عرض مصدر صيغة تربيع كافالييري

[[ملف:X_cubed_plot.svg|تصغير|صيغة كافالييري التربيعية تستخدم لحساب المساحة الموجودة أسفل المنحنيات كالمنحنى التكعيبي هنا، وكذا حساب مساحات أسفل منحنيات من قوى أعلى.]]
'''صيغة تربيع كافالييري''' هي صيغة رياضية في [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]، سُميت على اسم عالم الرياضيات الإيطالي من [[القرن 17|القرن السابع عشر]] [[بونافنتورا كافاليري|بونافينتورا كافالييري]]، وهي [[تكامل|التكامل المحدود]] التالي

: <math>\int_0^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1} \qquad n \geq 0,</math>

وصيغة [[مشتق عكسي|التكامل غير المحدود]] هي:

: <math>\int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.</math>

هناك صور أخرى لهذه الصيغة، مذكورة بالأسفل. يسمح هذا التكامل [[خطية|الخطي]] بحساب تكاملات كل [[متعددة الحدود|كثيرات الحدود]].

مصطلح «[[تربيع (مساحات)|التربيع]]» هو مصطلح تاريخيًا يقصد به [[مساحة|المساحة]]؛ فالتكامل من الناحية الهندسية هو المساحة الواقعة أسفل المنحنى ''y''=''x<sup>n</sup>''. والحالات المهمة تقليديا كانت ''y''=''x''<sup>2</sup> ، و[[تربيع القطع المكافئ]]، و ''y''=1 / ''x''، وتربيع القطع [[قطع زائد|الزائد]] المساوية قيمته [[لوغاريتم طبيعي|للوغاريتم الطبيعي]].

== أشكال الصيغة ==

=== قيم ''n'' السالبة ===
بالنسبة لقيم ''n'' السالبة (أس ''x'' السالب)، توجد حالة [[تفرد (رياضيات)|تفرد]] عند ''x''=0، لذا فالتكامل المحدود يبدأ من 1، بدلاً من 0، على النحو التالي:

: <math>\int_1^a x^n\,dx = \frac{1}{n+1} (a^{n+1} - 1) \qquad n \neq -1.</math>

لقيم n الكسرية السالبة''،'' فإن الدالة الأسية ''x''<sup>''n''</sup> [[عبارة معرفة جيدا|غير محددة جيدًا]]، وبالتالي يعرف التكامل غير المحدود لقيم x الموجبة فقط''.'' ولكن لو كانت ''n'' عددًا صحيحًا سالبًا، تصبح الدالة الأسية ''x''<sup>''n''</sup> معرفة لجميع قيم ''x التي لا تساوي الصفر،'' وتكون التكاملات المجدودة وغير المحدودة معرفة، ويمكن حسابها باستبدال ''x'' بـ −''x،'' وبدء التكامل المحدد السالب عند −1.

وللأعداد المركبة يعرف التكامل المحدود (لقيم ''n'' و''x'' السالبة)، عن طريق [[تكامل محيطي|التكامل الكفافي]].

=== ''n'' = − 1 ===
هناك أيضا حالة استثنائية عند n=− 1، ينتج عنها قيمة<nowiki/>[[لوغاريتم]]ية بدلاً من قيمة أسية لـ ''x:''

: <math>\int_1^a \frac{1}{x}\,dx = \ln a,</math>
: <math>\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C, \qquad x > 0</math>

(حيث "ln" تعني [[لوغاريتم طبيعي|اللوغاريتم الطبيعي]]، أي لوغاريتم أساسه الثابت ''[[ه (رياضيات)|e]]''=2.71828. . .).

في الغالب يمتد [[تكامل معتل|التكامل المعتل]] لقيم ''x'' السالبة عن طريق:

: <math>\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C, \qquad x \neq 0.</math>

لاحظ أن [[قيمة مطلقة|القيمة المطلقة]] مستخدمة هنا لتوحيد صيغة التكامل غير المحدودـ، هذا يعني أن تكامل هذه [[دوال زوجية وفردية#الدالة الفردية|الدالة الفردية]] هو [[دوال زوجية وفردية#الدالة الزوجية|دالة زوجية]]، برغم أن اللوغاريتم معرف فقط للمدخلات الموجبة، لكن يمكن اختيار قيمة موجبة أو سالبة للثابت ''C''، لأن هذه لا تغير المشتق. ولذا يصبح الشكل الأعم هو:<ref>"[http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/03/reader_survey_logx_c.html Reader Survey: log|''x''| + ''C'']", Tom Leinster, ''The ''n''-category Café'', March 19, 2012 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220725180624/https://golem.ph.utexas.edu/category/2012/03/reader_survey_logx_c.html|date=2022-07-25}}</ref>

: <math>\int\frac{1}{x} \, dx= \begin{cases}
\ln |x| + C^- & x < 0 \\
\ln |x| + C^+ & x > 0
\end{cases}</math>

في [[عدد مركب|الأعداد المركبة]]، لا يوجد مشتق عكسي شامل لـ 1/''x''، لأن هذه الدالة تجدد {{وإو|فضاء تغطية|Covering space}} غير تافه "non-trivial"؛ هذه الصيغة خاصة بالأرقام الحقيقية.

لاحظ أن التكامل المحدود الذي يبدأ عند 1 غير معرف لقيم ''a'' السالبة''،'' لأنه يمر عبر [[تفرد (رياضيات)|نقطة انقطاع]]، وبرغم أن 1/''x'' هي دالة فردية، نستطيع أن نبدأ التكامل المحدود للأسس السالبة عند −1. فباستخدام [[تكامل معتل|التكاملات المعتلة]] وحساب {{وإو|قيمة كوشي الأساسية|Cauchy principal value}}، نصل لـ <math>\int_{-c}^c \frac{1}{x}\,dx = 0</math>، وباستخدام خاصية التناظر (لأن اللوغاريتم دالة فردية)، نحصل على <math>\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx = 0</math> ، إذا لا فرق إذا كان التكامل المحدود يبدأ عند 1 أو −1. كما الحال مع التكامل غير المحدود، وهذا خاص بالأعداد الحقيقية، ولا ينطبق على الأعداد المركبة.

=== صيغ بديلة ===
يمكن أيضًا كتابة التكامل مع إزاحة قيمة ''n''، لتبسيط النتيجة ولتوضيح العلاقة أكثر بين التفاضل في n من الأبعاد والمكعب ذا ''n [[بعد]]'':

: <math>\int_0^a x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} a^n \qquad n \geq 1.</math>
: <math>\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n + C \qquad n \neq 0.</math>

في العموم، يمكن كتابة الصيغ على النحو التالي:

: <math>\int (ax + b)^n dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
: <math>\int\frac{1}{ax + b} dx= \frac{1}{a}\ln\left|ax + b\right| + C</math>
: وبشكل أكثر عمومية:
:: <math>\int\frac{1}{ax + b} \, dx= \begin{cases}
\frac{1}{a}\ln\left|ax + b\right| + C^- & x < -b/a \\
\frac{1}{a}\ln\left|ax + b\right| + C^+ & x > -b/a
\end{cases}</math>

== برهان ==
البرهان الحديث يستخدم [[مشتق عكسي|المشتق العكسي]]، ونحن نعرف أن اشتقاق ''x''<sup>''n''</sup> يعطي ''nx''<sup>''n''−1</sup>. وهذا واضح من [[مبرهنة ذي الحدين|صيغة ذي الحدين]] [[مشتق (رياضيات)|وتعريف المشتق]]، ونحن نعرف من [[المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل|النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل]]، أن [[مشتق عكسي|المشتق العكسي]] هو التكامل.

استخدام المشتق العكسي سيفشل مع <math>\int \frac{1}{x}\,dx</math> لأنه <math>\frac{1}{0} \cdot x^0</math>، وهو غير معرف بسبب القسمة على الصفر. هنا تظهر فائدة دالة [[لوغاريتم|اللوغاريتم]]، لأنها فعليا هي المشتق العكسي لـ 1/''x''.
[[ملف:BinomialTheorem.png|وصلة=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/BinomialTheorem.png/315px-BinomialTheorem.png|يسار|تصغير|536x536بك| تمثيل هندسي [[مبرهنة ذي الحدين|لمبرهنة ذي الحدين]]، بنفس الطريقة يمكن هندسيًا تمثيل الاشتقاق<math>(x^n)'=nx^{n-1}</math> كتغيير متناهي الصغر في حجم مكعب له n من الأبعاد، وهو ما يمثل مجموع مساحات ''n'' من الوجوه، كل وجه منها له (''n''−1) من الأبعاد. بتصور مشابه يمكن تمثيل التكامل عن طريق تكويم الوجوه، وهو تمثيل هندسي [[المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل|لنظرية التكامل الأساسية]]، وعن طريق هذا التصور سنقوم بتفكيك مكعب له n من الأبعاد إلى أهرامات لها n من الأبعاد، وهو معروض هنا في المقالة ويمثل برهانا هندسيا لصيغة تربيع كافالييري.]]
للأعداد الصحيحة الموجبة، يمكن البرهنة هندسيًا على النحو التالي:<ref>{{Harvard citation|Barth|2004}}, {{Harvard citation|Carter|Champanerkar|2006}}</ref>

إذا اعتبرنا القيمة الأسية ''x''<sup>''n''</sup> تمثل حجم لمكعب له ''n'' من الأبعاد ([[مكعب فائق]] له ''n'' من الأبعاد)، فإن المشتق <math>nx^{n-1}</math> هنا يمثل تغير الحجم بتغير طول الضلع - والذي يمكن النظر إليه على أنه مساحة ''n'' من الوجوه التي لها ''n''−1 بعدا، (لو قمنا بتثبيت أحد رؤوس المكعب عند [[أصل (رياضيات)|نقطة الأصل]]، فتكون هذه هي الوجوه ''n'' التي لا تلامس هذا الرأس)، في حالة المكعب ثلاثي الأبعاد تكون ''n'' مساوية لـ 3، وعدد الوجوه التي لا تلامس نقطة الأصل 3، وكل وجه منها ثنائي البعد، الآن باستخدام حالة المكعب ثلاثي الأبعاد كنموذج لو بدأنا من رأس المكعب المركزي عند نقطة الأصل باتجاه أول وجه من هذه الوجوه، وأنشانا مربعا موازي لهذا الوجه، تزيد مساحته بصورة متناهية في الصغر تدريجيا كلما اقتربنا من وجه المكعب المقابل له، وقمنا بجمع مساحات هذه المربعات، فسيظهر لنا شكل هرم رأسه عند مركز المكعب عند نقطة الأصل وقاعدته السطح المقابل له، وبالمثل للسطحين الآخرين، سيظهر لنا ''n'' (في حالتنا هنا تساوي 3) من هذه الأهرامات، وللحصول على الحجم الكلي، نقوم بجمع [[هرم (هندسة)#الحجم|حجم]] كل هرم، لنحصل على الصيغة المطلوبة.

توجد براهين أخرى - فعلى سبيل المثال قام [[بيير دي فيرما|فيرما]] بحساب المساحة باستخدام خدعة جبرية قام من خلالها بتقسيم [[منطلق دالة|المجال]] لفترات معينة غير متساوية الطول ثم أنشأ مستطيلات أحاطت بالمنحنى ثم قام بجمع مساحات هذه المستطيلات ليصل في النهاية لنفس الصيغة؛<ref>See Rickey.</ref>

== تاريخ ==
[[ملف:Parabolic_Segment.svg|تصغير| قام أرخميدس بحساب مساحة القطعة المكافئية في مؤلفه ''[[تربيع القطع المكافئ]]'' .]]

في القرن الثالث قبل الميلاد برهن عالم الرياضيات اليوناني [[أرخميدس]] مساحة القطع المكافئ في كتابه ''[[تربيع القطع المكافئ]]''، مستخدما [[طريقة استنفاد|أسلوب الاستنفاذ]]. كما قام اليونانيون القدماء، وغيرهم، بحساب حجم [[هرم (هندسة)|الهرم]] أو [[مخروط|المخروط]]، وهو ما يعادله رياضياً.

في القرن الحادي عشر، قام [[الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية|عالم الرياضيات المسلم]] [[ابن الهيثم]] بحساب تكاملات [[دالة تكعيبية|التكعيبيات]] [[دالة رباعية|والرباعيات]] (دوال من الدرجة الثالثة والرابعة) باستخدام [[استقراء رياضي|الاستقراء الرياضي]] في كتابه ''[[المناظر|البصريات]]''.<ref name="Katz">Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163–174 [165–9 & 173–4]</ref>

قام كافالييري بحساب المساحة للأعداد الصحيحة حتى 9، باستخدام [[مبدأ كافالييري]].<ref>{{Harvard citation|Struik|1986|loc=pp. 215–216}}</ref> وفسرها على أنها حساب أحجام ذات أبعاد أعلى، على الأقل بصورة غير رسمية، لأن الأجسام ذات الأبعاد الأعلى لم تكن مألوفة وقتها.<ref>{{Harvard citation|Laubenbacher|Pengelley|1998}} – see [http://www.math.nmsu.edu/~history/book/analysissynopsis.html Informal pedagogical synopsis of the Analysis chapter] for brief form {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180826150306/https://www.math.nmsu.edu/~history/book/analysissynopsis.html|date=2018-08-26}}</ref> بعد ذلك وسع عالم الرياضيات الإيطالي [[إيفانجيلستا تورشيللي|تورشيلي]] طريقة التربيع هذه لتشمل منحنيات أخرى كالحلقة [[دويري|الدويرية]]، ثم عمم عالم الرياضيات الإنجليزي [[جون واليس]] الصيغة على القوى الكسرية والسالبة في كتابه ''Arithmetica Infinitorum'' المنشور عام 1656، وفيه أيضًا وحد ترميز وتدوين [[رفع (رياضيات)|قوى الرفع]] الكسرية - برغم أن أن واليس فسّر الحالة الاستثنائية n=−1 (تربيع القطع الزائد) بشكل غير صحيح - قبل أن توضع أخيرًا على أرضية علمية محكمة بتطور [[تكامل|حساب التفاضل والتكامل]].

قبل إعطاء واليس لصيغة رسمية للتعامل مع القوى الكسرية والسالبة، والتي سمحت بدوال صريحة كـ <math>y=x^{p/q}</math>، كان يتم التعامل ضمنيا مع هذه المنحنيات عبر المعادلات <math>x^p=ky^q</math> و<math>x^py^q=k</math> (دائمًا ما تكون ''p'' و ''q'' أعدادًا صحيحة موجبة) ويشار إليهما على التوالي على أنهما '''قطوع مكافئة أعلى وقطوع''' '''زائدة أعلى'''. قام [[بيير دي فيرما|فيرما]] أيضًا بحساب هذه المساحات (باستثناء الحالة الاستثنائية −1).<ref>See Rickey reference for discussion and further references.</ref>

نجح Grégoire de Saint-Vincent في معالجة الحالة الاستثنائية لـ −1 (القطع الزائد القياسي) لأول مرة في كتابه ''Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni'' (1647)، لكن المعالجة الرسمية تأخرت حتى ظهور [[لوغاريتم طبيعي|اللوغاريتم الطبيعي]]، والذي وضعه [[نيكولاس مركاتور]] لأول مرة في كتابه ''Logarithmotechnia'' (1668).

== مراجع ==
{{مراجع}}

<references group="" responsive="1"></references>

=== تاريخ ===
 {{بداية المراجع}}
* Cavalieri, ''Geometria indivisibilibus (continuorum nova quadam ratione promota)'' (Geometry, exposed in a new manner with the aid of indivisibles of the continuous), 1635.
* Cavalieri, ''Exercitationes Geometricae Sex'' ("Six Geometrical Exercises"), 1647
** in [[Dirk Jan Struik]], editor, ''A source book in mathematics, 1200–1800'' (Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1986). {{ردمك|0-691-08404-1}}, {{ردمك|0-691-02397-2}} (pbk).
* ''Mathematical expeditions: chronicles by the explorers,'' Reinhard Laubenbacher, David Pengelley, 1998, Section 3.4: "Cavalieri Calculates Areas of Higher Parabolas", [https://books.google.com/books?id=ubFg7DI83JoC&pg=PA125 pp. 123–127/128]
* ''A short account of the history of mathematics,'' Walter William Rouse Ball, "Cavalieri", [https://books.google.com/books?id=_sT_psl3uYkC&pg=PA278 p. 278–281]
* "[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Infinitesimal_calculus Infinitesimal calculus]", ''Encyclopaedia of Mathematics''
* ''The Britannica Guide to Analysis and Calculus,'' by Educational Britannica Educational, [https://books.google.com/books?id=ML5Uuo16D58C&pg=PA171 p. 171] – discusses Wallace primarily
{{نهاية المراجع}}

=== براهين ===
 {{بداية المراجع}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
| مؤلف1-الأخير = Wildberger
| مؤلف1-الأول = N. J.
| عنوان = A new proof of Cavalieri's quadrature formula
| مسار = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2002-11_109_9/page/843
| صحيفة = The American Mathematical Monthly
| المجلد = 109
| العدد = 9
| صفحات = 843–845
| سنة = 2002
| doi = 10.2307/3072373
| jstor = 3072373
}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
| الأخير = Bradley
| الأول = David M.
| عنوان = Remark on Cavalieri's quadrature formula
| مسار = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2003-05_110_5/page/437
| arxiv = math/0505059
| صحيفة = The American Mathematical Monthly
| المجلد = 110
| العدد = 5
| صفحة = 437
| تاريخ = May 2003
| bibcode = 2005math......5059B
| postscript = , appeared in print at end of [https://www.jstor.org/pss/3647831 Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(S) = 1]
}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
| مؤلف1-الأخير = Barth
| مؤلف1-الأول = N. R.
| عنوان = Computing Cavalieri's quadrature formula by a symmetry of the n-cube
| مسار = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2004-11_111_9/page/811
| صحيفة = The American Mathematical Monthly
| المجلد = 111
| العدد = 9
| صفحات = 811–813
| سنة = 2004
| doi = 10.2307/4145193
| jstor = 4145193
}}
* {{استشهاد بأرخايف|مؤلف-الأخير1=Carter|مؤلف-الأول1=J. Scott|مؤلف-الأخير2=Champanerkar|مؤلف-الأول2=Abhijit|عنوان=A geometric method to compute some elementary integrals|eprint=math/0608722|سنة=2006}}
* Malik, M.A. (1984) "A Note on Cavalieri Integration", [[مجلة الرياضيات]] 57(3): 154–6 {{دوي|10.2307/2689662}}
* [https://web.archive.org/web/20110720102654/http://www.math.usma.edu/people/rickey/ V. Frederick Rickey] (2011) [https://web.archive.org/web/20110720101905/http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/CalcNotes/Fermat-Integration.pdf Fermat's Integration of Powers]", in ''[https://web.archive.org/web/20110720102613/http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/CalcNotes/default.htm Historical Notes for Calculus Teachers]''
{{نهاية المراجع}}

== روابط خارجية ==
* {{ماثوورلد|title=Cavalieri's Quadrature Formula}}
* [http://researchspace.csir.co.za/dspace/bitstream/10204/5267/1/Grobler5_2011.pdf Cavalieri Integration]
* [https://books.google.com/books?id=XmRsZhJZGhEC&lpg=PA214&hl=fr&pg=PA214#v=onepage&q&f=false D. J. Struik, ''A Source Book in Mathematics, 1200-1800'', p. 214]
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:متعددات الحدود]]
[[تصنيف:تكاملات]]