عرض مصدر عدد برنولي

{{بطاقة عامة}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''أعداد بيرنولي''' ''B''<sub>''n''</sub> هي [[متسلسلة (توضيح)|متسلسلة]] من [[عدد كسري|الأعداد الكسرية]] ذات العلاقة الوثيقة ب[[نظرية الأعداد]]. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي:
: ''B''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1, ''B''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;±{{كسر مائل|1|2}}, ''B''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;{{كسر مائل|1|6}}, ''B''<sub>3</sub>&nbsp;=&nbsp;0, ''B''<sub>4</sub>&nbsp;=&nbsp;−{{كسر مائل|1|30}}, ''B''<sub>5</sub>&nbsp;=&nbsp;0, ''B''<sub>6</sub>&nbsp;=&nbsp;{{كسر مائل|1|42}}, ''B''<sub>7</sub>&nbsp;=&nbsp;0, ''B''<sub>8</sub>&nbsp;=&nbsp;−{{كسر مائل|1|30}}.

عندما يستعمل اصطلاح ''B''<sub>1</sub>=−{{كسر مائل|1|2}}، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح ''B''<sub>1</sub>=+{{كسر مائل|1|2}}، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن ''B''<sub>''n''</sub>=0 مهما كان n فرديا وأكبر قطعا من الواحد. وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة ''B''<sub>''n''</sub> بدلا من ''B''<sub>2''n''</sub>.

تظهر أعداد بيرنولي في نشر [[متسلسلة تايلور]] لدوال [[ظل (حساب المثلثات)|ظل الزاوية]] و[[دوال زائدية|الظل الزائدي]] وفي صيغ مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى، مرفوعة إلى قوة ما (ما يعرف [[صيغة فاولهابر|بصيغة فاولهابر]])، وفي [[صيغة أويلر-ماكلورين]] وفي تعابير لبعض قيم [[دالة زيتا لريمان]].

اكتُشفت هذه [[عدد|الأعداد]] من طرف عالم الرياضيات [[سويسرا|السويسري]] [[ياكوب برنولي|جاكوب بيرنولي]], الذي سميت نسبة إليه، وفي الوقت نفسه تقريبا، وبصفة مستقلة عنه، من طرف عالم الرياضيات [[اليابان|الياباني]] [[سيكي كاوا]].
نشر اكتشاف سيكي عام 1712<ref name="selin 1997">Selin, H. (1997), p. 891</ref><ref name="smith mikami 1914">Smith, D. E. (1914), p. 108</ref> في عمله ''[[Katsuyo Sampo]]''; وكان ذلك بعد وفاته. ونُشر اكتشاف بيرنولي في عام 1713. وكان ذلك بعد وفاته أيضا.

رغم أن أعداد بيرنولي سهلة الحساب، فإن قيمها ليس لها أي وصف أولي: فهي قيم [[دالة زيتا لريمان]] عند [[أعداد صحيحة سالبة]].

في [[آدا لوفلايس#ملاحظات ادا بيرون حول المحرك التحليلي|الملاحظة G]] لعالمة الرياضيات [[آدا لوفلايس]] عن [[محرك تحليلي|المحرك التحليلي]] في عام 1842, تصف لوفلايس [[خوارزمية]] لتوليد أعداد بيرنولي باستخدام آلة [[تشارلز بابيج|بابيج]].<ref group="~">''Note G'' in the Menabrea reference</ref> ونتيجة لذلك، تصير أعداد بيرنولي موضوع أول [[برنامج (حاسوب)|برنامج حاسوب]] كُتب.

== التاريخ ==
تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.

[[ملف:Seki Kowa Katsuyo Sampo Bernoulli numbers.png|تصغير|180px| أحد صفحات ''Katsuyo Sampo'' (1712) لسيكي كاوا, مجدولة معاملات ذات الحدين وأعداد بيرنولي]]

عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى ''n'', ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة ''n'' الأولى، ولكن لم تكن هنالك «صيغ» حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.

من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة [[فيثاغورس|فيثاغورث]](حوالي 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، و[[أرخميدس]] (287–212 ق.م، [[إيطاليا]]) و[[اريابهاتا]] (476 ق.م., [[الهند]]) و[[أبو بكر الكرجي|الكرخي]] (1019 م، [[البصرة]]) و[[ابن الهيثم|الحسن بن الهيثم]] (965 م، في البصرة -. 1039, م في [[القاهرة]]).

لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من [[توماس هاريوت]] (1560–1621) من انكلترا، و[[يوهان فاولهابر]] (1580–1635) من ألمانيا و[[بيير دي فيرما]] (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي [[بليز باسكال]] (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.

بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه ''Academia Algebrae'', عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة.
كان الرياضي السويسري [[ياكوب برنولي|جاكوب بيرنولي]] (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت ''B''<sub>0</sub>, ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>,&nbsp;... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى {{Harvard citation|Knuth|1993}}. قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى من طرف [[سيكي كاوا]] في اليابان.<ref name="selin 1997"/> بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.

المتعة التي أحس بها [[ياكوب برنولي|جاكوب بيرنولي]] حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى ''c'' لأي عدد صحيح موجب ''c'' يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب:

: بفضل هذا الجدول، استغرقت من الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن مجموع القوى العاشرة لألف عدد الأولى يساوي:
91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.

تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح [[أبراهام دي موافر]].

نسبة إلى {{Harvard citation|Knuth|1993}}، نُشر أول برهان متماسك لصيغة فاولهابر لأول مرة في عام 1834، نشره عالم الرياضيات [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي]].

== مجموع القوى ==
{{مفصلة|صيغة فاولهابر}}

تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في [[تعبير منغلق الشكل|الصورة المغلقة]] لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:

:<math> S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m \, </math>

هذا المجموع يمثل [[متعددة الحدود|متعددة حدود]] متغيرها ''n'' ودرجتها ''m''&nbsp;+&nbsp;1. [[معامل|معاملات]] متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك '''صيغة بيرنولي''':

: <math>S_m(n) = {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose{k}} B_k\; n^{m+1-k}, </math>

العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ ''B''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;+1/2. (<math>\tbinom{m+1}{k}</math> يعني [[معامل ذات الحدين|المعامل الثنائي]] k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)

لتكن ''n''&nbsp;≥&nbsp;0. بجعل ''m'' مساوية ل 0 و''B''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1 تعطي [[عدد طبيعي|أعداد طبيعية]] 0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;….

:<math> 0 + 1 + 1 + \cdots + 1 = \frac{1}{1}\left(B_0 n\right) = n.</math>

بجعل ''m'' مساوية ل 1 و''B''<sub>1</sub> = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه [[عدد مثلثي|أعداد مثلثية]] 0,&nbsp;1,&nbsp;3,&nbsp;6,&nbsp; وهكذا.

:<math> 0 + 1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2}\left(B_0 n^2+2B_1 n^1\right) = \frac{1}{2}\left(n^2+n\right).</math>

بجعل ''m'' مساوية ل 2 و''B''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه [[عدد هرمي مربع|أعداد هرمية مربعة]] 0,&nbsp;1,&nbsp;5,&nbsp;14,&nbsp; وهكذا.

: <math> 0 + 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3}\left(B_0 n^3+3B_1 n^2+3B_2 n^1 \right) = \frac{1}{3}\left(n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n\right).</math>

مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:

: <math>S_m(n) = {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k {m+1\choose{k}} B_k n^{m+1-k} </math>

لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا ''B''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;−1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.

يطلق عادة على صيغة بيرنولي [[صيغة فاولهابر|صيغة فاولابر]] تقديرا [[يوهان فاولهابر|لجون فاولابر]] الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.

عمم صيغةَ فاولابر [[غو وجاي زيغ]] V. Guo & J. Zeng إلى [[q-analog]] {{Harvard citation|Guo|Zeng|2005}}.

== تعاريف ==
تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:

* استدعاء ذاتي،
* صيغة صريحة،
* دالة توالدية
* وصف خوارزمي.

لإثبات [[تكافؤ منطقي|تكافؤ]] هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل{{Harvard citation|Ireland|Rosen|1990}} أو {{Harvard citation|Conway|Guy|1996}}.

لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف ''B''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;1/2, some يضع المؤلفون ''B''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;−1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل).&nbsp;لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.

=== تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتي ===
تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما: <math> \begin{align}
  B_m(n) &= n^m-\sum_{k=0}^{m-1}\binom mk\frac{B_k(n)}{m-k+1} \\
  B_0(n) &= 1
\end{align}</math>

تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية ''B''<sub>''m''</sub>(''n'') لجميع الأعداد الصحيحة ''n''&nbsp;≥&nbsp;0, ''m'' ≥ 0. 0<sup>0</sup> التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في ''B''<sub>0</sub>(''n'') = 1 لكل ''n''. يأتي الاختلافان الآن بوضع ''n''&nbsp;=&nbsp;0 على الترتيب ''n''&nbsp;=&nbsp;1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير &nbsp;''n''.
{| class="wikitable" style="text-align:center; width:600px; height:120px; border=1"
|-
! ''n'' = 0
! ''n'' = 1
|-
| <math> B_m = \delta_{m, 0} -\sum_{k=0}^{m-1}\binom mk\frac{B_k}{m-k+1} </math>
| <math> B_m= 1 - \sum_{k=0}^{m-1}\binom mk\frac{B_k}{m-k+1} </math>
|}

التعبير هنا <math>\delta_{m, 0}</math> يحمل القيمة 1 إذا كان ''m''&nbsp;=&nbsp;0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم [[دلتا كرونكر]].
عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة ''B''<sub>''m''</sub>(0) في الحالة الأولى و''B''<sub>''m''</sub>(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.

=== التعريف الصريح ===
في عام 1893، نشر [[لويس سالشوتز]] ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي ({{Harvard citation|Saalschütz|1893}}):

:<math>\begin{align}
  B^{-{}}_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{v^m}{k + 1} \\
  B^+_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{(v + 1)^m}{k + 1}.
\end{align}</math>

=== دالة التوليد ===
تعرف [[دالة مولدة|الدالة المولدة]] لمتسلسلة برنولي كما يلي:

تقود الخيارات ''n''&nbsp;=&nbsp;0 و''n''&nbsp;=&nbsp;1 إلى.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:500px; height:120px; border=1"
|-
! ''n'' = 0
! ''n'' = 1
|-
| <math> \frac t{e^t-1}=\sum_{m=0}^\infty B_m\frac{t^m}{m!}  </math>
| <math> \frac t{1-e^{-t}}=\sum_{m=0}^\infty B_m\frac{t^m}{m!}  </math>
|}

=== وصف الخوارزمية ===
بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها [[تحليل الخوارزميات|مكلفة حسابياً]]. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.

== حساب أعداد برنولي بكفاءة ==
من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنولي''B''<sub>0</sub> حتى ''B''<sub>''p''&nbsp;−&nbsp;3</sub> متبقيا ''p'', حيث ''p'' هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان [[تخمين فانديفير]] صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن ''p'' [[عدد أولي شاذ]]. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) ''p''<sup>2</sup> سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع {{Harvard citation|Buhler|Crandall|Ernvall|Metsankyla|2001}} والتي تتطلب {{تعبير لاتيني|O(''p''&nbsp;(log&nbsp;''p'')<sup>2</sup>)}} عملية فقط (انظر [[علامة أو الكبرى]]).

يصف ديفيد هاري {{Harvard citation|Harvey|2008}} خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب ''B''<sub>''n''</sub> متبقياً ''p'' لأعداد أولية صغيرة عديدة ''p''، ومن ثم يعيد إنشاء ''B''<sub>''n''</sub> عن طريق [[مبرهنة الباقي الصينية|نظرية المتبقي الصينية]]. كتب هارفي بأن [[تحليل مقارب|المقارب]] [[نظرية التعقيد الحسابي|معقدة زمنياً]] لهذا الخوارزم هي {{تعبير لاتيني|O(''n''<sup>2</sup>   log(''n'') <sup>2+eps</sup>)}} ويصرح بأن هذه [[الرؤية (توضيح)|الرؤية]] أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في [[سايج (برنامج رياضيات)|سايج]] منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب ''B''<sub>''n''</sub> لقيم ''n''&nbsp;=&nbsp;10<sup>8</sup> وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر <!--A more specific  citation would be   preferrable.--> {{Harvard citation|Kellner|2002}} حسب ''B''<sub>''n''</sub> لأعلى دقة لقيم ''n''&nbsp;=&nbsp;10<sup>6</sup> في ديسمبر 2002 و{{تعبير لاتيني|Oleksandr Pavlyk {{Harvard citation|Pavlyk|2008}}}} لقيم ''n''&nbsp;=&nbsp;10<sup>7</sup> بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.

<div style="text-align: center;"> <table cellpadding="3" border="1">
<td style="line-height: 1.5em; background:#D9DECD; color:red; text-align:center">''الحاسب''</td>
<td style="line-height: 1.5em; background:#D9DECD; color:red; text-align:center">''السنة''</td>
<td style="line-height: 1.5em; background:#D9DECD; color:red; text-align:center">''n''</td>
<td style="line-height: 1.5em; background:#D9DECD; color:red; text-align:center">''المراتب*''</td>
 <tr>
 <td align="right"><tt>[[ياكوب برنولي|ياكوب بيرنولي]] </tt></td>
 <td align="center"><tt>~1689</tt></td>
 <td align="left"><tt>10</tt></td>
 <td align="left"><tt>1</tt></td>
 </tr>
 <tr>
 <td align="right"><tt>[[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]]</tt></td>
 <td align="center"><tt>1748</tt></td>
 <td align="left"><tt>30</tt></td>
 <td align="left"><tt>8</tt></td>
 </tr>
 <tr>
 <td align="right"><tt>J.C. Adams</tt></td>
 <td align="center"><tt>1878</tt></td>
 <td align="left"><tt>62</tt></td>
 <td align="left"><tt>36</tt></td>
 </tr>
 <tr>
 <td align="right"><tt>D.E. Knuth, T.J. Buckholtz</tt></td>
 <td align="center"><tt>1967</tt></td>
 <td align="left"><tt>360</tt></td>
 <td align="left"><tt>478</tt></td>
 </tr>

 <tr>
 <td align="right"><tt>G. Fee, S. Plouffe</tt></td>
 <td align="center"><tt>1996</tt></td>
 <td align="left"><tt>10000</tt></td>
 <td align="left"><tt>27677</tt></td>
 </tr>
 <tr>
 <td align="right"><tt>G. Fee, S. Plouffe</tt></td>
 <td align="center"><tt>1996</tt></td>
 <td align="left"><tt>100000</tt></td>
 <td align="left"><tt>376755</tt></td>
 </tr>
 <tr>
 <td align="right"><tt>B.C. Kellner</tt></td>
 <td align="center"><tt>2002</tt></td>
 <td align="left"><tt>1000000</tt></td>
 <td align="left"><tt>4767529</tt></td>
 </tr>
  <tr>
  <td align="right"><tt>O. Pavlyk</tt></td>
  <td align="center"><tt>2008</tt></td>
  <td align="left"><tt>10000000</tt></td>
  <td align="left"><tt>57675260</tt></td>
 </tr>
  <tr>
  <td align="right"><tt>D. Harvey</tt></td>
  <td align="center"><tt>2008</tt></td>
  <td align="left"><tt>100000000</tt></td>
  <td align="left"><tt>676752569</tt></td>
 </tr>
 <caption>تاريخ حساب أعداد بيرنولي</caption>
 </table>
 </div>
* ''المراتب'' ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب ''B''(''n'') كعدد حقيقي في [[كتابة علمية|العلامة العلمية]] الموحدة.

== وجهات نظر واصطلاحات مختلفة ==
يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:

* كائنات رياضياتية قائمة بذاتها،
* كائنات [[تركيبات|توافقياتية]]
* قيما لمتعددات حدود متعاقبة،
* قيما من [[دالة زيتا لريمان|دالة ريمان-زيتا]].

تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.

* ''أعداد بيرنولي كائنات قائمة بذاتها.''
تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...
 
هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه [[أرس كونجكتاندي(كتاب)|أرس كونجكتاندي]]، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي [[صيغة فاولهابر|مجموع القوى]]، أو التطبيق البارادياغماتي - ''paradigmatic application'' لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه &#39;archaic&#39;. يستخدم هذه العبارة مثلاً [[جان-بيير سير]] في كتابه ''دورة في الحساب'' وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.

* ''أعداد بيرنولي كائنات توافقياتية.''

تعاقب مصاحب: 1,&nbsp;+1/2,&nbsp;1/6,&nbsp;0,.... <br />
 تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.
: <math> \left(\frac{ze^z}{e^{z}-1} \right)^x = x\sum_{n\geq0}\sigma_n (x)z^n</math>

وبشكل متعاقب ''B''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''n''! σ<sub>''n''</sub>(1) for ''n''&nbsp;≥&nbsp;0.

* ''أعداد برنولي قيما لمتعددات حدود متعاقبة.''

المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.
 يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين: <br />
 ''B''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''B''<sub>''n''</sub>(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,.... <br />
 ''B''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''B''<sub>''n''</sub>(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....<br />
 يختلف التعريفان فقط في إشارة ''B''<sub>1</sub>. الخيار ''B''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''B''<sub>''n''</sub>(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - ''Handbook of Mathematical Functions''.

* أعداد بيرنولي قيما لدالة زيتا لريمان
التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

[[ملف:BernoulliNumbersByZetaLowRes.png|250بك|تصغير|أعداد برنولي كما تصفها دالة زيتا لريمان.]]
يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح ''B''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''B''<sub>''n''</sub>(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة &#39;+&#39; for ''B''<sub>''1''</sub> متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من [[دالة زيتا لريمان|دالة ريمان زيتا]].

<center>
{| border="5" cellspacing="5" cellpadding="2"
|-
| <math> \ B_n = n!\sigma_{n}(1) = B_n(1) = -n\zeta(1-n)  \quad (n \geq 0) \  </math>
|}
</center>

== تطبيقات عدد بيرنولي ==
=== تحليل المقارب ===
=== متسلسلة تايلور لدالتي tan و tanh ===
:<math>
\begin{align}
\tan x & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!}\; x^{2n-1},\,\, \left |x \right | <\frac {\pi} {2}\\
\tanh x & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\;x^{2n-1},\,\, \left |x \right | <\frac {\pi} {2}
\end{align}
</math>

=== الاستخدام في الطوبولوجيا ===

== التعريفات التوافقية ==
=== العلاقة بعدد فوربتزكي ===
=== العلاقة بمجموعة أعداد سترلنغ ===
=== العلاقة بعدد دورة سترلنغ ===
=== العلاقة بالأعداد الأويلرية ===
انظر إلى [[عدد أويلري]].

== تمثيل الشجرة الثنائي ==

== تقريب المقارب ==

== تمثيل التكامل والاستمرارية ==

== علاقته بأعداد أويلر و''π'' ==
[[أعداد أويلر]] هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.
: <math> \pi \  \sim \  2 \left(2^{2n} - 4^{2n} \right) \frac{B_{2n}}{E_{2n}}. </math>

== نظرة خواريزمية: مثلث سيدل ==
انظر إلى [[فيليب لودفيش فون زايدل|فيليب فون لوديش سيدل]].

[[ملف:SeidelAlgorithmForTn.png|إطار|مركز|Seidel's algorithm for T<sub>''n''</sub>]]

== الخصائص الحسابية لأعداد برنولي ==
=== مبرهنات كومر ===
ترتبط أعداد برنولي ب[[مبرهنة فيرما الأخيرة]] من خلال مبرهنة [[إرنشت كومر|كومر]],(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:
: إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي ''B''<sub>2</sub>,&nbsp;''B''<sub>4</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''B''<sub>''p''−3</sub>، إذا، فإن المعادلة ''x''<sup>''p''</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>''p''</sup>&nbsp;+&nbsp;''z''<sup>''p''</sup>&nbsp;=&nbsp;0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.

الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى [[عدد أولي نظامي|أعدادا أولية نظامية]].

=== لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟ ===

المجموع:<math>\varphi_k(n) = \sum_{i=0}^n i^k - \frac{n^k}{2}</math>
يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.

الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي :
<math> \frac t{e^t-1}=\sum_{m=0}^\infty B_m\frac{t^m}{m!}  </math>

<math> \frac t{e^t-1}=B_0+B_1\frac{t^1}{1!}+\sum_{m=2}^\infty B_m\frac{t^m}{m!}  </math>

<math> \frac t{e^t-1}=1-\frac{t}{2}+\sum_{m=2}^\infty B_m\frac{t^m}{m!}  </math>

<math> \frac t{e^t-1} + \frac{t}{2} = 1 + \sum_{m=2}^\infty B_m\frac{t^m}{m!}  </math>

بتوحيد المقامات في الجانب الأيسر:
<math> \frac {t(e^t+1)}{2(e^t-1)} = 1 + \sum_{m=2}^\infty B_m\frac{t^m}{m!}  </math>

الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية.
<math> f(x) = \frac {t(e^t+1)}{2(e^t-1)} = f(-x)  </math>

بتعويض x ب -x، نجد ما يلي:
<math> B_m\frac{t^m}{m!} = B_m\frac{(-t)^m}{m!} </math>

من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم <math>B_m</math> عندما يكون المؤشر <math>m</math> فرديا.

=== إعادة لصياغة نص فرضية ريمان ===
الارتباط بين أعداد برنولي و[[دالة زيتا لريمان]] قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر ل[[فرضية ريمان]]، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن [[مارسل ريز]] في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:

== ملحق ==

=== قيم أعداد بيرنولي الأولى ===

{| class="wikitable" style="text-align: right"
|-
! n
! style="width:50px;"| البسط
! style="width:50px;"| المقام
! style="width:50px;"| التقدير العشري
|-
| 0
| 1
| 1
| +1.00000000000 
|-
| 1
| −1
| 2
| −0.50000000000
|-
| 2
| 1
| 6
| +0.16666666667
|-
| 4
| −1
| 30
| −0.03333333333
|-
| 6
| 1
| 42
| +0.02380952381
|-
| 8
| −1
| 30
| −0.03333333333
|-
| 10
| 5
| 66
| +0.07575757576
|-
| 12
| −691
| 2730
| −0.25311355311
|-
| 14
| 7
| 6
| +1.16666666667
|-
| 16
| −3617
| 510
| −7.09215686275
|-
| 18 
| 43867
| 798
| +54.9711779448
|-
| [[موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت]] 
| {{OEIS link|A027641}}
| {{OEIS link|A027642}}
| 
|}

== إنظر أيضا ==
* [[صيغة فاولهابر]]
* [[صيغة أويلر-ماكلورين]]
* [[متعدد حدود لاغرانج|كثيرة حدود لاغرانج]]
* [[عدد جينوكي|عدد جينوتشي]]

== الملاحظات ==
{{مراجع}}
<references group="~"/>

== مراجع ==
* {{استشهاد|الأخير1=Abramowitz|الأول1=M.|الأخير2=Stegun|الأول2=C. A.|الفصل=§23.1: Bernoulli and أويلر Polynomials and the أويلر-Maclaurin Formula|عنوان=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|طبعة=9th printing|مكان النشر=New York|ناشر=Dover|صفحات=804–806|سنة=1972}}.
* {{استشهاد|الأول=D.|الأخير=André|عنوان=Développements de sec x et tan x.|صحيفة=Comptes Rendus Acad. Sci.|المجلد=88|سنة=1879|صفحات=965–967}}.
* {{استشهاد|الأول=D.|الأخير=André|عنوان=Mémoire sur les permutations alternées|صحيفة=J. Math.|المجلد=7|سنة=1881|صفحات=167–184}}.
* {{استشهاد|الأول=D.|الأخير=Arlettaz|عنوان=Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie|صحيفة=Math. Semesterber|المجلد=45|سنة=1998|صفحات=61–75|doi=10.1007/s005910050037}}.
* {{استشهاد|الأول=V. I.|الأخير=Arnold|عنوان=Bernoulli-أويلر updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics|صحيفة=Duke Math. J.|المجلد=63|سنة=1991|صفحات=537–555}}.
* {{استشهاد|الأول=A.|الأخير=Ayoub|عنوان=أويلر and the Zeta Function|صحيفة=Amer. Math. Monthly|المجلد=74|سنة=1981|صفحات=1067–1086}}.
* {{استشهاد|الأخير1=Buhler|الأول1=J.|الأخير2=Crandall|الأول2=R.|الأخير3=Ernvall|الأول3=R.|الأخير4=Metsankyla|الأول4=T.|الأخير5=Shokrollahi|الأول5=M.|عنوان=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million|صحيفة=Journal of Symbolic Computation''|المجلد=31|العدد=1–2|سنة=2001|صفحات=89–96|doi=10.1006/jsco.1999.1011}}.
* {{استشهاد|الأخير=Carlitz|الأول=L.|عنوان=Bernoulli Numbers.|صحيفة=Fib. Quart.|المجلد=6|صفحات=71–85|سنة=1968}}.
* {{استشهاد|الأول=Thomas|الأخير=Clausen|عنوان=Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen|صحيفة=Astr. Nachr.|المجلد=17|سنة=1840|صفحات=351–352}}.
* {{استشهاد|الأول1=John|الأخير1=Conway|مؤلف1-وصلة=John Horton Conway |الأخير2=Guy|عنوان=The Book of Numbers|ناشر=Springer-Verlag|سنة=1996|firshttp://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bernoulli_number&action=edit&section=30t2=Richard}}.
* {{استشهاد|عنوان=Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990)|الأول1=K.|الأخير1=Dilcher|الأول2=L.|الأخير2=Skula|الأول3=I. Sh.|الأخير3=Slavutskii|صحيفة=Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics|العدد=87|مكان النشر=Kingston, Ontario|سنة=1991|مسار= http://www.mscs.dal.ca/~dilcher/bernoulli.html|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200207022212/https://www.mscs.dal.ca/~dilcher/bernoulli.html|تاريخ أرشيف=2020-02-07}}
* {{استشهاد|الأول1=D.|الأخير1=Dumont|الأول2=G.|الأخير2=Viennot|عنوان=A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers|صحيفة=Ann. Discrete Math.|المجلد=6|سنة=1980|صفحات=77–87|doi=10.1016/S0167-5060(08)70696-4}}.
* {{استشهاد|الأول=D.|الأخير=Dumont|الفصل=Matrices d'أويلر-Seidel|عنوان=Séminaire Lotharingien de Combinatoire|سنة=1981|مسار= http://emis.u-strasbg.fr/journals/SLC/opapers/s05dumont.html|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20160304024817/http://emis.u-strasbg.fr/journals/SLC/opapers/s05dumont.html|تاريخ أرشيف=2016-03-04}}
* {{استشهاد|الأول=N. D.|الأخير=Elkies|عنوان=On the sums Sum_(k=-infinity...infinity) (4k+1) (-n)|صحيفة=Amer. Math. Monthly|المجلد=110 (No. 7)|سنة=2003|صفحات=561-573|مسار= http://arxiv.org/abs/math.CA/0101168|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190422160845/http://arxiv.org/abs/math.CA/0101168|تاريخ أرشيف=2019-04-22}}
* {{استشهاد|الأخير=Entringer|الأول=R. C.|عنوان=A combinatorial interpretation of the أويلر and Bernoulli numbers|صحيفة=Nieuw. Arch. V. Wiskunde|المجلد=14|سنة=1966|صفحات=241–6}}.
* {{استشهاد|الأخير=von Ettingshausen|الأول=A.|عنوان=Vorlesungen über die höhere Mathematik|المجلد=Bd. 1|ناشر=Carl Gerold|مكان النشر=Vienna|سنة=1827}}.
* {{استشهاد|الأول=ليونهارد|الأخير=أويلر|مؤلف-وصلة=ليونهارد أويلر|عنوان=De summis serierum reciprocarum|سنة=1735|صحيفة=Opera Omnia|المجلد=I.14, E 41, |صفحات=73–86}}; On the sums of series of reciprocals, [http://arxiv.org/pdf/math/0506415.pdf arXiv:math/0506415v2 (math.HO)].
* {{استشهاد|الأول1=G.|الأخير1=Fee|الأول2=S.|الأخير2=Plouffe|سنة=2007|عنوان=An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers.}} [http://arxiv.org/pdf/math/0702300.pdf arXiv:math/0702300v2 (math.NT)]
* {{استشهاد|الأول1=R. L.|الأخير1=Graham|الأول2=D. E.|الأخير2=Knuth|الأول3=O.|الأخير3=Patashnik|عنوان=Concrete Mathematics|ناشر=Addison-Wesley|سنة=1989}}.
* {{استشهاد|الأول1=Victor J. W.|الأخير1=Guo|الأول2=Jiang|الأخير2=Zeng|عنوان=A q-Analogue of Faulhaber's Formula for Sums of Powers|
صحيفة=The Electronic Journal of Combinatorics|المجلد=11(2)|سنة=2005|مسار= http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i2r19.html|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20120224193027/http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i2r19.html|تاريخ أرشيف=2012-02-24}}
* {{استشهاد|الأول=David|الأخير=Harvey|سنة=2008|عنوان=A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers}} [http://arxiv.org/pdf/0807.1347v2 arXiv:0807.1347v2 math.NT]
* {{استشهاد|الأول1=Kenneth|الأخير1=Ireland|الأول2=Michael|الأخير2=Rosen|عنوان=A Classical Introduction to Modern Number Theory|ناشر=Springer-Verlag|سنة=1990}}
* {{استشهاد|الأول=C. G. J.|الأخير=Jacobi|عنوان=De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae
|صحيفة=Journal für die reine und angewandte Mathematik|المجلد=12|سنة=1834|صفحات=263–272}}
* {{استشهاد|الأول=Charles|الأخير=Jordan|عنوان=Calculus of Finite Differences|ناشر=Chelsea Publ. Co.|مكان النشر=New York|سنة=1950}}.
* {{استشهاد|الأول=M.|الأخير=Kaneko|عنوان=The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers|صحيفة=Journal of Integer Sequences|المجلد=12|سنة=2000|مسار= http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/vol3.html|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190220160156/https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/vol3.html|تاريخ أرشيف=2019-02-20}}.
* {{استشهاد|الأول=Bernd|الأخير=Kellner|عنوان=Program Calcbn – A program for calculating Bernoulli numbers|سنة=2002|مسار= http://www.bernoulli.org/|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200204195337/https://www.bernoulli.org/|تاريخ أرشيف=2020-02-04}}.
* {{استشهاد|الأول1=D. E.|الأخير1=Knuth|مؤلف1-وصلة=Donald Knuth|الأول2=T. J. |الأخير2=Buckholtz|عنوان=Computation of Tangent, أويلر, and Bernoulli Numbers|صحيفة=Mathematics of Computation|المجلد=21| سنة=1967| صفحات=663–688| doi=10.2307/2005010}}.
* {{استشهاد|الأول=D. E.|الأخير=Knuth|مؤلف-وصلة=Donald Knuth| عنوان=Johann Faulhaber and the Sums of Powers| سنة=1993|صحيفة=Mathematics of Computation| المجلد=61|صفحات=277-294}} [http://arxiv.org/pdf/math/9207222.pdf arXiv:math/9207222 (math.CA)].
* {{استشهاد|الأول=E. E.|الأخير=Kummer|مؤلف-وصلة=Ernst Kummer| عنوان=Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x<sup>λ</sup> + y<sup>λ</sup> = z<sup>λ</sup> durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen|صحيفة=J. Reine Angew. Math.|المجلد=40|سنة=1850|صفحات=131-138}} [http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002146738 DIGIZ].
* {{استشهاد|الأول=E. E.|الأخير=Kummer|مؤلف-وصلة=Ernst Kummer|عنوان=Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen |صحيفة=J. Reine Angew. Math.|المجلد=41|سنة=1851|صفحات=368-372}} [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002147319 DIGIZ].
* {{استشهاد|الأول=Peter|الأخير=Luschny|مسار= http://www.luschny.de/math/primes/bernincl.html|عنوان=An inclusion of the Bernoulli numbers|سنة=2007|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20171122022421/http://www.luschny.de:80/math/primes/bernincl.html|تاريخ أرشيف=2017-11-22}}
* Menabrea, L. F., "Sketch of the Analytic Engine invented by Charles Babbage, with notes upon the Memoir by the Translator Ada Augusta, Countess of Lovelace." Bibliothèque Universelle de Genève, October 1842, No. 82. http://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html
* {{استشهاد|الأول1=John W.|الأخير1=Milnor|مؤلف1-وصلة=John Willard Milnor|الأول2=James D.|الأخير2=Stasheff|الفصل=Appendix B: Bernoulli Numbers|صفحات=281–287|عنوان=Characteristic Classes|سلسلة=Annals of Mathematics Studies|المجلد=76|ناشر=Princeton University Press and University of Tokyo Press|سنة=1974}}.
* {{Neukirch ANT}}
* {{استشهاد|الأول=Oleksandr|الأخير=Pavlyk|عنوان=Today We Broke the Bernoulli Record: From the Analytical Engine to Mathematica|سنة=2008|مسار= http://blog.wolfram.com/2008/04/29/today-we-broke-the-bernoulli-record-from-the-analytical-engine-to-mathematica/|ناشر=Wolfram Blog|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191014051947/https://blog.wolfram.com/2008/04/29/today-we-broke-the-bernoulli-record-from-the-analytical-engine-to-mathematica/|تاريخ أرشيف=2019-10-14}}.
* {{استشهاد|الأول=M.|الأخير=Riesz|عنوان=Sur l'hypothèse de Riemann|صحيفة=Acta Mathematica|المجلد=40|سنة=1916|صفحات=185–90|doi=10.1007/BF02418544}}.
* {{استشهاد|الأول=Louis|الأخير=Saalschütz|عنوان=Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen|publisherJulius Springer|سنة=1893|مكان=Berlin|مسار= http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=00450002|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200328201033/http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=00450002|تاريخ أرشيف=2020-03-28}}
* {{استشهاد|الأول=L.|الأخير=Seidel|عنوان=Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen|صحيفة=Sitzungsber. Münch. Akad.|المجلد=4|سنة=1877|صفحات=157–187}}.
* {{استشهاد|الأول=Helaine|الأخير=Selin|عنوان=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|ناشر=Springer|سنة=1997|صفحات=819|ISBN=0792340663}}.
* {{استشهاد|الأول=Ilya Sh.|الأخير=Slavutskii|عنوان=Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers|صحيفة=Historia Scientiarum|المجلد=2|سنة=1995|صفحات=69–74}}.
* {{استشهاد|الأول1=David Eugene|الأخير1=Smith|الأول2=Yoshio|الأخير2=Mikami|عنوان=A history of Japanese mathematics|ناشر=Open Court publishing company|مسار= http://books.google.com/books?id=pTcQsvfbSu4C&pg=PA108|سنة=1914|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313041525/http://books.google.com/books?id=pTcQsvfbSu4C&pg=PA108|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}.
* {{استشهاد|الأول=كارل جورج كريستيان|الأخير=فون شتاوت|عنوان=Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend|صحيفة=Journal für die reine und angewandte Mathematik|المجلد=21|سنة=1840|صفحات=372–374}}.
* {{استشهاد|الأول=كارل جورج كريستيان |الأخير=فون شتاوت|الفصل=De numeris Bernoullianis, commentationem alteram|عنوان=Erlangen|سنة=1845}}.
* {{استشهاد|الأول=Zhi-Wei|الأخير=Sun|عنوان=Some curious results on Bernoulli and أويلر polynomials|سنة=2005/2006|مسار= http://pweb.nju.edu.cn/zwsun|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20150708042703/http://pweb.nju.edu.cn:80/zwsun/|تاريخ أرشيف=2015-07-08}}.
* {{استشهاد|الأول=S. C.|الأخير=Woon|عنوان=A tree for generating Bernoulli numbers|صحيفة=Math. Mag.|المجلد=70|سنة=1997|صفحات=51-56}}.
* {{استشهاد|الأول=S. C.|الأخير=Woon|عنوان=Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers|سنة=1998|مسار= http://arXiv.org/abs/math.NT/9812143|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313041603/http://arXiv.org/abs/math.NT/9812143|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}
* {{استشهاد|الأول=J.|الأخير=Worpitzky|عنوان=Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen|صحيفة=Journal für die reine und angewandte Mathematik|المجلد=94|سنة=1883|صفحات=203–232}}|مسار= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002158698|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20160210154535/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002158698|تاريخ أرشيف=2016-02-10}}.

{{تحليل رياضي}}
{{ضبط استنادي}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|نظرية الأعداد}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:سلاسل عددية]]
[[تصنيف:طوبولوجيا]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد]]