عرض مصدر طريقة ديكارت


{{لا مصدر|تاريخ=يناير 2019}}
{{يتيمة|تاريخ=أغسطس 2018}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''طريقة ديكارت''' هي طريقة جبرية لحل المعادلات التربيعية و [[دالة رباعية|الرباعية]].

لهذه الغاية، استعمل ديكارت تعميل الحدوديات من الدرجة {{mvar|n}} إلى جداء حدوديات من الدرجة الأولى <math>a(x - x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)</math>.

== معادلة من الدرجة الثانية ==
لحل المعادلة

: <math>ax^2+bx+c=0</math> ,

نبدأ من [[معادلة تربيعية|العلاقتين التاليبين بين المعاملات والجذور]]:

: <math>x_1 + x_2 = - \frac ba</math> ;
: <math>x_1x_2 = \frac ca</math> .

من العلاقة الأولى نصل لـ

: <math>x_1 = -\frac b{2a } +p\quad\text{et}\quad x_2 = -\frac b{2a} -p</math> ,

حيث {{Mvar|p}} هي قيمة تحددها العلاقة الثانية.

هذه الطريقة شائعة جدًا، لو لدينا عدد C عبارة عن مجموع عددين A وB، يمكننا دائمًا كتابة A كنصف مجموع C وقيمة معينة p، وبذا تصبح قيمة B بالضرورة نصف قيمة C ناقص p.

لنصل لـ

: <math>\left(-\frac b{2a } + p \right)\left(-\frac b{2a } - p \right) = \frac ca</math> ,

ونستنتج {{تعبير رياضي|±''p''}} ثم الجذرين.

== المعادلة من الدرجة الرابعة ==
ضمن ديكارت كتابه [[الهندسة (ملحق كتاب)|''الهندسة'']] (1637) طريقة لحل المعادلات من الدرجة الرابعة بمجهول واحد وتتلخص فيما يلي:
 
نعتبر المعادلة من الدرجة الرابعة في شكلها العام: <math> ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0  ~</math>

نضع

<math> x = z - \frac{b}{4a} ~</math>

فنجد:

<math> z^4 + pz^2 + qz + r = 0  ~</math>

يمكن تعميل رباعية الحدود اعلاه الى جداء حدوديتين من الدرجة الثانية حسب المبرهنة الاساسيةفي الجبر حيث معاملا حدي الدرجة الاولى للحدوديتين متقابلين لكون رباعية الحدود خالية من حد الدرجة الثالثة

<math>  z^4+pz^2+qz+r = (z^2 + az + b)(z^2 - az + c) ~</math>

ننشر فنجد:

<math>  z^4+pz^2+qz+r = z^4 + (b+c-a^2)z^2 -a(b-c)z + bc ~</math>

حسب خاصية تساوي حدوديتين نستنتج أن:

<math>\begin{cases}
b+c-a^2=p \\
a(b-c)=-q \\
bc=r
\end{cases}</math>

أي

<math>\begin{cases}
b+c=a^2+p \\
b-c=-\frac{q}{a} \\
bc=r
\end{cases}</math>

بجمع المعادلتين الاوليين طرفا بطرف وطرحهما نحصل على<math>\begin{cases}
b = \frac12\left( a^2+p - \frac qa\right) \\
c = \frac12\left(  a^2+p + \frac qa\right) \\
bc=r.
\end{cases}</math>

بتعويض b و c في المعادلة الثالثة نجد

<math>\begin{cases}
b = \frac12\left( a^2+p - \frac qa\right) \\
c = \frac12\left(  a^2+p + \frac qa\right) \\
\frac14\left( a^2+p - \frac qa\right) \left(  a^2+p + \frac qa\right)  =r
\end{cases}</math>

نستنتج أن

<math>  ( a^2+p)^2 - \frac{q^2}{a^2}  = 4r</math>.

أي

<math>  a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0</math>.

نضع y=a² فنحصل على 

<math>y^3+2py^2+(p^2-4r)y-q^2=0</math>.

<math>a=\sqrt{y_1}</math>.

<math>\begin{cases}
b = \frac12\left( y_1+p - \frac q{\sqrt{y_1}} \right) \\
c = \frac12\left( y_1+p + \frac q{\sqrt{y_1}} \right) \\
a  = \sqrt{y_1}.
\end{cases}</math>

إذن <math> z^4 + pz^2 + qz + r =0</math> تكافئ <math> \left(z^2 + z\sqrt{y_1} + \frac{1}{2} \left( y_1+p - \frac{q}{\sqrt{y_1}} \right) \right) \left(z^2 - z\sqrt{y_1} + \frac{1}{2} \left( y_1+p + \frac{q}{\sqrt{y_1}} \right) \right) =0</math>.

*<math> z^2 + z\sqrt{y_1} + \frac12\left( y_1+p - \frac q{\sqrt{y_1}} \right) = 0</math>
*<math> z^2 - z\sqrt{y_1} + \frac12\left( y_1+p + \frac q{\sqrt{y_1}} \right) = 0</math>

<math> z_1 = \frac12 \left(- \sqrt{y_1} + \sqrt{-y_1-2p + \frac{2q}{ \sqrt{y_1}}}  \right)</math>

<math> z_2 = \frac12 \left(- \sqrt{y_1} - \sqrt{-y_1-2p + \frac{2q}{ \sqrt{y_1}}}  \right)</math>

<math> z_3 = \frac12 \left( \sqrt{y_1} + \sqrt{-y_1-2p - \frac{2q}{ \sqrt{y_1}}}  \right)</math>

<math> z_4 = \frac12 \left( \sqrt{y_1} - \sqrt{-y_1-2p - \frac{2q}{ \sqrt{y_1}}}  \right)</math>.

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{شريط بوابات|رياضيات|جبر}}

[[تصنيف:معادلات متعددة الحدود]]