عرض مصدر عدد طبيعي

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Three apples.svg|يسار|تصغير|يمكن للأعداد الطبيعية أن تستعمل في العد ([[تفاح]]ة، تفاحتان ثلاث تفاحات، وهكذا) من الأعلى إلى الأسفل.]]

'''العدد الطبيعي''' في [[رياضيات|الرياضيات]]، هو كل عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3... 12، 563. ويضيف بعض العلماء الصفر{{ملا|name=MacLaneBirkhoff1999p15|{{Harvard citation text|Mac Lane|Birkhoff|1999|page=15}}}} إلى هذه المجموعة من الأعداد. يرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N.
و هي مجموعة أعداد غير منتهية. يمثل الواحد 1 أصغر الأعداد الطبيعية التي لا تتضمن الصفر {{تعبير رياضي|1=ℕ<sub>*</sub>}}، بينما يمثل الصفر 0 أصغر الأعداد في مجموعة الأعداد الطبيعية التي تتضمن الصفر {{تعبير رياضي|1=ℕ<sub>0</sub>}}، ويتم إنشاؤها بواسطة علاقة الترجع:
''كل عدد طبيعي له موال وهو أيضا عدد صحيح طبيعي، 1 عدد صحيح طبيعي.''<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.schoolarabia.net/asasia/duroos_math/khat_al23dad/khat_al23dad11.htm
| عنوان = خط الأعداد
| تاريخ = 2019-03-09
| موقع = web.archive.org
| تاريخ الوصول = 2019-03-14
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200405121154/https://web.archive.org/web/20190309192255/http://www.schoolarabia.net/asasia/duroos_math/khat_al23dad/khat_al23dad11.htm
| تاريخ أرشيف = 5 أبريل 2020
| حالة المسار = bot: unknown
}}</ref>

أي: «'''1''' عدد طبيعي، وإذا كان <math>x</math> عدداً طبيعياً، فإن <math>x + 1</math> عدد طبيعي أيضاً».

وكل مجموعة مرتبة تخضع لأكسيومات [[جوزيبه بيانو|بيانو]] تسمى مجموعة أعداد طبيعية. ويُرمز إلى هذه المجموعة ب N أو يرمز إليها ب *N إذا حذف منها [[صفر (توضيح)|الصفر]]. بعض الرياضيين لا يعتبرون الصفر عددا صحيحا طبيعيا.

* ومن خصائصها الجبرية: الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب
* التجميعة، الضرب [[عملية تجميعية]]: c × (b × a) = (c × b) × a.
* التبادلية، الجمع [[عملية تبديلية]] في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة:a + b = b + a. الضرب [[عملية تبديلية]] في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة: a × b = b × a.
* وجود [[عنصر محايد|العناصر المحايدة]]، صفر هو [[عنصر محايد|العنصر الحيادي]] لعملية [[جمع|الجمع]] في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو [[عنصر محايد|العنصر المحايد]] لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.
* [[توزيعية]] عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية:a × (b + c) = a × b + a × c
* لا وجود [[قواسم الصفر|لقواسم الصفر]]، إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0..
¤ الأعداد الطبيعية تكتب من دون فاصلة /./ ومن دون كسر 1/3

ملاحظة: لم يعتبر العديد من علماء الرياضيات الإغريق الواحد عددا. فبالنسبة إليهم، اثنان هو أصغر عدد.

== تاريخ ==

=== الجذور القديمة ===
[[ملف:Os_d'Ishango_IRSNB.JPG|تصغير| [[عظمة إشانغو|يُعتقد أن عظمة إشانغو]] (معروضة في المعهد الملكي البلجيكي للعلوم الطبيعية)<ref name="RBINS_intro">{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.naturalsciences.be/expo/old_ishango/en/ishango/introduction.html
| عنوان = Introduction
| سلسلة = [[عظمة إشانغو]]
| ناشر = [[Royal Belgian Institute of Natural Sciences]]
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160304051733/https://www.naturalsciences.be/expo/old_ishango/en/ishango/introduction.html
| تاريخ أرشيف = 4 March 2016
}}</ref><ref name="RBINS_flash">{{استشهاد بويب
| مسار = http://ishango.naturalsciences.be/Flash/flash_local/Ishango-02-EN.html
| عنوان = Flash presentation
| سلسلة = [[عظمة إشانغو]]
| ناشر = [[Royal Belgian Institute of Natural Sciences]]
| مكان = Brussels, Belgium
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160527164619/http://ishango.naturalsciences.be/Flash/flash_local/Ishango-02-EN.html
| تاريخ أرشيف = 27 May 2016
}}</ref> كانت مستخدمة في الحسابات منذ 20000 سنة.]]
في البدايات مُثِلَت الأرقام الطبيعية عن طريق وضع علامة للشيء المعدود. منها تطور لمقارنة الأشياء المعدودة بأخرى لمعرفة الزيادة والنقصان أو المساواة - عن طريق حذف شيء وشطب علامته أو إضافة آخر مع علامة له وهكذا.<ref>Georges Ifrah: From on to zero, A Universal History of numbers, translated by Lowell Bair, Penguin books, 1988 (انظر المقدمة والفصول الأولى المحتوية على تفصيلات كثيرة وأبحاث عن هذا الموضوع)</ref><ref>Karl Menninger: Number words and number symbols, A cultural history of numbers, translated by Paul Broneer, Dover publications 1992 (طالع على سبيل المثال الفصول Finger Counting, و Tally Sticks)</ref>

شكل [[نظام عد|نظام العد]] خطوة هامة في تطور تمثيل الأرقام، لأنه مَكَّنَ الإنسان من تسجيل أعداد كبيرة.

[[تاريخ مصر القديمة|فالمصريون القدماء]] كان لديهم [[أرقام مصرية|نظام عد]] استخدم [[هيروغليفية مصرية|رموزا هيروغليفية]] مختلفة لتمثيل 1 و10 وجميع القوى من 10 لأكثر من 1مليون. فهناك نقش حجري في [[الكرنك]] يعود تاريخه إلى حوالي 1500قبل الميلاد (الآن في [[متحف اللوفر]])، مثل فيه الرقم 276 كـ 2 من فئة المئات، و7 من فئة العشرات و 6 من فئة الآحاد. وبنفس الطريقة للرقم 4622.

[[بلاد بابل|والبابليون]] كان لديهم [[أرقام بابلية|نظام عد]] [[دلالة موضعية|قيمة الموضع]] اعتمد على الأرقام من 1 إلى 10، مستخدما [[نظام عد ستيني|قاعدة ستينية]]، وفيه رمز العدد 60 هو نفس رمز العدد 1 ويميز بينهم السياق.<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = The Universal History of Numbers
| مسار = https://archive.org/details/universalhistory0000ifra_y2b9
| مؤلف1 = Ifrah
| ناشر = Wiley
| سنة = 2000
| isbn = 0-471-37568-3
| مؤلف1-الأول = Georges
}}</ref>

لاحقا تطور نظام العد ليشمل تخصيص رمز ''للصفر'' باعتباره رقم. استخدام [[رقم]] ''للصفر'' في نظام القيمة الموضعية يعود للبابليين حوالي [[700 ق م|700 ق. م.]]، حيث حذفوا هذا الرقم لو كان آخر رقم في العدد.{{ملا|عُثِرَ على لوحة في [[كيش]] يعتقد أنها تعود لحوالي 700 ق. م. نُقِشَ عليها ثلاثة خططاطيف للدلالة على مكان خالٍ في نظام الموضع. ألواح أخرى تعود لنفس الفترة استخدمت خطاف واحد للدلالة على خلو المكان.<ref>{{استشهاد بويب |عنوان=A history of Zero |موقع=MacTutor History of Mathematics |مسار=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |حالة المسار=live |تاريخ الوصول=23 January 2013 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |تاريخ أرشيف=19 January 2013}}</ref>}}

استخدمت [[حضارة المايا|حضارات]] [[أولمك|الأولمك]] [[حضارة المايا|والمايا]] ''الصفر'' كرقم حوالي بدايات [[القرن 1 ق م]]، لكنه لم ينتشر خارج [[وسط أمريكا|أمريكا الوسطى]].<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = 1491: New Revelations of the Americas before Columbus
| مؤلف1 = Mann
| ناشر = Knopf
| سنة = 2005
| isbn = 978-1-4000-4006-3
| صفحة = 19
| مسار = https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150514105855/https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19
| مؤلف1-الأول = Charles C.
|عبر= Google Books
| تاريخ الوصول = 3 February 2015
| تاريخ أرشيف = 14 May 2015
}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = The Development of Mathematics Throughout the Centuries: A brief history in a cultural context
| مؤلف1 = Evans
| ناشر = John Wiley & Sons
| سنة = 2014
| isbn = 978-1-118-85397-9
| الفصل = Chapter 10. Pre-Columbian Mathematics: The Olmec, Maya, and Inca Civilizations
| مسار الفصل = https://books.google.com/books?id=3CPwAgAAQBAJ&pg=PT73
| مؤلف1-الأول = Brian
|عبر= Google Books
}}</ref>

في العصر الحديث بدأ استخدام ''الصفر'' مع عالم الرياضيات الهندي [[براهماغوبتا|براهماجوبتا]] حوالي [[628|628 م]]. ولكن مع ذلك، استخدم [[دنيسيوس الصغير|ديونيسيوس الصغير]] في [[525|525 م]] ''الصفر'' كرقم لحساب [[حساب عيد الفصح المسيحي|عيد الفصح]]، دون أن يُشار له كرقم (حيث لا تتضمن [[أرقام رومانية|الأرقام الرومانية]] القياسية رمز ''الصفر''). واستخدمت مكانه كلمة ''nulla'' (أو صيغة المضاف ''nullae'') من ''nullus'' ، وتعني باللاتينية «لا شيء»، للإشارة لقيمة ''الصفر''.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm
| عنوان = Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius
| تاريخ = 25 August 2003
| ناشر = Hbar.phys.msu.ru
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm
| تاريخ أرشيف = 15 January 2019
| تاريخ الوصول = 13 February 2012
| الأخير = Deckers
| الأول = Michael
}}</ref>

أول دراسة منهجية للأرقام كمفهوم [[تجريد|مجرد]] تُنسب عادة للفلاسفة [[اليونان القديمة|اليونانيين]] [[فيثاغورس]] و[[أرخميدس]]. اعتبر بعض علماء الرياضيات اليونانيون أن الرقم 1 يختلف عن الأعداد الأكبر منه، وأحيانًا لا يعتبر كعدد.{{ملا|على سبيل المثال نرى هذا التقليد مستخدما في [[الأصول (كتاب)|إقليدوس]], طالع نسخة D.&nbsp;Joyce's على الويب من الكتاب السابع، التعريف الأول والثاني.<ref name=EuclidVIIJoyce>{{استشهاد بكتاب |مؤلف=Euclid |مؤلف-وصلة=Euclid |محرر-الأول=D. |محرر-الأخير=Joyce |الفصل=Book VII, definitions 1 and 2 |عنوان=[[الأصول (كتاب)|الأصول]] |ناشر=Clark University |مسار الفصل=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20110805002110/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html |تاريخ أرشيف=5 August 2011}}</ref>}} ، مثلًا عرّف [[إقليدس]] أولًا الوحدة {{اقتباس خاص|الوحدة شيء به يمتنع الموجود عن الانقسام إلى اشيآء تشاركه في تمام ذاتياته<ref>نصير الدين الطوسي: كتاب تحرير اصول لاوقليدوس، ص 168 ([https://archive.org/details/KitabTahrirOsoolLeEculid/page/n180/mode/1up رابط])</ref>}}
، وبالتالي وفقًا لتعريفه، فإن الوحدة (الرقم 1) ليست عددًا{{ملاحظة مفهرسة|على الرغم من ذلك ففي كتاب تحرير أصول لأوقليدوس، وفي التعريف الثاني يعرف العدد على أنه: "العدد هو الكمية المتالفة من الوحدات ويقال العدد على الواحد من حيث هو واقع في مراتب العدد"، ولكن في نص إقليدس الأصلي لا ينص التعريف الثاني على أن الوحدة عدد}}، ويعرف العدد على أنه الكمية المؤلفة من الوحدات.<ref name="Mueller 2006 p. 58">{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Philosophy of mathematics and deductive structure in [[الأصول (كتاب)|الأصول]]
| مؤلف1 = Mueller
| ناشر = Dover Publications
| سنة = 2006
| isbn = 978-0-486-45300-2
| صفحة = 58
| مكان = Mineola, New York
| OCLC = 69792712
| مؤلف1-الأول = Ian
}}</ref>

كما دُرِسَتْ الأرقام تقريبًا في نفس الوقت في [[الهند]] والصين [[وسط أمريكا|وأمريكا الوسطى]].<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
| مسار = https://archive.org/details/mathematicalthou00klin
| مؤلف1 = Kline
| ناشر = Oxford University Press
| سنة = 1990
| isbn = 0-19-506135-7
| سنة النشر الأصلية = 1972
| مؤلف1-الأول = Morris
}}</ref>

=== التعريفات الحديثة ===
في القرن التاسع عشر في أوروبا، كان هناك نقاش رياضي وفلسفي حول ماهية الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال [[هنري بوانكاريه]] ممثلا للفلسفة [[طبيعانية (فلسفة)|الطبيعانية]] نَقَدَ تعريف الرياضيون (كـ [[جوتلوب فريجه|فريجه]]، و[[ريتشارد ديدكايند|ديدكايند]]، و[[بيرتراند راسل|راسل]]) الأرقام [[منطق رياضي|منطقيًا]] لأنه سيؤدي لتناقضات والوقوع في فخ [[تعريف دائري|التعريفات الدائرية]]، بدلا من ذلك اعتبر أن الأرقام هي نتاج طبيعي للنفس البشرية وطبيعة الأشياء من حولنا<ref>Goldfarb, W. 1979. 1988. ‘‘Poincare´ Against the Logicists,’’ in History and Philosophy of Modern Mathematics, ed. W. Aspray and P. Kitcher, Minnesota Studies in the Philosopy of Science, 11, Minneapolis, University of Minnesota Press, pp. 61–81.</ref>، وهي تتوافق مع رؤية [[ليوبلد كرونكر|كرونيكر]]، الذي قال «خَلَقَ الله الأعداد الصحيحة، غير ذلك من صنيع البشر».{{ملا|الترجمة الإنجليزية لهذا الاقتباس تعود إلى Gary وهو بدوره يرجع الاقتباس الألماني إلى "Weber 1891–1892, 19, مقتبسًا من محاضرة لكرونيكر في عام 1886.".<ref>{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Gray |الأول=Jeremy |مؤلف-وصلة=Jeremy Gray
 |سنة=2008
 |عنوان=Plato's Ghost: The modernist transformation of mathematics
 |صفحة=153
 |ناشر=Princeton University Press
 |isbn=978-1-4008-2904-0
 |عبر=Google Books
 |مسار=https://books.google.com/books?id=ldzseiuZbsIC&q=%22God+made+the+integers%2C+all+else+is+the+work+of+man.%22
 |حالة المسار=live
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170329150904/https://books.google.com/books?id=ldzseiuZbsIC&q=%22God+made+the+integers%2C+all+else+is+the+work+of+man.%22#v=snippet&q=%22God%20made%20the%20integers%2C%20all%20else%20is%20the%20work%20of%20man.%22&f=false
 |تاريخ أرشيف=29 March 2017
}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب
 |الأخير=Weber |الأول=Heinrich L.
 |سنة=1891–1892
 |الفصل=Kronecker
 |مسار الفصل=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN37721857X_0002&DMDID=dmdlog6 
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20180809110042/http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN37721857X_0002&DMDID=dmdlog6
 |تاريخ أرشيف=9 August 2018
 |عنوان=''Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung''
 |عنوان مترجم=Annual report of the German Mathematicians Association
 |صفحات=2:5–23. (The quote is on p.&nbsp;19)
 |postscript=;
}} {{استشهاد بويب
 |عنوان=access to ''Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung''
 |مسار=http://www.digizeitschriften.de/dms/toc/?PPN=PPN37721857X_0002
 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170820201100/http://www.digizeitschriften.de/dms/toc/?PPN=PPN37721857X_0002
 |تاريخ أرشيف=20 August 2017 
}}</ref>}}

بسبب انتقادات [[طبيعانية (فلسفة)|الطبيعانيين]]، رأي البنائيون (constructivists) الحاجة لتطوير [[أسس الرياضيات|أساس الرياضيات]] المنطقي ليصبح أكثر دقة.{{ملا|"معظم الانتاج الرياضي في القرن العشرين توجه صوب فحص الأساس المنطقي للأشياء وبنيتها." {{Harvard citation|Eves|1990|p=606}}}}

في ستينيات القرن التاسع عشر، اقترح [[هيرمان غراسمان|جراسمان]] لأول مرة وباستخدام [[استقراء رياضي|الاستقراء الرياضي]] [[تعريف الشيء بنفسه|تعريفًا ذاتيًا]] للأعداد الطبيعية، بدءًا بالصفر ثم مضيفا له واحد (قيمة سماها e) للحصول على الرقم التالي<ref>John Stillwell: Roads to Infinity, The Mathematics of Truth and Proof, AKPeters, Ltd. Natick, Massachusetts, 2010, P. 42</ref>، هو ما يعني بالتبعية أنها نتاج لاستخدام دالة الاستقراء f(n+1) المعرفة بدورها من الدالة الأولى f(0) وليست نتاج طبيعي بشكل تام.

بدأ [[جوتلوب فريجه|فريجه]] تعريف الأرقام مستخدما [[نظرية المجموعات]]. في البداية عرَّفَ الرقم الطبيعي على أنه فئة جميع المجموعات التي تكون في [[تقابل (دالة)|تقابل]] واحد لواحد مع مجموعة معينة. ولكن أدى هذا التعريف لمفارقات، [[مفارقة راسل|كمفارقة راسل]]. لتجنب ذلك، عُدِّلَ التعريف لينص على أن الرقم الطبيعي هو مجموعة بعينها، وأن أي مجموعة في تقابل واحد لواحد معها تحوي هذا العدد من العناصر.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Eves|1990}}</ref>

من بعد [[جوتلوب فريجه|فريجه]]، قدم [[تشارلز ساندرز برس|بيرس]] تعريفًا، وحَسَّنَهُ [[ريتشارد ديدكايند|ديديكيند]]، وطوره [[جوزيبه بيانو|بيانو]] بصورة أكبر فيما يعرف الآن [[مسلمات بيانو|بمسلمات بيانو]]. وهو يعتمد على [[مسلمة (فلسفة)|مسلمات]] خصائص [[عدد ترتيبي|الأعداد الترتيبية]]: حيث كل رقم طبيعي له خَلَفْ وكل رقم طبيعي غير صفري له سَلَفْ متفرد. مسلمات بيانو مُكافِئَة للعديد من نظم نظرية المجموعات الضعيفة. أحد هذه الأنظمة هو [[نظرية المجموعات حسب تسيرميلو-فرانكل|ZFC]] مع استبدال بديهية اللانهاية (Axiom of infinity) بما ينفيها. نظرية جودشتاين (Goodstein's theorem) من النظريات التي يمكن إثباتها في [[نظرية المجموعات حسب تسيرميلو-فرانكل|ZFC]] ولا اثبات لها بمسلمات بيانو.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| الأخير = Kirby
| الأول = Laurie
| مؤلف2-الأخير = Paris
| مؤلف2-الأول = Jeff
| عنوان = Accessible Independence Results for Peano Arithmetic
| صحيفة = Wiley
| المجلد = 14
| العدد = 4
| سنة = 1982
| issn = 0024-6093
| DOI = 10.1112/blms/14.4.285
| صفحات = 285–293
}}</ref>

في هذه التعريفات، يسهل إدراج 0 (ويقابله [[مجموعة خالية|المجموعة الخالية]]) كرقم طبيعي. إدراج 0 هو الآن تقليد متعارف عليه بين [[نظرية المجموعات|علماء نظرية المجموعات]]<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Set Theory
| مؤلف1 = Bagaria
| ناشر = The Stanford Encyclopedia of Philosophy
| سنة = 2017
| إصدار = Winter 2014
| مسار = http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150314173026/http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/
| مؤلف1-الأول = Joan
| تاريخ الوصول = 13 February 2015
| تاريخ أرشيف = 14 March 2015
}}</ref> [[المنطق|والمنطقيين]].<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Classic Set Theory: A guided independent study
| مؤلف1 = Goldrei
| ناشر = Chapman & Hall/CRC
| isbn = 978-0-412-60610-6
| إصدار = 1. ed., 1. print
| صفحة = [https://archive.org/details/classicsettheory00gold/page/n39 33]
| مسار = https://archive.org/details/classicsettheory00gold
| مكان = Boca Raton, Fla. [u.a.]
| تاريخ = 1998
| الفصل = 3
| مؤلف1-الأول = Derek
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210817211550/https://archive.org/details/classicsettheory00gold | تاريخ أرشيف = 17 أغسطس 2021 }}</ref> وكذا يدرج علماء الرياضيات الآخرون الصفر{{ملا|name=MacLaneBirkhoff1999p15}} [[لغة حاسوبية|ولغات الحاسوب]] أيضًا تستخدم نظم عد تبدأ بالصفر عند تعداد العناصر كـ [[حلقة تكرار|عدادات الحلقات]] وعناصر [[سلسلة (علم الحاسوب)|السلسلة]] أو [[مصفوفة (حوسبة)|المصفوفات]].<ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| الأخير = Brown
| الأول = Jim
| عنوان = In defense of index origin 0
| صحيفة = ACM SIGAPL APL Quote Quad
| تاريخ = 1978
| المجلد = 9
| العدد = 2
| صفحة = 7
| DOI = 10.1145/586050.586053
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.jsoftware.com/papers/indexorigin.htm
| عنوان = Is index origin 0 a hindrance?
| موقع = jsoftware.com
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20151020195547/http://www.jsoftware.com/papers/indexorigin.htm
| تاريخ أرشيف = 20 October 2015
| تاريخ الوصول = 19 January 2015
| الأخير = Hui
| الأول = Roger
}}</ref> لكن على الجانب المقابل، تمسك كثيرون من علماء الرياضيات بالتقاليد القديمة معتبرين 1 أول رقم طبيعي.<ref>هذا شائع في كتب [[تحليل حقيقي|التحليل الحقيقي]]. على سبيل المثال، انظر, {{Harvard citation text|Carothers|2000}} or {{Harvard citation text|Thomson|Bruckner|Bruckner|2000}}.</ref>

=== الترميز ===
يستخدم علماء الرياضيات الرمز {{تعبير رياضي|'''N'''}} أو <math>\mathbb N</math> للإشارة إلى [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] الأعداد الطبيعية.<ref name=":1">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html
| عنوان = Natural Number
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 11 August 2020
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20220128192547/https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html | تاريخ أرشيف = 28 يناير 2022 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://functions.wolfram.com/Notations/1/
| عنوان = Listing of the Mathematical Notations used in the Mathematical Functions Website: Numbers, variables, and functions
| موقع = functions.wolfram.com
| تاريخ الوصول = 27 July 2020
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210816030938/https://functions.wolfram.com/Notations/1/ | تاريخ أرشيف = 16 أغسطس 2021 }}</ref> التي أسستها [[نظرية المجموعات]]. أحيانا استخدم الرمز {{تعبير رياضي|''J''}} في الكتابات القديمة للإشارة لهذه المجموعة.<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Principles of Mathematical Analysis
| مؤلف1 = Rudin
| ناشر = McGraw-Hill
| سنة = 1976
| isbn = 978-0-07-054235-8
| صفحة = 25
| مسار = https://archive.org/details/1979RudinW
| مكان = New York
| مؤلف1-الأول = W.
}}</ref>

ونظرًا لأن العنصرين {{تعبير رياضي|0}} و {{تعبير رياضي|1}} لهما خصائص مميزة (كعناصر محايدة للجمع والضرب، على التوالي)، فمن المهم معرفة نوع ''الأرقام الطبيعية'' المستخدم. يمكن ذلك عن طريق الشرح داخل النص (بكتابة عناصر المجموعة)، أو بوضع علامة علوية أو منخفضة،<ref name="ISO80000">{{استشهاد بكتاب
| عنوان = ISO 80000-2:2009
| ناشر = [[المنظمة الدولية للمعايير]]
| صفحة = 6
| الفصل = Standard number sets and intervals
| مسار الفصل = http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=31887
}}</ref><ref name="Grimaldi">{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction
| مؤلف1 = Grimaldi
| ناشر = Pearson Addison Wesley
| سنة = 2004
| isbn = 978-0-201-72634-3
| إصدار = 5th
| مؤلف1-الأول = Ralph P.
}}</ref> كالمثال التالي:

* الأعداد الطبيعية بدون الصفر: <math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1</math>
* الأعداد الطبيعية مع الصفر: <math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math>

بشكل آخر ونظرًا لأن الأعداد الطبيعية تشكل طبيعيًا [[مجموعة جزئية]] من [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] (غالبًا ما {{بدون لف|يرمز لها بـ <math>\mathbb Z</math>),}} لذا يمكن الإشارة إليها على أنها الأعداد الصحيحة الموجبة أو غير السالبة.<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = A review of discrete and combinatorial mathematics
| مؤلف1 = Grimaldi
| ناشر = Addison-Wesley
| isbn = 978-0-201-72634-3
| إصدار = 5th
| صفحة = 133
| مكان = Boston
| تاريخ = 2003
| مؤلف1-الأول = Ralph P.
}}</ref> لتوضيح إذا كان الرقم 0 مدرجًا أم لا، يتم أحيانًا إضافة حرف سفلي (أو علوي) "0" في الحالة الأولى (الأعداد الموجبة)، ويتم إضافة حرف علوي "{{تعبير رياضي|*}}" في الحالة الأخيرة (غير السالبة):<ref name="ISO80000" />

: <math>\{1, 2, 3,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x > 0\}=\mathbb Z^+= \mathbb{Z}_{>0}</math>
: <math>\{0, 1, 2,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x \ge 0\}=\mathbb Z^{+}_{0}=\mathbb{Z}_ {\ge 0}</math>

== الأعداد الزوجية والأعداد الفردية ==
العدد الصحيح إن كان له نصف صحيح أي غير منكسر فزوج، كالعشرة، وإلا ففرد، كالثلاثة.
نقول أن عددان لهما نفس الزوجية سواء إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.

* ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
** عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: <math>10 = 4 + 6  \,</math>.
** عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال: <math>8 = 3 + 5  \,</math>.
* ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
** عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: <math>9 = 4 + 5  \,</math>.
* ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي. مثال: <math>8 = 4 \times 2  \,</math>.
* ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي. مثال: <math>21 = 7 \times 3  \,</math>.
* ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي وعدد فردي، عدد زوجي. مثال: <math>10 = 5 \times 2  \,</math>.

عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:
* إذا كان البسط زوجياً والمقام فردياً سنحصل على عدد زوجي أو [[عدد كسري]].
** أمثلة: <math> \frac{8}{3} ,4 = \frac{12}{3}  \,</math>.
* إذا كان البسط فردياً والمقام زوجياً سنحصل على عدد كسري دائماً.
** أمثلة: <math> \frac{3}{4} , \frac{7}{2}  \,</math>.
* إذا كان البسط والمقام زوجيين سنحصل على عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
** أمثلة: <math>\frac{4}{14} ,3 = \frac{6}{2} ,4 = \frac{8}{2}  \,</math>.
* إذا كان البسط والمقام فرديين سنحصل على عدد فردي أو عدد كسري.
** أمثلة: <math> \frac{11}{5} ,3 = \frac{9}{3}  \,</math>.

== اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية ==
هناك أكثر من خمسة عشر اختبارا لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا.

=== عن طريق القسمة المتكررة ===
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى [[قسمة متكررة|القسمة المتكررة]].

=== الغرابيل ===
[[ملف:Sieve of Eratosthenes animation.gif|تصغير|[[غربال إراتوستينس|خوارزمية]] بسيطة لعالم رياضيات اليونانية [[إراتوستينس]] لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة).]]

كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى [[نظرية الغربال|غربالا]]. أقدم مثال على ذلك [[غربال إراتوستينس]] لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. [[غربال أتكين]] أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة.

=== اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك ===
[[مبرهنة فيرما (توضيح)|مبرهنة فيرما الصغرى]] تبين أنه إذا كان ''p'' عددا أوليا و''a'' عددا أوليا مع ''p''، إذن:<math>a^{p-1}\equiv 1 \ \ (p)</math>

عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد ''a'' أولي مع 561، لدينا <math>a^{560}\equiv 1 \ \ (561)</math>

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان ''p'' غير أولي فإن <math>a^{p-1}</math> متوافق مع 1 بترديد ''p'' لقيمة ما ''a''

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان: <math>1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1} \ \ (x)</math>، فهذا يعني أن ''x'' [[عدد أولي احتمالي]].

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة ''x'' عدد غير أولي قطعيا.

=== عن طريق القسمة المتكررة ===
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى [[قسمة متكررة|القسمة المتكررة]].

== الرموز المستعملة ==
:<math>\mathbb{N}^0 = \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}</math>
:<math>\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0}= \{ 1, 2, \ldots \}. </math>

== خصائص جبرية ==
لعملتي الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية مجموعة من الخصائص الجبرية:
* [[انغلاق (رياضيات)|الانغلاق]] بعمليتي الجمع والضرب: مهما كان a و b عددين طبيعيين، فإن كلا من a + b و a × b هما عددان طبيعيان.
* [[عملية تجميعية|التجميعة]]، الجمع والضرب [[عملية تجميعية|عمليتان تجميعيتان]]: مها كانت a و b و c أعدادا طبيعية، فإن {{بدون لف|a + (b + c) {{=}} (a + b) + c}} و{{بدون لف|a × (b × c) {{=}} (a × b) × c}}.
* [[عملية تبديلية|التبادلية]]، الجمع والضرب [[عملية تبديلية|عمليتان تجميعيتان]] في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة:{{بدون لف|a + b {{=}} b + a}} و{{بدون لف|a × b {{=}} b × a}}.
* وجود [[عنصر محايد|العناصر المحايدة]]، صفر هو [[عنصر محايد|العنصر الحيادي]] لعملية [[جمع|الجمع]] في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو [[عنصر محايد|العنصر المحايد]] لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.
* [[توزيعية]] عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية:a × (b + c) = a × b + a × c
* لا وجود [[قاسم الصفر|لقواسم الصفر]]، إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0.

== خصائص الأعداد الأولية ==
* أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
* كل عدد صحيح n > 1 له قاسم أولي.
* إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
* إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان [[توأما أوليا]]. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان.
* ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk

* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
* للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm

=== أمثلة ===

ppcm (4;9) = 36
ppcm (6;10)=30

=== تعريف ===

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو اآكبر قاسم مشترك لهما
نرمز له بالرمز pgcd
مثال:

pgcd(126;90)=18
pgcd(4;9)=1

=== إضافات ===

* طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b

أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b، فإذا آان الجواب لا، أتابع البحث إن آان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b.

** طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b

أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أكبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آن الجواب لا، أتابع البحث ان كان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b.

*** طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p<a
-إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي
-إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي

== تعريفات رسمية ==
{{مفصلة|تعريف الأعداد الطبيعية من خلال نظرية المجموعات}}

== الأعداد الطبيعية: تجريد للأشياء الحقيقية ==
تملك الأشياء والحيوانات خاصية مشتركة: في سلة ما، كلّ التفاحات منفصلة وتتشابه بعض الشيء. في قطيع غنم، تتشابه الحيوانات وهي منفصلة.

لذا ظهرت أشياء لا توجد في الحقيقة، يمكن تغيير أمكانها في ما بينها. هي أشياء لا علاقة لها بالحقيقة، لا توجد إلاّ في الخيال. لذا سنكتب «واحد 1» «اثنان 2» «ثلاثة 3»... ثلاثة ماذا؟ ثلاثة من هذه الأشياء التي اخترعناها ولا وجود لها، ثلاثة «وحدات».

و لو افترضنا أنّ أ هو عدد التفاحات وج هو عدد الأغنام، هذان العنصران يمكن التعامل معهما رياضيًّا مهما كانت الأشياء التي تمثلها.

لقد وجدنا إذا خاصية مهمّة وهي خاصية [[مجموعة قابلة للعد|المجموعات العدودة]]) ولقد اخترعنا عدادا خياليا لا يملك إلا هذه الخاصية. وهذا الشيء هو الوحدة.

يُدعى هذا التمرين الفكري [[تجريد|التجريد]]. نُجرّد الشيء من صفته ليصبح كميّة فقط.

== مسائل خاصة بالأعداد الفردية والزوجية ==
;[[حدسية غولدباخ]]: حدسية غولدباخ تنص على أن كل عدد [[عدد صحيح|صحيح]] طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين [[عدد أولي|أوليين]]. (ملاحظة: هذه الحدسية لم تُثبت بعد).
;[[عدد مثالي|الأعداد المثالية]]: العدد المثالي هو عدد طبيعي يساوي مجموع [[قاسم (رياضيات)|قواسمه]] بما فيها 1، اكتشف ما يزيد على 40 عدد زوجي مثالي (أصغر عدد زوجي مثالي هو 6 حيث 6 = 1+2+3)، ولا يعرف أيوجد عدد فردي مثالي أم لا؟ عدد مثل هذا يجب أن يكون أكبر من <math>10^{300}</math>.
;[[عدد أولي|الأعداد الأولية]]: العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2 وبقية الأعداد الأولية الأخرى فردية.

== تحليل عدد صحيح ==
'''تحليل العدد الصحيح''' هو عملية [[تحليل إلى عوامل|تفكيكه]] إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء [[عدد أولي|أعداد أولية]]، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 3<sup>2</sup>·5.

أمثلة أخرى:

11 = 11 <br />
25 = 5 × 5 = 5<sup>2</sup> <br />
125 = 5 × 5 × 5 = 5<sup>3</sup> <br />
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2<sup>3</sup> × 3<sup>2</sup> × 5

== انظر أيضًا ==
* [[المبرهنة الأساسية في الحسابيات#التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب|التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب]]
* [[مجموعة قابلة للعد]]
* [[عدد صحيح]]

== ملاحظات ==
{{ملاحظات}}

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{أنظمة عدد}}

{{روابط شقيقة}}

{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}

[[تصنيف:أعداد أصلية|أعداد أصلية]]
[[تصنيف:أعداد صحيحة]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:مجموعات أعداد حقيقية]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد]]