عرض مصدر رباعي أضلاع ثنائي المركز

{{لا صندوق معلومات}}
{{مقالة غير مراجعة|تاريخ = ديسمبر 2021}}

[[ملف:Bicentric_quadrilateral_poncelet.svg|تصغير|مسامية بونسيليه للرباعي ثنائي المركز ABCD و EFGH]]
في [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]] الشكل الرباعي هو: [[مضلع محدب|محدب]] [[رباعي أضلاع|رباعي]] الذي لديه على حد سواء [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دوائر داخلية وخارجية]] و[[دائرة محيطة|دائرة محيطية]]. ويطلق على أنصاف أقطار وسط هذه الدوائر: (نصف القطر، محيط دائري، [[:en:Incenter|المركز]]، محيط المركز) على التوالي. ويترتب على التعريف أن الأشكال الرباعية ثنائية المركز لها جميع خصائص كل من الأشكال الرباعية [[رباعي أضلاع مماسي|العرضية والرباعية]] [[رباعي دائري|الحلقية]].

هناك أسماء أخرى لهذه الأشكال الرباعية وهي:

'''وتر-الظل الشكل الرباعي''' <ref name="Dorrie">{{استشهاد بكتاب
| مؤلف1 = Dörrie
| الأول = Heinrich
| تاريخ = 1965
| عنوان = 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions
| مكان = New York
| ناشر = Dover
| صفحات = 188–193
| ISBN = 978-0-486-61348-2
}}</ref>، '''والشكل الرباعي منقوش ومحدود.'''

ونادرًا ما يُطلق عليه اسم '''رباعي الدائرة المزدوجة''' <ref name="yun">Yun, Zhang, "Euler's Inequality Revisited", ''Mathematical Spectrum'', Volume 40, Number 3 (May 2008), pp. 119-121. First page available at {{استشهاد ويب |مسار=http://ms.appliedprobability.org/data/files/Abstracts%2040/40-3-6.pdf |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=8 ديسمبر 2021 |تاريخ أرشيف=4 مارس 2016 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20160304085301/http://ms.appliedprobability.org/data/files/Abstracts%2040/40-3-6.pdf |حالة المسار=dead }}.</ref>، '''ورباعي أضلاع مكتوب بخطين'''.<ref>{{استشهاد بكتاب
| مؤلف1 = Leng
| الأول = Gangsong
| تاريخ = 2016
| عنوان = Geometric Inequalities: In Mathematical Olympiad and Competitions
| مكان = Shanghai
| ناشر = East China Normal University Press
| صفحات = 22
| ISBN = 978-981-4704-13-7
}}</ref>

إذا كانت دائرتان واحدة داخل الأخرى، وهناك دائرة ومحيط المركز لشكل رباعي ثنائي المركز؛ فإن كل نقطة على الدائرة هي رأس شكل رباعي ثنائي المركز له نفس الدائرة ومحيط المركز.<ref>Weisstein, Eric W. "Poncelet Transverse." From ''MathWorld'' – A Wolfram Web Resource,</ref> وهذه نتيجة طبيعية لبورمية بونسيليهوالتي أثبتها عالم الرياضيات الفرنسي [[جان فيكتور بونسيليه]]

عام (1788-1867).

== حالات خاصة ==
[[ملف:Bicentric_kite_001.svg|يسار|تصغير| [[طائرة ورقية قائمة الزاوية|طائرة ورقية صحيحة]]]]
بعض أمثلة الأشكال الرباعية ثنائية المركز: [[مربع|المربعات]]، [[طائرة ورقية قائمة الزاوية|والطائرات الورقية اليمنى]]، وأشباه المنحرفات العرضية متساوية الساقين.

== التوصيفات ==
[[ملف:Bicentric_quadrilateral.svg|تصغير|رباعي ثنائي المركز ABCD وملامسه الرباعي WXYZ]]
يكون الشكل الرباعي المحدب ('''ABCD''') مع الأضلاع ('''<small>a, b, c, d)</small>'''

ثنائي المركز [[إذا وفقط إذا]] كانت الأضلاع المتقابلة تفي بنظرية بيتوت في الأشكال الرباعية المماسية والخاصية الرباعية الدورية التي تكون [[زاوية (هندسة)|الزوايا]] المتقابلة مكملة لها.

هذا هو:

: <math>
\begin{cases}
a+c=b+d\\
A+C=B+D=\pi.
\end{cases}
</math>

هناك ثلاثة توصيفات أخرى تتعلق بالنقاط التي تكون فيها [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|الدائرة]] في شكل [[رباعي أضلاع مماسي|رباعي مماسي]] مماسًا للجوانب. فإذا كان المماس مماسًا للأضلاع ''AB'' و ''BC'' و ''CD'' و ''DA'' عند النقاط ''W'' و ''X'' و ''Y'' و ''Z'' على التوالي، فإن الشكل الرباعي المماسي ''ABCD'' يكون دوريًا أيضا إذا وفقط إذا كان أي من هذه الشروط الثلاثة التالية تنطبق عليه:<ref name="Josefsson">{{استشهاد|الأخير=Josefsson|الأول=Martin|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=165–173|عنوان=Characterizations of Bicentric Quadrilaterals|مسار= http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf|المجلد=10|سنة=2010|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240324101323/http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf|تاريخ أرشيف=2024-03-24}}.</ref>

* ''WY'' [[تعامد (هندسة)|عمودي]] على ''XZ''
* <math>\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}</math>
* <math>\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}</math>

أول هذه المسائل الثلاث تعني: أن الاتصال الرباعي ''ل'' ''WXYZ'' هو:

رباعي الأضلاع المتعامد.

إذا كانت النقاط ''E'' و ''F'' و ''G'' و ''H'' هي نقاط المنتصف للأضلاع ''WX'' و ''XY'' و ''YZ'' و ''ZW'' على التوالي؛ فإن الشكل الرباعي المماسي ''ABCD'' يكون أيضًا دوريًا [[إذا وفقط إذا]] كان الشكل الرباعي ''EFGH'' [[مستطيل|مستطيلًا]].<ref name="Josefsson" />

وفقًا لتوصيف آخر، إذا كانت <big>''I''</big> في مركز شكل [[رباعي أضلاع مماسي]] حيث تتقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة عند ''J'' و ''K''، فإن الشكل الرباعي يكون أيضًا دوريًا إذا وفقط إذا كان ''JIK'' [[زاوية قائمة]].<ref name="Josefsson" />

هناك [[شرط ضروري وشرط كاف|شرط آخر ضروري وشرط كاف]] وهو: أن الشكل الرباعي المماسي ''ABCD'' يكون دوريًا إذا وفقط إذا كان خط نيوتن متعامدًا مع خط نيوتن من ملامسته الرباعية ''WXYZ''. (خط نيوتن للشكل الرباعي هو الخط المحدد بنقاط المنتصف لأقطارها).<ref name="Josefsson" />

== بناء ==
[[ملف:01-Bicentric_quadrilateral.svg|تصغير|314x314بك| ABCD رباعي المركزين مع الاتصال الرباعي WXYZ. [[c:File:01-Bicentric_quadrilateral.gif|انظر]] الرسوم المتحركة هنا]]
هناك طريقة بسيطة لبناء رباعي ثنائي المركز.

إبدأ بالدائرة ''C<sub>r</sub>'' حول [[مركز (هندسة رياضية)|مركز]] ''I'' مع نصف القطر ''r ،'' ثم ارسم اثنين من [[تعامد (هندسة)|الحبلين المتعامدين]] مع بعضهما البعض ''WY'' ''و XZ'' في دائرة ''C<sub>r</sub><sub>.</sub>'' عند نقاط نهاية الأوتار ارسم [[مماس|الظلال]] ''a'' و ''b'' و ''c'' و ''d'' إلى الدائرة. تتقاطع هذه النقاط عند أربع نقاط ''A'' و ''B'' و ''C'' و ''D'' ، وهي [[رأس (هندسة)|رؤوس]] الشكل الرباعي ثنائي المركز.<ref>{{استشهاد بكتاب
| مؤلف1 = Alsina
| الأول = Claudi
| مؤلف2 = Nelsen
| الأول2 = Roger
| تاريخ = 2011
| عنوان = Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images
| مسار = https://archive.org/details/iconsofmathemati0000alsi
| ناشر = Mathematical Association of America
| صفحات = [https://archive.org/details/iconsofmathemati0000alsi/page/125 125]–126
| ISBN = 978-0-88385-352-8
}}</ref> لرسم دائرة محيطية، ارسم [[تنصيف|منصفين عموديين]] p1 و p2 على جانبي الشكل الرباعي ثنائي المركز a,b على التوالي''.'' يتقاطع المنصفان العموديان ''p<sub>1</sub>'' و ''p<sub>2</sub>'' في المركز ''O'' للدائرة ''C<sub>R</sub>'' مع المسافة ''x'' إلى المركز ''I'' من الدائرة ''C<sub>r</sub>''. ويمكن رسم الدائرة حول المركز ''O.''

ترجع صحة هذا البناء إلى التوصيف في [[رباعي أضلاع مماسي|الشكل الرباعي المماسي]] ''ABCD'' الذي يكون لرباع الرباعي الملامس للنقاط ''WXYZ'' [[ضلع قطري|أقطار]] متعامدة إذا وفقط إذا كان الرباعي المماسي [[رباعي دائري|دوريًا]] أيضًا.

== منطقة / مساحة ==

=== الصيغ من حيث أربع كميات ===
يمكن التعبير عن [[مساحة|المنطقة / المساحة]] ''K'' في الشكل الرباعي ثنائي المركز من حيث أربع كميات من الشكل الرباعي بعدة طرق مختلفة. إذا كانت الأضلاع ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ، فإن المنطقة تُعطى بواسطة:<ref name="Weisstein">Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at ''MathWorld'',, Accessed on 2011-08-13.</ref><ref name="Josefsson2">{{استشهاد|الأخير=Josefsson|الأول=Martin|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=119–130|عنوان=Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral|مسار= http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf|المجلد=10|سنة=2010|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230314175316/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf|تاريخ أرشيف=2023-03-14}}.</ref><ref name="Josefsson3">{{استشهاد|الأخير=Josefsson|الأول=Martin|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=155–164|عنوان=The Area of a Bicentric Quadrilateral|مسار= http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf|المجلد=11|سنة=2011|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240329105504/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf|تاريخ أرشيف=2024-03-29}}.</ref><ref name="Durell">Durell, C. V. and Robson, A., ''Advanced Trigonometry'', Dover, 2003, pp. 28, 30.</ref><ref name="Yiu">Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'',, 1998, pp. 158-164.</ref>

: <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>

مثل هذه الحالة الخاصة من [[صيغة براهماغوبتا|صيغة براهماجوبتا]] يمكن اشتقاقها مباشرة من الصيغة المثلثية لمساحة [[رباعي أضلاع مماسي|الشكل الرباعي المماسي]]. لاحظ أن العكس لا ينطبق؛ لإن بعض الأشكال الرباعية غير ثنائية المركز يكون لها مساحة أيضًا، <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>.<ref>Lord, Nick, "Quadrilaterals with area formula <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>", ''Mathematical Gazette'' 96, July 2012, 345-347.</ref> أحد هذه الأمثلة على مثل هذا الشكل الرباعي هو: [[مستطيل|المستطيل]] غير المربع.

ويمكن أيضًا التعبير عن المنطقة بدلالة [[رباعي أضلاع مماسي|أطوال الأضلاع المماسية]] ''e'' و ''f'' و ''g'' و ''h'' مثل <ref name="Josefsson2" /> {{صفحات مرجع|ص.128}}:

: <math>K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).</math>

صيغة مساحة الشكل الرباعي ثنائي المركز ''ABCD'' مع المركز ''I'' هي:<ref name="Josefsson3" />

: <math>K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.</math>

إذا كان الشكل الرباعي ثنائي المركز له [[رباعي أضلاع مماسي|أضلاع مماسية]] ''k'' و ''l ،'' '''وأقطار''' ''p''، ''q'' ، فإن له مساحة <ref name="Josefsson2" /> {{صفحات مرجع|ص.129}} :

: <math>K=\frac{klpq}{k^2+l^2}.</math>

إذا كانت ''k'' ، ''l'' هي أوتار المماس، و ''m'' ، ''n'' هي ثنائية البعد للشكل [[رباعي أضلاع|رباعي الأضلاع]]، فيمكن حساب المنطقة باستخدام الصيغة التالية:<ref name="Josefsson3" />

: <math>K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl</math>

لا يمكن استخدام هذه الصيغة إذا كان الشكل الرباعي هو [[طائرة ورقية قائمة الزاوية]]، لأن المقام في هذه الحالة يساوي صفر.

إذا كانت ''M'' و ''N'' هما نقطتا منتصف الأقطار، و ''E'' و ''F'' هما نقطتا تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة، فإن مساحة الشكل الرباعي ثنائي المركز يتم إعطاؤها بواسطة:

: <math>K=\frac{2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}</math>

حيث ''I'' مركز الدائرة.<ref name="Josefsson3" />

=== الصيغ من حيث الكميات الثلاث ===
يمكن التعبير عن مساحة الشكل الرباعي ثنائي المركز بدلالة ضلعين متقابلين والزاوية ''θ'' بين الأقطار وفقًا لـ:<ref name="Josefsson3" />

: <math>K=ac\tan{\frac{\theta}{2}}=bd\cot{\frac{\theta}{2}}.</math>

بدلالة زاويتين متجاورتين ونصف قطر الدائرة(''r)''، تُعطى المساحة من خلال:<ref name="Josefsson3" />

: <math>K=2r^2\left(\frac{1}{\sin{A}}+\frac{1}{\sin{B}}\right).</math>

المنطقة معطاة بدلالة محيط نصف القطر(R) مثل نصف القطر(r) '''.'''

: <math>K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2})\sin \theta</math>

حيث ''θ'' هي قد تكون زاوية بين الأقطار.<ref name="MJFG">{{استشهاد|الأخير=Josefsson|الأول=Martin|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=237–241|عنوان=Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral|مسار= http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201222.pdf|المجلد=12|سنة=2012|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240324101324/http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201222.pdf|تاريخ أرشيف=2024-03-24}}.</ref>

إذا كانت ''M'' و ''N'' هما نقطتا منتصف الأقطار، و ''E'' و ''F'' هما نقطتا تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة، فيمكن أيضًا التعبير عن المنطقة:

: <math>K=2MN\sqrt{EQ\cdot FQ}</math>

حيث ''Q'' هي قدم العمود العمودي على الخط ''EF'' عبر مركز الدائرة.<ref name="Josefsson3" />

=== عدم المساواة ===
إذا كانت ''r'' و ''R'' هما نصف القطر ومحيط نصف القطر على التوالي، فإن [[مساحة|المنطقة]] ''K'' تحقق [[متباينة (جبر)|المتباينة]].<ref name="Alsina">{{استشهاد بكتاب
| مؤلف1 = Alsina
| الأول = Claudi
| مؤلف2 = Nelsen
| الأول2 = Roger
| تاريخ = 2009
| عنوان = When less is more: visualizing basic inequalities
| مسار = https://archive.org/details/whenlessismorevi00alsi_112
| ناشر = Mathematical Association of America
| صفحات = [https://archive.org/details/whenlessismorevi00alsi_112/page/n84 64]–66
| ISBN = 978-0-88385-342-9
}}</ref>

: <math>\displaystyle 4r^2 \le K \le 2R^2.</math>

لا توجد مساواة في كلا الجانبين إلا إذا كان الشكل الرباعي [[مربع|مربعًا]].

متباينة أخرى في المنطقة في <ref name="Crux">Inequalities proposed in ''[[Crux Mathematicorum]]'', 2007.</ref> {{صفحات مرجع|ص.39,#1203}}

: <math>K \le \tfrac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2}</math>

حيث (''r)'' هي نصف القطر، و (''R)'' هي محيط نصف القطر على التوالي.

هناك متباينة مشابهة تعطي a حدًا على المنطقة تكون أكثر وضوحًا من سابقتها.<ref name="MJFG" />

: <math>K \le r(r+\sqrt{4R^2+r^2})</math>

يمكن الاحتفاظ بالمساواة؛ إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي هو [[طائرة ورقية قائمة الزاوية]].

بالإضافة إلى ذلك، مع الجوانب ''a و b و c و d'' و [[نصف محيط|نصف المحيط]] ''s'':

: <math>2\sqrt{K} \leq s \leq r+ \sqrt{r^2+4R^2}; </math><ref name="Crux" />{{صفحات مرجع|ص.39,#1203}}

: <math>6K \leq ab+ac+ad+bc+bd+cd \leq 4r^2+4R^2+ 4r\sqrt{r^2+4R^2}; </math><ref name="Crux" />{{صفحات مرجع|ص.39,#1203}}

: <math>4Kr^2\leq abcd \leq \frac{16}{9} r^2(r^2+4R^2). </math><ref name="Crux" />{{صفحات مرجع|ص.39,#1203}}

== صيغ الزاوية ==
إذا كانت ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' هي طول الأضلاع ''AB'' ، ''BC'' ، ''CD'' ، ''DA'' على التوالي في الشكل الرباعي ثنائي المركز ''ABCD''، فيمكن حساب زوايا رأسه باستخدام [[دوال مثلثية|دالة الظل]]:<ref name="Josefsson3" />

: <math>\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\cot{\frac{C}{2}},</math>
: <math>\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\cot{\frac{D}{2}}.</math>

باستخدام نفس الرموز، بالنسبة [[دوال مثلثية|لوظائف الجيب وجيب التمام،]] فإن الصيغ التالية تحمل:<ref name="Josefsson4">{{استشهاد|الأخير=Josefsson|الأول=Martin|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=79–82|عنوان=A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals|مسار= http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201208.pdf|المجلد=12|سنة=2012|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240324101324/http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201208.pdf|تاريخ أرشيف=2024-03-24}}.</ref>

: <math>\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad+bc}}=\cos{\frac{C}{2}},</math>
: <math>\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{ad}{ad+bc}}=\sin{\frac{C}{2}},</math>
: <math>\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab+cd}}=\cos{\frac{D}{2}},</math>
: <math>\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+cd}}=\sin{\frac{D}{2}}.</math>

يمكن حساب الزاوية ''θ'' بين الأقطار من العلاقة:<ref name="Durell" />

: <math>\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.</math>

== نصف القطر و محيط نصف القطر ==
يتم تحديد نصف القطر(r) لرباعي ثنائي المركز بواسطة الجوانب ''a'',''b'',''c,d''

وفقًا لـ:<ref name="Weisstein" />

: <math>\displaystyle r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}=\frac{\sqrt{abcd}}{b+d}.</math>

تعطى [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطية]] (''R)'' كحالة خاصة من صيغة باراميشفارا إنها:<ref name="Weisstein" />

: <math>\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.</math>

يمكن التعبير أيضا عن نصف القطر(''r)'' من حيث [[رباعي أضلاع مماسي|أطوال الظل]] المتتالية

''e'' ، ''f'' ، ''g'' ، ''h'' وفقًا لـ <ref>M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", ''Mathematical Communications'', 12 (2007) 33–52.</ref> {{صفحات مرجع|ص. 41}}

: <math>\displaystyle r=\sqrt{eg}=\sqrt{fh}.</math>

هاتان الصيغتان هما في الواقع [[شرط ضروري وشرط كاف|شرطان ضروريان]] وكافيان ليكون [[رباعي أضلاع مماسي|رباعي الأضلاع المماسي]] مع نصف القطر(''r)'' [[رباعي دائري|دوريًا]].

الأضلاع الأربعة ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' في شكل رباعي ثنائي المركز هي الحلول الأربعة [[دالة رباعية|للمعادلة الرباعية]].

: <math>y^4-2sy^3+(s^2+2r^2+2r\sqrt{4R^2+r^2})y^2-2rs(\sqrt{4R^2+r^2}+r)y+r^2s^2=0</math>

حيث ''s'' هو مقياس نصف القطر، و ''r'' و ''R'' هما نصف القطر و محيط نصف القطر على التوالي.<ref name="Pop">Pop, Ovidiu T., "Identities and inequalities in a quadrilateral", ''Octogon Mathematical Magazine'', Vol. 17, No. 2, October 2009, pp 754-763.</ref> {{صفحات مرجع|ص. 754}}

إذا كان هناك رباعي ثنائي المركز مع نصف القطر(''r)'' و[[رباعي أضلاع مماسي|أطوال]] مماسها

''e,g,'' ''h,'' f ، إذن يوجد هناك رباعي ثنائي المركز مع ''r <sup>v</sup>'' نصف القطر، وأطوال مماسها هي: ''e <sup>v</sup>'' ، ''f <sup>v</sup>'' ، ''g <sup>v</sup>'' ، ''h <sup>v</sup>'' ، حيث ''v'' قد يكون أي [[عدد حقيقي|رقم حقيقي]].<ref name="Radic3">Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", ''Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics'', Volume 6, Issue 1, 2005,</ref> {{صفحات مرجع|ص.9–10}}

الشكل الرباعي ثنائي المركز له مسافة نصف قطر أكبر من أي رباعي مماسي آخر له نفس تسلسل أطوال الأضلاع.<ref name="Hess">{{استشهاد|الأخير=Hess|الأول=Albrecht|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=389–396|عنوان=On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals|مسار= http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201437.pdf|المجلد=14|سنة=2014|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230103063438/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201437.pdf|تاريخ أرشيف=2023-01-03}}.</ref> {{صفحات مرجع|ص.392–393}}

=== عدم المساواة ===
يلبي محيط نصف القطر(R) و نصف القطر(r) المتباينة:

: <math>R\ge \sqrt{2}r</math>

التي تم إثباتها من قبل [[لاسلو فيغيه توث]] في عام 1948.<ref name="Radic3"/> يتم الحفاظ عليها بالمساواة فقط عندما تكون الدائرتان [[اتحاد مركزي|متحدة المركز]] (لهما نفس المركز مثل بعضهما البعض)، بعد ذلك يكون الشكل الرباعي هو [[مربع]]. ويمكن إثبات عدم المساواة بعدة طرق مختلفة، أحدها باستخدام المتباينة المزدوجة للمنطقة أعلاه.

امتداد لعدم المساواة السابقة هو <ref name="yun" /><ref>Shattuck, Mark, “A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals”, ''Forum Geometricorum'' 18, 2018, 141-154. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201822.pdf This paper also gives various inequalities in terms of the arc lengths subtended by a cyclic quadrilateral’s sides. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180913223454/http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201822.pdf|date=2018-09-13}}</ref> {{صفحات مرجع|ص. 141}}:

: <math>\frac{r\sqrt{2}}{R}\le \frac{1}{2}\left(\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{D}{2}}+\sin{\frac{D}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\right)\le 1</math>

حيث توجد مساواة على كلا الجانبين إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي

[[مربع|مربعًا]].<ref name="Josefsson4" /> {{صفحات مرجع|ص. 81}}

يعوض [[نصف محيط]] ''s'' لرباعي ثنائي المركز <ref name="Radic3"/> {{صفحات مرجع|ص.13}}

: <math>\sqrt{8r\left(\sqrt{4R^2+r^2}-r\right)}\le s \le \sqrt{4R^2+r^2}+r</math>

حيث ''r'' و ''R'' هما نصف القطر و محيط نصف القطر على التوالي.

علاوة على ذلك <ref name="Crux" />، انظر: {{صفحات مرجع|ص.39,#1203}}

: <math>2sr^2\leq abc+abd+acd+bcd \leq 2r(r+\sqrt{r^2+4R^2})^2</math>

و

: <math>abc+abd+acd+bcd \leq 2\sqrt{K}(K+2R^2).</math> <ref name="Crux" />{{صفحات مرجع|ص.62,#1599}}

== المسافة بين المركز والمركز المحيط ==
[[ملف:Fuss_theorem2.svg|تصغير|ABCD رباعي المركزين مع المحصل I ومحيط المركز O]]

=== نظرية فوس ===
تعطي نظرية فوس علاقة بين نصف القطر(r)، ونصف القطر المحيطي(R) والمسافة (x) بين المركز I والمركز المحيط O، لأي رباعي ثنائي المركز. بهذه العلاقة:

: <math>\frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},</math>

أو مكافئ

: <math>\displaystyle 2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2)^2.</math>

اشتقها نيكولاس فوس (1755-1826) عام 1792 لحل عوائد ''x.''

: <math>x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.</math>

تقول نظرية فوس وهي النظير [[مبرهنة أويلر (هندسة رياضية)|لنظرية أويلر]] للمثلثات ثنائية المركز أنه: إذا كان الشكل الرباعي ثنائي المركز؛ فإن دائرته المرتبطة بهما مرتبطة وفقًا للمعادلات أعلاه. في الواقع ينطبق العكس أيضًا، بالنظر إلى دائرتين (إحداهما داخل الأخرى) مع محيط نصف قطر ''R'' و نصف القطر ''r'' والمسافة ''x'' بين مركزيهما، مما يفي بشرط نظرية فوس وهي: أنه يوجد رباعي محدب محفور في إحداهما وماس للآخر <ref>{{استشهاد|الأخير=Byerly|الأول=W. E.|عنوان=The In- and-Circumscribed Quadrilateral|صحيفة=The Annals of Mathematics|المجلد=10|صفحات=123–128|سنة=1909|DOI=10.2307/1967103}}.</ref> (ثم من خلال نظرية الإغلاق لبونسيليه، يوجد عدد لانهائي منهم).

تطبيق <math>x^2 \ge 0</math> للتعبير عن نظرية فوس لـ ''x'' بدلالة ''r'' و ''R ،'' وهي طريقة أخرى للحصول على عدم المساواة المذكورة أعلاه <math>R \ge \sqrt{2}r.</math> القانون هو في {{صفحات مرجع|ص.5}}.<ref name="Radic3"/>

: <math>2r^2+x^2\le R^2 \le 2r^2+x^2+2rx.</math>

=== معادلة كارليتس ===
هناك معادلة أخرى للمسافة ''x'' بين [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|مركز الدائرة]] [[دائرة محيطة|والدائرة المحيطية]] ترجع إلى عالم الرياضيات الأمريكي ليونارد كارليتس (1907-1999). تنص على أن:<ref>Calin, Ovidiu, ''Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach'',, pp. 153–158.</ref>

: <math>\displaystyle x^2=R^2-2Rr\cdot \mu</math>

حيث ''r'' و ''R'' هما [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دوائر نصف القطر]] و[[دائرة محيطة|ودائرة نصف القطر المحيط]] على التوالي.

: <math>\displaystyle \mu=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^2(ac+bd)}} = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^2(ac+bd)}}</math>

حيث ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' هي جوانب الشكل الرباعي ثنائي المركز.

=== عدم المساواة في أطوال وجوانب الظل ===
بالنسبة [[رباعي أضلاع مماسي|لأطوال الظل]] ''e'' ، ''f'' ، ''g'' ، ''h'' تحمل المتباينات التالية:<ref name="Radic3"/> {{صفحات مرجع|ص.3}}

: <math>4r\le e+f+g+h \le 4r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>

و

: <math>4r^2\le e^2+f^2+g^2+h^2 \le 4(R^2+x^2-r^2)</math>

حيث (r) هو نصف القطر، و(R) هو نصف القطر المحيط، و (x) هي المسافة ب والمحيط. والأضلاع ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' تحقق المتباينات في: ص 5.<ref name="Radic3"/>

: <math>8r\le a+b+c+d \le 8r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>

و

: <math>4(R^2-x^2+2r^2)\le a^2+b^2+c^2+d^2 \le 4(3R^2-2r^2).</math>

== خصائص أخرى للمولد ==
[[دائرة محيطة|مركز الدائرة المحيطة]] ، و[[مركز (هندسة رياضية)|مركز الدائرة]]، وتقاطع ا<nowiki/>[[ضلع قطري|لأضلاع القطرية]] في شكل رباعي ثنائي المركز متداخلة [[تسامت|على خط واحد]](لها نفس الإتجاه).<ref>Bogomolny, Alex, ''Collinearity in Bicentric Quadrilaterals'' , 2004.</ref>

هناك المساواة التالية متعلقة بالمسافات الأربعة بين الوصلة ''I'' ورؤوس الشكل الرباعي ثنائي المركز ''ABCD'':<ref>Juan Carlos Salazar, ''Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral'', 2003, .</ref>

: <math>\frac{1}{AI^2}+\frac{1}{CI^2}=\frac{1}{BI^2}+\frac{1}{DI^2}=\frac{1}{r^2}</math>

حيث ''r'' هو نصف القطر.

إذا كان ''P'' هو تقاطع الأقطار في شكل رباعي ثنائي المركز ''ABCD'' مع المركز ''I''، إذن:<ref>[[Crux Mathematicorum]] 34 (2008) no 4, p. 242.</ref>

: <math>\frac{AP}{CP}=\frac{AI^2}{CI^2}.</math>

االمتباينة المتعلقة بنصف القطر r و محيط نصف القطر R في شكل رباعي ثنائي المركز ABCD هي:<ref>[http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=260539 Post at ''Art of Problem Solving'', 2009]{{وصلة مكسورة}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221220095712/https://artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=260539|date=2022-12-20}}</ref>

: <math>4r^2 \le AI\cdot CI+BI\cdot DI \le 2R^2</math>

حيث ''I'' هو المركز.

== خصائص الأقطار ==
يمكن التعبير عن أطوال الأقطار في شكل رباعي ثنائي المركز من حيث الجانبين أو أطوال المماس، وهي صيغ التي تحمل شكل [[رباعي دائري]] و[[رباعي أضلاع مماسي]] على التوالي.

في الشكل الرباعي ثنائي المركز مع [[ضلع قطري|قطري]] ''p'' و ''q'' ، فإن المعادلة التالية تحمل:<ref name="Yiu" />

: <math>\displaystyle \frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1</math>

حيث (''r'') هي [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دوائر نصف القطر]] و(''R)'' هي [[دائرة محيطة|دوائر نصف القطر المحيط]]<nowiki/>على التوالي، ويمكن إعادة كتابة هذه المساواة على الشكل التالي:<ref name="MJFG" />

: <math>r=\frac{pq}{2\sqrt{pq+4R^2}}</math>

أو حلها [[معادلة تربيعية|كمعادلة تربيعية]] لحاصل ضرب الأقطار على الصورة الآتية:

: <math>pq=2r\left(r+\sqrt{4R^2+r^2}\right).</math>

المتباينة في حاصل ضرب قطري p ، q في شكل رباعي ثنائي المركز هي:<ref name="Alsina" />

: <math>\displaystyle 8pq\le (a+b+c+d)^2</math>

حيث ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' هي الجوانب، وقد أثبت ذلك موراي س.كلامكين في عام (1967).

== أربعة محفزات تقع على دائرة ==
إذا افترضنا أن ''ABCD'' هو شكل رباعي ثنائي المركز و ''O'' مركز دائرتها''.'' فتكمن محفزات المثلثات الأربعة ''OAB'' و ''OBC'' و ''OCD'' و ''ODA'' في الدائرة.<ref>Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019,</ref>

== انظر أيضًا ==

* [[متعدد أضلاع ثنائي المركز|مضلع ثنائي المركز]]
* الرباعي المماسي السابق

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{مضلعات}}
{{روابط شقيقة|commons=Bicentric quadrilateral}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:أنواع رباعيات الأضلاع]]