عرض مصدر صيغة نصف فرجيب التمام

{{لا صندوق معلومات}}
تُحَدِّد '''صيغة نصف فَرْجَيْب التمام'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q124741809|الصفحة=311}}</ref> أو '''صيغة نصف السهم'''<ref name="ملاحظة 1" group="ملاحظة">المصطلح الإنجليزي Haversine هو الاختصار لعبارة Half a versed sine التي تعني '''نصف الجيب المعكوس''' أو '''نصف السهم'''، حيث '''الجيب المعكوس''' أو '''السهم''' هو دالة مثلثية تمثل الفرق بين [[جيب التمام|جيب تمام]] زاوية محددة والواحد، التسميتان العربيتان مذكورتان في عدة كتب قديمة منها [[القانون المسعودي]] للعالم [[أبو الريحان البيروني|البيروني]] و[[كشاف اصطلاحات الفنون]] للتهانوي</ref> أو '''صيغة نصف الجيب المعكوس'''<ref name="ملاحظة 1" group="ملاحظة"/> {{إنج|Haversine formula}} مسافة [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] بين نقطتين على الكرة المعطاة ب[[خط طول|خطوط الطول]] [[دائرة العرض|ودوائر العرض]]. مهمة في [[ملاحة|الملاحة]]، إنها حالة خاصة للصيغة الأكثر عمومية في [[حساب المثلثات الكروية]]، '''قانون نصف السهم'''، الذي يربط جوانب وزوايا المثلثات الكروية.

وقد نشر [[جداول مثلثية|الجدول الأول لنصف السهم]] باللغة الإنجليزية من قبل [[جيمس أندرو]] في 1805،<ref name="Brummelen_2013">{{استشهاد بكتاب|الأخير=van Brummelen|الأول=Glen Robert|مسار=https://books.google.com/books?id=0BCCz8Sx5wkC&pg=PR7|عنوان=Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry|تاريخ=2013|ناشر=[[دار نشر جامعة برنستون]]|لغة=en|المعرف=0691148929|مؤلف-وصلة=Glen Robert van Brummelen|تاريخ الوصول=2015-11-10|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200723093901/https://books.google.com/books?id=0BCCz8Sx5wkC&pg=PR7|تاريخ أرشيف=23 يوليو 2020|isbn=9780691148922}}</ref> ولكن [[فلوريان كاجوري|فلوريان كايوري]] ينسب استخدام سابق إلى [[جوسيف دي مندوزا إي ريوس]] في 1801.<ref name="Ríos_1795">{{استشهاد بكتاب|الأول=Joseph|الأخير=de Mendoza y Ríos|مؤلف-وصلة=José de Mendoza y Ríos|عنوان=Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion|لغة=Spanish|مسار=https://books.google.cat/books?id=030t0OqlX2AC|سنة=1795|ناشر=Imprenta Real|مكان=Madrid, Spain| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200611195245/https://books.google.cat/books?id=030t0OqlX2AC | تاريخ أرشيف = 11 يونيو 2020 }}</ref><ref name="Cajori_1929">{{استشهاد بكتاب|الأخير=Cajori|الأول=Florian|مسار=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC|عنوان=A History of Mathematical Notations|تاريخ=1952|ناشر=[[Open court publishing company]]|طبعة=2 (3rd corrected printing of 1929 issue)|المجلد=2|مكان=Chicago|صفحة=172|لغة=en|المعرف=1602067147|اقتباس=The haversine first appears in the tables of logarithmic versines of [[جوسيف دي مندوزا إي ريوس]] (Madrid, 1801, also 1805, 1809), and later in a treatise on navigation of [[James Inman]] (1821).|مؤلف-وصلة=Florian Cajori|تاريخ الوصول=2015-11-11|سنة النشر الأصلية=1929<!-- 1929-03 -->|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200717145537/https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC|تاريخ أرشيف=2020-07-17|isbn=978-1-60206-714-1}} (NB. ISBN and link for reprint of second edition by Cosimo, Inc., New York, 2013.)</ref> صاغ {{وصلة إنترويكي|عر=جيمس إنمان|تر=James Inman}} الاسم الإنجليزي "Haversine" في عام 1835.<ref name="Inman_18353">{{استشهاد بكتاب|الأخير=Inman<!-- Rev. D.D. -->|الأول=James|مسار=https://books.google.com/books/about/Navigation_and_Nautical_Astronomy_for_th.html?id=-fUOnQEACAAJ|عنوان=Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen|تاريخ=1835|ناشر=W. Woodward, C. & J. Rivington|طبعة=3|مكان=London, UK|لغة=en|مؤلف-وصلة=James Inman|تاريخ الوصول=2015-11-09|سنة النشر الأصلية=1821|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200611195254/https://books.google.com/books/about/Navigation_and_Nautical_Astronomy_for_th.html?id=-fUOnQEACAAJ|تاريخ أرشيف=2020-06-11}} (Fourth edition: [https://books.google.com/books?id=MK8PAAAAYAAJ].)</ref><ref name="OED_1989_Haversine3">{{Cite OED2|haversine}}</ref>

هذه الأسماء تتبع من حقيقة أنها مكتوبة عادة بدلالة دالة [[سهم (حساب المثلثات)|نصف السهم]]، التي ادخلها {{تعبير رياضي|hav(''θ'') {{=}} sin<sup>2</sup>({{كسر|''θ''|2}})}}. ويمكن أن تكون صيغ على قدم المساواة مكتوبة بدلالة أي مضاعف نصف السهم، مثل [[سهم (حساب المثلثات)|دالة السهم]] القديمة. قبل ظهور [[حاسوب|الحواسيب]]، كان إزالة القسمة والضرب بعوامل اثنين مناسبين بما فيه الكفاية بحيث تم وضع جداول قيم نصف السهم [[لوغاريتم|واللوغاريتمات]] في النصوص عن الملاحة وحساب المثلثات في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين.<ref>H. B. Goodwin, [https://books.google.com/books?id=KSNKAAAAYAAJ&lpg=PA735&pg=PA735 The haversine in nautical astronomy], ''Naval Institute Proceedings'', vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: ''Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number. This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.'' {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200510194429/https://books.google.com/books?id=KSNKAAAAYAAJ&lpg=PA735&pg=PA735|date=2020-05-10}}</ref><ref>W. W. Sheppard and C. C. Soule, [https://books.google.com/books?id=8S0wAAAAYAAJ Practical navigation] (World Technical Institute: Jersey City, 1922). {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200723184803/https://books.google.com/books?id=8S0wAAAAYAAJ|date=2020-07-23}}</ref><ref>E. R. Hedrick, [[iarchive:logarithmictrigo00hedriala|Logarithmic and Trigonometric Tables]] (Macmillan, New York, 1913).</ref> في هذه الأيام، يكون شكل نصف السهم مناسبًا أيضًا لأنه لا يحتوي على معامل أمام دالة مربع [[جيب (رياضيات)|الجيب]] {{تعبير رياضي|sin<sup>2</sup>}}.

== صياغة ==
لتكن الزاوية المركزية {{تعبير رياضي|Θ}} بين أي نقطتين على الكرة:

<math>\Theta = \frac{d}{r}</math>

'''حيث:'''

* {{تعبير رياضي|''d''}} هو المسافة بين النقطتين على طول [[دائرة عظمى]] من الكرة
* {{تعبير رياضي|''r''}} هو نصف قطر الكرة

تسمح صيغة نصف السهم بحساب نصف سهم الزاوية {{تعبير رياضي|Θ}} (أي {{تعبير رياضي|hav(Θ)}})) مباشرة من [[دائرة العرض|خط العرض]] و[[خط طول|خط الطول]] للنقطتين:

:<math>\operatorname{hav}\left(\Theta\right) =  \operatorname{hav}\left(\varphi_2 - \varphi_1\right) + \cos\left(\varphi_1\right)\cos\left(\varphi_2\right)\operatorname{hav}\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)</math>

'''حيث'''

* {{تعبير رياضي|''φ''<sub>1</sub>}}، {{تعبير رياضي|''φ''<sub>2</sub>}} هما خط عرض النقطة 1 والنقطة 2 ([[راديان|بالراديان]])،
* {{تعبير رياضي|''λ''<sub>1</sub>}}، {{تعبير رياضي|''λ''<sub>2</sub>}} هي خط الطول من النقطة 1 وخط طول من النقطة 2 (في راديان).

وأخيرا، فإن دالة نصف السهم {{تعبير رياضي|hav(Θ)}}، المطبقة أعلاه على كل من الزاوية المركزية {{تعبير رياضي|Θ}} والفروق في خط العرض وخط الطول، هي:

:<math>\operatorname{hav}(\theta) = \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}</math>

لحل المسافة d، نقوم بتطبيق دالة «قوس نصف السهم» ([[دالة عكسية|الدالة العكسية]] لنصف السهم) على {{تعبير رياضي|''h'' {{=}} hav(Θ)}} أو استخدام دالة [[قوس الجيب]] (دالة عكسية [[جيب (رياضيات)|للجيب]]):

:<math>d = r\operatorname{archav}(h) = 2r\arcsin\left(\sqrt{h}\right)</math>

أو بشكل أكثر وضوحًا:<ref name="Gade2010">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=A Non-singular Horizontal Position Representation|صحيفة=Journal of Navigation|الأخير1=Gade|الأول1=Kenneth|سنة=2010|لغة=en|المجلد=63|العدد=3|صفحات=395–417|issn=0373-4633|doi=10.1017/S0373463309990415}}</ref>

:<math>\begin{align}
  d &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\operatorname{hav}(\varphi_2 - \varphi_1) + ( 1 - \operatorname{hav}(\varphi_1 - \varphi_2) - \operatorname{hav}(\varphi_1 + \varphi_2))\cdot\operatorname{hav}(\lambda_2 - \lambda_1)}\right) \\
    &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\right) + \left(1- \sin^2\left(\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\varphi_2 + \varphi_1}{2}\right)\right) \cdot \sin^2\left(\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}\right)}\right) \\
    &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\right) + \cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 \cdot \sin^2\left(\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}\right)}\right).
\end{align}</math>

عند استخدام هذه الصيغ، يجب على المرء التأكد من أن {{تعبير رياضي|''h''}} لا يتجاوز 1 بسبب خطأ [[حسابات الفاصلة المتحركة|الفاصلة المتحركة]] ({{تعبير رياضي|''d''}} هو [[عدد حقيقي]] وحيد من أجل {{تعبير رياضي|0 ≤ ''h'' ≤ 1}}). {{تعبير رياضي|''h''}} يقترب فقط من 1 للنقاط المتقابلة قطريًا (على جوانب المتقابلة للكرة) -- في هذه المنطقة، تؤول الأخطاء العددية الكبيرة نسبيًا إلى الظهور في الصيغة عند استخدام المحدودة. (تُكتب الصيغة أعلاه أحيانًا بدلالة دالة [[قوس الظل]]، ولكن هذا يعاني من مشاكل رقمية مماثلة بالقرب من {{تعبير رياضي|''h'' {{=}} 1}}.)

كما هو موضح أدناه، يمكن كتابة صيغة مماثلة باستخدام [[جيب التمام]] (يسمى أحيانا [[حساب المثلثات الكروية#قانون جيب التمام|قانون جيب للتمام الكروي]]، لا ينبغي الخلط بينه وبين [[قانون جيب التمام|قانون جيب التمام للهندسة المستوية]]) بدلا من نصف السهم، ولكن إذا كانت النقطتان متقاربتان (على سبيل المثال كيلومتر واحد، على الأرض) قد ينتهي بك الأمر مع {{تعبير رياضي|cos({{كسر|''d''|''R''}}) {{=}} 0.99999999}}، مما يؤدي إلى إجابة غير دقيقة. بما أن صيغة نصف السهم يستخدم [[جيب (رياضيات)|الجيوب]]، فإنه يتجنب تلك المشكلة.

أي من الصيغتين هو فقط تقريب عند تطبيقه على [[الأرض]]، وهي ليست كرة مثالية: يتراوح «[[نصف قطر الأرض]]» {{تعبير رياضي|R}} من 6356.752 كم عند القطبين إلى 6378.137 كم عند [[خط الاستواء]]. والأهم من ذلك، أن [[نصف قطر الانحناء|نصف قطر انحناء]] خط شمال-جنوب على سطح الأرض أكبر بنسبة 1% عند القطبين (تساوي تقريبًا 6399.594 كم) منه عند خط الاستواء (تساوي تقريبًا 6335.439 كم) -- وبالتالي لا يمكن ضمان صحة صيغة نصف السهم وقانون جيب التمام إلى أفضل من 0.5%.{{بحاجة لمصدر}} تعطى طرق أكثر دقة التي تراعي [[تفلطح]] الأرض من خلال {{وإو|تر=Vincenty's formulae|عر=صيغ فينسنتي}} والصيغ الأخرى.

== قانون نصف السهم ==
[[ملف:Law-of-haversines.svg|تصغير|[[حساب المثلثات الكروية|مثلث كروي]] حله قانون [[سهم (حساب المثلثات)|نصف السهم]].]]

باعتبار كرة الوحدة (كرة نصف قطرها 1)، تعرَّف «المثلث» على سطح الكرة بواسطة [[دائرة عظمى|الدوائر العظمى]] التي تربط ثلاث نقاط {{تعبير رياضي|''u''}} و{{تعبير رياضي|''v''}} و{{تعبير رياضي|''w''}} على الكرة. إذا كانت أطوال هذه الأضلاع الثلاثة هي {{تعبير رياضي|''a''}} (من {{تعبير رياضي|''u''}} إلى {{تعبير رياضي|''v''}})، و {{تعبير رياضي|''b''}} (من {{تعبير رياضي|''u''}} إلى {{تعبير رياضي|''w''}})، و {{تعبير رياضي|''c''}} (من {{تعبير رياضي|''v''}} إلى {{تعبير رياضي|''w''}})، والزاوية المقابلة لـ {{تعبير رياضي|''c''}} هي {{تعبير رياضي|C}}، فإن قانون نصف السهم ينص على ما يلي:<ref name="Korn_2000">{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Korn|الأول1=Grandino Arthur|مسار=https://archive.org/details/mathematicalhand00korn_849|عنوان=Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulas for reference and review|تاريخ=2000|ناشر=[[Dover Publications]]|طبعة=3rd<!-- (based on 1968 edition by McGrawHill, Inc.) -->|مكان=Mineola, New York|صفحات=[https://archive.org/details/mathematicalhand00korn_849/page/n909 892]–893|لغة=en|الفصل=Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function|سنة النشر الأصلية=1922|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20220611012202/https://archive.org/details/mathematicalhand00korn_849|تاريخ أرشيف=11 يونيو 2022|الأخير2=Korn|الأول2=Theresa M.|isbn=978-0-486-41147-7}}</ref>

<math>\operatorname{hav}(c) = \operatorname{hav}(a - b) + \sin(a)\sin(b)\operatorname{hav}(C).</math>

بما أن الكرة عبارة عن كرة الوحدة، فإن الأطوال {{تعبير رياضي|''a''}} و {{تعبير رياضي|''b''}} و {{تعبير رياضي|''c''}} تساوي ببساطة الزوايا ([[راديان|بالتقدير الدائري]]) التي تقابلها تلك الجوانب من مركز الكرة (بالنسبة إلى كرة غير الوحدة، يكون كل من تلك [[طول قوس|أطوال الأقواس]] مساويًا لزاويتها المركزية مضروبًا في نصف القطر {{تعبير رياضي|''R''}} للكرة).

من أجل الحصول على صيغة نصف السهم للقسم السابق من هذا القانون، نعتبر ببساطة الحالة الخاصة حيث u هو [[القطب الشمالي]]، بينما {{تعبير رياضي|''v''}} و {{تعبير رياضي|''w''}} هما النقطتان اللتان ستحدَّد فصلهما {{تعبير رياضي|''d''}}. في هذه الحالة، {{تعبير رياضي|''a''}} و{{تعبير رياضي|''b''}} هن {{تعبير رياضي|{{كسر|π|2}} − ''φ''<sub>1,2</sub>}} (أي، تمام العرض)، و{{تعبير رياضي|"c"}} هو فصل خط الطول {{تعبير رياضي|{{كسر|''d''|''R''}}}}، و{{تعبير رياضي|"c"}} هو {{تعبير رياضي|''λ''<sub>2</sub> − ''λ''<sub>1</sub>}} المطلوب. مشيرا إلى أن {{تعبير رياضي|sin({{كسر|π|2}} − ''φ'') {{=}} cos(''φ'')}}، يتبع صيغة نصف السهم على الفور.

لاشتقاق قانون نصف السهم، نبدأ مع قانون جيب التمام الكروي:

<math>\cos(c) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\cos(C). \,</math>

كما ذكرنا أعلاه، فإن هذه الصيغة هي طريقة غير مشروطة لحل {{تعبير رياضي|"c"}} عندما تكون {{تعبير رياضي|"c"}} صغيرة. بدلاً من ذلك، نعوض المتطابقة {{تعبير رياضي|cos(''θ'') {{=}} 1 − 2 hav(''θ'')}}، ونستخدم أيضاً متطابقة الفرق {{تعبير رياضي|cos(''a'' − ''b'') {{=}} cos(''a'') cos(''b'') + sin(''a'') sin(''b'')}}، للحصول على قانون نصف السهم المذكور الأعلاه.

== انظر أيضًا ==
* [[مسافة دائرة عظمى]]

== ملاحظات ومراجع ==
=== ملاحظات ===
{{مراجع|مجموعة=ملاحظة}}
=== مراجع ===
{{مراجع|2|محاذاة=نعم}}

== قراءة متعمقة ==

* [[:en:U. S. Census Bureau|U. S. Census Bureau]] Geographic Information Systems FAQ, (content has been moved to [http://www.movable-type.co.uk/scripts/GIS-FAQ-5.1.html What is the best way to calculate the distance between 2 points?])
* R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", ''Sky and Telescope'' '''68''' (2), 159 (1984).
* [http://mathforum.org/library/drmath/view/51879.html Deriving the haversine formula], ''Ask Dr. Math'' (Apr. 20–21, 1999).
* Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, [https://web.archive.org/web/19991010004728/http://www.geocities.com/ResearchTriangle/2363/trig02.html Spherical trigonometry], ''Elementary-Geometry Trigonometry'' web page (1997).
* W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, ''The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics'', 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

== روابط خارجية ==

* Implementations of the haversine formula [http://rosettacode.org/wiki/Haversine_formula in 91 languages at rosettacode.org] and [http://www.codecodex.com/wiki/Calculate_Distance_Between_Two_Points_on_a_Globe in 17 languages on codecodex.com]
* Other implementations in [http://blog.julien.cayzac.name/2008/10/arc-and-distance-between-two-points-on.html C++], [http://www.jaimerios.com/?p=39 C (MacOS)], [http://scifunam.fisica.unam.mx/mir/codes.html#haversine Pascal], [https://stackoverflow.com/a/4913653/1389451 Python], [https://github.com/kristianmandrup/haversine/blob/master/lib/haversine.rb Ruby], [http://www.movable-type.co.uk/scripts/LatLong.html JavaScript], [http://assemblysys.com/geographical-distance-calculation-in-php/ PHP],[http://samoht.fr/informatique/distance-between-two-points-on-earth-surface-haversine-formula Matlab], [https://github.com/Lus71/lib_mysqludf_haversine MySQL]
{{شريط بوابات|جغرافيا|رياضيات|فيزياء الأرض}}

[[تصنيف:حساب المثلثات الكروية]]
[[تصنيف:مسح الأرض]]
[[تصنيف:مسافة]]