عرض مصدر رباعي دائري

{{عن|مُضلَّعٌ رباعي تُطلق عليه صفة دائري||دائري (توضيح)}}
[[ملف:Cyclic_quadrilateral.svg|بديل=|تصغير|رُباعَيَّاتٌ دَائريَّةٌ مُتنوِّعَةٌ. يَظهَرُ من أبرزها: [[مستطيل|المُستَطِيلُ]] و[[مربع|المُرَبَّعُ]] و[[شبه منحرف متساوي الساقين|شِبهُ المُنحَرِفِ مُتطابِقُ الساقينِ]].<nowiki/><nowiki/><nowiki/><nowiki/><nowiki/><nowiki/>]]
في [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]]، '''الرُّباعيُّ الدَّائرِيُّ''' أو '''رباعي الأضلاع الدائري'''،{{للهامش|1}} هو [[مضلع|مُضلَّعٌ]] [[رباعي أضلاع|رُباعيّ]] تُوجَدُ [[دائرة|دائرةٌ]] تمرُّ بجميعِ [[رأس (هندسة)|رؤوسه]].<ref name=":532" group="ِ" /><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Kiper|الأول=Gökhan|الأخير2=Söylemez|الأول2=Eres|تاريخ=2012-05-01|عنوان=Homothetic Jitterbug-like linkages|مسار=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0094114X11002321|صحيفة=Mechanism and Machine Theory|المجلد=51|صفحات=145–158|doi=10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20190528080730/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0094114X11002321|تاريخ أرشيف=28 مايو 2019}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Sastry|الأول=K.R.S.|عنوان=Brahmagupta quadrilaterals|صحيفة=Forum Geometricorum|المجلد=2|صفحات=167–173|سنة=2002|مسار=https://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200221.pdf|تنسيق=PDF|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20180422180842/http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200221.pdf|تاريخ أرشيف=22 أبريل 2018}}</ref><ref>[http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170830032311/http://imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|date=30 أغسطس 2017}}</ref> تُسمَّى الدائرة المارة برؤوس الرباعي «<nowiki/>[[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]]» ويُقال عن أي نقاطٍ تقعُ عليها: [[نقاط مشتركة بدائرة]]. غالباً ما يُصنّف الرباعي الدائري على أنه [[مضلع محدب|مُحدَّب]]، إلا أنه قد يُصنّف أيضاً على أنَّهُ [[مضلع مركب|مُركَّبٌ]]، وتبقى الخصائص والمعادلات تنطبق عليه أيضاً.<ref group="ِ" name=":532"/>

جميعُ المثلثاتِ لها دائرةٌ مُحيطةٌ. إلا أنّه ليست جميعُ الرباعيات لها دوائر مُحيطة. فجميعُ [[معين (هندسة رياضية)|المُعيَّنات]] غير [[مربع|المربعة]] لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. إحدى أشهر توصيفات الرباعي الدائري هي أنَّ كُلَّ [[زاوية (توضيح)|زاويتين]] متقابلتين فيه [[زاويتان متكاملتان|مُتكاملتانِ]]، و[[شرط ضروري وشرط كاف|العكس صحيح]]. هناك رباعيات شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها [[مستطيل|المستطيل]] و[[شبه منحرف متساوي الساقين]]، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً. للرباعيات الدائرية نظريات خاصة تنطبق عليها مثل [[مبرهنة بطليموس|نظرية بطليموس]] ونظرية [[قوة نقطة|قوة النقطة]].

== حالاتٌ خاصَّةٌ ==
جميعُ [[مربع|المربعات]]، [[مستطيل|المستطيلات]]، [[شبه منحرف متساوي الساقين|أشباه المنحرف متطابقة الساقين]] و[[ضد متوازي أضلاع|أضداد متوازي الأضلاع]] رباعيات دائرية. بينما [[طائرة ورقية (هندسة رياضية)|الطائرة الورقية]] تُعدُّ دائريةً [[إذا وفقط إذا]] احتوت على [[زاوية قائمة|زاويتين قائمتين]]. يُختص الرباعي ثنائي المركز {{إنج|Bicentric quadrilateral}} على أنه [[رباعي أضلاع مماسي|رباعي مماسي]] ودائري. حيث أنَّ الرباع المماسي هو رباعي حاصرٌ لدائرة أي يمسَّها من الداخل من جميع الجهات. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي {{إنج|Ex-bicentric quadrilateral}} هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه. الرباعي التناغمي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.

== التوصيف والمبرهنات ==
{{مفصلة|قوة نقطة|مبرهنة بطليموس}}
[[ملف:Ptolemy_Theorem.svg|بديل=|تصغير|164x164بك|تربط مبرهنة بطليموس بين أطوال أضلاع الرباعي الدائري وقُطريه.]]
الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط [[علاقة تكافؤ|مُتكافئة]]، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها [[شرط ضروري وشرط كاف|شروطٌ كافية وضرورية]] أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً [[إذا وفقط إذا]]:<ref group="ِ" name=":532">{{استشهاد بكتاب|مسار=https://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|عنوان=رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول|تاريخ=1434هـ|موقع=الرياض|ناشر=دار الخريجي للنشر والتوزيع|تاريخ الوصول=21 سبتمبر، 2018م|الأخير=صابر|الأول=طارق|الأول2=دورين|الأخير2=أندريكا|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20191218230405/http://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|تاريخ أرشيف=2019-12-18}}</ref><ref name="Usiskin22">{{استشهاد|الأول1=Zalman|الأخير1=Usiskin|الأول2=Jennifer|الأخير2=Griffin|الأول3=David|الأخير3=Witonsky|الأول4=Edwin|الأخير4=Willmore|عنوان=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition|الفصل=10. Cyclic quadrilaterals|مسار الفصل=https://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63|سنة=2008|ناشر=IAP|isbn=978-1-59311-695-8|صفحات=63–65|سلسلة=Research in mathematics education}}</ref>

* تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
* وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه [[زاويتان متكاملتان|مُتكاملتان]].
* وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً: <math>\angle CAD = \angle CBD</math>)
* [[مبرهنة بطليموس|نظرية بطليموس]]: مجموع جداء كُلٌّ من ضلعيه المتقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه. (رياضياً: <math>\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}</math>)
<center>
{|
![[ملف:زوايا_محيطية_مركزية_مماسية.svg|بديل=|لاإطار|280x280بك]]
![[ملف:زاوية_خارجية_عن_رباعي_دائري.svg|بديل=|لاإطار|229x229بك]]
|-
!الزوايا في الرباعي الدائري المواجهة لإحدى قواعدة متساوية (بالأزرق)
!الزاوية الخارجة عن رباعي دائري تُساوي المقابلة لمكمِّلتها. وكُلُّ زاويتانِ متقابلتانِ فيه مُتكامِلتانِ.
|}
</center>

== نظرية قوة النقطة ==
{{مفصلة|قوة نقطة}}
ينطبقُ على الرُباعيِّ الدائريِّ نظرية قوة النقطة بالنسبة لدائرة:
<center>
{|
|[[ملف:SecantChordTheorem.svg|بديل=|لاإطار|262x262بك]]
|[[ملف:TangentChordTheorem.svg|بديل=|لاإطار|233x233بك]]
|-
|'''نظريَّتا قِطَعِ الوترِ والقاطع.'''
|'''نظرية قاطعِ التَّماسِّ.'''
|}
{| class="wikitable"
|+قوّةُ النُّقطتينِ <math>P_1, P_2</math> بالنسبة للرباعيِّ الدَّائريِّ <math>ABCD</math>:<ref name=":533">{{استشهاد بكتاب|مسار=https://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|عنوان=رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول|تاريخ=1434هـ|موقع=الرياض|ناشر=دار الخريجي للنشر والتوزيع|تاريخ الوصول=21 سبتمبر، 2018م|الأخير=صابر|الأول=طارق|الأول2=دورين|الأخير2=أندريكا|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200307092720/http://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|تاريخ أرشيف=2020-03-07}}</ref><ref name=":0">{{استشهاد بكتاب|عنوان=A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry|مؤلف1=Stefan Lozanovski|لغة=الإنجليزية|عمل=https://www.olympiadgeometry.com}}</ref>
!الاسم
!رياضياً
!النص
|-
|نظرية قِطَع الوتر
|<math>P_1B\cdot P_1D= P_1A \cdot P_1C</math>
|إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.
|-
|نظرية القاطع
|<math>P_2X\cdot P_2Y= P_2Z \cdot P_2W</math>
|إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.
|-
|نظرية قاطعُ التَّماسِ
|<math>PT^2 = PA\cdot PB</math>
|إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.
|}
</center>

== النتائج التحليليَّة ==
<center>
{| class="centered" cellspacing="0" cellpadding="2" border="1" style="text-align:center;"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |صيغ الرباعي الدائري [[مضلع بسيط|غير المُركَّب]] <math>ABCD</math>
|-
|{{يمين|[[نصف محيط|نصف المُحيط]]}}
|<math>s \, = \, \frac{a+b+c+d}{2}</math>
|-
! style="text-align:left" |{{يمين|[[صيغة براهماغوبتا|صيغة براهماغوبتا للمساحة]]}}
|<math>A \, = \, \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}</math>
|-
! style="text-align:left" |{{يمين|المساحة}}
|<math>A \, = \, \frac{e \cdot (ab+cd)}{4R}
= \frac{f \cdot (ad+bc)}{4R}</math>
|-
|{{يمين|[[ضلع قطري|أطوال الأقطار]]}}
|<math>e = \overline{AC}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\, , \, f=\overline{BD}=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} </math>
|-
|نصف قطر الدائرة المحيطة
|<math>R=\frac{1}{4A}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)},</math>
|}
</center>

=== المساحة ===
بحسب [[صيغة براهماغوبتا|صيغة مساحة براهماغوبتا]]، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: <math>a, b, c, d</math> و[[نصف محيط]]ه <math>s</math> حيث <math>S=\frac{a+b+c+d}{2}</math> بالصيغة الآتية:
<nowiki/><nowiki/><math display="block">A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>

=== نصف قطر الدائرة المحيطة ===

في [[القرن 15|القرن الخامس عشر الميلادي]]، استنتج العالم [[الهند]]ي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:<math display="block">R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}</math>

== هوامش ==
{{هامش|1}}. '''الرُّباعيُّ الدَّائرِيُّ'''<ref group="ِ"name="قاموس"/><ref group="ِ">{{استشهاد ويب|مسار= http://ldlp-dictionary.com/dictionaries/word/3314211/A%20New%20Illustrated%20Science%20Dictionary%20(En/Ar)/cyclic%20quadrilateral|عنوان=ترجمة (cyclic quadrilateral) في قاموس العلوم المصور الجديد|عمل= [[مكتبة لبنان ناشرون]]|تاريخ الوصول=10 مارس 2020|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200310131727/http://ldlp-dictionary.com/dictionaries/word/3314211/A%20New%20Illustrated%20Science%20Dictionary%20(En/Ar)/cyclic%20quadrilateral|تاريخ أرشيف=2020-03-10}}</ref><ref name=":532" group="ِ" /> أو '''رباعي أضلاع دائري'''<ref group="ِ">{{استشهاد بكتاب|محرر= إ. بوروفسكي وج. بورفاين وترجمه د. علي مصطفى بن الاشهر|عنوان= المعاجم الأكاديمية المتخصصة: معجم الرياضيات (انكليزي - فرنسي - عربي)|طبعة= الأولى
|صفحة= 156|مسار= https://cdn.fbsbx.com/v/t59.2708-21/89611357_507182073569960_4644197061137268736_n.pdf/%D9%82%D8%A7%D9%85%D9%88%D8%B3-%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA-%D8%B9%D8%B1%D8%A8%D9%89-%D8%A7%D9%86%D8%AC%D9%84%D9%8A%D8%B2%D9%89-%D9%81%D8%B1%D9%86%D8%B3%D9%89-%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B2%D8%A1-%D8%A7%D9%84%D8%A7%D9%88%D9%84-%D8%A7%D9%87%D8%AF%D8%A7%D8%A1-%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%A7%D8%B0-%D8%A7%D8%A8%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%8A%D9%85-%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AD%D9%85%D8%AF%D9%89..pdf?_nc_cat=103&_nc_sid=0cab14&_nc_ohc=ZwKsrNZAzisAX8Xrh6P&_nc_ht=cdn.fbsbx.com&oh=336c733c83e1446faac4f7f1f47a44e0&oe=5E700343&dl=1|سنة= 1995|ناشر= أكاديميا انترناشيونال|تاريخ الوصول= 15 مارس 2020|مكان= [[بيروت]]، [[لبنان]]|تنسيق= PDF| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200315160712/https://cdn.fbsbx.com/v/t59.2708-21/89611357_507182073569960_4644197061137268736_n.pdf/قاموس-رياضيات-عربى-انجليزى-فرنسى-الجزء-الاول-اهداء-الاستاذ-ابراهيم-الاحمدى..pdf?_nc_cat=103&_nc_sid=0cab14&_nc_ohc=ZwKsrNZAzisAX8Xrh6P&_nc_ht=cdn.fbsbx.com&oh=336c733c83e1446faac4f7f1f47a44e0&oe=5E700343&dl=1 | تاريخ أرشيف = 15 مارس 2020 }}</ref><ref group="ِ">{{استشهاد ويب|مسار= https://www.almaany.com/ar/dict/ar-en/cyclic-quadrilateral/?c=%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA|عنوان=ترجمة (cyclic quadrilateral) في موقع المعاني/رياضيات|عمل= [[قاموس المعاني]]|تاريخ الوصول=10 مارس 2020|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200310131725/https://www.almaany.com/ar/dict/ar-en/cyclic-quadrilateral/?c=%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA|تاريخ أرشيف=2020-03-10}}</ref> أو '''الشكل الرباعي الدائري'''<ref group="ِ">{{استشهاد ويب|مسار= https://www.almaany.com/ar/dict/ar-en/cyclic-quadrilateral/?c=%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA|عنوان=ترجمة (cyclic quadrilateral) في موقع المعاني|عمل= [[قاموس المعاني]]|تاريخ الوصول=10 مارس 2020|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200310131725/https://www.almaany.com/ar/dict/ar-en/cyclic-quadrilateral/?c=%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA|تاريخ أرشيف=2020-03-10}}</ref><ref group="ِ"name="قاموس">{{استشهاد ويب|مسار= http://www.alqamoos.org/?search_fulltext=cyclic%20quadrilateral%20&field_magal=All|عنوان=ترجمة (cyclic quadrilateral) في القاموس |عمل= موقع القاموس|تاريخ الوصول=10 مارس 2020|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200310131729/http://www.alqamoos.org/?search_fulltext=cyclic%20quadrilateral%20&field_magal=All|تاريخ أرشيف=2020-03-10}}</ref><ref group="ِ">{{استشهاد ويب|مسار= http://ldlp-dictionary.com/dictionaries/word/4965391/A%20New%20Dictionary%20of%20Scientific%20&%20Technical%20Terms%20(En/Ar)/cyclic%20quadrilateral|عنوان=ترجمة (cyclic quadrilateral) في القاموس الجديد للمصطلحات العلمية والتقنية|عمل= [[مكتبة لبنان ناشرون]]|تاريخ الوصول=10 مارس 2020|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200310131731/http://ldlp-dictionary.com/dictionaries/word/4965391/A%20New%20Dictionary%20of%20Scientific%20&%20Technical%20Terms%20(En/Ar)/cyclic%20quadrilateral|تاريخ أرشيف=2020-03-10}}</ref> {{إنج|Cyclic quadrilateral}} أو '''رباعي الأضلاع المحاط بدائرة''' أو '''رباعي الأضلاع المحوط''' أو '''رباعي الأضلاع المُرتسَم في دائرة''' {{إنج|Inscribed quadrilateral}}.

== انظر أيضًا ==
* [[دائرة]]
* [[نقاط مشتركة بدائرة]]
* [[دائرة محيطة]]
* [[مبرهنة براهماغوبتا]]
* [[مبرهنة بطليموس]]

== مراجع ==
=== باللغة الإنجليزية ===
{{مراجع|محاذاة=نعم}}

=== باللغة العربيَّة ===
{{مراجع|مجموعة=ِ}}

== وصلات خارجية ==

* (بالإنجليزية): [https://web.archive.org/web/20191209115918/https://www.mathalino.com/reviewer/derivation-formulas/derivation-formula-area-cyclic-quadrilateral اشتقاق صيغة مساحة الرباعي الدائري].
* (بالإنجليزية): [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml نظرية مراكز الدوائر الداخلية للرباعي الدائري].
{{روابط شقيقة}}
{{دائرة}}
{{مضلعات}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:أنواع رباعيات الأضلاع]]
[[تصنيف:رباعيات أضلاع]]
[[تصنيف:هندسة الدائرة]]