عرض مصدر ط (رياضيات)

{{بطاقة عامة}}
{{شريط جانبي الثابت باي}}
{{ميز|باي (حرف يوناني)}}
[[ملف:Pi-unrolled-720.gif|تصغير|300بك|يسار| عندما يكون قطر دائرة مساويا ل 1، يكون محيطها مساويا ل π.]]
'''باي''' (<math>{\pi}</math>) أو '''ط'''<ref>[http://www.alargam.com/maths/1/2.htm الثابت (ط)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171008231730/http://www.alargam.com/maths/1/2.htm |date=08 أكتوبر 2017}}</ref> أو '''ثابت الدائرة''' π هو [[ثابت رياضي]]. عُرف في الأصل على أنه نسبة [[محيط منحنى مغلق|محيط الدائرة]] إلى [[قطر (هندسة)|قطرها]]، والآن عرف لدى <math>{\pi}</math> تعريف المعادلات الرياضية المختلفة. ويظهر الثابت ط في العديد من الصيغ في جميع مجالات ال[[رياضيات]] وال[[فيزياء]]. ويساوي تقريبًا ...3.14159.

مُثل بالحرف اليوناني "<math>{\pi}</math>" منذ منتصف [[القرن 18|القرن الثامن عشر]]، على الرغم من أنه مكتوب أحيانًا "pi". ويسمى أيضا '''ثابت [[أرخميدس]]'''.

<math>{\pi}</math> [[عدد غير كسري|عدد غير نسبي]]. لهذا السبب، لا يمكن التعبير عنهُ على شكل كسر أي لا يمكن كتابته على صورة <math> a/b </math> حيث a وb عددان صحيحان.
نتيجة لذلك، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. ومع ذلك، فإن كسورًا مثل 22/7 وأعدادًا حقيقية أخرى تستخدم لتقريب العدد <math>{\pi}</math>. يبدو أن الأرقام بعد الفاصلة [[متتالية عشوائية|موزعة عشوائيًا]]. على وجه الخصوص، يخمن تسلسل الأرقام <math>{\pi}</math> لمقاربة نوع معين من العشوائية الإحصائية، ولكن حتى الآن، لم يكتشف أي دليل على ذلك.
أيضًا، هو [[عدد متسام]]؛ بمعنى أنه ليس جذر أي [[متعددة الحدود|متعدد الحدود]] له معاملات [[عدد كسري|كسرية]].
يعني هذا التعالي أنه من المستحيل حل التحدي القديم المتمثل في [[تربيع الدائرة]] باستخدام [[إنشاء بمسطرة وفرجار|آلة الفرجار والمسطرة]].

حسبت [[تاريخ الرياضيات|الحضارات القديمة]] قديمًا نسب دقيقة إلى حد ما من التقارب <math>{\pi}</math> لأسباب عملية، بما في ذلك المصريون و[[بلاد بابل|البابليون]].
حوالي في العام 250 قبل الميلاد، أنشأ عالم الرياضيات اليوناني [[أرخميدس]] خوارزمية لحساب النسبة الثابتة ط.
في [[القرن 5|القرن الخامس]] الميلادي تقريبًا، كانت [[الرياضيات في الصين|الرياضيات الصينية]] تقارب النسبة <math>{\pi}</math> إلى سبعة أرقام، في حين قدمت الرياضيات الهندية تقريبًا عدداً مكوناً من خمسة أرقام، وكلاهما استخدم التقنيات الهندسية.
إن الصيغة التاريخية الأولى بالضبط لـ<math>{\pi}</math>، المستندة إلى سلسلة لانهائية، لم تكن متاحة إلا بعد مرور ألف عام، عندما اكتُشفت [[صيغة لايبنتس ل π|سلسلة مادهافا-لايبنتس]] في [[القرن 14|القرن الرابع عشر]] في [[الرياضيات في الهند القديمة|الرياضيات الهندية]].<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Special Functions |مؤلف1-الأول=George E. |مؤلف1-الأخير=Andrews |مؤلف2-الأول=Richard |مؤلف2-الأخير=Askey |مؤلف3-الأول=Ranjan |مؤلف3-الأخير=Roy |ناشر=[[مطبعة جامعة كامبريدج]]|سنة=1999|isbn=978-0-521-78988-2|صفحة=58}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأول=R.C.|الأخير=Gupta|عنوان=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series|صحيفة=Ganita Bharati|المجلد=14|العدد=1–4|سنة=1992|صفحات=68–71}}</ref>
وفي القرنين العشرين والواحد والعشرين، اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب مقاربات جديدة. عندما اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسّعت التمثيل العشري لـ<math>{\pi}</math> إلى العديد من التريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية.<ref>[http://www.pi2e.ch/ π<sup>e</sup> trillion digits of π] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161206063441/http://www.pi2e.ch/ |date=6 December 2016 }} <!-- – the exact number of digits increases periodically – it should not be included in this article by citing only a [[ويكيبيديا:لا أبحاث أصلية]]. --></ref><ref>[https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191019023120/https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud |date=19 أكتوبر 2019}}</ref>
بينما لا تتطلب جميع التطبيقات العلمية في الواقع أكثر من بضع مئات من الأرقام من <math>{\pi}</math>، وعدد أقل بكثير. الدافع الأساسي لهذه الحسابات هو السعي لإيجاد [[خوارزمية|خوارزميات]] أكثر كفاءة لحساب سلسلة رقمية طويلة، وكذلك الرغبة في تحطيم الأرقام القياسية.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Arndt|Haenel|2006|p=17}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|مؤلف1-الأول=David |مؤلف1-الأخير=Bailey |مؤلف2-الأول=Jonathan |مؤلف2-الأخير=Borwein |مؤلف3-الأول=Peter |مؤلف3-الأخير=Borwein |مؤلف4-الأول=Simon |مؤلف4-الأخير=Plouffe |عنوان=The Quest for Pi|مسار=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_winter-1997_19_1/page/50 |صحيفة=[[The Mathematical Intelligencer]]|سنة=1997|المجلد=19|العدد=1|صفحات=50–56|doi=10.1007/bf03024340|citeseerx=10.1.1.138.7085}}</ref> كما استُخدمت الحسابات الشاملة المعنية لاختبار أجهزة الحاسوب العملاقة وخوارزميات الضرب عالية الدقة.

نظرًا إلى كون التعريف الأول ل <math>{\pi}</math> متعلقًا بال[[دائرة]]، فإنه يوجد في العديد من الصيغ في [[حساب المثلثات|علم المثلثات]] وال[[هندسة]]، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر و[[قطع ناقص|القطع الناقص]].
بالإضافة إلى ذلك، يظهر في مجالات ال[[رياضيات]] وال[[علم|علوم]] التي ليس لها علاقة تذكر بهندسة الدوائر، مثل [[نظرية الأعداد]] وال[[إحصاء]]، وكذلك في جميع مجالات ال[[فيزياء]] تقريبًا. يجعلها واحدة من أكثر الثوابت الرياضية المعروفة على نطاق واسع داخل وخارج المجتمع العلمي. نُشرت العديد من الكتب المخصصة لـ<math>{\pi}</math>، وغالبًا ما تؤدي حسابات وضع الأرقام القياسية إلى عناوين الأخبار. أدت محاولات حفظ قيمة <math>{\pi}</math> بدقة متزايدة إلى تسجيل أكثر من 70000 رقم.

== الأساسيات ==
=== الاسم ===
[[ملف:ثابت الدائرة ثلاثة وسبع.png|تصغير|سنة 1797م [[محمد حسين العطار الدمشقي]] من [[عالم رياضيات|علماء الحساب]] في العصر العثماني، استعمل مقاربة لثابت الدائرة في هذه المخطوطة كما جرت العادة (ثلاثة وسُبع)]]
[[ملف:Leonhard Euler.jpg|تصغير|يسار|عمم [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] استعمال الحرف الإغريقي <math>{\pi}</math> في عمل لهُ نشره عام 1748.]]
[[ملف:Matheon2.jpg|تصغير|alt=A photograph of the Greek letter pi, created as a large stone mosaic embedded in the ground.|مُثل الثابت <math>{\pi}</math> في هذا [[فسيفساء|الفسيفساء]] خارج مبنى لتدريس الرياضيات في [[جامعة برلين للتكنولوجيا|معهد برلين للتكنولوجيا]].]]
الرمز المستخدم من طرف [[عالم رياضيات|علماء الرياضيات]] من أجل تمثيل النسبة بين [[محيط منحنى مغلق|محيط الدائرة]] و[[قطر (هندسة)|قطرها]] هو الحرف الإغريقي <math>{\pi}</math> و يُقرأ هذا الحرف '' باي''<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Holton|الأول=David|مؤلف2-الأخير=Mackridge|مؤلف2-الأول=Peter|عنوان=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|ناشر=Routledge|سنة=2004 |isbn=0-415-23210-4}}, p. xi.</ref> و لا ينبغي خلط هذا العدد مع الحرف Π، والذي يعني [[جداء|الجداء]]. ويُنطق <math>{\pi}</math> في [[اللغة الإنجليزية]] ({{IPAc-en|p|aɪ}}).<ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://www.dictionary.com/browse/pi?s=t|عنوان=pi|ناشر=Dictionary.reference.com|تاريخ=2 March 1993|تاريخ الوصول=18 June 2012| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150322150655/http://dictionary.reference.com:80/browse/pi?s=t | تاريخ أرشيف = 22 مارس 2015 }}</ref>

وكان أول [[عالم رياضيات]] استعمل الحرف الإغريقي π من أجل تمثيل نسبة [[محيط منحنى مغلق|محيط الدائرة]] على [[قطر (هندسة)|قطرها]] هو [[وليم جونز (عالم رياضيات)|ويليام جونز]]، الذي استعملها في عام 1706 في عمل له.

=== التعريف ===

[[ملف:Pi C over d.jpg|يسار|تصغير|محيط دائرة يزيد بقليل عن ثلاثة أضعاف قطرها. تساوي النسبة بينهما <math>\pi</math>.]]

<math>{\pi}</math> هي [[نسبة (رياضيات)|نسبة]] [[محيط منحنى مغلق|محيط الدائرة]] {{تعبير رياضي|''C''}} على قطرها {{تعبير رياضي|d}}:<ref name="Arndt">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Arndt|Haenel|2006|p=8}}</ref>

:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>

نسبة {{تعبير رياضي|''C''/''d''}} هي ثابتة بغض النظر عن محيط أو مساحة الدائرة. هذا التعريف ل <math>\pi</math> يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم [[هندسة إقليدية|الهندسة الأقليدية المسطحة]]. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى [[هندسة لاإقليدية|الهندسة غير الإقليدية المنحنية]]، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة <math> \pi = \frac{C}{d}</math>. هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. على سبيل المثال، <math>\pi</math> هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة [[دوال مثلثية|الجيب التمام]].

[[محيط منحنى مغلق|محيط الدائرة]] هو طول القوس المحيط بالدائرة، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام الحدود، وهو مفهوم في [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]].<ref>{{استشهاد بكتاب|الأول=Tom |الأخير=Apostol |مؤلف-وصلة=Tom Apostol |عنوان=Calculus, volume 1 |ناشر=Wiley |إصدار=2nd |سنة=1967}}. p. 102: "From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length." Arc length is introduced on p. 529.</ref> على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يحسب مباشرة طول القوس للنصف العلوي من دائرة الوحدة، الوارد في [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]] بالمعادلة {{تعبير رياضي|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}}، باعتبارها التكامل:<ref name="Reinhold Remmert 1991 129">{{استشهاد|الأول=Reinhold|الأخير=Remmert|الفصل=What is {{pi}}?|عنوان=Numbers|ناشر=Springer|سنة=1991|صفحة=129}}</ref>
:<math>\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

=== الخصائص ===

[[ملف:Squaring the circle.svg|تصغير|alt=A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi|بما أن <math>{\pi}</math> [[عدد متسام]]، [[تربيع الدائرة]] غير ممكن في عدد منته من الخطوات باستعمال الأدوات الكلاسيكية المتمثلة في [[إنشاء بمسطرة وفرجار|الفرجار والمسطرة]].]]

{{Pi}} [[عدد غير كسري]]. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل [[عدد كسري|نسبة عددين صحيحين]]، مثل 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل تقريبًا للباي. ولهذا السبب، فإن {{Pi}} عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في [[تمثيل عشري|تمثيله العشري]]، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام [[تكرار عشري|تتكرر بشكل غير منته]]. هناك عدة [[البرهان على أن باي عدد غير كسري]].

π [[عدد متسام]]. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون [[جذر دالة|جذرا]] لأي [[متعددة الحدود|متعددة حدود]] غير منعدمة عواملها [[عدد كسري|أعداد كسرية]]، كما هو الحال بالنسبة لمتعددة الحدود <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120} - \frac{x^3}{6} + x = 0.</math>. لتسامي {{Pi}} نتيجتان مهمتان أولهما: لا يمكن أن يُعبر عن {{Pi}} بأي دمج لأعداد كسرية وجذور مربعة وجذور مكعبة و[[جذر نوني|ما يشبه ذلك]] مثل <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> أو <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math>. أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال [[عدد قابل للإنشاء|انشاء]] عدد متسام بواسطة [[إنشاء بمسطرة وفرجار|الفرجار والمسطرة]]، كذلك من المستحيل [[تربيع الدائرة]].

=== الكسور المستمرة ===

العدد ط، كونه عددا غير كسري، لا يمكن تمثيله كسرا بسيطا. هذه الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الكسرية. ولكن الأعداد غير الكسرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى [[كسر مستمر|الكسور المستمرة]]:

:<math>
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>

ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا [[كسر مستمر معمم|كسورا مستمرة معممة]] تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية:

:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>

=== قيمة مقربة ===

قيمة <math>{\pi}</math> التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:

<div>
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134[[نقطة فينمان|999999]]837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
15982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
</div>

== التاريخ ==

{{مفصلة|التسلسل الزمني لحساب قيمة π}}

=== في العصور القديمة والوسطى ===

من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة [[مصر القديمة|المصرية]] و[[بلاد بابل|البابلية]] تعاملت مع '''ط'''. كان البابليون يستخدمون التقريب <math>25/8</math> بينما استخدم المصريون التقريب <math>256/81</math>.<ref>{{استشهاد بكتاب | عنوان = Mathematics in the time of the Pharaohs | مسار = https://archive.org/details/mathematicsintim0000gill_o9t9 | مؤلف = Richard J. Gillings | ناشر = MIT press | سنة = 1972 | صفحات = [https://archive.org/details/mathematicsintim0000gill_o9t9/page/124 124] | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20220411153223/https://archive.org/details/mathematicsintim0000gill_o9t9 | تاريخ أرشيف = 11 أبريل 2022 }}</ref>
ويرجع حصر قيمة <math>{\pi} </math> بين <math> 22/7 </math> و<math> 221/73 </math> إلى العالم اليوناني [[أرخميدس]] الذي ابتكر [[طريقة استنفاد|طريقة الاستنفاذ]] لحساب قيمة تقريبية للعدد '''ط'''.

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ '''ط'''، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل [[غياث الدين الكاشي|غياث الدين جمشيد الكاشي]] في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الآلات الحاسبة بأربعمائة سنة.

=== عصر التقريب بمتعددي الأضلع ===

[[ملف:Archimedes pi.svg|350px|يسار|تصغير|alt=A diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle| يمكن أن تعطي قيم مقربة للعدد <math>{\pi}</math> بحساب مساحات متعددي الأضلاع المحيطة بالدائرة والمحاطة بها.]]

اعتمدت أول خوارزمية مسجلة في التاريخ والتي تمكن من حساب قيمة π بصفة دقيقة على مقاربة هندسية تستعمل متعدد الأضلع. كان ذلك في عام حوالي 250 قبل الميلاد من طرف عالم الرياضيات الإغريقي [[أرخميدس]]. بقيت هذه الطريقة المعتمدة على متعدد الأضلع هي الطريقة الأساسية من أجل حساب π لمدة تزيد عن الألف سنة. نتيجة لذلك، كان يشار في بعض الأحيان إلى π على أنها '''ثابتة أرخميدس'''.

[[ملف:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|تصغير|يسار|alt=A painting of a man studying|[[أرخميدس]] طور طريقة التقريب بحساب مساحة متعددي الأضلاع <math>{\pi}</math>.]]

في عام 1424، تمكن [[غياث الدين الكاشي]] من حساب ما يكافئ ستة عشر رقما بعد الفاصلة ل π، بالاستعانة بمتعدد للأضلاع عدد أضلاعه يساوي 3×2<sup>28</sup>. لقد بقي هذا العمل الأكثر دقة في العالم لمدة تقارب 180 سنة.

=== المتسلسلات غير المنتهية ===

[[ملف:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|تصغير|alt=A formal portrait of a man, with long hair|استعمل [[إسحاق نيوتن]] [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلات غير المنتهية]] لحساب <math>{\pi}</math> إلى حدود خمسة عشر رقماً، كاتباً فيما بعد ""استحى ان اخبركم بعدد الارقام التي حملتها لهذه الحسابات".<ref name="Newton">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>]]

تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلات غير المنتهية]]، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود.

أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في [[أوروبا]] كانت [[جداء غير منته]] (بدلا من [[متسلسلة (رياضيات)|مجموع غير منته]] كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي [[فرانسوا فييت]] عام [[1593]]:
: <math> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>

تسمى هذه المتسلسلة [[صيغة فييت]].

ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في [[أوروبا]]، وجدها [[جون واليس]] في عام 1655. وكانت هي أيضا جداء غير منته. تسمى هذه المتسلسلة [[جداء واليس]].

:<math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!</math>

في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي [[جيمس غريغوري (عالم)|جيمس غريغوري]] في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674.
: <math>
\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots
</math>

هذهِ الصيغة، المعروفة باسم ''متسلسلة غريغوري-لايبنز''، تساوي <math>\scriptstyle \pi/4</math> عندما يساوي {{تعبير رياضي|''z''}} واحدا.

في عام 1706، استعمل [[جون ماكن|جون ماشن]] ''متسلسلات غريغوري-لايبنز'' فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها.
:<math> \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}</math>

باستعمال هذهِ الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه تقريب للعدد ط. وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة [[الحاسوب]] وحتى عهد قريب. انظر [[صيغة مشابهة لصيغة ماشن]].

'''سرعة الاقتراب'''

<div style="text-align: center;">
{|class="wikitable" style="text-align: center; "
|-
! متسلسلات تحسب قيمة <math>{\pi}</math> !! بعد الدورة الأولى !! بعد الدورة الثانية !! بعد الدورة الثالثة !! بعد الدورة الرابعة !! بعد الدورة الخامسة !! تؤول إلى :
|-
| <math>\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots.</math>
||4.0000||2.6666...||3.4666...||2.8952...||3.3396...||rowspan=2| <math>{\pi}</math> = 3.1415...
|-
| <math>\scriptstyle \pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} \cdots. </math>
||3.0000||3.1666...||3.1333...||3.1452...||3.1396...
|}
</div>

=== كون π عددا غير كسري وكونه عددا متساميا ===

لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة بالنسبة الثابتة π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حل أويلر [[معضلة بازل]] عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين [[عدد أولي|الأعداد الأولية]]. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة [[قائمة دوال زيتا|دالة زيتا لريمان]].
:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdot \cdots</math>

برهن العالم السويسري [[يوهان هاينغيش لامبرت|يوهان هاينريش لامبرت]] في عام 1761 أن العدد π عدد غير كسري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل [[البرهان على π أن عدد غير كسري|برهان لامبرت]] تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي [[أدريان ماري ليجاندر]] في عام 1794 أن <math>{\pi}^2</math> هو أيضا عدد غير كسري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني [[فيردينوند فون ليندمان]] أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر وأويلر.

=== عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية ===

[[ملف:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|تصغير|يمين|alt=Formal photo of a balding man wearing a suit|[[جون فون نيومان]] كان عضوا في الفرقة التي استعملت حاسوبا للمرة الأولى من أجل حساب '''ط'''. هذا الحاسوب هو [[إينياك]].]]

مع ظهور [[آلة حاسبة|الآلات الحاسبة]] ثم [[حاسوب|الحاسبات الإلكترونية]] والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري.
الجدير بالذكر أن [[فابريس بيلارد]] حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين حَسَبَ π على [[حاسوب شخصي]] إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية ب[[سي (لغة برمجة)|لغة سي]].<ref>[http://news.bbc.co.uk/2/hi/technology/8442255.stm BBC News - Pi calculated to 'record number' of digits] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180311203252/http://news.bbc.co.uk/2/hi/technology/8442255.stm |date=11 مارس 2018}}</ref><ref>[http://bellard.org/ موقع فابريس محطم الرقم العالمي للعام 2010 لحساب ط] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180224093648/https://bellard.org/ |date=24 فبراير 2018}}</ref>

=== الهدف من حساب ط ===

حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والاسطوانة

=== المتسلسلات المتقاربة بسرعة ===

[[ملف:Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg|تصغير|alt=Photo portrait of a man| [[سرينفاسا رامانوجان]]، عالم رياضي عمل وحدهُ في الهند، وحسب عددا من المتسلسلات الرائدة التي تمكن من حساب الثابت '''ط'''.]]

=== خوارزميات الحنفية ===

اكتشفت خوارزميتان في عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان [[خوارزمية الحنفية|بخوارزميات الحنفية]] لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.

اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP [[خوارزمية الحنفية|لاستئصال الأرقام العشرية]]. اكتشفت من طرف [[سيمون بلوف]].

:<math> \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام [[نظام عد ستة عشري|السداسية عشر]] و[[نظام عد ثنائي|الثنائية]] دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 [[نظام عد ثنائي|مرتبة ثنائية]].

== الاستعمال ==

{{مفصلة|قائمة الصيغ المحتوية ط}}

=== في الهندسة وحساب المثلثات ===

[[ملف:Circle Area Arabic.svg|تصغير|160px|alt=A diagram of a circle with a square coving the circle's upper right quadrant.|يسار|مساحة الدائرة تساوي '''ط''' مرة مساحة المربع الملون.]]
[[ملف:Sine cosine one period.svg|تصغير|340px|يمين|alt=Diagram showing graphs of functions|دالتا [[جيب (رياضيات)|الجيب]] و[[دوال مثلثية|جيب التمام]] دوريتان دورتهما تساوي 2'''ط'''.]]

يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة [[قطع ناقص|كالقطع الناقص]] و[[كرة|الكرة]] و[[مخروط|المخروط]] و[[طارة (رياضيات)|الطارة]]. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط :
* محيط دائرة شعاعها r هو <math> 2 \pi r</math>.
* مساحة دائرة شعاعها r هي <math> \pi r^2</math>.
* حجم كرة شعاعها r هو <math> \tfrac43\pi r^3</math>.
* مساحة كرة شعاعها r هو <math> 4 \pi r^2</math>.

'''طريقة مونت كارلو'''<br />
[[طريقة مونت كارلو|طرق مونت كارلو]] من أجل إيجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان.

=== في الأعداد العقدية والتحليل ===

[[ملف:Euler's formula.svg|تصغير|alt=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|الربط بين القوى التخيلية للعدد {{تعبير رياضي|''e''}} و[[نقطة (هندسة)|النقط]] الموجودة على [[دائرة وحدة|الدائرة الوحدة]] التي مركزها هو [[أصل (رياضيات)|مركز]] [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]] أعطته [[صيغة أويلر]].]]

كل [[عدد مركب|عدد عقدي]]، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال [[عدد حقيقي|عددين حقيقين]]. في [[نظام إحداثي قطبي|النظام الإحداثي القطبي]]، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]]. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية [[دوران|الدوران]] في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي:
:<math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>
حيث i هي [[وحدة تخيلية|الوحدة التخيلية]] التي تحقق {{تعبير رياضي|''i''}}<sup>2</sup> = −1. الظهور المكثف للعدد ط في [[تحليل عقدي (توضيح)|التحليل العقدي]] قد يكون مرتبطا [[دالة أسية|بالدالة الأسية]] لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك [[صيغة أويلر]] :
:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi</math>
حيث [[ه (رياضيات)|الثابتة e]] هي أساس [[لوغاريتم طبيعي|اللوغارتم الطبيعي]]. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل [[متطابقة أويلر]]، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>

يوجد n عدد مركب تختلف عن بعضا البعض z يحققن المعادلة ''z''<sup>''n''</sup> = 1. تسمى هذه الأعداد [[جذور الوحدة (رياضيات)|بالجذور النونية للوحدة]]، وتحدد بواسطة الصيغة التالية:
:<math>e^{2 i \pi k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>

=== في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان ===

[[قائمة دوال زيتا|دالة زيتا لريمان]] (ζ(s هي [[دالة]] مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2، يمكن أن تكتب كما يلي :
:<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdot \cdots</math>
كان إيجاد قيمة هذه المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى [[معضلة بازل]]. حلحلها [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] عام 1735 حيث برهن أنها تساوي <math>\scriptstyle \frac{\pi^2}{6}</math>. هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في [[نظرية الأعداد]] وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما، مساويا ل <math>\scriptstyle \frac{6}{\pi^2}</math>.

: <math>\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_p^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots } = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\% </math>

يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، بالإضافة إلى [[مولد أعداد عشوائية|مولد للأعداد العشوائية]]، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل <math>\pi</math>، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو.

=== في الفيزياء ===

يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها:

* [[ثابت كوني|الثابت الكوني]]:<ref>{{استشهاد ويب|الأول=Cole|الأخير=Miller|مسار=http://www.astro.umd.edu/~miller/teaching/astr422/lecture12.pdf|صيغة=PDF|عنوان=The Cosmological Constant|ناشر=[[جامعة ميريلاند (كوليج بارك)]]|تاريخ الوصول=2007-11-08| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181024051429/http://www.astro.umd.edu:80/~miller/teaching/astr422/lecture12.pdf | تاريخ أرشيف = 24 أكتوبر 2018 }}</ref>
::<math>\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho</math>
* [[مبدأ الريبة]]، الذي ينص على أن قياس موضع جسيم (Δ''x'') و[[زخم الحركة|كمية التحرك]] (Δ''p'') لايمكن لكليهما أن يكونا صغيرين في نفس الوقت:<ref>{{استشهاد ويب|الأول=James M|الأخير=Imamura|مسار=http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html|عنوان=Heisenberg Uncertainty Principle|ناشر=[[جامعة أوريغون]]|تاريخ=2005-08-17|تاريخ الوصول=2007-11-09| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20081220084752/http://zebu.uoregon.edu:80/~imamura/208/jan27/hup.html | تاريخ أرشيف = 20 ديسمبر 2008 | وصلة مكسورة = yes }}</ref>
::<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>
* [[معادلات الحقل لأينشتاين|معادلات أينشتاين للمجال]] في [[النسبية العامة]]:<ref name = ein>{{استشهاد بدورية محكمة| الأخير = Einstein| الأول = Albert| مؤلف-وصلة = Albert Einstein | عنوان = The Foundation of the General Theory of Relativity| صحيفة = [[Annalen der Physik]] |سنة=1916| مسار = http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html| صيغة = PDF | المعرف = | تاريخ الوصول = 2007-11-09 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info:80/gallery/gtext3.html|تاريخ أرشيف=2012-02-06}}</ref>
::<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>
* [[قانون كولوم]] [[حقل كهربائي|للقوة الكهربائية]]، يصف القوة بين [[شحنة كهربائية|شحنتين كهربائيتين]](''q<sub>1</sub>'' و''q<sub>2</sub>'') تفصلهما مسافة ''r'':<ref>
{{استشهاد ويب|الأول=C. Rod|الأخير=Nave|مسار=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html#c3|عنوان=Coulomb's Constant|عمل=[[هايبرفيزيكس]]|ناشر=[[جامعة ولاية جورجيا]]|تاريخ=2005-06-28|تاريخ الوصول=2007-11-09| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190413184345/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html | تاريخ أرشيف = 13 أبريل 2019 }}</ref>
::<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}</math>
* [[نفاذية الفراغ|النفاذية المغناطيسية في الفراغ]]:<ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mu0 |عنوان=Magnetic constant |تاريخ الوصول=2007-11-09 |تاريخ=2006 [[لجنة بيانات العلوم والتقنية]] recommended values |ناشر=[[المعهد الوطني للمعايير والتقنية]] | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190502124106/https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mu0 | تاريخ أرشيف = 2 مايو 2019 }}</ref>
::<math> \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,</math>
* [[قوانين كيبلر للحركة الكوكبية|قوانين كبلر]]، التي تربط بين [[دور مداري|الزمن المداري]] (''P'') و[[قطع ناقص|المحور الإهليجي الأكبر]] ''a'' [[كتلة|والكتل]](''M'' و''m'') لجسمين مداريين حول بعضهما:
::<math>\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)} </math>

=== في الاحتمالات والإحصاء ===

[[ملف:E^(-x^2).svg|تصغير|يسار|رسم بياني [[دالة غاوسية|للدالة الغاوسية]] <br /> ''ƒ''(''x'') =&nbsp;''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup>. المنطقة الملونة بين منحنى الدالة ومحور y لها مساحة تساوي <math> \scriptstyle\sqrt{\pi} </math>.]]

في علم [[نظرية الاحتمال|الاحتمالات]] و[[إحصاء|الإحصاء]]، توجد العديد من [[توزيع احتمال|التوزيعات]] التي تحوي العدد π، منها ما يلي:
* [[دالة الكثافة الاحتمالية]] [[توزيع احتمالي طبيعي|للتوزيع المنتظم]] [[متوسط (توضيح)|بالمتوسط]] μ و[[انحراف معياري|الانحراف المعياري]] σ، نتيجة [[تكامل غاوسي|للتكامل الغاوسي]]:<ref>{{استشهاد ويب|مسار=http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html|عنوان=Gaussian Integral|ناشر=[[موقع ماثوورلد]]|الأول=Eric W|الأخير=Weisstein|مؤلف-وصلة=Eric W. Weisstein|تاريخ=2004-10-07|تاريخ الوصول=2007-11-08| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190512223819/http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html | تاريخ أرشيف = 12 مايو 2019 }}</ref>

:<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}</math>
* دالة الكثافة الاحتمالية [[توزيع كوشي|لتوزيع كوشي]]:<ref>{{استشهاد ويب|مسار=http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html|عنوان=Cauchy Distribution|ناشر=[[موقع ماثوورلد]]|الأول=Eric W|الأخير=Weisstein|مؤلف-وصلة=Eric W. Weisstein|تاريخ=2005-10-11|تاريخ الوصول=2007-11-08| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190502045725/http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html | تاريخ أرشيف = 2 مايو 2019 }}</ref>

:<math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.</math>

== صيغ حسابية للعدد ط ==

توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة [[متسلسلة تايلور|سلاسل تايلور وماكلورين]]، النشر بواسطة [[متسلسلة فورييه|متسلسلات فوريير]]، النشر ب[[نظام عد ثنائي|النظام الثنائي]]، والنشر [[كسر مستمر|بالكسور المستمرة]].

=== النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين ===

إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :

<math> 4 \times (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots)</math>

ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين لدالة [[قوس الظل]] {{إنج|arctan}} حيث

<math>\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!</math>

في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، وهكذا.

يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:

:<math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!</math>

=== سلاسل أخرى ===

هناك حسابات أخرى مثل:

اما في العصر الحديث فقد ظهرت [[خوارزمية|خوارزميات]] أكثر تقاربا بكثير مثل:

* سلسلة رامانجن:

:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math>

* سلسلة [[الإخوان شودنوفسكي]] التي سمحت لأول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:

:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math>

و كان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:

:<math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!</math>

ثم المعاودة:

:<math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!</math>
:<math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!</math>

حتى تصبح ''a<sub>n</sub>'' و''b<sub>n</sub>'' متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π

:<math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!</math>

في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع ''q'' = e<sup>π</sup>، وبالتالي

:<math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

:<math>\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

وأخرى بالشكل،

:<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) </math>

حيث ''q'' = ''e''<sup>π</sup> و ''k'' هو [[أعداد زوجية وفردية|عدد فردي]]، و''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'' هي [[عدد كسري|أعداد نسبية]]. إذا كانت ''k'' على الشكل 4''m''&nbsp;+&nbsp;3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط،

:<math>p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

=== صيغة بيلارد ===
حسّن منشورَ [[سيمون بلوف]] [[فابريس بيلارد]] مكتشفا صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009.
تدعى هذه الصيغة '''بصيغة بيلارد''':
: <math>
\begin{align}
\pi = \frac1{2^6} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \, \left(-\frac{2^5}{4n+1} \right. & {} - \frac1{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} \left. {} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac1{10n+9} \right)
\end{align}
</math>

== انظر أيضًا ==
* [[ثابت رياضي]]
* [[قائمة الأعداد]]
* [[عدد غير كسري|الأعداد غير النسبية]]
* [[متسلسلات مادهافا]]
* [[تسلسل زمني لحساب ط|تسلسل زمني لحساب π]]
* [[يوم ط]]

== المراجع ==

{{مراجع|محاذاة=نعم}}

== وصلات خارجية ==
{{روابط شقيقة}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Pi.html "Pi"] على [[موقع ماثوورلد]]
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi Representations of Pi] على [[ولفرام ألفا]]

{{شريط سفلي العدد ط}}
{{أعداد لاجذرية}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:تحليل مركب]]
[[تصنيف:متسلسلات]]