عرض مصدر عدد حقيقي

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Latex real numbers square.svg|تصغير|120بك|رمز ''لمجموعة الأعداد الحقيقية'']]

'''العدد الحقيقي''' {{إنج|Real number}} في [[رياضيات|الرياضيات]] هو [[رقم]] يستخدم لقياس كميّة مستمرة أحادية [[بعد|البعد]] مثل [[مسافة|المسافة]] أو [[زمن|المدة]] أو [[درجة حرارة|درجة الحرارة]].كلمة '''مستمر''' هنا تعني أنّه يمكن أن تحتوي على اختلافات صغيرة عشوائية. {{ملا|هذا لا يكفي لتمييز الأعداد الحقيقية عن [[كسر (رياضيات)|العدد المنطقي]] ؛ مطلوب أيضًا خاصية [[اكتمال الأعداد الحقيقية|الاكتمال]].}}يمكن تمثيل كل رقم حقيقي بشكل فريد تقريبًا من خلال [[تمثيل عشري|توسيع عشري]] لانهائي. {{ملا|The terminating rational numbers may have two decimal expansions (see [[0.999...]]); the other real numbers have exactly one decimal expansion.}} <ref>{{استشهاد بويب|تاريخ=2011-08-03|موقع=Oxford Reference|عنوان=Real number|تاريخ أرشيف=4 أبريل 2023|مسار       =https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803100406944|مسار أرشيف =https://web.archive.org/web/20230404080427/https://www.oxfordreference.com/display/10.1093/oi/authority.20110803100406944;jsessionid=830AD30C33F9E33A8278867C5BCA984B}}</ref> ظهرت كلمة حقيقي للمرة الأولى في القرن السابع عشر بواسطة [[رينيه ديكارت]] ، الذي ميز بين الجذور الحقيقية والخيالية ل<nowiki/>[[متعددة الحدود|كثيرات الحدود]].{{بحاجة لمصدر|تاريخ = مارس 2021}} '''مجموعة الأعداد الحقيقية''' هي مجموعة [[عدد|أعداد]] تتكون من مجموعة [[عدد غير كسري|الأعداد غير الكسري]] (''R\Q'') ومجموعة [[عدد كسري|الأعداد الكسرية]] المنتهية والاعداد الكسرية المتكررة أو الدورية '''(Q)'''. تشمل مجموعة [[كسر (رياضيات)|الأعداد الكسرية]] مجموعة [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] ('''Z''') و<nowiki/>[[كسر (رياضيات)|الكسور]]، وتشمل مجموعة [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] مجموعة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] ('''N'''). وبذلك تكون:

مجموعة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] [[مجموعة جزئية]] من مجموعة [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة [[كسر (رياضيات)|الأعداد الكسرية]] والأخيرة مجموعة جزئية من '''مجموعة الأعداد الحقيقية'''.

مجموعة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] تبدأ من الصفر إلى موجب ما لا نهاية بزيادة واحد صحيح في كل مرة،,وعرفت بهذا الاسم كوننا يمكن ملاحظتها في الطبيعة من حولنا؛ أما مجموعة [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] فتشتمل على الأعداد من سالب ما لا نهاية بالإضافة إلى مجموعة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] بزيادة واحد صحيح كل مرة، أما [[كسر (رياضيات)|الأعداد الكسرية]] فتتكون من كسور [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] في صورة بسط ومقام، أما '''الأعداد الحقيقية''' فتشمل المجموعات السابقة كلها بالإضافة إلى الأعداد التي لا يمكن كتابتها على شكل كسور مثل ال[[ط (رياضيات)|π]] (الباي) أي [[عدد غير كسري|الأعداد اللا كسرية]],و<nowiki/>[[جذر تربيعي|الجذر التربيعي]] الذي لا يعطي رقمًا صحيحًا مثل [[جذر تربيعي|جذر2]]

يمكن تصور '''الأعداد الحقيقية''' بأنها أعداد غير متناهية على [[خط (توضيح)|خط]] [[مستقيم (توضيح)|مستقيم]]. وتأخذ '''الأعداد الحقيقية''' اسمها من تضادها مع فكرة [[عدد مركب|الأعداد التخيلية]]. كما يمكن لها أن تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها. يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادة سلسلة من الأرقام غير منتهية و[[غير دورية]] في حالة الأرقام غير الكسرية أو الدورية في حالة [[كسر (رياضيات)|الأعداد الكسرية]]. نشأت فكرة '''الأعداد الحقيقية''' بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]] أو [[كسر (رياضيات)|أعداد كسرية]].

في هذه المجموعة المعادلة الآتية: <math>x^2 - 2 = 0</math> لها حل.

== خصائص أساسية ==
[[ملف:Sets of numbers-ar.svg|تصغير|تمثيل مجموعة الأعداد بأشكال ڤن وتكتب رمزياً:                                        [[عدد طبيعي|N]]⊂ [[عدد صحيح|Z]] ⊂ [[عدد كسري|Q]]. Q ∪ [[عدد غير كسري|H]] =  '''R'''                  ]]
'''العدد الحقيقي''' قد يكون [[عدد كسري|كسريا]] أو [[عدد غير كسري|غير كسري]] وقد يكون [[عدد جبري|جبريا]] أو [[عدد متسام|متساميا]] وقد يكون [[عدد موجب|موجبا]] أو [[عدد سالب|سالبا]] أو مساويا [[0 (عدد)|للصفر]]. تستعمل الأعداد الحقيقية من أجل قياس [[دالة مستمرة|الكميات المتصلة]].

وبشكل رسمي، لمجموعة الأعداد الحقيقية خاصيتان أساسيتان اثنتان هما كونها [[حقل مرتب|حقلا مرتبا]]، وكونها [[اكتمال الأعداد الحقيقية|مكتملة]].

أي رقم حقيقي غير صفري (لا يساوي صفر) هو إما سالب أو موجب.

مجموع وحاصل ضرب عددين حقيقيين غير سالبين هو مرة أخرى رقم حقيقي غير سالب، أي أنهما مغلقان في ظل هذه العمليات، ويشكلان [[مخروط]]ًا موجبًا، مما يؤدي إلى ظهور ترتيب خطي للأرقام الحقيقية على طول الرقم خط.

تشكل الأعداد الحقيقية مجموعة لا نهائية من الأرقام التي لا يمكن تعيينها عن طريق مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية، أي أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الحقيقية، بينما تسمى الأعداد الطبيعية اللانهائية. هذا يثبت أنه بشكل ما، هناك أعداد حقيقية أكثر من العناصر الموجودة في أي [[مجموعة قابلة للعد]].

يمكن استخدام الأعداد الحقيقية للتعبير عن قياسات الكميات المستمرة. يمكن التعبير عنها من خلال التمثيلات العشرية، ومعظمها يحتوي على تسلسل لا نهائي من الأرقام على يمين الفاصلة العشرية ؛ غالبًا ما يتم تمثيل هذه الأرقام مثل ...324.823122147 ، حيث تشير علامة الحذف (ثلاث نقاط) إلى أنه لا يزال هناك المزيد من الأرقام في المستقبل. هذا يلمح إلى حقيقة أنه يمكننا أن نشير بدقة إلى عدد قليل فقط من الأرقام الحقيقية المختارة مع عدد كبير من الرموز.

بشكل أكثر رسمية، تحتوي الأرقام الحقيقية على خاصيتين أساسيتين لكونها حقل مرتب، ولها خاصية الحد الأعلى الأقل. الأول يقول أن الأعداد الحقيقية تشمل حقلاً، بالإضافة إلى الضرب وكذلك القسمة على أرقام غير صفرية، والتي يمكن ترتيبها بالكامل على خط الأعداد بطريقة متوافقة مع الجمع والضرب. الثانية تقول أنه إذا كان لمجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية حد أعلى، فإن لها حدًا أعلى حقيقيًا. الشرط الثاني يميز الأرقام الحقيقية عن [https://ar.mosg-portal.com/divide-rational-numbers-8678286-4377 الأرقام المنطقية]: على سبيل المثال، مجموعة الأرقام المنطقية التي يكون مربعها أقل من 2 هي مجموعة ذات حد أعلى (على سبيل المثال 1.5) ولكن لا يوجد حد أعلى (منطقي): ومن هنا تأتي الأرقام المنطقية لا تفي بأقل خاصية للحد الأعلى.

== في الفيزياء ==

في الفيزياء تستعمل الأعداد الحقيقية للتعبير عن المقاييس وذلك لسببين أساسيين:

* نتيجة الحسابات الفيزيائية لا يعبر عنها بأعداد كسرية غالبا، دون أن يأخذها الفيزيائيون بعين الاعتبار في استدلالاتهم وذلك لأنها لا تحمل أي معنى فيزيائي.
* نجد مفاهيم كالسرعة اللحظية والتسارع في الفيزياء. وهذه المفاهيم ناتجة عن نظريات رياضية التي تهتم كثيرا بالأعداد الحقيقية وتعتبرها كحاجة نظرية. بالإضافة إلى أن هذه المفاهيم تكون أكثر دقة وأهمية إذا ما تم التعبير عنها بأعداد حقيقية.

بالمقابل لا يمكن الاكتفاء بأعداد دقتها غير منتهية في المقاييس الفيزيائية. لذلك يتم تقريب هاته الأعداد بحسب الحاجة إلى أعداد عشرية.

لذلك إذا قام الفيزيائيون بحسابات في R، فهم يحتاجون إلى التعبير عن النتائج بالأعداد العشرية.

يتم استخدام الأرقام الحقيقية لقياس معظم الثوابت الفيزيائية مثل ثابت [[جاذبية (توضيح)|الجاذبية العامة]] والمتغيرات الفيزيائية مثل الموقع، الكتلة، السرعة والشحنة الكهربائية. في الواقع، يتم وصف النظريات الفيزيائية الأساسية مثل [[ميكانيكا كلاسيكية|الميكانيكا الكلاسيكية]] ، والكهرومغناطيسية، وميكانيكا الكم، والنسبية العامة، والنموذج القياسي باستخدام الهياكل الرياضية، وعادة ما تكون الفتحات الملساء أو [[فضاء هيلبرت|مساحات هلبرت]] ، والتي تستند إلى الأرقام الحقيقية، على الرغم من القياسات الفعلية للكميات المادية هي ذات دقة متناهية.

اقترح الفيزيائيون من حين لآخر أن نظرية أكثر جوهرية من شأنها أن تحل محل الأعداد الحقيقية بكميات لا تشكل سلسلة متصلة، لكن مثل هذه المقترحات تظل تخمينية.

== في الحاسوب ==
لا يمكن لحاسبات الحاسوب أن تعمل على كل الأعداد الحقيقية، بل تعمل على مجموعة جزئية فقط من الأعداد الحقيقية. يحدها في ذلك عدد [[بت|البتات]] الموجودة في الحاسوب من أجل خزن ومعالجة الأعداد الحقيقية.

== التاريخ ==
اسعملت [[كسر (رياضيات)|الكسور الاعتيادية]] من طرف المصريين قبل ألف سنة قبل الميلاد. في حوال 500 ق.م، بين [[الرياضيات عند الإغريق|علماء الرياضيات الإغريقين]] بقيادة [[فيثاغورس]] الحاجة إلى الأعداد غير الكسرية.

== التعريف ==
هو اتحاد مجموعة الأعداد الكسرية والأعداد غير الكسرية.
{{مفصلة|إنشاء الأعداد الحقيقية}}

=== البناء انطلاقا من الأعداد الكسرية ===
يمكن '''للأعداد الحقيقية''' أن تنشأ تكميلا [[عدد كسري|للأعداد الكسرية]] حيث [[نهاية متتالية|تؤول]] كل [[متتالية]] معرفة بسلسلة من [[عدد عشري|الأعداد العشرية]] أو الثنائية كما هو الحال بالنسبة ل {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...}، إلى '''عدد حقيقي''' ما.

للمزيد من المعلومات ومن أجل التطرق إلى إنشاءات أخرى '''للأعداد الحقيقية'''، انظر إلى [[إنشاء الأعداد الحقيقية]].

== خصائص ==
=== الاكتمال ===
من أسباب استعمال الأعداد الحقيقية كونها تحتوي على جميع [[نهاية (رياضيات)|النهايات]].
:'''كل [[متتالية كوشي|متتالية لكوشي]] من الأعداد الحقيقية، هي متتالية متقاربة.'''

== الأعداد الحقيقية في نظرية المجموعات ==
انظر إلى [[فضاء بير (نظرية المجموعات)]]

== ملاحظات ==
{{ملاحظات}}

== انظر أيضًا ==
* [[اكتمال الأعداد الحقيقية]]
* [[سيمون ستيفين]]
* [[كسر مستمر|الكسور المستمرة]]
* [[عدد تخيلي|العدد التخيلي]]
* [[نهاية متتالية]]
* [[عدد مركب|الأعداد المركبة]]
* [[تحليل حقيقي|التحليل الحقيقي]]
* [[معيار المصفوفة]]
* [[متطابقات هامة]]

== المراجع ==
{{مراجع}}

{{أعداد حقيقية}}
{{أعداد مركبة}}
{{أنظمة عدد}}
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد|جبر|تحليل رياضي}}
{{روابط شقيقة}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:أعداد حقيقية]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]