عرض مصدر زمرة تبديلات

{{نظرية الزمر}}

[[ملف:Rubik's cube.svg|تصغير|يسار|الأشكال التي يأخذها [[مكعب روبيك]] تكون زمرة.]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''زمرة تبديلات''' {{إنج|Permutation group}} هي [[زمرة (رياضيات)|زمرة]] G عناصرها [[تبديل (رياضيات)|تبديلات]] [[مجموعة (رياضيات)|لمجموعة]] ما M و[[زمرة (رياضيات)|العملية المعرِفة]] للزمرة هي تركيب هؤلاء التبديلات في G .<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://psh.techlib.cz/skos/PSH7288 | عنوان = معلومات عن زمرة تبديلات على موقع psh.techlib.cz | ناشر = psh.techlib.cz|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191231001836/http://psh.techlib.cz/skos/PSH7288|تاريخ أرشيف=2019-12-31}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133731 | عنوان = معلومات عن زمرة تبديلات على موقع zthiztegia.elhuyar.eus | ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191231001838/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133731|تاريخ أرشيف=2019-12-31}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/PermutationGroup.html | عنوان = معلومات عن زمرة تبديلات على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190402090430/http://mathworld.wolfram.com/PermutationGroup.html | تاريخ أرشيف = 2 أبريل 2019 }}</ref>
هؤلاء التبديلات هن [[تقابل (دالة)|تقابلات]] من المجموعة M إلى المجموعة M نفسها، لا أقل ولا أكثر. زمرة جميع التبديلات المعرفة على مجموعة ما M، هي [[زمرة متناظرة|الزمرة المتماثلة]] ل M، والتي عادة ما يرمز إليها ب Sym(M). يشير المصطلح '''''زمرة تبديلات''''' إذن، إلى [[زمرة جزئية]] من الزمرة المتماثلة.

نظرا إلى [[مبرهنة كايلي]]، كل زمرة هي في [[تساوي الشكل|تساوٍ للشكل]] مع زمرة تبديلاتٍ ما.

الطريقة التي تُبدل بها عناصر زمرة تبديلات ما عناصر مجموعة ما مع بعضها البعض تسمى [[فعل زمرة (نظرية الزمر)|فعل الزمرة]].

== الرموز المستعملة==
{{مفصلة|تبديل (رياضيات)#طريقة كتابة التبديلة والرموز المستعملة}}

: <math> \sigma = \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
\sigma(x_1) &\sigma(x_2) & \sigma(x_3) & \cdots& \sigma(x_n)\end{pmatrix}.</math>

: <math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix};</math>

: <math>\sigma=\begin{pmatrix}
3 & 2 & 5 & 1 & 4 \\
4 & 5 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}.</math>

==تركيب تبديلتين==

{{مفصلة|تبديل (رياضيات)}}

:<math>P = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 4 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}\quad \text{  و  } \quad Q = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},</math>
الجداء ''QP'' هو:
:<math>QP =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 4 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 4 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\4 & 2 & 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}.</math>

==أمثلة==

لتكن المجموعة التالية ''G''<sub>1</sub> لتبديلات المجموعة ''M'' = {1,2,3,4}:

* ''e'' = (1)(2)(3)(4) = (1)، هذه هي التبديلة المطابقة. إنها تربط كل عنصر بنفسه.
* ''a'' = (1 2)(3)(4) = (1 2)، هذه التبديلة تربط الواحد باثنين والاثنين بواحد وتترك الثلاثة والأربعة ثابتتين.
* ''b'' = (1)(2)(3 4) = (3 4)، هذه التبديلة تشبه التبديلة السابقة. إنها تترك الواحد والاثنين ثابتين وتربط الثلاثة بأربعة، والأربعة بثلاثة.
* ''ab'' = (1 2)(3 4)، هذه التبديلة هي تركيب للتبديلتين السابقتين. إنها تربط الواحد باثنين والاثنين بواحد والثلاثة بأربعة والأربعة بثلاثة.

==مبرهنة كايلي==

{{مفصلة|مبرهنة كايلي}}

==التاريخ==
{{مفصلة|تاريخ نظرية الزمر}}

انبثقت دراسة [[زمرة (رياضيات)|الزمر]] من فهم لزمر التبديلات. [[تبديل (رياضيات)|التبديلات]] ذاتها، درسن بشكل مكثف من طرف عالم الرياضيات الفرنسي [[جوزيف لوي لاغرانج]] في عام 1770، أثناء عمل له حول الحلحلة الجبرية للمعادلات الحدودية.
تطور هذا الموضوع، وفي منتصف القرن التاسع عشر، وُجدت نظرية متطورة بشكل جيد لنظرية التبديلات، كان قد صنفها [[كامي جوردان]] في كتاب له عنوانه ''كتاب التبديلات والمعادلات الجبرية'' (''Traité des Substitutions et des Équations Algébriques'') نشره في عام 1870. اعتمد كتاب جوردان بدوره على الأوراق التي تركها [[إيفاريست غالوا]] في عام 1832.

انظر إلى [[ويليام برنسايد]].

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{جبر تجريدي}}
{{شريط بوابات|جبر|رياضيات}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:زمر تبديلات]]
[[تصنيف:زمر منتهية]]