عرض مصدر عامل تكاملي

{{يتيمة|تاريخ=أكتوبر 2020}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''عامل التكامل''' هو [[دالة]] يتم اختيارها لتسهيل حل معادلة تفاضلية معينة.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/IntegratingFactor.html | عنوان = معلومات عن عامل تكاملي على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210506173539/https://mathworld.wolfram.com/IntegratingFactor.html|تاريخ أرشيف=2021-05-06}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.jstor.org/topic/integrating-factors | عنوان = معلومات عن عامل تكاملي على موقع jstor.org | ناشر = jstor.org}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.enciclopedia.cat/EC-GEC-0182868.xml | عنوان = معلومات عن عامل تكاملي على موقع enciclopedia.cat | ناشر = enciclopedia.cat|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210511235634/https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0182868.xml|تاريخ أرشيف=2021-05-11}}</ref> وهي تستخدم عادة في حل [[معادلة تفاضلية عادية|المعادلات التفاضلية العادية]]، ولكنها تستخدم أيضا في [[حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات]], عند ضرب المعادلة التفاضلية بعامل التكامل تتحول من معادلة تفاضلية غير دقيقة إلى [[معادلة تفاضلية تامة|معادلة تفاضلية دقيقة]] (والتي يمكن أن تُكامل بعد ذلك للحصول على [[حقل سلمي]] ). العامل التكاملي مفيد في تطبيقات [[ديناميكا حرارية|الديناميكا الحرارية]] حيث تصبح [[درجة حرارة|درجة الحرارة]] هي العامل التكاملي الذي يجعل [[إنتروبيا|الإنتروبيا]] تفاضلًا دقيقًا.

== الاستعمال ==
العامل التكاملي هو أي عبارة رياضية يتم ضرب معادلة تفاضلية بها لتسهيل التكامل. على سبيل المثال، معادلة الدرجة الثانية غير الخطية هذه

: <math>\frac{d^2 y}{d t^2} = A y^{2/3}</math>

يكون لها<math>\tfrac{d y}{d t}</math> عامل تكامل:

: <math>\frac{d^2 y}{d t^2} \frac{d y}{d t} = A y^{2/3} \frac{d y}{d t}.</math>

للتكامل، لاحظ أنه يمكن التعبير عن طرفي المعادلة كمشتقات من خلال العودة بالخطوات للخلف [[قاعدة السلسلة|بقاعدة السلسلة]] :

: <math>\frac{d}{d t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right) = \frac{d}{d t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right).</math>

وبالتالي،

: <math>\left(\frac{d y}{d t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0.</math>

حيث<math>C_0</math> ثابت.

قد تكون هذه الصيغة أكثر فائدة على حسب التطبيق. ومن خلال إجراء فصل بين المتغيرات

: <math>\int_{y(0)}^{y(t)} \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t</math>

هذا حل [[دالة ضمنية|ضمني]] يتضمن تكامل غير أساسي . تستخدم هذه الطريقة نفسها لحل دورة [[رقاص|البندول]] البسيط.

=== حل المعادلات التفاضلية العادية الخطية من الدرجة الأولى ===
تعتبر عوامل التكامل مفيدة في حل [[معادلة تفاضلية عادية|المعادلات التفاضلية العادية]] التي يمكن التعبير عنها بالصيغة التالية

: <math> y'+ P(x)y = Q(x)</math>

الفكرة الأساسية هي العثور على بعض الدوال، على سبيل المثال<math>M(x)</math>، يسمى "عامل التكامل"، والذي يمكننا ضربه بمعادلتنا التفاضلية ليصبح لدى الطرف الأيسر مشتق مشترك. بالنسبة [[معادلة تفاضلية|للمعادلة التفاضلية الخطية من]] الدرجة الأولى الأساسية الموضحة أعلاه، يكون عامل التكامل لها <math>e^{\int P(x) dx}</math> .

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:معادلات تفاضلية عادية]]