عرض مصدر طريقة أويلر-ماروياما

في حساب التفاضل والتكامل، تعد '''طريقة أويلر-ماروياما''' (وتسمى أيضًا '''طريقة أويلر''') طريقة [[تحليل عددي|للتحليل العددي]] التقريبي لمعادلة تفاضلية عشوائية (SDE). إنه تعميم بسيط [[طريقة أويلر|لطريقة أويلر]] [[معادلة تفاضلية عادية|للمعادلات التفاضلية العادية]] إلى [[معادلة تفاضلية عادية|المعادلات التفاضلية]] العشوائية. سميت بعد [[ليونهارت أويلر|ليونارد أويلر]] [[جيزيرو ماروياما|وجيزيرو ماروياما]] . لسوء الحظ، لا يمكن إجراء نفس التعميم لأي طريقة حتمية اعتباطية.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Kloeden, P.E.|مؤلف2=Platen, E.|last-author-amp=yes|عنوان=Numerical Solution of Stochastic Differential Equations|ناشر=Springer, Berlin|سنة=1992|ISBN=3-540-54062-8}}</ref>

خذ المعادلة التفاضلية العشوائية (انظر حساب التفاضل والتكامل )

: <math>\mathrm{d} X_t = a(X_t) \, \mathrm{d} t + b(X_t) \, \mathrm{d} W_t,</math>

مع الحالة الأولية ''X'' <sub>0</sub> &nbsp; = &nbsp; ''x'' <sub>0</sub> ، حيث تشير ''W'' <sub>''t''</sub> إلى [[عملية فينر]] ، ونفترض أننا نرغب في حل المعادلة التفاضلية العشوائية هذه في فترة زمنية معينة [0 ، &nbsp; ''T'' ]. ثم '''تقريب أويلر-ماروياما''' للحل الحقيقي ''X'' هو [[سلسلة ماركوف]] ''Y'' المحددة على النحو التالي:

* تقسيم الفاصل الزمني [0 ، &nbsp; ''T'' ] إلى ''N'' فترات زمنية فرعية متساوية للعرض <math>\Delta t>0</math> :

:: <math>0 = \tau_{0} < \tau_{1} < \cdots < \tau_{N} = T \text{ and } \Delta t = T/N;</math>

* ''ضع Y'' <sub>0</sub> &nbsp; = &nbsp; ''×'' <sub>0</sub> ؛
* حدد بشكل متكرر ''Y'' <sub>''n''</sub> لـ <math>1\leq n\leq N</math> بواسطة

:: <math>\, Y_{n + 1} = Y_n + a(Y_n) \, \Delta t + b(Y_n) \, \Delta W_n,</math>

: حيث

:: <math>\Delta W_n = W_{\tau_{n + 1}} - W_{\tau_n}.</math>

[[متغير عشوائي|المتغيرات العشوائية]] Δ ''W'' <sub>''n''</sub> [[توزيع احتمالي طبيعي|مستقلة ومتوزعة بشكل عشوائي]] مع [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] صفر [[تباين (إحصاء)|والتباين]] <math>\Delta t</math> .

== مثال ==

=== محاكاة رقمية ===
[[ملف:Equação_Diferencial_Estocástica.jpg|تصغير|التعبير الجيني كعملية عشوائية]]
المجال الذي استفاد بشكل كبير من المعادلات التفاضلية العشوائية هو علم الأحياء أو [[علم الأحياء الرياضي]] بشكل أكثر دقة. هنا نما عدد المنشورات حول استخدام النموذج العشوائي ، حيث أن معظم النماذج غير خطية ، تتطلب مخططات عددية.

يصور الرسم معادلة تفاضلية عشوائية يتم حلها باستخدام مخطط أويلر. يتم عرض النظير الحتمية كذلك.

=== تطبيق الكمبيوتر ===
يطبق كود [[بايثون (لغة برمجة)|بايثون]] التالي طريقة أويلر-ماروياما ويستخدمها لحل عملية [[عملية أورنستين-أولينبيك|أورنستين-أولينبيك]] المحددة بواسطة

: <math> dY_t=\theta \cdot (\mu-Y_t) \, {\mathrm d}t + \sigma \, {\mathrm d}W_t</math>

: <math> Y_0=Y_\mathrm{init}.</math>

الأرقام العشوائية لـ <math>{\mathrm d}W_t</math> يتم إنشاؤها باستخدام حزمة الرياضيات [[نمباي]]. <syntaxhighlight lang="python" line="1">
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

num_sims = 5 # Display five runs

t_init = 3
t_end = 7
N = 1000 # Compute 1000 grid points
dt = float(t_end - t_init) / N
y_init = 0

c_theta = 0.7
c_mu = 1.5
c_sigma = 0.06

def mu(y, t):
    """Implement the Ornstein–Uhlenbeck mu."""  # = \theta (\mu-Y_t)
    return c_theta * (c_mu - y)

def sigma(y, t):
    """Implement the Ornstein–Uhlenbeck sigma."""  # = \sigma
    return c_sigma

def dW(delta_t):
    """Sample a random number at each call."""
    return np.random.normal(loc=0.0, scale=np.sqrt(delta_t))

ts = np.arange(t_init, t_end, dt)
ys = np.zeros(N)

ys[0] = y_init

for _ in range(num_sims):
    for i in range(1, ts.size):
        t = (i-1) * dt
        y = ys[i-1]
        ys[i] = y + mu(y, t) * dt + sigma(y, t) * dW(dt)
    plt.plot(ts, ys)

plt.show()
</syntaxhighlight> ما يلي هو ببساطة ترجمة الرمز أعلاه إلى لغة برمجة [[ماتلاب]]: <syntaxhighlight lang="matlab" line="1">
%% Initialization and Utility
close all;
clear all;

numSims = 5; % display five runs
tBounds = [3 7]; % The bounds of t
N = 1000; % Compute 1000 grid points
dt = (tBounds(2) - tBounds(1)) / N ;
y_init = 1; % Initial y condition

pd = makedist('Normal',0,sqrt(dt)); % Initialize the probability distribution for our
                         % random variable with mean 0 and 
                         % stdev of sqrt(dt)

c = [0.7, 1.5, 0.06]; % the initial Theta, Mu, and Sigma, respectively

ts = linspace(tBounds(1), tBounds(2), N); % From t0-->t1 with N points
ys = zeros(1,N); % 1xN Matrix of zeros

ys(1) = y_init;
%% Computing the Process
for j = 1:numSims
    for i = 2:numel(ts)
        t = (i-1) .* dt;
        y = ys(i-1);
        mu      = c(1) .* (c(2) - y);
        sigma   = c(3);
        dW      = random(pd);
        
        ys(i) = y + mu .* dt + sigma .* dW;
    end
    figure(69)
    hold on;
    plot(ts, ys, 'o')
end
</syntaxhighlight>

== انظر أيضًا ==

* طريقة ميلستين
* طريقة Runge – Kutta (SDE)

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{ليونهارت أويلر}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:معادلات تفاضلية تصادفية]]
[[تصنيف:ليونهارت أويلر]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية عددية]]