عرض مصدر عدد كسري

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Fracciones.gif|تصغير|يسار|251بك|أرباع الدائرة]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''عدد مُنْطَق<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|صفحة=156،581}}</ref>''' أو '''عدد نسبي'''<ref group="ملاحظة">في بلدان المغرب العربي، "عدد نسبي" هي تسمية أخرى لـ "[[عدد صحيح]]" (من الفرنسية: Nombre relatif)</ref> {{إنج|Rational number}} هو أي عدد يمكن صياغته على شكل [[نسبة (رياضيات)|نسبة]] بين [[عدد صحيح|عددين صحيحين]] إلى بعضهما وعادة ما تكتب بالشكل: {{كسر|''أ''|''ب''}} أو {{كسر|''a''|''b''}} وتدعى [[كسر (رياضيات)|كسرا]]، حيث '''ب''' لا تساوي [[0 (عدد)|الصفر]].<ref name="Rosen">{{استشهاد بكتاب |الأخير = Rosen |الأول=Kenneth |سنة=2007 |عنوان=Discrete Mathematics and its Applications |مسار = https://archive.org/details/discretemathemat00rose_815 |طبعة=6th |ناشر=McGraw-Hill |مكان=New York, NY |isbn=978-0-07-288008-3 |صفحات=[https://archive.org/details/discretemathemat00rose_815/page/n130 105], 158–160}}</ref> يُدعى أ أو a '''[[بسط (رياضيات)|البسط]]''' أو الصورة، ويُدعى ب أو b المخرج أو '''[[مقام (رياضيات)|المقام]]'''.

يرمز إلى مجموعة الأعداد الكسرية بالرمز <math>\Q</math>،
<ref>{{استشهاد بويب|مؤلف1-الأخير=Rouse|مؤلف1-الأول=Margaret|عنوان=Mathematical Symbols|مسار=https://searchdatacenter.techtarget.com/definition/Mathematical-Symbols|تاريخ الوصول=1 April 2015| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180614194719/https://searchdatacenter.techtarget.com/definition/Mathematical-Symbols | تاريخ أرشيف = 14 يونيو 2018 }}</ref> وأول من استخدم هذا الترميز هو عالم الرياضيات الإيطالي [[جوزيبه بيانو]]، أتى هذا الرمز من الحرف الأول للكلمة الإيطالية "quoziente" التي تعني «حاصل قسمة».

للعدد الكسري صور كثيرة وجميعها متساوية حيث يمكن كتابة أي '''عدد كسري''' بعدد غير منته من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): <math>3/6 = 2/4 = 1/2</math>.

ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق: <math>1/2</math>).

يمكن أيضا التعبير عن أي عدد كسري بشكل [[تمثيل عشري|كسر عشري]]. ويكون الكسر العشري الناتج إما دوريا أو غير دوري. فمثلا الكسر 1/2 يساوي 0.5 ككسر عشري، أو الكسر 1/4 هو أيضا كسر عشري منته فهو 0.25. أما الكسر غير المنتهي فيتمثل على سبيل المثال 1/3 حيث أنه دوري ولا ينتهي 0.3333333333 (أي أن الأرقام الموجودة في الكسر العشري تتكرر بشكل دوري: 0.234234234، ومثل 12.363636 ومثل 452.563256325632)(أنظر أسفله).

== أمثلة ==
إذا كان الكسر العشري دوريا يستخدم رمز [[خط علوي (رمز رياضي)|الخط العلوي]] للتعبير عن هذه الأعداد الكسرية الدورية، كالآتي:
{|
| <math>\tfrac 13</math> || <math>= 0{,}\overline{3}</math> || <math>= 0{,}33333 \dotso</math> || <math>= \left[0{,}\overline{01}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 97</math> || <math>= 1{,}\overline{285714}</math> || <math>= 1{,}285714 \ 285714 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{010}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 12</math> || <math>= 0{,}5\overline{0}</math> || <math>= 0{,}50000 \dotso</math> || <math>= \left[0{,}1\overline{0}\right]_2</math>
|-
| <math>1 = \tfrac 11</math> || <math>= 1{,}\overline{0} = 0{,}\overline{9}</math> || <math>= 1{,}00000 \dotso = 0{,}99999 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{0}\right]_2 = \left[0{,}\overline{1}\right]_2</math>
|}
الأعداد المكتوبة بين أقواس هي كسور مكتوبة [[نظام عد ثنائي|بنظام العد الثنائي]]؛ وهي الطريقة التي يحسب بها [[حاسوب|الحاسوب]].

'''ملحوظة: '''
!عند كتابة الكسور العشرية بالعربية نستخدم «فاصل» أو «فاصلة» (2,5) وهي طريقة يستخدمها نظام الكسور الألماني، وكذلك النظام الفرنسي، أما في الإنكليزية فهم يستخدمون «النقطة» (2.5).

بالمقابل توجد مجموعة من [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] لا تمتلك صفة الدورية هذه في الكسر العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين: وهذه تدعى [[عدد غير كسري|بالأعداد غير النسبية]] أو غير الكسرية.

== صفات الأعداد الكسرية ==

العدد الكسري أو النسبي أو القياسي هو ما يمكن كتابته كسرا اعتياديا أو خارج قسمة عددين صحيحين. وعادة ما تكتب بالشكل: ''أ'' / ''ب'' أو ''a''/''b'' حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.

يمكن كتابة أي عدد قياسي بعدد غير منته من الأشكال (نتيجة عن خواص التناسب): <math>3/6 = 2/4 = 1/2</math>. ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق: <math>1/2</math>).

مجموعة الأعداد القياسية - ويرمز لها بالرمز
<math>\mathbb Q</math>
- هي [[مجموعة جزئية]] من [[عدد حقيقي|مجموعة الأعداد الحقيقية]] وتحوي [[عدد صحيح|مجموعة الأعداد الصحيحة]]، أي أن
<math>\mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R</math>
. وتكون مجموعة الأعداد القياسية [[حقل (توضيح)|حقلاً]] مرتبًا أرشميديًا.

من الحقائق المعروفة أيضًا عن الأعداد القياسية:
* أي عدد قياسي هو [[عدد جبري]] (أي حل لمعادلة جبرية معاملاتها أعداد صحيحة).
* أي عدد قياسي له [[تمثيل عشري]] منته أو دوري.
* وبالعكس أي عدد له تمثيل عشري منتهٍ أو دوري يكون بالضرورة عددًا قياسيًا.

[[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] غير القياسية لا تمتلك صفة الدورية في التمثيل العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين: وهذه تدعى [[عدد غير كسري|بالأعداد غير المنطقة]] أو غير الكسرية.

== العمليات الحسابية ==

=== التوسيع ===
يتم توسيع الكسر لكي يتم تسهيل المعادلة المراد حلها وتبسيطها حيث يتم التوسيع كالاتي:

من المعروف أن الضرب بواحد يبقي التعبير كما هو؛ أي أنه لا يغير قيمته. يتم تعريف التوسيع بالشكل الاتي:

<math>\left ( \frac{a}{b} \right )\times1=\left ( \frac{a}{b} \right )\left ( \frac{c}{c} \right )=\left ( \frac{ac}{bc} \right )</math>

مثال على ذلك:

<math>\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{3}{3} \right )=\left ( \frac{3}{6} \right )</math>

=== الاختزال ===
هو عكس التوسيع. القصد هو أن يتم استبدال عملية الضرب بواحد بعملية القسمة.

=== التساوي ===
يكون عددان كسريان <math>\frac{a}{b}</math> و<math>\frac{c}{d}</math> متساويين فقط وفقط إذا كان <math>ad = bc</math>.

فإذا كانت a=1
: b=2
: c=3
: d=6
يكون العددان الكسريان متساويين.
: أما إذا كانت في هذا المثال d=7
: فيكون الكسران غير متساويين.

=== الترتيب ===
إذا كان كلا المقامين موجبا فإن
:
:<math>\frac{a}{b} <\frac{c}{d}</math> [[إذا وفقط إذا]] توفر <math>ad <bc.</math>

إذا كان كلا المقامين سالبا فإنه ينبغي مسبقا تحويل الكسرين إلى أشكال مكافئة بمقامات موجبة، من خلال المعادلتين:
:<math>\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}</math>
و
:<math>\frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}.</math>

=== الجمع ===
يتم [[جمع]] عددين كسريين كما يلي:
:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.</math>

جرب الطريقة باختيارك أعدادا ل a , b , c, d.

انظر إلى [[مضاعف مشترك أصغر]]

=== الطرح ===
يتم طرح الأعداد الكسرية كالآتي:

<math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-cb}{bd}</math>

كما يمكن كتابتها الآتي:

a/b-c/d=(ad-bc)/bd

حيث لا بد من وضع [[بسط (رياضيات)|البسط]] بين قوسين كما هو مبين في هذا المثال.

=== الضرب ===
وتتم عملية [[ضرب|الضرب]] كما يلي:
:<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>

=== المقلوب ===
[[مقلوب عدد|مقلوب]] العدد الكسري <math>x</math> يساوي: <math>\frac{1}{x}</math>

ومقلوب العدد الكسري <math>\frac{a}{b}</math> هو: <math>\frac{b}{a}</math>

ناتج [[ضرب]] أي عدد كسري بمقلوبه يساوي الواحد

=== الأس ===

كما يوجد أيضًا المقلوب الجمعي والجدائي في الأعداد الكسرية كما يلي:
:<math> - \left(\frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{and}\quad 
\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0. </math>

== الكسر المصري ==

كل عدد جذري موجب يمكن أن يكتب على شكل مجموع مقلوب أعداد صحيحة طبيعية مختلفة.
;مثال

<math>\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}</math>

== ملاحظات ==
{{مراجع|مجموعة=ملاحظة}}

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضا ==
{{تصنيف كومنز|Rational numbers}}
* [[عدد غير كسري]]
* [[حسابات الفاصلة المتحركة|فاصلة عائمة]]
* [[مبرهنة نيفن]]
* [[توحيد مقامات]]
{{أنظمة عدد}}
{{أعداد حقيقية}}
{{أعداد جبرية}}
{{أعداد كسرية}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}
[[تصنيف:أعداد كسرية]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:كسور]]
[[تصنيف:مجموعات أعداد حقيقية]]
[[تصنيف:نظرية الحقول]]