عرض مصدر عدد ديلانوي

{{يتيمة|تاريخ =يناير 2025}}
{{معلومات متتالية صحيحة|named_after=هنري أوغست ديلانوي|terms_number=[[ما لا نهاية]]|formula=<math>D(m,n) = \sum_{k=0}^{\min(m,n)} \binom{m}{k} \binom{n}{k} 2^k</math>|OEIS=A008288|OEIS_name=مجموعة ديلانوي المربعة}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''عدد ديلانوي''' <math>D</math> يحسب المسارات من الزاوية الجنوبية الغربية (''0, 0'') لشبكة مستطيلة إلى الزاوية الشمالية الشرقية (''m'', ''n'')، باستخدام خطوات مفردة فقط باتجاه الشمال أو الشمال الشرقي أو الشرق. تم تسمية أرقام ديلانوي على اسم ضابط الجيش الفرنسي وعالم رياضيات الهواة هنري ديلانوي.<ref>{{استشهاد|الأخير=Banderier|الأول=Cyril|عنوان=Why Delannoy numbers?|صحيفة=Journal of Statistical Planning and Inference|سنة=2005|المجلد=135|صفحات=40–54|الأخير2=Schwer|الأول2=Sylviane|arxiv=math/0411128|DOI=10.1016/j.jspi.2005.02.004|mr=2202337|العدد=1}}</ref>

يحسب رقم ديلانوي <math> D(m,n) </math> أيضًا [[تراصف تسلسلي|التراصف]] لتسلسلين بطولين <math>m</math> و<math>n</math>، <ref>{{استشهاد|الأخير=Covington|الأول=Michael A.|عنوان=The number of distinct alignments of two strings|صحيفة=Journal of Quantitative Linguistics|سنة=2004|المجلد=11|صفحات=173–182|DOI=10.1080/0929617042000314921|العدد=3}}</ref> النقاط في شبكة عددية ''صحيحة'' أو متعدد السطوح متقاطع الأبعاد والتي تبعد ''n'' خطوة على الأكثر عن الأصل، <ref>{{استشهاد|الأخير=Luther|الأول=Sebastian|مسار=http://stacks.iop.org/1742-5468/2011/i=09/a=P09026|عنوان=Counting lattice animals in high dimensions|صحيفة=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|سنة=2011|المجلد=2011|صفحة=P09026|الأخير2=Mertens|الأول2=Stephan|arxiv=1106.1078|bibcode=2011JSMTE..09..026L|DOI=10.1088/1742-5468/2011/09/P09026|العدد=9}}</ref> وفي [[أتمتة خلوية|الأتمتة الخلوية]]، الخلايا في جوار فون نيومان في ''m'' بُعد بنصف قطر ''n''.<ref>{{استشهاد|الأخير=Breukelaar|الأول=R.|عنوان=Proceedings of the 7th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation (GECCO '05)|ناشر=ACM|سنة=2005|مكان=New York, NY, USA|صفحات=107–114|الفصل=Using a Genetic Algorithm to Evolve Behavior in Multi Dimensional Cellular Automata: Emergence of Behavior|الأخير2=Bäck|الأول2=Th.|DOI=10.1145/1068009.1068024|ISBN=1-59593-010-8}}</ref>

== مثال ==
عدد ديلانوي ''D'' (3، 3) يساوي 63. يوضح الشكل التالي مسارات ديلانوي البالغ عددها 63 من (0، 0) إلى (3، 3):

[[ملف:Delannoy3x3.svg]]

يتم حساب المجموعة الفرعية من المسارات التي لا ترتفع فوق الخط القطري من الجنوب الغربي إلى الشمال الشرقي بواسطة عائلة ذات صلة من الأرقام، وهي [[عدد شرودر|أرقام شرودر]].

== مجموعة ديلانوي ==
'''مصفوفة ديلانوي''' عبارة عن [[مصفوفة (رياضيات)|مصفوفة لا نهائية]] من أرقام ديلانوي:<ref>{{استشهاد|مؤلف=Sulanke|الأول=Robert A.|مسار=http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Sulanke/delannoy.pdf|عنوان=Objects counted by the central Delannoy numbers|صحيفة=Journal of Integer Sequences|سنة=2003|المجلد=6|صفحة=Article 03.1.5|بيب_كود=2003JIntS...6...15S|mr=1971435|العدد=1|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20231205224935/https://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Sulanke/delannoy.pdf|تاريخ أرشيف=2023-12-05}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
!
!0
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
|-
!0
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|-
!1
|1
|3
|5
|7
|9
|11
|13
|15
|17
|-
!2
|1
|5
|13
|25
|41
|61
|85
|113
|145
|-
!3
|1
|7
|25
|63
|129
|231
|377
|575
|833
|-
!4
|1
|9
|41
|129
|321
|681
|1289
|2241
|3649
|-
!5
|1
|11
|61
|231
|681
|1683
|3653
|7183
|13073
|-
!6
|1
|13
|85
|377
|1289
|3653
|8989
|19825
|40081
|-
!7
|1
|15
|113
|575
|2241
|7183
|19825
|48639
|108545
|-
!8
|1
|17
|145
|833
|3649
|13073
|40081
|108545
|265729
|-
!9
|1
|19
|181
|1159
|5641
|22363
|75517
|224143
|598417
|}
في هذه المصفوفة، الأرقام في الصف الأول هي واحد، والأرقام في الصف الثاني هي [[أعداد زوجية وفردية|أرقام فردية]]، والأرقام في الصف الثالث هي [[عدد ممركز مربعي|أرقام المربع المركزي]]، والأرقام في الصف الرابع هي أرقام ثماني السطوح المركزية. وبدلاً من ذلك، يمكن ترتيب نفس الأرقام في مصفوفة مثلثية تشبه [[مثلث باسكال]]، والذي يُسمى أيضًا '''مثلث تريبوناتشي'''، حيث يكون كل رقم هو مجموع الأرقام الثلاثة التي فوقه:
        1
       1 1
      1 3 1
     1 5 5 1
    1 7 13 7 1
   1 9 25 25 9 1
 1 11 41 63 41 11 1

== أرقام ديلانوي المركزية ==
'''أرقام ديلانوي المركزية''' ''D''(''n'') = ''D''(''n'', ''n'') هي أرقام شبكة مربعة ''n'' × ''n''. الأرقام المركزية القليلة الأولى لديلانوي (تبدأ بـ ''n'' = 0) هي:

: 1، 3، 13، 63، 321، 1683، 8989، 48639، 265729، ... (التسلسل A001850 في OEIS).

== حساب ==

=== أرقام ديلانوي ===
لـ <math> k </math> خطوات قطرية (أي شمال شرقية)، يجب أن تكون هناك <math> m-k </math> خطوات في الاتجاه <math> x </math> و <math> n-k </math> خطوات في الاتجاه <math> y </math> من أجل الوصول إلى النقطة <math> (m, n) </math>؛ نظرًا لأنه يمكن تنفيذ هذه الخطوات بأي ترتيب، فإن عدد هذه المسارات يُعطى بواسطة [[مبرهنة ذات الحدود المتعددة|معامل متعدد الحدود]] <math> \binom{m+n-k}{k, m-k, n-k} = \binom{m+n-k}{m} \binom{m}{k} </math>. ومن ثم، نحصل على تعبير مغلق الشكل:

: <math> D(m,n) = \sum_{k=0}^{\min(m,n)} \binom{m+n-k}{m} \binom{m}{k} . </math>

يتم تقديم التعبير البديل بواسطة:

: <math> D(m,n) = \sum_{k=0}^{\min(m,n)} \binom{m}{k} \binom{n}{k} 2^k </math>

أو بالسلسلة اللانهائية:

: <math> D(m,n) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k+1}} \binom{k}{n} \binom{k}{m}. </math>

وأيضا:

: <math> D(m,n) = \sum_{k=0}^{n} A(m,k), </math>

حيث <math> A(m,k) </math> يتم إعطاؤه مع {{OEIS|A266213}}.

من السهل رؤية [[علاقة استدعاء ذاتي|العلاقة التكرارية]] الأساسية لأرقام ديلانوي على أنها:

: <math>D(m,n)=\begin{cases}1 &\text{if }m=0\text{ or }n=0\\D(m-1,n) + D(m-1,n-1) + D(m,n-1)&\text{otherwise}\end{cases}</math>

تؤدي علاقة التكرار هذه أيضًا بشكل مباشر إلى [[دالة مولدة|الدالة المولدة]]:

: <math> \sum_{m,n = 0}^\infty D(m, n) x^m y^n = (1 - x - y - xy)^{-1} . </math>

=== أرقام ديلانوي المركزية ===
استبدال <math> m = n </math> في أول تعبير مغلق أعلاه، يتم استبدال <math> k \leftrightarrow n-k </math>، يعطي:

: <math> D(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k}, </math>

في حين أن التعبير الثاني أعلاه يصبح:

: <math> D(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 2^k . </math>

تلبي أرقام ديلانوي المركزية أيضًا علاقة تكرار ثلاثية الحدود فيما بينها، <ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=A bijective proof of the Delannoy recurrence|صحيفة=Congressus Numerantium|مؤلف=Peart|الأول=Paul|سنة=2002|المجلد=158|صفحات=29–33|مؤلف2=Woan|issn=0384-9864|الأول2=Wen-Jin|zbl=1030.05003|mr=1985142}}</ref>

: <math> n D(n) = 3(2n-1)D(n-1) - (n-1)D(n-2), </math>

ولها دالة توليد:

: <math> \sum_{n = 0}^\infty D(n) x^n = (1-6x+x^2)^{-1/2} . </math>

يتم إعطاء السلوك المقارب الرائد لأرقام ديلانوي المركزية بواسطة:

: <math> D(n) = \frac{c \, \alpha^n}{\sqrt{n}} \, (1 + O(n^{-1})) </math>

حيث <math> \alpha = 3 + 2 \sqrt{2} \approx 5.828 </math> و <math> c = (4 \pi (3 \sqrt{2} - 4))^{-1/2} \approx 0.5727 </math> .

== انظر أيضا ==

* [[رقم موتسكين]]
* [[عدد شرودر|رقم شرودر]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

== روابط خارجية ==

* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{ماثوورلد|title=Delannoy Number|urlname=DelannoyNumber}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:توافقيات]]
[[تصنيف:مثلثات الأعداد]]
[[تصنيف:سلاسل عددية]]
[[تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة]]