عرض مصدر صياغة فضاء الطور

{{مقدمة ميكانيكا الكم}}
تضع '''صياغة فضاء الطور''' في [[ميكانيكا الكم]] كلًا من متغيرات الموضع [[زخم الحركة|وزخم الحركة]] على قدم المساواة في [[فضاء الطور]]. بينما في المقابل، يستخدم تصور شرودنجر تمثيلات الزخم أو الموضع. الميزتان الأساسيتان اللتان تتمتع بهما صياغة فضاء الطور؛ أن [[حالة كمومية|الحالة الكمومية]] يُعبر عنها بتوزيع شبه احتمالي (عوضًا عن [[دالة موجية]] أو متجه الحالة أو مصفوفة الكثافة) وتُستبدل دالة الجداء بجداء نجمي.

طور النظرية العالمين هيلبراند جرونولد في عام 1946 في أطروحته للدكتوراه،<ref name="Groenewold1946">H. J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics", ''Physica'','''12''' (1946) pp. 405–460. {{doi|10.1016/S0031-8914(46)80059-4}}.</ref> والعالم جو مويال بصورة مستقلة،<ref name="Moyal1949">J. E. Moyal, "Quantum mechanics as a statistical theory", ''Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', '''45''' (1949) pp. 99–124. {{doi|10.1017/S0305004100000487}}.</ref> بنى كل منهما نظرته على الأفكار التي قدمها كل من [[هيرمان فايل]]<ref name="Weyl1927">H. Weyl, "Quantenmechanik und Gruppentheorie", ''Zeitschrift für Physik'', '''46''' (1927) pp. 1–46, {{doi|10.1007/BF02055756}}.</ref> [[يوجين ويغنر|ويوجين ويغنر]].<ref name="Wigner1932">E. P. Wigner, "On the quantum correction for thermodynamic equilibrium", ''Phys. Rev.'' '''40''' (June 1932) 749–759. {{doi|10.1103/PhysRev.40.749}}.</ref>

الميزة الرئيسية التي تقدمها صياغة فضاء الطور هي إظهار ميكانيكا الكم شبيهًا [[ميكانيكا هاملتوني|بالميكانيكا الهاملتوني]] قدر الإمكان عبر تجنب التمسك الشديد بالشكل التقليدي، وبالتالي التخلص من عبء تكميم [[فضاء هيلبرت]].<ref>S. T. Ali, M. Engliš, "Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts". ''Rev. Math. Phys.'', '''17''' (2005) pp. 391–490. {{doi|10.1142/S0129055X05002376}}.</ref> تعتبر هذه الصياغة إحصائية في الطبيعة وتقدم روابط منطقية بين كل من الميكانيك الكمومي والميكانيك الإحصائي التقليدي، مفسحةً المجال لمقارنة طبيعية بين الاثنين. غالبًا ما تُفضل ميكانيكا الكم في فضاء الطور بالنسبة لتطبيقات بصريات الكم أو لدراسة إزالة الترابط الكمي ومجموعة من المشاكل التقنية المتخصصة. خلاف ذلك، قليلًا ما تُطبق الشكلية في المواقف العملية.<ref name="cz2012">{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير1=Curtright|الأول1=T. L.|الأخير2=Zachos|الأول2=C. K.|doi=10.1142/S2251158X12000069|عنوان=Quantum Mechanics in Phase Space|صحيفة=Asia Pacific Physics Newsletter|المجلد=01|صفحات=37–46|سنة=2012|pmid=|pmc=|arxiv=1104.5269}}</ref>

تفرعت الأفكار المفاهيمية القابعة خلف تطوير ميكانيكا الكم في فضاء الطور إلى أفرع جانبية رياضية؛ مثل نظرية الانحراف الجبري والهندسة اللاتبادلية.

== توزيع فضاء الطور ==
إن توزيع فضاء الطور {{math|''f''(''x'', ''p'')}} لحالة كمومية هو توزيع شبه احتمالي. في صياغة فضاء الطور، قد يُعامل توزيع فضاء الطور على أنه الوصف البدائي والتقليدي للنظام الكمي، دون أي إشارة للدوال الموجية أو مصفوفات الكثافة.<ref name="ZFC2005">C. Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright, "Quantum Mechanics in Phase Space" (World Scientific, Singapore, 2005) {{ردمك|978-981-238-384-6}}.</ref>

هناك عدة طرق مختلفة لتمثيل التوزيع متعلقة ببعضها.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير1=Cohen|الأول1=L.|عنوان=Generalized Phase-Space Distribution Functions|doi=10.1063/1.1931206|صحيفة=Journal of Mathematical Physics|المجلد=7|العدد=5|صفحات=781–786|سنة=1966|pmid=|pmc=|bibcode=1966JMP.....7..781C}}</ref><ref name="AgarwalWolf1970b">G. S. Agarwal and E. Wolf "Calculus for Functions of Noncommuting Operators and General Phase-Space Methods in Quantum Mechanics. II. Quantum Mechanics in Phase Space", ''Phys. Rev. D'','''2''' (1970) pp. 2187–2205. {{doi|10.1103/PhysRevD.2.2187}}.</ref> أبرزها تمثيل فيغنر{{math|''W''(''x'', ''p'')}} المكتشف أوّلًا.<ref name="Wigner1932" /> تتضمن تمثيلات أخرى (مرتّبة تنازليًا حسب انتشارها في الكتب)؛ تمثيل غلوبر-سودارشان بي،<ref>E. C. G. Sudarshan "Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams", ''Phys. Rev. Lett.'','''10''' (1963) pp. 277–279. {{doi|10.1103/PhysRevLett.10.277}}.</ref><ref>R. J. Glauber "Coherent and Incoherent States of the Radiation Field", ''Phys. Rev.'','''131''' (1963) pp. 2766–2788. {{doi|10.1103/PhysRev.131.2766}}.</ref> وتمثيل هوسيمي<ref>Kôdi Husimi (1940). "Some Formal Properties of the Density Matrix", ''Proc. Phys. Math. Soc. Jpn.'' '''22''': 264–314.</ref> كيو وميهتا وريفيير وتمثيلات بورن-جوردان.<ref>G. S. Agarwal and E. Wolf "Calculus for Functions of Noncommuting Operators and General Phase-Space Methods in Quantum Mechanics. I. Mapping Theorems and Ordering of Functions of Noncommuting Operators", ''Phys. Rev. D'','''2''' (1970) pp. 2161–2186. {{doi|10.1103/PhysRevD.2.2161}}.</ref><ref>K. E. Cahill and R. J. Glauber "Ordered Expansions in Boson Amplitude Operators", ''Phys. Rev.'','''177''' (1969) pp. 1857–1881. {{doi|10.1103/PhysRev.177.1857}}; K. E. Cahill and R. J. Glauber "Density Operators and Quasiprobability Distributions", ''Phys. Rev.'','''177''' (1969) pp. 1882–1902. {{doi|10.1103/PhysRev.177.1882}}.</ref> تفيد هذه البدائل عندما يأخذ الميكانيكا الهاملتوني شكلًا معيّنًا، مثل ترتيب طبيعي لتمثيل غلوبر-سودارشان بي. باعتبار أن تمثيل فيغنر هو الأكثر شيوعًا، سيلتزم به هذا المقال إلا في حال تطرّق الحديث عن تمثيل آخر.

يمتلك توزيع فضاء الطور خصائص شبيهة بكثافة الاحتمال في فضاء طور ثنائي البعد. على سبيل المثال، هو حقيقي القيمة على عكس دالة الموجة العقدية المركبة عامّةً. يمكننا فهم احتمال الوقوع بين فاصل موضعي، على سبيل المثال، عبر تكامل دالة فيغنر على كل العزوم ومواضع الفصل:

<math>\operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b \int_{-\infty}^{\infty} W(x, p) \, dp \, dx.</math>

في حالة كون {{math|''Â''(''x'', ''p'')}} مشغلًا يمثل جسمًا مرصودًا، يمكن توزيعه على فضاء طور ليكوّن {{math|''A''(''x'', ''p'')}} عبر تحويل فيغنر. على العكس، يمكن استعادة هذا المشغل عبر تحويل ويل.

إن القيمة المتوقعة للمرصود المتعلق بتوزيع فضاء الطور هي:<ref name="Moyal1949" /><ref>M. Lax "Quantum Noise. XI. Multitime Correspondence between Quantum and Classical Stochastic Processes", ''Phys. Rev.'','''172''' (1968) pp. 350–361. {{doi|10.1103/PhysRev.172.350}}.</ref>

<math>\langle \hat{A} \rangle = \int A(x, p) W(x, p) \, dp \, dx.</math>

هناك نقطة مهمة؛ بالرغم من التشابه الشكلي فإن {{math|''W''(''x'', ''p'')}} ليس توزيع احتمال مشتركًا حقيقيًا، لأن المناطق الواقعة تحته لا تمثّل حالات متنافية تبادليًا، كما هو مطلوب في [[نظرية الاحتمال]] البديهية الثالثة. علاوة على ذلك، يمكنها عمومًا أخذ قيمة سالبة حتى ضمن حالات تامّة بحتة، مع استثناء للحالات المتماسكة التي تنتهك فرضية الاحتمال البديهية الأولى.

يمكن إثبات هذه القيم السالبة على كونها صغيرة: إذ لا يمكنها التوسع إلى مناطق مدمجة أكثر من بضع ''{{mvar|ħ}}''، وبالتالي تخفي في الحد التقليدي حد التطابق. وهي محمية بموجب مبدأ عدم اليقين، والذي لا يسمح بتوضع دقيق ضمن مناطق فضاء الطور الأصغر من ''{{mvar|ħ}}''، وبذلك تجعل هكذا «احتمالات سالبة» أقل تناقضًا. إذا كان من الواجب تفسير الجانب الأيسر من المعادلة على أنه قيمة توقّع في [[فضاء هيلبرت]] بخصوص مشغّل ما، وحسب مضمون [[بصريات الكم]]، تعرف هذه النظرية بـ نظرية التكافؤ البصري.

تسعى مقاربة فضاء طور بديل لميكانيكا الكم إلى إيجاد [[دالة موجية|دالة موجة]] (ليس فقط كثافة شبه احتمالية) على فضاء طور، عادةً عن طريق تحويل سيغال-بارغمان. لتكون متوافقة مع مبدأ عدم اليقين، لا يمكن لدالة موجة فضاء الطور أن تكون دالة اعتباطية، وإلا فإنها ستتموضع ضمن منطقة صغيرة في فضاء الطور. خلافًا لذلك، فإن تحويل سيغال هو [[دالة تامة الشكل]] <math>x + ip</math>. هناك كثافة شبه احتمالية تتعلق بدالة موجة فضاء الطور؛ وهي تمثيل هوسيمي كيو لموضع دالة الموجة.

== الجداء النجمي ==
إن المؤثر الأساسي الثنائي اللاتبادلي في صياغة فضاء الطول الذي يحل محل مؤثر الجداء القياسي هو الجداء النجمي ممثًلا برمز النجمة <small>★</small>.<ref name="Groenewold1946" /> يمتلك كل تمثيل لتوزيع فضاء الطور جداء نجميًا مميزًا مختلفًا. لتثبيت الفكرة، تقتصر هذه المناقشة على الجداء النجمي المتعلق بتمثيل فيغنر-ويل.
 
لسهولة الاصطلاح، سنعتمد مفهوم المشتقات اليسرى واليمنى. للدالتين <math>f</math> و <math>g</math> تحدد كلتا الاشتقاقات اليمنى واليسرى كالتالي:

 <math>
\begin{align}
f \overleftarrow {\partial}_x g & = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g \\[5pt]
f \overrightarrow{\partial}_x g & = f \cdot \frac{\partial g}{\partial x}.
\end{align}
</math>
 
وتكون المعادلة التفاضلية للجداء النجمي:

 <math>f ~ \star ~ g = f \, \exp{\left( \frac{i \hbar}{2} \left(\overleftarrow {\partial }_x
\overrightarrow{\partial }_p-\overleftarrow{\partial }_p \overrightarrow {\partial }_x \right) \right)} \, g</math>
 
إذ يمكن تمثيل عبارة دالة القوة كسلسلة أسّية. تسمع علاقات تفاضلية إضافية<ref>G. Baker, “Formulation of Quantum Mechanics Based on the Quasi-probability Distribution Induced on Phase Space,” ''Physical Review'', '''109''' (1958) pp.&nbsp;2198–2206. {{doi|10.1103/PhysRev.109.2198}}</ref> بكتابة ذلك مع تغير عبارة كل من الدالتين <math>f</math> و <math>g</math>:

 <math>\begin{align}
(f \star g)(x,p) &= f\left(x+\tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow {\partial }_{p} , p - \tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow {\partial }_{x}\right) \cdot g(x,p) \\
&= f(x,p) \cdot g\left(x -\tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{p} , p + \tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{x}\right) \\
&= f\left(x +\tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow{\partial }_p, p\right) \cdot g\left(x -\tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_p, p\right) \\
&= f\left(x , p - \tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow{\partial }_x\right) \cdot g\left(x , p + \tfrac{i \hbar}{2}\overleftarrow{\partial }_x\right).
\end{align}</math>
 
ويمكن تحديد الجداء النجمي بصيغة التفاف تكاملي، بالأخص عبر [[تحويل فورييه]]:

 <math>(f \star g)(x,p) = \frac{1}{\pi^2 \hbar^2} \, \int f(x+x',p+p') \, g(x+x'',p+p'') \, \exp{\left(\tfrac{2i}{\hbar}(x'p''-x''p')\right)} \, dx' dp' dx'' dp'' ~.</math>
 
وبذلك تنتج لدينا دالة زائدية<ref name="ZFC2005" /> حسب غاوس:

 <math>
\exp \left (-{a } (x^2+p^2)\right ) ~ \star ~
\exp \left (-{b} (x^2+p^2)\right ) = {1\over 1+\hbar^2 ab}
\exp \left (-{a+b\over 1+\hbar^2 ab} (x^2+p^2)\right ) ,
</math>
 
أو

 <math>
 \delta (x) ~ \star ~ \delta(p) = {2\over h} 
\exp \left (2i{xp\over\hbar}\right ) ,
</math>
 
يعرف توزيع طاقة الحالة الكمية بحالة ستارجن أو ★-حالة جن أو دوال ستارجن أو ★-دوال جن، وتعرف الطاقات اللاحقة بقيم ستارجن أو ★-قيم جن. تُحل هذه الدوال بصورة متناظرة إلى [[معادلة شرودنغر]] المستقلة زمنيًا، عبر معادلة ★-قيمة جن:<ref name="ZFC2005" /><ref name="CFZ1998">{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير1=Curtright|الأول1=T.|الأخير2=Fairlie|الأول2=D.|الأخير3=Zachos|الأول3=C.|عنوان=Features of time-independent Wigner functions|doi=10.1103/PhysRevD.58.025002|صحيفة=Physical Review D|المجلد=58|العدد=2|صفحات=025002|سنة=1998|pmid=|pmc=|arxiv=hep-th/9711183|bibcode=1998PhRvD..58b5002C}}</ref>

 <math>H \star W = E \cdot W,</math>
 
حيث ''{{mvar|H}}'' هاملتونية، معادلة فضاء طور مجرّدة وغالبًا مطابقة للميكانيك الهاملتوني التقليدي.

== تطور الزمن ==
يُعطى تطور الزمن في توزيع فضاء الطور عبر تعديل كمومي لمبرهنة ليوفيل. تنتج هذه الصيغة الرياضية عن تطبيق تحويل فيغنر على نسخة مصفوفة الكثافة من [[مصفوفة الكثافة|معادلة ليوفيل الكمومية]]،<ref name="Moyal1949" /><ref name="AgarwalWolf1970b" /><ref>C. L. Mehta "Phase‐Space Formulation of the Dynamics of Canonical Variables", ''J. Math. Phys.'','''5''' (1964) pp. 677–686. {{doi|10.1063/1.1704163}}</ref> معادلة فون نيومان.
 
في أي تمثيل لتوزيع فضاء الطور مع الجداء النجمي التابع له:
 
<math>\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{1}{i \hbar} \left(f \star H - H \star f \right),</math>
 
أو إلى دالة فيغنر في الخصوص:
 
<math>\frac{\partial W}{\partial t} = -\{\{W,H\}\} = -\frac{2}{\hbar} W  \sin \left ( {\frac{\hbar }{2} (\overset{\leftarrow}{\partial_x}
\overset{\rightarrow}{\partial_p}-\overset{\leftarrow}{\partial_p}\overset{\rightarrow}{\partial_x})} \right ) 
\  H =-\{W,H\} + O(\hbar^2),</math>
 
<nowiki>حيث {{</nowiki>{{,}}<nowiki>}} هو قوس مويال، تحويل فيغنر للمبدّل الكمومي، بينما { , } هو قوس بواسون التقليدي.</nowiki><ref name="Moyal1949" />
 
يعطي ذلك صورة موجزة عن مبدأ التناظر: تُخفض هذه المعادلة بشكل واضح إلى معادلة ليوفيل الكلاسيكية في النهاية <math>\hbar \longrightarrow 0</math>. في الملحق الكمومي للتدفق، لا تُحفظ كثافة النقاط في فضاء الطور؛ يظهر طيف الاحتمال متنشرًا وقابلًا للانضغاط. يعد مفهوم المسار الكمومي قضية حساسة هنا.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|مؤلف=M. Oliva, D. Kakofengitis, and O. Steuernagel|سنة=2018|عنوان=Anharmonic quantum mechanical systems do not feature phase space trajectories|صحيفة=Physica A|المجلد=502|صفحات=201–210|doi=10.1016/j.physa.2017.10.047|bibcode=2018PhyA..502..201O|arxiv=1611.03303}}</ref>
 
نظرًا إلى القيود التي وضعها [[مبدأ الريبة|مبدأ عدم اليقين]] على التموضع، نفى [[نيلز بور]] بشكل قاطع الوجود الفيزيائي لهكذا مسارات على النطاق الميكروسكوبي. عن طريق المسارات الشكلية لفضاء الطور، يمكن حل مشكلة الزمن لدالة فيغنر بصرامة باستخدام طريقة تكامل المسار<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|doi=10.1016/0375-9601(91)90352-9|عنوان=A new type of phase-space path integral|صحيفة=Physics Letters A|المجلد=153|العدد=1|صفحات=5–11|سنة=1991|الأخير1=Marinov|الأول1=M.S.|bibcode=1991PhLA..153....5M}}</ref> (المسار التكاملي) وطريق الخصائص الكمومية،<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|doi=10.1063/1.2735816|عنوان=Weyl's symbols of Heisenberg operators of canonical coordinates and momenta as quantum characteristics|صحيفة=Journal of Mathematical Physics|المجلد=48|العدد=5|صفحات=052107|سنة=2007|الأخير1=Krivoruchenko|الأول1=M. I.|الأخير2=Faessler|الأول2=Amand|bibcode=2007JMP....48e2107K|arxiv=quant-ph/0604075}}</ref> على كل حال، هناك عقبات عملية شديدة تواجه كلتا الحالتين.

== مراجع ==
{{مراجع|2}}

{{ميكانيكا الكم}}
{{شريط بوابات|ميكانيكا الكم|الفيزياء}}

[[تصنيف:أساسيات فيزياء الكم]]
[[تصنيف:ميكانيك هاملتوني]]
[[تصنيف:ميكانيكا الكم]]
[[تصنيف:هندسة تماسكية]]