عرض مصدر رباعي أضلاع مماسي خارجي

{{مقالة غير مراجعة|تاريخ = ديسمبر 2021}}
[[ملف:Ex-tangential_quadrilateral.png|تصغير|400x400بك| شكل رباعي سابق مماس ''ABCD'' وحوله]]
في الهندسة الإقليدية، '''الرباعي المماسي السابق''' هو :[[مضلع محدب|رباعي محدب]] حيث تكون ''امتدادات'' [[رباعي أضلاع|الأضلاع]] الأربعة مماسة [[دائرة|لدائرة]] خارج الرباعي.<ref name="Radic">Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", ''Mathematical Communications'', 12 (2007) pp. 33–52.</ref> وقد أطلق عليه أيضًا شكل '''رباعي قابل للتفسير''' .<ref>[[Alexander Bogomolny|Bogomolny, Alexander]], "Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals", ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'', . Accessed 2011-08-18.</ref> تسمى الدائرة ''بالحافة'' ، نصف قطرها هو ''الخارج'' ومركزها ''المثير'' ( ''E'' في الشكل). يقع المثير عند تقاطع ستة مناصرات الزاوية. هذه هي [[تنصيف|منصفات الزاوية]] الداخلية عند زاويتين متقابلتين للرأس ، [[زاوية داخلية وزاوية خارجية|ومنصف الزوايا الخارجية]] (منصفات [[زاوية (هندسة)|الزوايا التكميلية]] ) عند زاويتين أخريين للرأس ، ومنصف الزوايا الخارجية عند الزوايا المتكونة عند تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة (انظر الشكل إلى يمينًا ، حيث أربعة من هذه الأجزاء الستة عبارة عن مقاطع خطية منقطة). يرتبط الرباعي المماسي ارتباطًا وثيقًا [[رباعي أضلاع مماسي|بالشكل الرباعي المماسي]] (حيث تكون الأضلاع الأربعة مماسًا لدائرة).

هناك اسم آخر لمقطع دائري وهو دائرة مقيدة ، <ref>[https://kskedlaya.org/geometryunbound/gu-060118.pdf K. S. Kedlaya, ''Geometry Unbound'', 2006] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210507010237/https://kskedlaya.org/geometryunbound/gu-060118.pdf|date=2021-05-07}}</ref> ولكن هذا الاسم استخدم أيضًا لدائرة مماس أحد جوانب شكل رباعي محدب وامتدادات ضلعين متجاورين. في هذا السياق ، تحتوي جميع الأشكال الرباعية المحدبة على أربع دوائر مقيدة ، ولكن يمكن أن يكون لها على الأكثر دائرة واحدة.<ref name="Josefsson">Josefsson, Martin, ''Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals'', Forum Geometricorum Volume 12 (2012) pp. 63-77</ref>

== حالات خاصة ==
[[طائرة ورقية (هندسة رياضية)|الطائرات الورقية]] هي أمثلة على الأشكال الرباعية العرضية السابقة. يمكن اعتبار [[متوازي أضلاع|المتوازيات]] (التي تتضمن [[مربع|المربعات]] [[معين (هندسة رياضية)|والمعينية]] [[مستطيل|والمستطيلات]] [[لانهاية|) أشكالًا رباعية الأضلاع متماسية ذات نطاق خارجي لانهائي]] نظرًا لأنها تلبي التوصيفات الواردة في القسم التالي ، ولكن لا يمكن أن يكون المنحني مماسًا لكلا أزواج امتدادات الأضلاع المتقابلة (لأنها متوازية ).<ref name="Josefsson" /> الأشكال الرباعية المحدبة التي تشكل أطوال [[متتالية حسابية|أضلاعها تقدمًا حسابيًا]] دائمًا ما تكون غير مماسية لأنها تلبي التوصيف أدناه لأطوال الأضلاع المجاورة.

== التوصيفات ==
يكون الشكل الرباعي المحدب خارجًا مماسيًا [[إذا وفقط إذا|إذا وفقط إذا كان]] هناك ستة منصفات زوايا [[تلاق|متزامنة.]] هذه هي [[تنصيف|منصف الزاوية]] الداخلية عند زاويتين متقابلتين للرأس ، ومنصف الزوايا الخارجية عند زاويتين أخريين للرأس ، ومنصف الزوايا الخارجية عند الزوايا التي تشكلت عند تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة.<ref name="Josefsson" />

لغرض الحساب فإن التوصيف الأكثر فائدة هو أن الشكل الرباعي المحدب ذو الأضلاع المتتالية ''a, b, c, d'' يكون خارجًا مماسيًا إذا وفقط إذا كان مجموع ضلعين متجاورين مساويًا لمجموع الضلعين الآخرين. هذا ممكن بطريقتين مختلفتين - إما

: <math>a+b=c+d</math>

أو

: <math>a+d=b+c.</math>

تم إثبات ذلك من قبل [[ياكوب شتاينر|جاكوب شتاينر]] في عام 1846.<ref>F. G.-M., ''Exercices de Géométrie'', Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.</ref> في الحالة الأولى ، يكون غير الدائرة خارج أكبر الرؤوس ''A'' أو ''C'' ، بينما في الحالة الثانية يكون خارج أكبر الرؤوس ''B'' أو ''D'' ، بشرط أن تكون أضلاع الشكل الرباعي ''ABCD'' هي ''a'' = ''AB'' ، ''b'' = ''BC'' و ''c'' = ''CD'' و ''d'' = ''DA'' . تتمثل إحدى طرق الجمع بين هذه التوصيفات فيما يتعلق بالأضلاع في أن [[قيمة مطلقة|القيم المطلقة]] للاختلافات بين الأضلاع المتقابلة متساوية للزوجين من الأضلاع المتقابلة ، <ref name="Josefsson" />

: <math>|a-c|=|b-d|.</math>

ترتبط هذه المعادلات ارتباطًا وثيقًا بنظرية بيتوت [[رباعي أضلاع مماسي|للأشكال الرباعية العرضية]] ، حيث تكون مجموع الأضلاع المتقابلة متساوية لزوجي الأضلاع المتقابلة.

=== نظرية Urquhart ===
إذا تقاطعت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي المحدب ''ABCD'' عند النقطة ''E'' و ''F''، إذن:

: <math>AB+BC=AD+DC\quad\Leftrightarrow\quad AE+EC=AF+FC.</math>

تمت تسمية الدلالة الموجودة على اليمين باسم LM Urquhart (1902-1966) على الرغم من إثباتها قبل ذلك بوقت طويل من قبل [[أغسطس دي مورغان|Augustus De Morgan]] في عام 1841. أطلق عليها [[دانييل بيدو|دانيال بيدو]] ''اسم النظرية الأكثر بدائية في [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]]'' لأنها تتعلق فقط بالخطوط المستقيمة والمسافات.<ref name="Hajja">Hajja, Mowaffaq, ''A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry'', Forum Geometricorum Volume 6 (2006) pp. 167–169</ref> وقد أثبت موفق حجة أن هناك تكافؤًا في الواقع ، <ref name="Hajja" /> مما يجعل المساواة في الحق [[شرط ضروري وشرط كاف|شرطًا آخر ضروريًا وكافيًا]] ليكون الشكل الرباعي غير مماسي.

=== مقارنة مع شكل رباعي مماسي ===
عدد قليل من الخصائص المترية [[رباعي أضلاع مماسي|للأشكال الرباعية العرضية]] (العمود الأيسر في الجدول) لها نظائر متشابهة جدًا للأشكال الرباعية العرضية السابقة (العمود الأوسط والأيمن في الجدول) ، كما يتضح من الجدول أدناه.<ref name="Josefsson" /> وبالتالي ، فإن الشكل الرباعي المحدب له دائرة أو دائرة خارج الرأس المناسب (اعتمادًا على العمود) إذا وفقط إذا تم استيفاء أي من الشروط الخمسة الضرورية والكافية أدناه.
{| class="wikitable"
!إنطلاقة
! قطع دائرة خارج ''أ'' أو ''ج''
! قطع دائرة خارج ''B'' أو ''D.''
|-
| align="center" | <math>R_1+R_3=R_2+R_4</math>
| align="center" | <math>R_1+R_2=R_3+R_4</math>
| align="center" | <math>R_1+R_4=R_2+R_3</math>
|-
| align="center" | <math>agh+cef=beh+dfg</math>
| align="center" | <math>agh+beh=cef+dfg</math>
| align="center" | <math>agh+dfg=beh+cef</math>
|-
| align="center" | <math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}</math>
| align="center" | <math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}=\frac{1}{h_3}+\frac{1}{h_4}</math>
| align="center" | <math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_4}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}</math>
|-
| align="center" | <math>\tan{\frac{x}{2}}\tan{\frac{z}{2}}=\tan{\frac{y}{2}}\tan{\frac{w}{2}}</math>
| align="center" | <math>\tan{\frac{x}{2}}\tan{\frac{w}{2}}=\tan{\frac{y}{2}}\tan{\frac{z}{2}}</math>
| align="center" | <math>\tan{\frac{x}{2}}\tan{\frac{y}{2}}=\tan{\frac{z}{2}}\tan{\frac{w}{2}}</math>
|-
| align="center" | <math>R_aR_c=R_bR_d</math>
| align="center" | <math>R_aR_b=R_cR_d</math>
| align="center" | <math>R_aR_d=R_bR_c</math>
|}
الرموز في هذا الجدول هي كما يلي: في الشكل الرباعي المحدب ''ABCD'' يتقاطع الأقطار عند ''P.'' ''R'' <sub>1</sub> ، ''R'' <sub>2</sub> ، ''R''<sub>3</sub> ، ''R''<sub>4</sub> هي محيطات المثلثات ''ABP'' ، ''BCP'' ، ''CDP'' ، ''DAP'' ؛ ''h'' <sub>1</sub> ، ''h'' <sub>2</sub> ، ''h'' <sub>3</sub> ، ''h'' <sub>4</sub> هي الارتفاعات من ''P'' إلى الجانبين ''a'' = ''AB'' ، ''b'' = ''BC'' ، ''c'' = ''CD'' ، ''d'' = ''DA'' على التوالي في نفس المثلثات الأربعة ؛ ''e'' ، ''f'' ، ''g'' ، ''h'' هي المسافات من الرؤوس ''A'' ، ''B'' ، ''C'' ، ''D'' على التوالي إلى ''P'' ؛ ''x'' ، ''y'' ، ''z'' ، ''w'' هي الزوايا ''ABD'' و ''ADB'' و ''BDC'' و ''DBC'' على التوالي ؛ و ''R'' <sub>''a''</sub> و ''R'' <sub>''b''</sub> و ''R'' <sub>''c''</sub> و ''R'' <sub>''d''</sub> هما نصف القطر في الدوائر المماس خارجيًا للجوانب ''a'' و ''b'' و ''c'' و ''d'' على التوالي وامتدادات الضلعين المتجاورين لكل جانب.

== مساحة ==
الشكل الرباعي المماسي السابق ''ABCD'' مع الجوانب''a, b, c, d'' له مساحة:

: <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin{\frac{B+D}{2}}.</math>

لاحظ أن هذه هي نفس الصيغة الخاصة بمساحة الشكل [[رباعي أضلاع مماسي|-الرباعي المماسي-]]<nowiki/>وهي مشتقة أيضًا من [[مبرهنة بريتشنايدر|(صيغة بريتشنايدر)]] بالطريقة نفسها.

== إكراديوس ==
يُعطى الانحراف لرباعي أضلاع مماسي سابق مع الجوانب المتتالية ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' بواسطة:<ref name="Josefsson" />

: <math>r=\frac{K}{|a-c|}=\frac{K}{|b-d|}</math>

حيث ''K'' هي مساحة الشكل الرباعي بالنسبة إلى الشكل الرباعي المماسي مع جوانب معينة، ويكون نصف القطر السابق هو [[النقاط الحدية|الحد الأقصى]] عندما يكون الشكل الرباعي [[رباعي دائري|دوريًا]] أيضًا (وبالتالي رباعي الأضلاع سابقًا ثنائي المركز). تشرح هذه الصيغ سبب امتلاك كل متوازيات الأضلاع لانهائية نصف القطر السابق.

== الشكل الرباعي السابق ثنائي المركز ==
إذا كان الشكل الرباعي المماسي السابق له [[دائرة محيطة|دائرة محيطية]] فيسمى: '''رباعي''' '''مركزين سابقين''' <ref name="Radic" />، بعد ذلك نظرًا لأن لها<nowiki/>[[زاوية (هندسة)|زاويتان]] متقابلتان يتم إعطاء مساحته بواسطة:

: <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}</math>

وهو نفس [[رباعي أضلاع ثنائي المركز|الشكل الرباعي ثنائي المركز]] .

إذا كان ''x'' المسافة بين [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطية]] و المركز السابق إذًا:<ref name="Radic" />

: <math> \frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},</math>

حيث (''R)'' و (''r)'' هما :[[دائرة محيطة|محيط نصف القطر]] و نصف القطر السابق على التوالي. هذه هي نفس المعادلة مثل: [[رباعي أضلاع ثنائي المركز|نظرية فوس]] لرباعي ثنائي المركز. ولكن عند ''إيجاد قيمة x'' يجب أن نختار الجذر الآخر [[معادلة تربيعية|للمعادلة التربيعية]] للشكل الرباعي السابق ثنائي المركز مقارنة بثنائي المركزين، ومن ثم بالنسبة إلى المركز الثنائي السابق لدينا.<ref name="Radic" />

: <math> x=\sqrt{R^2+r^2+r\sqrt{4R^2+r^2}}. </math>

من هذه الصيغة يتبع ذلك

: <math>\displaystyle x>R+r, </math>

مما يعني أنه لا يمكن للدائرة المحيطة والمقطع أن يتقاطع أحدهما مع الآخر.

== انظر أيضًا ==

* رباعي كامل
* [[رباعي دائري|رباعي دوري]]

== مراجع ==
 {{مراجع}}
{{مضلعات}}
{{روابط شقيقة|commons=Cyclic quadrilaterals}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:أنواع رباعيات الأضلاع]]