عرض مصدر صياغة رياضية لميكانيكا الكم

{{مقدمة ميكانيكا الكم}}

أهم ما يميز '''الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم''' عن الصياغات الرياضية للنظريات السابقة لها هو اعتمادها على بنى رياضية مجردة، مثل [[فضاء هيلبرت|فضاء هلبرت]] و[[مؤثر خطي|المؤثرات]] على هذه الفضاءات.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير1=Sellier|الأول1=Jean Michel|عنوان=A signed particle formulation of non-relativistic quantum mechanics|صحيفة=Journal of Computational Physics|تاريخ=2015|المجلد=297|صفحات=254–265|doi=10.1016/j.jcp.2015.05.036|arxiv = 1509.06708 |bibcode = 2015JCoPh.297..254S }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Solem|الأول=J. C.|الأخير2=Biedenharn|الأول2=L. C.|سنة=1993|عنوان=Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example|صحيفة=Foundations of Physics|المجلد=23|العدد=2|صفحات=185–195|مسار= https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01883623|bibcode = 1993FoPh...23..185S |doi = 10.1007/BF01883623 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190510144602/https://link.springer.com/article/10.1007/BF01883623|تاريخ أرشيف=2019-05-10}}</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=D2Xs8NUKecAC&pg=PA277&lpg=PA277&dq=mathematical+formulation+of+quantum+mechanics Mathematics of classical and quantum physics]; Courier Dover Publications, 1992. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200126110407/https://books.google.com/books?id=D2Xs8NUKecAC&pg=PA277&lpg=PA277&dq=mathematical+formulation+of+quantum+mechanics |date=26 يناير 2020}}</ref> العديد من هذه البنى لم تكن موجودة قبل بداية القرن العشرين. في المفهوم العام اشتقت هذه البنى واقتبست من [[تحليل دالي|التحليل الدالي]], وهو موضوع رياضي بحت تتطور بالموازاة مع [[ميكانيكا الكم|ميكانيك الكم]] وتأثر به ليلبي احتياجاته. باختصار فإن الكميات الفيزيائية مثل [[طافة|الطاقة]] و[[زخم (توضيح)|الزخم]] لم تعد تعتبر [[دالة|دوالا رياضية]] على بعض [[فضاء الطور|فضاءات الطور]]، لكن [[مؤثر (فيزياء)|مؤثرات]] على هذه الدوال.

هذه الصياغة لميكانيكا الكم والتي تدعى [[تكميم قانوني|التكميم القانوني]] canonical quantization، استمر قيد الاستعمال حتى اليوم، وما زال يشكل أساس الحسابات [[منذ البدء|الألفباء-بدئية]] ab-initio في الفيزياء الذرية والجيئية وفيزياء الحالة الصلبة.

في قلب هذا الوصف تتواجد فكرة الحالة الكمومية ''quantum state'' المختلفة جذريا عن النماذج السابقة للواقع الفيزيائي. ففي حين أن الرياضيات تشكل وصفا كاملا وتقوم بحساب كافة الكميات التي يمكن قياسها تجريبيا، فإن هناك حدودا لما يمكن للملاحظ أن يقيسه أو يرصده تجريبيا (هذه الحدود متضمنة داخل نظرية الكم ذاتها وهذا ما يميزها عن غيرها من النظريات الفيزيائية). أول من صرح بهذه المحدودية القياسية كان [[علاقات هايزنبرغ لعدم التعيين|هايزنبرغ]] مثبتا فكرته عن طريق [[تجربة فكرية]] thought experiment، تم تمثيلها رياضيا عن طريق [[لا تبديلية]] non-commutativity المقيسات الكمومية quantum observables.

قبل نشوء ميكانيكا الكم كنظرية مستقلة، كانت الرياضيات المستعملة في الفيزياء تقتصر على [[هندسة تفاضلية|الهندسة التفاضلية]] و[[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]]، و[[نظرية الاحتمال]]ات المستعملة في [[ميكانيكا إحصائية|الميكانيك الإحصائي]].

المفاهيم الهندسية تلعب دورا أساسيا في أول نوعين من الرياضيات (الهندسة التفاضلية والمعادلات التفاضلية) لذلك كانت نظريتي النسبية لآينشتاين نظريات هندسية بالمفام الأول تعتمد على مفاهيم هندسية، لكن فينومينولوجيا ميكانيكا الكم بدأت بالظهور بين [[1895]] و[[1915]], واستمرت لمدة 10 أو خمسة عشر عاما قبل ظهور النظرية الكمومية (حوالي [[1925]]) وبقي الفيزيائيون خلال هذه المدة يفكرون ضمن مصطلحات ومفاهيم ما يمكن تسميته [[فيزياء كلاسيكية|الفيزياء الكلاسيكية]]، وأيضا باستخدام نفس المفاهيم الرياضية (المحددة والتي تتصف بالكثير من الهندسية والتحديد المكاني). أحد أبرز الأمثلة على هذه الحالة هي قاعدة [[تكميم سومرفيلد-ويلسون-إيشيوارا]] Sommerfeld-Wilson-Ishiwara quantization، التي صيغت كلية بناء على فضاء الطور الكلاسيكي.

== تاريخ الشكلانية ==
=== النظرية الكمومية القديمة والحاجة لرياضيات حديثة ===

{{مفصلة|نظرية الكم القديمة}}

في عقد 1890، قام [[ماكس بلانك]] باشتقاق [[إشعاع حراري|طيف الجسم الأسود]] وحل مشكلة [[الكارثة فوق البنفسجية]] عن طريق افتراض غير تقليدي أبدا وهو انه عندما يتآثر [[إشعاع|الإشعاع]] مع [[مادة|المادة]]، يمكن أن يتم تبادل الطاقة بشكل وحدات منفصلة صغيرة تدعى [[كم (فيزياء)|الكموم]] quanta.
كما افترض بلانك وجود تناسبية طردية بين تواتر الإشعاع وكم الطاقة عند هذه التواتر. ثابت التناسب هذا تم إطلاق اسم عليه : [[ثابت بلانك]] ورمزه ''h'' تخليدا لاسم ماكس بلانك،
في عام [[1905]]، شرح آينستاين عدة خواص ومميزات [[ظاهرة كهروضوئية|للتأثير الكهرضوئي]] photoelectric effect بافتراض أن وجود كم للضوء (حسب تفسير بلانك) وهذه الكمات الضوئية تشكل جسيمات حقيقية تدعى [[فوتون|الفوتونات]].

[[ملف:Bohr atom model (mul).svg|تصغير|A sketch to justify [[مطيافية]] observations for hydrogen atoms ]]

في عام [[1913]]، قام [[نيلز بور]] بحساب طيف [[ذرة الهيدروجين]] بمساعدة [[نموذج بور|نموذج بور للذرة]] وفيه يكون [[إلكترون|الإلكترون]] يحوم حول [[بروتون]] ضمن مجموعة منفصلة ومحددة من المدارات (مفهوم المدار كان كلاسيكيا في هذا النموذج)، كان تحديد المدارات المسموح للإلكترون بالدوران فيها يحدد في نموذج بور بأن يكون [[زخم زاوي|الزخم الزاوي]] مضاعف صحيح لثابت بلانك.يمكن للالكترونات أيضا أن تقوم [[قفزة كمومية|بقفزات كمومية]] quantum leap من مدار لآخر، باعثا أو ممتصا كما من الطاقة بشكل ضوء يوافق التردد (التواتر) المناسب.

كل هذه التطورات كانت تحدي كبير للفيزيائيين النظريين. حاول [[تكميم بور-سومرفيلد|بور وسومرفيلد]] تعديل [[ميكانيكا كلاسيكية|الميكانيكا الكلاسيكية]] لاستنتاج نموذج بور بناء على المبادئ الأولية للفيزياء. وكان افتراضاهم أنه من بين جميع المدارت الكلاسيكية التي يمكن لجملة كمومية في [[فضاء طوري|فضائها الطوري]] أن تتبعها، لا يتم السماح إلا لمدارت تحصر مساحات تشكل مضاعفات لثابت بلانك. أجريت تطويرات عديدة على هذه النسخة من الشكلانية أهمها ما يدعى [[تكميم سومرفيلد-ويلسون-إيشيوارا]]. ومع ان نموذج بور استطاع تفسير طيف ذرة الهيدروجين البسيطة فإنه لم ستطع التنبؤ بطيف ذرة اعقد بقليل وهي ذرة [[هيليوم|الهليوم]] (وهي [[مسألة الأجسام الثلاثة|مسألة أجسام ثلاثة]] غير القابلة للحل). وبقيت الطبيعة الرياضية لميكانيك الكم غير واضحة.

في عام [[1923]]، [[لويس دي بروي|لويس دي برولي]] افترض مبدأ [[ازدواجية موجة جسيم|مثنوية موجة-جسيم]] معمما هذا المبدأ ليس على الفوتونات فقط بل على الالكترونات أي أن الإلكترون يسلك أيضا سلوكا مزدوجا : جسيميا وموجيا، بل إن هذه المبدأ أو هذه الطبيعة تنطبق على كل جملة فيزيائية فأي موجة تمتلك طبيعة جسيمية وكل جسيم أو جسم مادي يمتلك طبيعة موجية.

تطور الوضع كثيرا فيما بعد بين الأعوام 1925-1930، من خلال العمل الرياضي التأسيسي [[إرفين شرودنغر|لإرفين شرودنغر]] و[[فيرنر هايزنبيرغ|فيرنر هايزنبرغ]] إضافة لأعمال [[جون فون نيومان]]، [[هيرمان ويل]]، [[بول ديراك]]، وأصبح من الممكن توحيد عدة طرق ومقاربات بدلالة مجموعة جديدة وثورية من الأفكار حول الفيزياء الكمومية.

=== النظرية الكمومية الحديثة ===

قام [[إرفين شرودنغر]] بتقديم [[ميكانيك موجي|الميكانيكا الموجية]] التي تعتبر المحاولة الأولى لاعتبار التكميم الملاحظ للطيف الذري بمساعدة الصياغة الرياضية الدقيقة لمبدأ دي برولي في مثنوية الموجة/جسيم. وضع شرودنغر [[معادلة شرودنغر|معادلة]] تحمل اسمه حاليا، لوصف الموجة التي ترافق الإلكترون الموجود في الذرة وفقا لقاعدة دي برولي، وشرح تكميم الطاقة عن طريق حقيقة معروفة جدا وهي أن المؤثرات التفاضلية من النوع الذي يظهر في معادلته تملك طيفا منفصلا discrete spectrum. لكن شرودنغر نفسه لم يدرك تماما في البدء الطبيعة الاحتمالية الأساسية لميكانيك الكم (كما تنص عليها معادلته), فقد اعتقد أن دالة الموجة (مربع سعة الموجة) يمثل ما يدعى [[كثافة الشحنة]] charge density للجسم المتوزع على امتداد حجم فراغي ممتد، يمكن أن يكون غير محدود.
كان [[ماكس بورن]] أول من بين التفسير الاحتمالي لدالة الموجة (مربع السعة) على أنه التوزيع الاحتمالي لموضع [[جسيم نقطي|الجسيم النقطي]]. بنوع من التقريب، يمكن تشبيه [[دالة موجية|دالة الموجة]] لشرودنغر [[معادلة هاملتون-جاكوبي|بمعادلة هاملتون-جاكوبي]] الكلاسيكية.

== افتراضات النظرية الكمومية ==

الخلاصة التالية للإطار الرياضي لنظرية الكم يمكن أن يعزى جزئيا لافتراضات postulates فون نيومان.

* كل [[نظام فيزيائي]] يترافق مع فضاء هلبرت [[عقدية|عقدي]] complex (مركب) [[قابل للفصل]] separable ندعوه ''H'' مزود بجداء داخلي inner product <math>\langle\phi\mid\psi\rangle</math>.

الفضاءات الجزئية أحادية البعد أو ما يدعى بالشعاع Ray ضمن فضاء هلبرت المذكور ''H'' تترافق مع حالات للنظام الفيزيائي (الجملة الفيزيائية). بصياغة أخرى، الحالات الفيزيائية تميز هنا [[صف تكافؤ|بصفوف تكافؤ]] من المتجهات vectorsأحادية البعد في ''H''، حيث كل متجهين يمثلان نفس الحالة إذا كان الفرق بينهما هو في عامل الطور phase factor فقط.

''الانفصالية'' تشكل فرضية hypothesis ملائمة رياضيا، تتوافق مع التوجه الفيزيائي بأن عدد جيد من الملاحظات (القياسات) كاف لتحديد حالة الجملة أو النظام.

* فضاء هلبرت لنظام مركب composite system هو الجداء التينسوري لفضاء هلبرت Hilbert space tensor product لفضاءات الحالة المترافقة مع أنظمة المكونات component systems.

من أجل النظام اللانسبي المؤلف من عدد محدود من الجزيئات المتمايزة distinguishable، تكون أنظمة المكونات component systems عبارة عن أجزاء فردية individual particles.

* التناظرات الفيزيائية تعمل على فضاء هلبرت للحالات الكمومية [[الوحدوية|بشكل وحدوي]] unitarily أو بشكل عكس-وحدوي antiunitarily (التناظر الفائق supersymmetry هنا موضوع آخر تماما)
* المقيسات observable الفيزيائية يمكن تمثيلها بمؤثرات ذاتية الانضمام self-adjoint operator معرفة بكثافة densely-defined على ''H'

: [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] (ضمن مفهوم نظرية الاحتمالات) لقيمة المقيس ''A'' لنظام يتمثل من خلال متجه وحدة
<math>\left|\psi\right\rangle\in H</math> هو
::<math>\langle\psi\mid A\mid\psi\rangle</math>

: عن طريق [[نظرية طيفية|النظرية الطيفية]] spectral theory، نستطيع مزاوجة [[توزيع احتمال]]ي مع القيم للمقيس ''A'' في أي حالة ψ.
يمكننا أيضا أن نظهر أن القيم الممكنة للمقيس ''A'' في أي حالة يجب أن تنتمي [[طيف معامل|لطيف]] المقيس ''A''.
في حالة خاصة عندما يكون ل''A'' طيف متقطع discrete spectrum، تكون القيم الممكنة ل ''A'' في أي حالة هي القيم الخاصة eigenvalue.

بشكل أكثر تعميما، يمكن تمثيل الحالة بما يدعى [[مصفوفة الكثافة|مؤثر كثافة]] density operator، وهو عبارة عن [[صف أثر]] trace class، مؤثر ذاتي الانضمام self-adjoint operator لاسالب nonnegative :
 
<math>\rho</math> ينظم ليكون الأثر 1.
القيمة المتوقعة ل ''A'' في الحالة <math>\rho</math> هي
::<math> \operatorname{tr}(A\rho)</math>
:إذا كان <math>\rho_\psi</math> هو الفضاء الجزئي الاسقاطي العمودي أحادي البعد ل ''H'' المقيس ب :
<math>\left|\psi\right\rangle</math>, عندئذ يكون :
::<math> \operatorname{tr}(A\rho_\psi)=\left\langle\psi\mid A\mid\psi\right\rangle</math>

مؤثرات الكثافة Density operators هي المؤثرات الموجودة في [[انغلاق محدب]] في مسقطات مستقلة (متعامدة) أحادية البعد
one-dimensional orthogonal projectors. وبالعكس، تعتبر المسقطات المستقلة أحادية البعد [[نقطة (توضيح)|نقطة]] extreme point لمجموعة من مؤثرات الكثافة. يدعو الفيزيائيون عادة المسقطات المستقلة أحدية البعد «حالات صرفة» ''pure states'' أما غيرها من مؤثرات الكثافة فتدعى حالات مختلطة ''mixed states''.

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{تحليل دالي}}
{{ميكانيكا الكم}}
{{شريط بوابات|ميكانيكا الكم|رياضيات|فيزياء}}

[[تصنيف:تاريخ الفيزياء]]
[[تصنيف:تحليل دالي]]
[[تصنيف:فيزياء رياضية]]
[[تصنيف:ميكانيكا الكم]]