عرض مصدر صيغة أويلر-ماكلورين

[[ملف:Colin Maclaurin color.jpg|تصغير|200بك|يسار]]

في [[رياضيات|الرياضيات]], تعطي '''صيغة أويلر-ماكلورين''' {{إنج|Euler–Maclaurin formula}} ارتباطا وثيقا بين [[تكامل|التكامل]] و[[مجموع (علم الحساب)|المجموع]].

انظر [[تفاضل وتكامل|التفاضل والتكامل]].

يمكن استخدام الصيغة لتقريب التكاملات بعدد محدود من المجاميع، أو تقييم مجاميع محدودة و[[متسلسلة (توضيح)|سلاسل غير منتهية]] باستعمال التكاملات والية التفاضل على نحو مضاد.
على سبيل المثال، العديد من المنشورات المقاربة يتم اشتقاقها من هذه الصيغة و[[صيغة فاولهابر|صيغة فاولابر]] لمجموع القوى هو نتيجة مباشرة لذلك.

اكتشف الصيغةَ كل من [[ليونهارت أويلر|ليونارد أويلر]] و[[كولين ماكلورين]] كل على حده في حوالى 1735 (وعممت فيما بعد تحت [[صيغة داربوكس]]). احتاج إليها أويلر ليحسب متسلسلة لانهائية بطيئة التقارب بينما استخدمها ماكلورين لحساب التكاملات.

== الصيغة ==
إذا كان ''n'' [[عدد طبيعي|عددا طبيعيا]], وكانت <math>f(x)\,</math> [[دالة]] أكثر سلاسة(بمعنى أنها قابلة [[اشتقاق (توضيح)|للاشتقاق]] بما يكفي) معرفة لجميع [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] ''x'' بين 0 و''n'', فإن التكامل

:<math>I=\int_0^n f(x)\,dx</math>

يمكن تقريبه بالمجموع (والعكس صحيح)

:<math>
S=\frac{1}{2}f(0)+f\left(1\right) +\cdots+f\left(n-1\right) +\frac{1}{2}f(n) 
</math>

انظر إلى [[طريقة المستطيل (تكامل)|طريقة المستطيل]].

تعطي صيغة أويلر-ماكلورين تعابير للفرق بين المجموع والتكامل بدلالة المشتقات العليا <math>f^{(k)}\,</math> عند اطراف النقاط على الفترة 0 و''n''. وبوضوح، لأي عدد طبيعي ''p'', يكون لدينا (انظر [[قاعدة شبه المنحرف]]).

:<math> S-I = \sum_{k=2}^p {\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)} +R </math>

حيث ''B''<sub>1</sub> = −1/2، ''B''<sub>2</sub> = 1/6، ''B''<sub>3</sub> = 0، ''B''<sub>4</sub> = −1/30, ''B''<sub>5</sub> = 0، ''B''<sub>6</sub> = 1/42، ''B''<sub>7</sub> = 0، ''B''<sub>8</sub> = −1/30,... هي [[عدد برنولي|أعداد بيرنولي]], و''R'' هو حد الخطأ وعادة مايكون صغيرا عند قيم مناسبة لـ''p''. (غالبا يتم كتابة الصيغة بالقيم الزوجية، بما أن أعداد بيرنولي الفردية أصفار عدا ''B''<sub>1</sub>.)

لاحظ أن

: <math>-B_1(f(n)+f(0)) =\frac{1}{2}(f(n)+f(0)).</math>

وعليه يمكن أيضا كتابة الصيغة كما يلي:

:<math>
\begin{align}
& \quad \sum_{i=0}^n f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-B_1(f(n)+f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R.
\end{align}
</math>

باستخدام قاعدة التعويض، يمكن مواءمة هذه الصيغة أيضا للدوال ''ƒ'' والمعرفة على [[مجال فاصل (رياضيات)|فترة]] ما أخرى من الخط الحقيقي.

=== الحد المتبقي ===
انظر إلى [[متعددة الحدود لبرنولي]].

الحد المتبقي ''R'' يعبر عنه غالبا باستخدام [[كثيرة حدود بيرنولي|كثيرات حدود بيرنولي الدورية]] (''P''<sub>''n''</sub>(''x''. تعرف [[كثيرة حدود بيرنولي]] ''B''<sub>''n''</sub>(''x'')، ''n'' = 0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;... بشكل تعاودي على أنها

:<math>B_0(x) = 1, \, </math>

:<math> B_n'(x) = nB_{n-1}(x)\mbox{ and }\int_0^1 B_n(x)\,dx = 0\mbox{ for }n \ge 1. </math>

حينئذ فإن دوال بيرنولي الدورية ''P''<sub>''n''</sub> تعرف بالشكل

:<math> P_n(x) = B_n(x - \lfloor x\rfloor)\mbox{ for }x> 0, \, </math>

حيث ترمز<math>\scriptstyle \lfloor x\rfloor</math> إلى العدد الصحيح الأكبر والذي لا يكون أكبر من ''x''. وعليه، بدلالة ''P''<sub>''n''</sub>(''x''), فإن الحد المتبقي ''R'' يمكن كتابته بالصورة

:<math> R = (-1)^{p+1} \int_0^n f^{(p)}(x) {P_p(x) \over p!}\,dx, </math>

بما أن <math>|P_p(x)|\,</math> عادة أقل من <math>2p!/(2\pi)^p\,</math>, فيمكن توقع حجم الحد المتبقي باستخدام
:<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^p}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.</math>

== تطبيقات ==
=== مسألة بازل ===

كانت [[معضلة بازل|مسألة بازل]] تتسأل عن إيجاد المجموع
:<math> 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}. </math>
قام اويلر بحساب هذا المجموع بدقة عشرين خانة عشرية باستعمال حدود معدودة من صيغة أويلر ماكلورين سنة 1735. وربما أقنعه هذا بأن المجوموع مكافئا ل π<sup>2</sup> / 6, والتي أثبتها في نفس العام.<ref>David J. Pengelley, [https://web.nmsu.edu/~davidp/ "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula"], in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), ''Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002)''، Euler Society, 2003. {{استشهاد ويب |مسار=https://www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=26 يناير 2018 |تاريخ أرشيف=9 أغسطس 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170809055428/https://www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf |حالة المسار=bot: unknown }}</ref>

=== مجاميع ذات كثيرة حدود ===
إذا كانت ''f'' دالة كثيرة حدود و''p'' كبيرة بشكل كاف، فإن الحد المتبقي يتلاشى. على سبيل المثال، إذا كانت ''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>,, فيمكننا اختيار ''p'' = 2 لتوضيح الاتي بعد التبسيط

:<math>\sum_{i=0}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>
(انظر [[صيغة فاولهابر|صيغة فاولابر]]).

=== التكامل العددي ===
تستخدم صيغة أويلر ماكلورين أيضا في تفصيل تحليل الخطأ في [[تربيع عددي|التربيع العددي]]، وخاصة طرق التقدير الاستقرائي المعتمدة عليها. يعتبر [[تربيع كلينشو-كيرتيس]] في الأساس تحويلا في المتغيرات لتمثيل تكامل اعتباطي بدلالة تكاملات دوال دورية تكون فيها صيغة أويلر ماكلورين دقيقة جدا (وفي تلك الحالة تأخذ صيغة أويلر ماكلورين شكل [[تحويل جيب التمام المتقطع|تحويل جيب تمام متقطع]])

=== نشر المحاميع المقارب ===

في سياق حساب [[نشر مقارب|المتسلسلات المقاربة]] للمجاميع و[[متسلسلة (توضيح)|المتسلسلات]], فإن الشكل التالي يكون عالبا أفضل صيغة في أويلر ماكلورين

:<math>\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right), \, </math>

حيث''a'' و''b'' أعداد صحيحة.<ref>{{Harvard citation text|Abramowitz|Stegun|1972}}, 23.1.30</ref> وفي الغالب يبقى النشر مشروعا حتى بعد أحذ النهايات <math>{\scriptstyle a\to -\infty}\,</math> أو <math>{\scriptstyle b\to +\infty}\,</math>, أو كلاهما. في حالات عديدة يمكن تقدير التكامل في الجانب الأيمن في [[نظرية غالويس التفاضلية|شكل مغلق]] بدلالة [[دالة أساسية|الدوال الأساسية]] حتى ولو أن الجمع على الجانب الأيسر غير قادر على ذلك. حينئذ يمكن التعبير عن جميع الحدود في السلسلة المقاربة بدلالة دوال أساسية.

:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac{1}{(z+k)^2}\,dk}_{=1/z}+\frac{1}{2z^2}
+\sum_{t=1}^\infty \frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.\,</math>

هنا الجانب الأيسر يساوي <math>{\scriptstyle \psi^{(1)}(z)}\,</math>, بالاسم [[دالة متعدد غاما]] من الرتبة الأولى المعرفة من خلال <math>{\scriptstyle \psi^{(1)}(z)=\frac{d^2}{dz^2}\ln \Gamma(z)}\,</math>; [[دالة غاما]] <math>{\scriptstyle \Gamma(z)}\,</math> تساوي <math>{\scriptstyle (z-1)!}\,</math> إذا كان <math>{\scriptstyle z}\,</math> [[عدد صحيح]]. ينتج عن هذا نشر مقارب لـ <math>{\scriptstyle \psi^{(1)}(z)}\,</math>. وهذا النشر بدوره، يخدمنا كنقطة بداية لواحدة من اشتقاقات دقيقة لتوقع الخطأ في [[تقريب ستيرلينغ]] لدالة [[عاملي|المضروب]].

== البراهين ==
=== الاشتقاق بالاستقراء الرياضي ===
باتباع النقاش المعطى في (Apostol).<ref>{{استشهاد بدورية محكمة| الأول = T. M. | عنوان = An Elementary View of Euler's Summation Formula | صحيفة = The  | المجلد = 106 | تاريخ = 1 مايو 1999 | العدد = 5 | صفحات = 409–418  | issn = 00029890 | الأخير = Apostol | doi = 10.2307/2589145 | مؤلف-وصلة= Tom M. Apostol | ناشر =    Mathematical Association of America | jstor =    2589145 }}</ref>

يمكن تعريف [[كثيرات حدود بيرنولي]] ''B''<sub>''n''</sub>(''x''), ''n'' = 0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;... بشكل معاود كما يلي:

:<math>B_0(x) = 1, \, </math>

:<math> B_n'(x) = nB_{n-1}(x)\mbox{ and }\int_0^1 B_n(x)\,dx = 0\mbox{ for }n \ge 1. </math>

البعض الأولى من هذه هي

:<math> B_1(x)=x-1/2, \quad B_2(x)=x^2-x+1/6, </math>
<!--  -->

:<math> B_3(x) = x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x, \quad B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}, \dots </math>

القيم ''B''<sub>''n''</sub>(1) هي [[عدد برنولي|أعداد بيرنولي]]. لاحظ أن
لأجل ''n''&nbsp;≥&nbsp;2 يكون لدينا
:<math>B_n(0) = B_n(1) = B_n\quad(:n\text{th Bernoulli number}). </math>

نعرف دوال بيرنولي الدورية ''P''<sub>''n''</sub> بالصورة

:<math> P_n(x) = B_n(x - \lfloor x\rfloor)\mbox{ for }0 <x <1, \, </math>

حيث <math> \lfloor x\rfloor</math> ترمز لأكبر عدد صحيح ليس أكبر من ''x''. وعليه فإن ''P''<sub>''n''</sub> تتفق مع كثيرات حدود بيرنولي على الفترة (0,&nbsp;1) كما أنها [[دالة دورية|دورية]] إذا كان الدور = 1. إذن,

:<math> P_n(0) = P_n(1)= B_n\quad \text{for } n>1.</math>

لأجل''n''&nbsp;=&nbsp;1,

:<math> P_1(0) = - P_1(1)=B_1.</math>

والان، باعتبار التكامل

:<math> \int_k^{k+1} f(x)\,dx = \int u\,dv,</math>

حيث

:<math>\begin{align}
u &{}= f(x), \\
du &{}= f'(x)\,dx, \\
v &{}= P_1(x),\\
dv &{}= P_0(x)\,dx \quad (\mbox{since }P_0(x)=1). \\
\end{align}</math>

[[تكامل بالتجزئة|التكامل بالتجزيء]], نحصل على

:<math>\begin{align}
\int_k^{k+1} f(x)\,dx &= uv - \int v\,du &{}\\
&= \Big[f(x)P_1(x) \Big]_k^{k+1} - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx \\[8pt]
&=-B_1(f(k) + f(k+1)) - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx.
\end{align} </math>

وبجمع الصورة السابقة ''k'' = 0 to ''k'' = ''n'' − 1, نحصل على

:<math>
\begin{align}
&\int_0^1 f(x)\,dx+\dotsb+\int_{n-1}^n f(x)\,dx \\
&= \int_0^n f(x)\, dx  \\
&= \frac{f(0)}{2}+ f(1) + \dotsb + f(n-1) + {f(n) \over 2} - \int_1^n f'(x) P_1(x)\,dx. 
\end{align}</math>

بإضافة (''ƒ''(0)&nbsp;+&nbsp;''ƒ''(''n''))/2 إلى كلا الطرفين واعادة الترتيب نحصل على

:<math> \sum_{k=0}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + {f(0) + f(n) \over 2} + \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.\qquad (1)</math>

يعطي الحدين الأخيرين بالتالي الخطأ عند تقريب التكامل بالمجموع.

فيما يلي لنعتبر

:<math> \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx = \int u\,dv, </math>

حيث

:<math>\begin{align}
u &{}= f'(x), \\
du &{}= f''(x)\,dx, \\
v &{}= P_2(x)/2\\
dv &{}= P_1(x)\,dx.
\end{align}</math>

وبالتكامل بالتجزيء مرة أخرى، نحصل على

:<math>\begin{align}
uv - \int v\,du &{}= \left[ {f'(x)P_2(x) \over 2} \right]_k^{k+1} - {1 \over 2}\int_k^{k+1} f''(x)P_2(x)\,dx \\  \\
&{}= {f'(k+1) - f'(k) \over 12} -{1 \over 2}\int_k^{k+1} f''(x)P_2(x)\,dx.
\end{align}</math>
الجمع من ''k'' = 0 إلى ''k'' = ''n'' − 1, ومن ثم بتعويض التكامل الأخير في (1) بالذي أثبتنا للتو أنه مساو له، نجد أنe

:<math> \sum_{k=0}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + {f(0) + f(n) \over 2} + \frac{B_2}{2}(f'(n) - f'(0)) - {1 \over 2}\int_0^n f''(x)P_2(x)\,dx.  </math>

والآن، لابد أن القارئ قد حزر بأن هذه العملية تكرارية. استطعنا الحصول على إثبات لصيغة مجموع أويلر-ماكلورين ب[[استقراء رياضي|الاستقراء الرياضي]], حيث اعتمدت خطوة الاستقراء على التكامل بالتجزيء ومطابقات دوال بيرنولي الدورية.

=== الاشتقاق بالتحليل الدالي ===
يمكن فهم صيغة أويلر ماكلورين بأنها تطبيق مثير للفضول عن بعض أفكار [[فضاء هيلبرت]] و[[تحليل دالي|التحليل الدالي]].

في البداية يتم حصر المسألة في مجال [[مجال الوحدة|فترة الوحدة]] [0,1]. لتكن <math>B_n(x)\,</math> هي [[كثيرات حدود بيرنولي]]. تعطى زمرة دول [[فضاء ثنائي|ثنائية]] لكثيرات حدود بيرنولي بالعلاقة:

:<math>\tilde{B}_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{n!} \left[ 
\delta^{(n-1)}(x-1) - \delta^{(n-1)}(x) \right]</math>

حيث δ هي [[دالة دايراك دلتا]]. العلاقة السابقة هي رمز لفكرة أخذ المشتقات عند نقطة; بالتالي يكون لدينا

:<math>\int_0^1 \tilde{B}_n(x) f(x)\, dx = \frac{1}{n!} \left[ 
f^{(n-1)}(1) - f^{(n-1)}(0) \right]</math>

من أجل ''n'' &gt; 0 ودالة اعتباطية ولكنها تفاضلية ''ƒ''(''x'') على [[دالة الوحدة]]. في الحالة ''n'' = 0, يمكن تعريف <math>\tilde{B}_0(x)=1</math>. كثيرات حدود بيرنولي، على امتداد ثنائياتها، من مجموعة حالات متعامدة على فترة الوحدة: لدينا

:<math>\int_0^1 \tilde{B}_m(x) B_n(x)\, dx = \delta_{mn}</math>

و

:<math>\sum_{n=0}^\infty B_n(x) \tilde{B}_n(y) = \delta (x-y).</math>

حينئذ تتبع صيغة مجموع أويلر ماكلورين كتكامل على الآخر. لدينا

:<math>f(x)=\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \tilde{B}_n(y) f(y)\, dy</math>

::<math>=\int_0^1 f(y)\,dy + 
\sum_{n=1}^N B_n(x) \frac{1}{n!} 
\left[ f^{(n-1)}(1) - f^{(n-1)}(0) \right] 
- \frac{1}{(N+1)!} \int_0^1 B_{N+1}(x-y) f^{(N)}(y)\, dy.</math>

وبوضع ''x'' = 0 وترتيب الحدود، يمكن الحصول على تعبير لـ ''ƒ''(0). لاحظ أن أعداد بيرنولي تعرف بأنها ''B''<sub>''n''</sub> = ''B''<sub>''n''</sub>(0), وأنها تتلاشى للقيم الفردية ''n'' أكبر من 1.

وبالتالي، باستخدام دالة بيرولي الدورية ''P''<sub>''n''</sub> المعرفة أعلاه وبإعادة النقاش حول الفترة [1,2], يمكننا الحصول على تعبير ''ƒ''(1). وعلى هذا المنوال يمكن الحصول على تعبير لـ ''ƒ''(''n''), ''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...,&nbsp;''N'', وبإضافتها فوق بعض نحصل على صيغة أويلر ماكلورين. لاحظ أن هذا الاشتقاق لايفترض أن ''ƒ''(''x'') قابلة للتفاضل بشكل كاف وذات سلوك صحيح ; خاصة أن ''ƒ'' يمكن تقريبها [[كثرة حدود|بكثيرات حدود]]; وبشكل مكافئ بأن ''ƒ'' [[دالة تحليلية]] حقيقية.

يمكن إذن النظر إلى صيغة مجموع أويلر-ماكلورين على أنها حصيلة [[تمثيل مجموعة|تمثيل]] دوال على فترة الوحدة بالضرب المباشر لكثيرات حدود بيرنولي وثنائياتها. ومع ذلك لاحظ أن التمثيل ليس [[نظام شبكي مكتمل|مكتملا]] على مجموعة دوال [[مربع تكاملي|مربعة قابلة للتكامل]]. النشر بدلالة كثيرات حدود بيرنولي ليس له [[نواة دالة|نواة]] عادية. بشكل خاص، sin(2π''nx'') تقع على النواة; تكامل sin(2π''nx'') يتلاشى على فترة الوحدة، كما هو الفرق بين مشتقاته على النقاط الطرفية.

== ملاحظات ==
{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{تحليل رياضي}}
{{ليونهارت أويلر}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

[[تصنيف:تحليل مقارب]]
[[تصنيف:تكامل عددي]]
[[تصنيف:فضاء هيلبرت]]
[[تصنيف:ليونهارت أويلر]]
[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الرياضي]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:نظرية التقريب]]