بردية ريند الرياضية]].''

=== مصادر الشابكة ===

* {{springer|title=Commutativity|id=p/c023420|ref=none}}
* Krowne, Aaron, {{PlanetMath|title=Commutative|urlname=Commutative}}, Accessed 8 August 2007.
*: ''Definition of commutativity and examples of commutative operations''
* {{ماثوورلد|title=Commute|urlname=Commute}}, Accessed 8 August 2007.
*: ''Explanation of the term commute''
* {{استشهاد ويب |مسار= http://planetmath.org/?op=getuser&id=2760 |عنوان=Yark |ref={{SfnRef|Yark}}|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20231023050545/https://planetmath.org/?op=getuser&id=2760|تاريخ أرشيف=2023-10-23}} {{PlanetMath|title=Examples of non-commutative operations|urlname=ExampleOfCommutative}}, Accessed 8 August 2007
*: ''Examples proving some noncommutative operations''
* {{استشهاد ويب |الأخير1=O'Conner |الأول1=J.J. |الأخير2=Robertson |الأول2=E.F. |مسار= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html |عنوان=History of real numbers |عمل=MacTutor |تاريخ الوصول=8 August 2007 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20231023050513/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html|تاريخ أرشيف=2023-10-23}}
*: ''Article giving the history of the real numbers''
* {{استشهاد ويب |الأخير1=Cabillón |الأول1=Julio |الأخير2=Miller |الأول2=Jeff |مسار= http://jeff560.tripod.com/c.html |عنوان=Earliest Known Uses Of Mathematical Terms |تاريخ الوصول=22 November 2008|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230603163020/https://jeff560.tripod.com/c.html|تاريخ أرشيف=2023-06-03}}
*: ''Page covering the earliest uses of mathematical terms''
* {{استشهاد ويب |الأخير1=O'Conner |الأول1=J.J. |الأخير2=Robertson |الأول2=E.F. |مسار= http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html |عنوان=biography of François Servois |عمل=MacTutor |تاريخ الوصول=8 August 2007 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20231023045041/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html|تاريخ أرشيف=2023-10-23}}
*: ''Biography of Francois Servois, who first used the term''

{{جبر تجريدي}}
{{تصنيف كومنز|Commutativity}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|جبر|رياضيات}}

[[تصنيف:تحليل دالي]]
[[تصنيف:تناظر]]
[[تصنيف:جبر ابتدائي]]
[[تصنيف:جبر مجرد]]
[[تصنيف:علاقات رياضية]]
[[تصنيف:عمليات ثنائية]]
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]