عرض مصدر عاملي

{{عن|3=! (توضيح)}}
{{بطاقة عامة}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''المضروب''' أو '''العاملي''' لعدد صحيح طبيعي ''n''، والذي يكتب <math>n!</math>، والذي يقرأ "عاملي n"، هو [[جداء]] كل [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] (الأعداد الصحيحة الموجبة قطعاً) المساوية أو الأصغر من ''n''، ما عدا الصفر.<ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://www.britannica.com/science/factorial | عنوان = معلومات عن عاملي على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160506223541/http://www.britannica.com/topic/factorial | تاريخ أرشيف = 6 مايو 2016 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/032440 | عنوان = معلومات عن عاملي على موقع zthiztegia.elhuyar.eus | ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210045433/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/032440|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref><ref>{{استشهاد بويب| مسار = https://oeis.org/A000142 | عنوان = معلومات عن عاملي على موقع oeis.org | ناشر = oeis.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190507190718/http://oeis.org/A000142 | تاريخ أرشيف = 7 مايو 2019 }}</ref>

فيما يلي مثال 5 عاملي:

:<math>5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120  \ </math>

و تعريف العاملي على شكل جداء يترتب عنه كون <math>0! = 1</math> ذلك أن 0! جداء مفرغ، وبمعنى آخر مختصر أي عدد مضروب في صفر يساوي صفر في عملية الضرب.

تظهر دالة العاملي في مجالات مختلفة من الرياضيات، وخصوصا في [[تركيبات|التوافقيات]] و[[جبر|الجبر]] و[[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]. أبسط مثال على ذلك، وجود ''!n'' طريقة مختلفة لترتيب عناصر مجموعة عددهم مساو ل n (أي عدد [[تبديل (رياضيات)|التبديلات]] لعناصر هذه المجموعة). عرفت هذه الحقيقة على الأقل منذ القرن الثاني عشر الميلادي، من طرف علماء الرياضيات الهنديين. ويظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل [[مبرهنة ذي الحدين|صيغة الثنائي الحد]] ل[[إسحاق نيوتن|نيوتن]] وصيغة [[بروك تايلور|تايلور]]. إستُعمل رمز علامة التعجب (!) للتعبير عن دالة عاملي لأول مرة من طرف عالم الرياضيات [[كريستيان كرامب]] وكان ذلك عام 1808.

يمكن لتعريف دالة عاملي أن [[عاملي#دالتا غاما و π|يمدد إلى أعداد غير صحيحة]] بدون المساس بخصائص هذه الدالة. هذه العملية تستلزم تقنيات متطورة في الرياضيات وخصوصا تلك المستقاة من [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]].

== تعريف ==
تعرف دالة عاملي بالصيغة التالية:

:<math>n! = \prod_{i=1}^n i = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n</math>

أو عن طريق [[عودية|الاستدعاء الذاتي]] كما يلي

:<math> n! = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 0, \\
(n-1)!\times n & \text{if } n> 0.
\end{cases}
</math>

وكلا التعريفين يضم المتساوية التالية:

:<math>0! = 1, \ </math>

== تطبيقات ==
يمكننا التعبير عن [[توفيق (رياضيات)|التوفيقة]] بدلالة العاملي:
:<math>\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!}=\binom n{n-k}.</math>

== نظرية الأعداد ==
لدالة عاملي عدة تطبيقات في مجال [[نظرية الأعداد]]. وبشكل خاص، عاملي n قابل للقسمة على جميع [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] الأصغر من أو تساوي n. ونتيجة لذلك، فإن n> 5، [[عدد مؤلف]]، [[إذا وفقط إذا]] توفر ما يلي:
:<math>(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n</math>

وهنالك نتيجة أقوى من ذلك تتمثل في [[مبرهنة ويلسون]]. تنص هاته المبرهنة على ما يلي:
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p</math>
إذا وفقط إذا كان p أوليا.

== سرعة النمو وتقريبات عندما يصير n كبيرا ==

[[ملف:Log-factorial.svg|300px|تصغير|يسار|تبيان للوغاريتم الطبيعي مطبق على دالة عاملي]]

عندما يصير n كبيرا، تصير دالة عاملي أكبر من أي [[متعددة الحدود|متعددة حدود]] ومن أي [[نمو أسي|دالة أسية]] ل n.(ولكنها تبقى أبطأ من [[دالة الأس المزدوج]]).

أغلب التقريبات لعاملي n تعتمد أساسا على تقريب [[لوغاريتم طبيعي|لوغارتمها الطبيعي]] كما تبين الصيغة:

<math>\log n! = \sum_{x=1}^n \log x.</math>.

تبيان الدالة (!f(n) = log(n مبين في يسار هاته الفقرة، حيث يبدو أنها [[دالة خطية|خطية]] مع n (أي أنها متناسبة معه) إلا أن هذا الحدس خاطئ.

تعطينا [[تقريب ستيرلينغ|صيغة ستيرلينغ]] مقاربا ل ''n''! عندما تكون ''n'' كبيرة:
:<math>\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}=1.</math>

== الحساب والبرمجة ==
يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء.
فلنكتب باستعمال لغة [[سكيم|Scheme]]، القريبة من لغة [[ليسب|Lisp]]، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد صحيح:
<div dir=ltr>
 (define fact
 (lambda (x)
 (if (= x 0) 1
 (* x (fact (- x 1))))))
</div>
و هذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.

و بنفس الطريقة في [[Caml]] :
<div dir=ltr>
 let rec fact n = 
 match n with
 | 0 -> 1
 | _ -> n * fact(n-1)
 <nowiki>;;</nowiki>
</div>
و بطريقة أخرى:
<div dir=ltr>
 let fact n =
 let rec aux n r =
 match n with
 | 0 -> r
 | _ -> aux (n-1) (n*r)
 in
 aux n 1
 <nowiki>;;</nowiki>
</div>
و في لغة [[سي (لغة برمجة)|سي]]:
<syntaxhighlight lang="c">
 int recursive_factorial(int n)
 {
   if (n == 0)
     return 1;
     return n * recursive_factorial(n-1);
 }
</syntaxhighlight>
و بطريقة أخرى:
<syntaxhighlight lang="c">
 int recursive_factorial(int n)
 {
   int res;
   &nbsp;
   for (res = 1; n> 1; n--)
     res *= n;
   &nbsp;
   return res;
 }
</syntaxhighlight>
و في لغة [[بايثون (لغة برمجة)|بايثون]]:
<syntaxhighlight lang="python">
def factSimple(num) :
    if num== 0 :
        return 1
    else :
        fact= 1
        count= 1
        while count<= num:
            fact*= count
            count+= 1
        return fact
print("5! = " +str(factSimple(5))) #on the screen : 5! = 120
</syntaxhighlight>
وبطريقة ثانية:
<syntaxhighlight lang="python">
def fact(num):
    if num==0:
        return 1
    else:
        return num*factorial(num-1)
print("5! = " +str(fact(5))) #on the screen : 5! = 120
</syntaxhighlight>
وبطريقة ثالثة:
<syntaxhighlight lang="python">
factLambda = lambda num : num>0 and num*fact(num-1) or 1
print("5! = " +str(factLambda(5))) #on the screen : 5! = 120
</syntaxhighlight>
و في لغة [[جافا سكريبت|جافاسكربت]]:
<syntaxhighlight lang="javascript">
function fact(n){
	let res;
	for (res = 1; n > 1; n--)
		res *= n;

	return res;
}
</syntaxhighlight>

وبطريقة أخرى:<syntaxhighlight lang="javascript">
function fact(n)
{
   if (n == 0)
      return 1;
   else
      return n * fact(n - 1);
}
</syntaxhighlight>

هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد الصحيحة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.

== تمديد دالة عاملي للأعداد غير الصحيحة ==
=== دالتا غاما و π ===
{{مفصلة|دالة غاما}}

[[ملف:Factorial Interpolation.svg|تصغير|320px|دالة غاما تستوفي دالة العاملي إلى الأعداد غير الصحيحة.]]

لكل عدد صحيح ''n''، لدينا <math>\Gamma(n+1) = n! </math> حيث Γ هي دالة [[ليونهارت أويلر|أويلر]]([[دالة غاما]]) وضعها [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]]. وتمكننا هاته الدالة من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة قطعا. وفي النهاية نجد:

:<math>\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t=z! \ \forall z>-1</math>

== دوال وجداءات تشبه دالة عاملي ==
=== [[عاملي ثنائي]] ===
{{مفصلة|عاملي ثنائي}}
يطلق على [[جداء]] جميع [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] من 1 إلى {{Mvar|n}} والتي لها نفس [[أعداد زوجية وفردية|الزوجية]] (سواء كان فردي أو زوجي) تماما مثل {{Mvar|n}}، اسم '''العاملي الثنائي''' {{بحاجة لمصدر}} {{إنج|Double factorial}} للعدد {{Mvar|n}} ويُشار إليه بـ {{تعبير رياضي|''n''!!}}

يمكن أن نعرفها بواسطة متسلسلة الجداء:

 
: <math>n!! = \prod_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil - 1} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots </math>

حيث <math>\left\lceil n\right\rceil</math> هو [[دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى|سقف]] العدد n.

على سبيل المثال، {{تعبير رياضي|9!! {{=}} 9 × 7 × 5 × 3 × 1 {{=}} 945}}.

=== عاملي متعدد ===
من الترميزات الشائعة ذات الصلة هي استخدام علامات تعجب متعددة للإشارة إلى '''عاملي متعدد''' {{بحاجة لمصدر}} {{إنج|Multifactorial}}، أنواعها: عاملي ثنائي ({{تعبير رياضي|n!!}})، عاملي ثلاثي ({{تعبير رياضي|n!!!}})... وهكذا.

يعرف العاملي المتعدد بـ:

:<math> n!^{(k)} = \begin{cases}
 n & \text{if } 0 < n \leq k, \\
 n\left({(n - k)!}^{(k)}\right) & \text{if } n > k.
\end{cases}</math>
=== عاملي الأعداد الأولية ===
{{مفصلة|عاملي أعداد أولية}}

'''عاملي الأعداد الأولية''' {{إنج|Primorial}} للعدد n هو جداء جميع الأعداد الأولية أقل من أو يساوي n، يرمز إليها بـ {{تعبير رياضي|n#}}.

نُعرّفه كمتسلسلة الجداء:

:<math>n\# = \prod_{p \leq n} p,</math>

حيث p هي الأعداد الأولية.

== انظر أيضا ==
{{تصنيف كومنز|Factorial (function)|عاملي}}
* [[دالة غاما]]
* [[عدد مثلثي|الأعداد المثلثية]]
* [[تقريب ستيرلينغ]]
* [[عاملي عدد أولي|عاملي أعداد أولية]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==

{{شريط بوابات|حسابيات|رياضيات}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{تحليل رياضي}}
{{متسلسلات (رياضيات)}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:توافقيات]]
[[تصنيف:غاما والدوال المتعلقة بها]]
[[تصنيف:موضوعات حاسمة وذات حدين]]
[[تصنيف:نظرية الاحتمالات]]