عرض مصدر عدد الواحد المكرر

{{يتيمة|تاريخ =أكتوبر 2024}}
{{معلومات متتالية صحيحة|name=Repunit prime|terms_number=11|con_number=Infinite|first_terms=[[11 (عدد)|11]], 1111111111111111111, 11111111111111111111111|largest_known_term=(10<sup>8177207</sup>−1)/9|OEIS=A004022|OEIS_name=Primes of the form (10^n − 1)/9}}

في [[رياضيات مسلية|الرياضيات المُسلية]]، يُعرف '''عدد الواحد المكرر repunit''' على أنه [[عدد]] يحتوي فقط على الرقم [[1 (عدد)|1]] مثل 11 أو 111 أو 1111 — وهو نوع أكثر تحديدًا من العدد المكرر [[:en:Repdigit|repdigit]]. يشير المصطلح الإنجليزي '''repunit''' إلـ "وحدة متكررة repeated unit" وقد صاغه ألبرت إتش بايلر في عام 1966 في كتابه ''"الترفيه في نظرية الأعداد Recreations in the Theory of Numbers"''.{{Refn|Albert H. Beiler coined the term "repunit number" as follows:<blockquote>A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term "repunit number" (repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Beiler|2013|pp=83}}</ref></blockquote>|group=note}}

'''الواحد المكرر الأولي''' هو [[عدد أولي]] مكون من تكرار الرقم 1. الأعداد الأولية التي تُحقق ذلك في [[نظام عد ثنائي|نظام العد الثنائي (الأساس 2)]] هي [[عدد مرسين الأولي|أعداد ميرسين الأولية]]. حتى مايو 2023، كان [[أكبر عدد أولي معروف]] هو {{بدون لف|2<sup>82,589,933</sup> − 1}} ، وأكبر [[عدد أولي محتمل]] هو ''R''<sub>8177207</sub> وأكبر عدد أولي مثبت بمنحنيات إهليلجية [[:en:Elliptic curve primality|elliptic curve primality]] هو ''R'' <sub>86453،</sub> وكلها عدد واحد مكرر وفق أساسات مختلفة.

== تعريف ==
يُعرَّف عدد الواحد المكرر في الأساس ''b'' على أنه (يمكن أن يكون الأساس ''b'' إما موجب أو سالب)

: <math>R_n^{(b)}\equiv 1 + b + b^2 + \cdots + b^{n-1} = {b^n-1\over{b-1}}\qquad\mbox{for }|b|\ge2, n\ge1.</math>

وبالتالي، فإن العدد ''R''<sub>''n''</sub><sup>(''b'')</sup> يتكون من ''n'' نسخة من الرقم 1 وفق الأساس ''b''. أول عددين من "أعداد الواحد المكرر" وفق الأساس ''b'' نحصل عليها باستخدام ''n'' = 1 و ''n'' = 2 ، وهما

: <math>R_1^{(b)}={b-1\over{b-1}}= 1 \qquad \text{and} \qquad R_2^{(b)}={b^2-1\over{b-1}}= b+1\qquad\text{for}\ |b|\ge2.</math>

على وجه الخصوص، تُعرَّف أعداد الواحد المكرر ''[[نظام عد عشري|العشرية]] (أي وفق الأساس'' 10'')'' التي يشار إليها غالبًا باسم ''عدد الواحد المكرر repunits'' ببساطة على أنها

: <math>R_n \equiv R_n^{(10)} = {10^n-1\over{10-1}} = {10^n-1\over9}\qquad\mbox{for } n \ge 1.</math>

وبالتالي، فإن العدد ''R''<sub>''n''</sub> = ''R''<sub>''n''</sub><sup>(10)</sup> يتكون من ''n'' نسخة من الرقم 1 في النظام العشري. يبدأ تسلسل أعداد الواحد المكرر وفق الأساس 10 بـ

: [[1 (عدد)|1]] ، [[11 (عدد)|11]] ، [[111 (عدد)|111]] ، 1111، 11111، 111111، ... {{OEIS|A002275}} .

على نحو مماثل، يُمكن تعريف أعداد الواحد المكرر وفق النظام الثنائي (الأساس 2) على النحو التالي:

: <math>R_n^{(2)} = {2^n-1\over{2-1}} = {2^n-1}\qquad\mbox{for }n \ge 1.</math>

وبالتالي، فإن العدد ''R''<sub>''n''</sub><sup>(2)</sup> يتكون من ''n'' نسخة من الرقم 1 في النظام الثنائي. في الواقع، فإن هذه الأعداد في النظام الثنائي هي [[عدد مرسين الأولي|أعداد ميرسين]] المعروفة ''M''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1، والتي تبدأ بـ

: 1، 3، 7، 15، 31، 63، 127، 255، 511، 1023، 2047، 4095، 8191، 16383، 32767، 65535، ... {{OEIS|id=A000225}} .

== الخصائص ==

* أي عدد من أعداد الواحد المكرر (وفق أي أساس) يحتوي على عدد مركب من الأرقام يكون بالضرورة مركبًا. على سبيل المثال،
*: ''R''<sub>35</sub><sup>(''b'')</sup> = {{حلقة|35|1}} = {{حلقة|5|1}} × 1 {{حلقة|6|{{حلقة|4|0}}1}} = {{حلقة|7|1}} × 1 {{حلقة|4|{{حلقة|6|0}}1}} ،

: حيث أن 35 = 7 × 5 = 5 × 7. لا يعتمد تحليل العوامل على الأساس ''b'' الذي يُمثِل به عدد الواحد المكرر.
: أعداد الواحد المكرر (في أي أساس) التي تحتوي على عدد أولي من الأرقام هي فقط التي يمكن أن تكون أعداد أولية. وهذا [[شرط ضروري وشرط كاف|شرط ضروري ولكن ليس كافيا]]. على سبيل المثال،
:: ''R''<sub>11</sub><sup>(2)</sup> = 2<sup>11</sup> − 1 = 2047 = 23 × 89.

* إذا ''p'' هو عدد أولي (وبالتالي عدد فردي)، فإن كل عدد أولي ''q'' من عوامل ''R''<sub>''p''</sub><sup>(''b'')</sup> يجب أن يكون إما 1+ مضاعفات 2''p ،'' أو عامل من عوامل (''b'' − 1). على سبيل المثال، العامل الأولي للعدد ''R''<sub>29</sub> هو 62003 = 1 + 2·29·1069. والسبب هو أن العدد الأولي ''p'' هو أصغر أس أكبر من 1 بحيث ''q'' من عوامل (''b<sup>p</sup>'' - 1) ، لأن ''p'' هو عدد أولي. لذلك، ما لم يكن ''q'' من عوامل (''b'' − 1)، ''p'' من عوامل [[دالة المؤشر لكارميكائيل|دالة كارمايكل]] لـ ''q''، وهو زوجي ويساوي (''q'' − 1).
* أي مضاعف موجب لعدد الواحد المكرر ''R''<sub>''n''</sub><sup>(''b'')</sup> يحتوي على الأقل ''n'' أرقام غير صفرية في الأساس-''b''.
* أي رقم ''x'' هو "عدد واحد مكرر" مكون من رقمين وفق الأساس (''x''-1).
* الأرقام الوحيدة المعروفة التي تنتمي للأعداد الواحد المكرر وتتكون من 3 أرقام على الأقل وفق أكثر من أساس واحد في وقت واحد هي 31 (111 في الأساس-5 ، 11111 في الأساس-2) و8191 (111 في الأساس-90 ، 1111111111111 في الأساس-2).
* باستخدام [[مبدأ برج الحمام]] يمكن أن تظهر بسهولة أنه لكل [[عددان أوليان فيما بينهما|عددين أوليين فيما بينهما]] من الأعداد الطبيعية (''n'' و''b)''، يوجد "عدد واحد مكرر" وفق الأساس-''b'' هو مُضاعف لـ ''n''.
* ..

== تحليل أعداد الواحد المكرر العشرية إلى عوامل ==
(العوامل الأولية ملونة بالأحمر {{لون|red|red}} تعني أنها "عوامل جديدة"، أي أن العامل الأولي من عوامل ''R''<sub>''n''</sub> لكنه ليس من عوامل ''R''<sub>''k''</sub> لجميع قيم ''k'' < ''n'' ) {{OEIS|A102380}} <ref>For more information, see [http://stdkmd.net/nrr/repunit/ Factorization of repunit numbers]. {{Webarchive|url=https://archive.today/20240923074045/https://stdkmd.net/nrr/repunit/|date=2024-09-23}}</ref>
{|
|
{|
|''R''<sub>1</sub> =
|1
|-
|''R''<sub>2</sub> =
|{{لون|red|11}}
|-
|''R''<sub>3</sub> =
|{{لون|red|3}} · {{لون|red|37}}
|-
|''R''<sub>4</sub> =
|11 · {{لون|red|101}}
|-
|''R''<sub>5</sub> =
|{{لون|red|41}} · {{لون|red|271}}
|-
|''R''<sub>6</sub> =
|3 · {{لون|red|7}} · 11 · {{لون|red|13}} · 37
|-
|''R''<sub>7</sub> =
|{{لون|red|239}} · {{لون|red|4649}}
|-
|''R''<sub>8</sub> =
|11 · {{لون|red|73}} · 101 · {{لون|red|137}}
|-
|''R''<sub>9</sub> =
|3<sup>2</sup> · 37 · {{لون|red|333667}}
|-
|''R''<sub>10</sub> =
|11 · 41 · 271 · {{لون|red|9091}}
|}
|
{|
|''R''<sub>11</sub> =
|{{لون|red|21649}} · {{لون|red|513239}}
|-
|''R''<sub>12</sub> =
|3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · {{لون|red|9901}}
|-
|''R''<sub>13</sub> =
|{{لون|red|53}} · {{لون|red|79}} · {{لون|red|265371653}}
|-
|''R''<sub>14</sub> =
|11 · 239 · 4649 · {{لون|red|909091}}
|-
|''R''<sub>15</sub> =
|3 · {{لون|red|31}} · 37 · 41 · 271 · {{لون|red|2906161}}
|-
|''R''<sub>16</sub> =
|11 · {{لون|red|17}} · 73 · 101 · 137 · {{لون|red|5882353}}
|-
|''R''<sub>17</sub> =
|{{لون|red|2071723}} · {{لون|red|5363222357}}
|-
|''R''<sub>18</sub> =
|3<sup>2</sup> · 7 · 11 · 13 · {{لون|red|19}} · 37 · {{لون|red|52579}} · 333667
|-
|''R''<sub>19</sub> =
|{{لون|red|{{حلقة|19|1}}}}
|-
|''R''<sub>20</sub> =
|11 · 41 · 101 · 271 · {{لون|red|3541}} · 9091 · {{لون|red|27961}}
|}
|
{|
|''R''<sub>21</sub> =
|3 · 37 · {{لون|red|43}} · 239 · {{لون|red|1933}} · 4649 · {{لون|red|10838689}}
|-
|''R''<sub>22</sub> =
|11<sup>2</sup> · {{لون|red|23}} · {{لون|red|4093}} · {{لون|red|8779}} · 21649 · 513239
|-
|''R''<sub>23</sub> =
|{{لون|red|{{حلقة|23|1}}}}
|-
|''R''<sub>24</sub> =
|3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · {{لون|red|99990001}}
|-
|''R''<sub>25</sub> =
|41 · 271 · {{لون|red|21401}} · {{لون|red|25601}} · {{لون|red|182521213001}}
|-
|''R''<sub>26</sub> =
|11 · 53 · 79 · {{لون|red|859}} · 265371653 · {{لون|red|1058313049}}
|-
|''R''<sub>27</sub> =
|3<sup>3</sup> · 37 · {{لون|red|757}} · 333667 · {{لون|red|440334654777631}}
|-
|''R''<sub>28</sub> =
|11 · {{لون|red|29}} · 101 · 239 · {{لون|red|281}} · 4649 · 909091 · {{لون|red|121499449}}
|-
|''R''<sub>29</sub> =
|{{لون|red|3191}} · {{لون|red|16763}} · {{لون|red|43037}} · {{لون|red|62003}} · {{لون|red|77843839397}}
|-
|''R''<sub>30</sub> =
|3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · {{لون|red|211}} · {{لون|red|241}} · 271 · {{لون|red|2161}} · 9091 · 2906161
|}
|}
أصغر عامل أولي لـ ''R''<sub>''n''</sub> عند ''n'' > 1 هو

: 11، 3، 11، 41، 3، 239، 11، 3، 11، 21649، 3، 53، 11، 3، 11، 2071723، 3، 111111111111111111، 11، 3، 11، 111111111111 1111، 3، 41، 11، 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ... {{OEIS|A067063}}

== أعداد الواحد المكرر الأولية ==
ظهر تعريف أعداد الواحد المكرر على يد علماء الرياضيات المُسلية الذين يبحثون عن [[تحليل عدد صحيح إلى عوامل|العوامل الأولية]] لمثل هذه الأرقام.

من السهل إظهار أنه إذا كان ''n'' قابلاً للقسمة على ''a'' ، فإن ''R''<sub>''n''</sub><sup>(''b'')</sup> قابل للقسمة على ''R''<sub>''a''</sub><sup>(''b'')</sup> :

: <math>R_n^{(b)}=\frac{1}{b-1}\prod_{d|n}\Phi_d(b),</math>

حيث <math>\Phi_d(x)</math> هي الحد <math>d^\mathrm{th}</math> من الحدود [[متعددة حدود دويرانية|الدائرية]] ونطاقات ''d'' على قواسم ''n'' . وبالتالي للعدد الأولي ''p'' ،

: <math>\Phi_p(x)=\sum_{i=0}^{p-1}x^i,</math>

الذي له الشكل المتوقع لعدد الواحد المكرر عندما نضع ''b'' محل ''x''.

على سبيل المثال، 9 قابلة للقسمة على 3، وبالتالي فإن ''R''<sub>9</sub> قابلة للقسمة على ''R''<sub>3</sub> — في الواقع، 111111111&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;·&nbsp;1001001. الحدود الدائرية cyclotomic polynomials المقابلة <math>\Phi_3(x)</math> و <math>\Phi_9(x)</math> هي <math>x^2+x+1</math> و <math>x^6+x^3+1</math> ، على التوالى. وبالتالي لكي يكون ''R''<sub>''n''</sub> أوليًا، يجب بالضرورة أن يكون ''n'' أوليًا، ولكن ليس كافيًا أن يكون ''n'' أوليًا. على سبيل المثال، ''R''<sub>3</sub>&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&nbsp;·&nbsp;37 ليس عددا أوليا. باستثناء هذه الحالة من ''R''<sub>3</sub> ، يمكن لـ ''p'' فقط أن تكون من عوامل ''R''<sub>''n''</sub> حيث ''n'' عدد أولي، إذا كان ''p'' = 2 ''kn'' + 1.

=== أعداد الواحد المكرر الأولية العشرية ===
''R''<sub>''n''</sub> هو عدد أولي عند ''n''&nbsp;=&nbsp;2,&nbsp;19,&nbsp;23, 317, 1031, 49081, 86453... (التسلسل [[oeis:A004023|A004023]] في [[موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت|OEIS]]). في 3 أبريل 2007، أعلن هارفي دوبنر (الذي اكتشف أيضًا ''R''<sub>49081</sub>) أن ''R''<sub>109297</sub> هو عدد أولي محتمل.<ref>Harvey Dubner, ''[http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0704&L=nmbrthry&T=0&P=178 New Repunit R(109297)]'' {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20240421155043/http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0704&L=nmbrthry&T=0&P=178|date=2024-04-21}}</ref> في 15 يوليو 2007، أعلن ماكسيم فوزني أن ''R''<sub>270343</sub> ربما يكون أوليًا.<ref>Maksym Voznyy, ''[https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0707&L=NMBRTHRY&P=5903 New PRP Repunit R(270343)]'' {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20240708200333/https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0707&L=NMBRTHRY&P=5903|date=2024-07-08}}</ref> وجد سيرج باتالوف وريان بروبر أن ''R''<sub>5794777</sub> و''R''<sub>8177207</sub> من الأعداد الأولية المحتملة في 20 أبريل و8 مايو 2021 على التوالي. وحتى وقت اكتشافهم، كان كل واحد منهم أكبر عدد أولي محتمل معروف. في 22 مارس 2022، ثبت في النهاية أن العدد الأولي المحتمل ''R''<sub>49081</sub> هو عدد أولي.<ref>{{استشهاد بويب|عنوان=PrimePage Primes: R(49081)|مسار= https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133761|تاريخ الوصول=2022-03-31|صحيفة=PrimePage Primes|تاريخ=2022-03-21|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240605195908/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133761|تاريخ أرشيف=2024-06-05}}</ref> وفي 15 مايو 2023، ثبت أخيرًا أن العدد الأولي المحتمل ''R''<sub>86453</sub> هو عدد أولي.<ref>{{استشهاد بويب|عنوان=PrimePage Primes: R(86453)|مسار= https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=136044|تاريخ الوصول=2023-05-16|صحيفة=PrimePage Primes|تاريخ=2023-05-16|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240709080904/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=136044|تاريخ أرشيف=2024-07-09}}</ref>

يوجد تخمين بأن هناك عددًا لا نهائيًا من أعداد الواحد المكرر الأولية،<ref>{{استشهاد بويب|عنوان=repunit|مسار= http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit|ناشر=[[Prime Pages]]|صحيفة=The Prime Glossary|مؤلف=Chris Caldwell|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240527092710/http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit|تاريخ أرشيف=2024-05-27}}</ref> ويبدو أنها تحدث تقريبًا بنفس القدر الذي تتنبأ به [[مبرهنة الأعداد الأولية|نظرية الأعداد الأولية]].

أعداد الواحد المكرر الأولية هي مجموعة فرعية تافهة من الأعداد الأولية القابلة للتبديل [[:en:Permutable prime|permutable primes]]، فالتبديل هنا لا معنى له لأن جميع أرقام العدد هي الرقم 1.

الخصائص الخاصة هي

* الباقي من ''R''<sub>''n''</sub> modulo 3 يساوي الباقي من ''n'' modulo 3. باستخدام 10<sup>''a''</sup> ≡ 1 (mod 3) لأي ''a'' ≥ 0،

''n'' ≡ 0 (mod 3) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ 0 (mod 3) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ 0 (mod ''R''<sub>3</sub>),

<br /> ''n'' ≡ 1 (mod 3) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ 1 (mod 3) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ ''R''<sub>1</sub> ≡ 1 (mod ''R''<sub>3</sub>),

<br /> ''n'' ≡ 2 (mod 3) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ 2 (mod 3) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ ''R''<sub>2</sub> ≡ 11 (mod ''R''<sub>3</sub>).

<br /> لذلك، 3 | ''n'' ⇔ 3 | ''R''<sub>''n''</sub> ⇔ ''R''<sub>3</sub> | ''R''<sub>''n''</sub> .
* الباقي من ''R''<sub>''n''</sub> modulo 9 يساوي الباقي من ''n'' modulo 9. باستخدام 10<sup>''a''</sup> ≡ 1 (mod 9) لأي ''a'' ≥ 0،

<br /> ''n'' ≡ ''r'' (mod 9) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ ''r'' (mod 9) ⇔ ''R''<sub>''n''</sub> ≡ ''R''<sub>''r''</sub> (mod ''R''<sub>9</sub>)،

<br /> لـ 0 ≤ ''r'' &#x3C; 9.

لذلك، 9 | ''n'' ⇔ 9 | ''R''<sub>''n''</sub> ⇔ ''R''<sub>9</sub> | ''R''<sub>''n''</sub> .

:

== التاريخ ==
على الرغم من أنها لم تكن معروفة بهذا الاسم في ذلك الوقت، فقد درس العديد من علماء الرياضيات أعداد الواحد المكرر في الأساس 10 خلال القرن التاسع عشر في محاولة لمعرفة وتوقع الأنماط الدورية [[تكرار عشري|للأعداد العشرية المتكررة]] .<ref name="Dickson1999">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Dickson|Cresse|1999|pp=164–167}}</ref>

وقد اكتُشِف في وقت مبكر جدًا أنه بالنسبة لأي عدد أولي ''p'' أكبر من 5، فإن [[تكرار عشري|فترة]] التوسع العشري لـ 1/''p'' تساوي طول أصغر عدد مقلوب قابل للقسمة على ''p'' . وقد نُشرت جداول فترة مقلوب الأعداد الأولية حتى 60000 بحلول عام 1860، وسمحت [[تحليل عدد صحيح إلى عوامل|بتحليل العوامل]] بواسطة علماء رياضيات مثل Reuschle لجميع المقلوبات حتى ''R<sub>16</sub>'' والعديد من المقلوبات الأكبر. بحلول عام 1880، أمكن تحليل من ''R<sub>17</sub>'' إلى ''R<sub>36</sub>'' <ref name="Dickson1999" /> ومن الغريب أنه على الرغم من أن [[إدوارد لوكا]]س لم يُظهر أي عدد أولي أقل من ثلاثة ملايين له فترة [[19 (عدد)|تسعة عشر]] ، لم تكن هناك محاولة لاختبار أي عدد من أعداد الواحد المكرر من حيث كونها أعدادًا أولية أم لا حتى أوائل القرن العشرين. أثبت عالم الرياضيات الأمريكي أوسكار هوب أن ''R<sub>19</sub>'' عدد أولي في عام 1916 <ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Francis|1988|pp=240–246}}</ref> ووجد ليهمر وكرايتشيك بشكل مستقل أن ''R<sub>23</sub>'' عدد أولي في عام 1929.

ولم يحدث مزيد من التقدم في دراسة أعداد الواحد المكرر حتى ستينيات القرن العشرين، عندما سمحت أجهزة الحاسوب باكتشاف العديد من العوامل الجديدة لأعداد الواحد المكرر وتصحيح الفجوات في الجداول السابقة للفترة الأولية. وُجِد أن ''R<sub>317</sub>'' هو [[عدد أولي محتمل]] حوالي عام 1966، وأُثبت أنه عدد أولي بعد أحد عشر عامًا، عندما ثبت أن ''R<sub>1031</sub>'' هو العدد الأولي الوحيد المحتمل من أعداد الواحد المكرر الذي يحتوي على أقل من عشرة آلاف رقم. وقد ثبت كونه عددًا أوليًا في عام 1986، لكن عمليات البحث عن المزيد من أعداد الواحد المكرر الأولية في العقد التالي باءت بالفشل باستمرار. ومع ذلك، كان هناك تطور جانبي كبير في مجال المعادلات المعممة لأعداد الواحد المكرر، والذي أنتج عددًا كبيرًا من الأعداد الأولية الجديدة والأعداد الأولية المحتملة.

منذ عام 1999، عُثر على أربعة أعداد أخرى من المحتمل أن تكون من أعداد الواحد المكرر الأولية، ولكن من غير المرجح أن يُثبَت أن أيًا منها أوليًا في المستقبل المنظور بسبب حجمها الضخم.

يسعى مشروع كانينغهام إلى توثيق تحليل العوامل الصحيحة (من بين أرقام أخرى) لأعداد الواحد المكرر وفق أساس 2 و3 و5 و6 و7 و10 و11 و12.

== أرقام ديملو ==
لقد عرّف الدكتور كابريكار أرقام ديملو على أنها سلسلة من الأجزاء اليسرى والوسطى واليمنى، حيث يجب أن يكون الجزء الأيسر والأيمن بنفس الطول (حتى الصفر المحتمل إلى اليسار) ويجب أن يصل مجموعهما إلى رقم متكرر، وقد يحتوي الجزء الأوسط على أي رقم إضافي من هذا الرقم المتكرر.<ref>{{Harvard citations|nb}}, {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Gunjikar|Kaprekar|1939}}</ref> وسُميت بذلك على اسم محطة سكة حديد [[Demlo|ديملو]] (التي تسمى الآن دومبيفيلي) الواقعة على بعد 30 ميلاً من بومباي على خط سكة حديد GIP آنذاك، حيث بدأ كابريكار البحث فيها. وقد اطلق عليها اسم ''أرقام ديملو الرائعة'' ''Wonderful Demlo numbers.'' وهي الأعادا على الشكل 1، 121، 12321، 1234321، ... ، 12345678987654321. إن حقيقة كون هذه هي مربعات أعداد الواحد المكرر قد دفعت بعض المؤلفين إلى تسمية أرقام ديملو بالتسلسل اللانهائي لهذه، 1، 121، 12321، ... , 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ... {{OEIS|A002477}}، على الرغم من أنه يمكن للمرء التحقق من أن هذه ليست أرقام Demlo عند ''p'' = 10، 19، 28، ...

== انظر أيضا ==

* كثيرة حدود الواحد [[:en:All one polynomial|All one polynomial]]— تعميم آخر
* تخمين جورماغتيغ [[:en:Goormaghtigh conjecture|Goormaghtigh conjecture]]
* [[تكرار عشري]]
* رقم مكرر [[:en:Repdigit|Repdigit]]
* عدد Wagstaff الأولي [[:en:Wagstaff prime|Wagstaff prime]]— يمكن اعتباره من أعداد الواحد المكرر الأولية وفق أساس سالب (<math>b = -2</math>)

== الحواشي ==

=== ملحوظات ===
{{مراجع|مجموعة=note}}

=== مراجع ===
{{مراجع|30em}}

== مصادر ==

* {{استشهاد|الأخير=Beiler|الأول=Albert H.|مؤلف-وصلة=Albert Beiler|سنة النشر الأصلية=1964|تاريخ=2013|عنوان=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|ناشر=Dover Publications|مكان=New York|طبعة=2nd Revised|سلسلة=Dover Recreational Math|مسار={{كتب جوجل|NbbbL9gMJ88C|Recreations in the theory of numbers|plainurl=yes}}|ISBN=978-0-486-21096-4}}
* {{استشهاد|الأخير=Dickson|الأول=Leonard Eugene|مؤلف-وصلة=Leonard Eugene Dickson|الأخير2=Cresse|الأول2=G.H.|مؤلف2-وصلة=G. H. Cresse|سنة=1999|عنوان=History of the Theory of Numbers|مكان=Providence, RI|طبعة=2nd Reprinted|ناشر=AMS Chelsea Publishing|سلسلة=Volume I: Divisibility and primality|مسار={{كتب جوجل|XnwsAQAAIAAJ|History of the Theory of Numbers|plainurl=yes}}|ISBN=978-0-8218-1934-0}}
* {{استشهاد|الأخير=Francis|الأول=Richard L.|مؤلف-وصلة=Richard L. Francis|سنة=1988|عنوان=Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers|صحيفة=The College Mathematics Journal|المجلد=19|العدد=3|صفحات=240–246|DOI=10.1080/07468342.1988.11973120}}
* {{استشهاد|الأخير=Gunjikar|الأول=K. R.|مؤلف-وصلة=K. R. Gunjikar|الأخير2=Kaprekar|الأول2=D. R.|سنة=1939|عنوان=Theory of Demlo numbers|صحيفة=Journal of the University of Bombay|المجلد=VIII|العدد=3|صفحات=3–9|مسار= http://OEIS.org/A249605/a249605.pdf|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240905175220/https://oeis.org/A249605/a249605.pdf|تاريخ أرشيف=2024-09-05}}
* {{استشهاد|الأخير=Kaprekar|الأول=D. R.|مؤلف-وصلة=D. R. Kaprekar|سنة=1938a|عنوان=On Wonderful Demlo numbers|صحيفة=The Mathematics Student|المجلد=6|صفحة=68|مسار= http://www.indianmathsociety.org.in/|مسار أرشيف= https://archive.today/20121218215524/http://www.indianmathsociety.org.in/|تاريخ أرشيف=2012-12-18}}
* {{استشهاد|الأخير=Kaprekar|الأول=D. R.|مؤلف-وصلة=D. R. Kaprekar|سنة=1938b|عنوان=Demlo numbers|صحيفة=J. Phys. Sci. Univ. Bombay|المجلد=VII|العدد=3}}
* {{استشهاد|الأخير=Kaprekar|الأول=D. R.|مؤلف-وصلة=D. R. Kaprekar|سنة=1948|عنوان=Demlo numbers|ناشر=Khareswada|مكان=Devlali, India}}
* {{استشهاد|الأخير=Ribenboim|الأول=Paulo|مؤلف-وصلة=Paulo Ribenboim|تاريخ=1996-02-02|عنوان=The New Book of Prime Number Records|ناشر=Springer|مكان=New York|طبعة=3rd|سلسلة=Computers and Medicine|مسار={{كتب جوجل|2VTSBwAAQBAJ|The New Book of Prime Number Records|plainurl=yes}}|ISBN=978-0-387-94457-9}}
* {{استشهاد|الأخير=Yates|الأول=Samuel|مؤلف-وصلة=Samuel Yates|سنة=1982|عنوان=Repunits and repetends|ناشر=Delray Beach|مكان=FL|ISBN=978-0-9608652-0-8|مسار={{كتب جوجل|3_vuAAAAMAAJ|Repunits and repetends|plainurl=yes}}}}

== روابط خارجية ==

* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>Weisstein, Eric W. "Repunit". MathWorld.
* [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 The main tables] of the [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ Cunningham project].
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit Repunit] at The Prime Pages by Chris Caldwell.
* [http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm Repunits and their prime factors] at [http://www.worldofnumbers.com World!Of Numbers].
* [https://web.archive.org/web/20131019185910/http://www.primes.viner-steward.org/andy/titans.html Prime generalized repunits] of at least 1000 decimal digits by Andy Steward
* [http://www.elektrosoft.it/matematica/repunit/repunit.htm Repunit Primes Project] Giovanni Di Maria's repunit primes page.
* [https://docs.google.com/document/d/e/2PACX-1vRha5-vd9Covl4k6I02lOEdWdhsXnBCeFT3FHyhMYTO1i7jtZdTV3wQw2yXgTNja5k_-XINgqL9VNmo/pub Smallest odd prime p such that (b^p-1)/(b-1) and (b^p+1)/(b+1) is prime for bases 2<=b<=1024]
* [http://stdkmd.net/nrr/repunit/ Factorization of repunit numbers]
* [http://www.primenumbers.net/Henri/us/MersFermus.htm Generalized repunit primes in base -50 to 50]
{{Classes of natural numbers}}{{طبقات الأعداد الأولية}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:سلاسل عددية تعتمد على الأرقام]]
[[تصنيف:أعداد صحيحة]]