عرض مصدر دوال مثلثية

{{ميز|دالة مثلث|موجة مثلثية}}
{{شريط جانبي حساب المثلثات}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''الدَّوَالّ المُثَلَّثِيَّة<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مكتب التنسيق|1990|ص=153}}</ref><ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع القاهرة|2019|ص=415}}</ref>'''<ref name="م3" group="عر">{{استشهاد مختصر|موير|2004|ص=22}}</ref> أو '''التَوَابِع المُثَلَّثِيَّة'''<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|القوصي|2013|ص=88}}</ref> أو '''الدَّوَالّ المُثَلَّثَاتِيَّة'''<ref name="م1" group="عر">{{استشهاد مختصر|البعلبكي|2008|ص=1255}}</ref><ref name="م2" group="عر"/><ref group="عر">{{استشهاد مختصر|دعبول|2018|ص=727}}</ref><ref name=":1" group="عر">{{استشهاد مختصر|الدبس|1988|ص=3455}}</ref> أو '''الدَّوَالّ الدَائِرِيَّة'''<ref name="م1" group="عر"/><ref name="م2" group="عر">{{استشهاد مختصر|ساسين|2007|ص=862}}</ref><ref name=":1" group="عر" /> {{إنج|Trigonometric Functions}} هي مجموعة من [[دالة|الدوال الحقيقية]] التي تربط [[زاوية (هندسة)|زاوية]] [[مثلث قائم]] مع نسبة [[قطعة مستقيمة|ضلعين]] من أضلاعه.<ref name="REF1">{{استشهاد مختصر|Katz|2009|ص=210|لغة=en}}</ref> من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والرئيسة [[جيب (رياضيات)|دالة الجيب]] ودالةُ [[جيب التمام|جيبِ التمام]]، ودالة [[ظل (حساب المثلثات)|الظل]]. [[مقلوب عدد|مقاليب]] هذه الدوال هي دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: [[قاطع التمام]] [[قاطع (حساب المثلثات)|والقاطع]] و[[ظل التمام]] على التوالي.

يعود حساب المثلثات إلى ما قبل الميلاد، تحديداً في [[مصر القديمة]] و[[اليونان القديمة]]. وضع الرياضياتي [[طاليس]] [[مبرهنة طاليس]] في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، ووضع الرياضياتي [[فيثاغورس]] [[مبرهنة فيثاغورس]]، حيث يشار إلى هاتين المبرهنتين بأنهما حجر الأساس ل[[حساب المثلثات]].
بالإضافة إلى مصر واليونان، حقق علماء الحضارات الأخرى، بما في ذلك [[الصين]] و[[الهند]] و[[العالم الإسلامي|الدول الإسلامية]] و[[أوروبا|الدول الأوروبية]]، تقدمًا ملحوظًا في علم المثلثات؛ فبرز [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]] و[[محمد بن جابر بن سنان البتاني|البتاني]] و[[أبو الوفاء البوزجاني|أبو الوفاء محمد البوزجاني]] و[[شين كوا]] و[[غوا شوجينغ]] و[[غيورغ يواخيم ريتيكوس]] وغيرهم.

يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها [[نسبة (رياضيات)|نسبةٌ]] بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]. عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا °180 دائماً.

توجد تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة [[تكامل|التكاملات]] و[[متسلسلة قوى|متسلسلات القوى]] و[[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]]، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم [[متسلسلة تايلور]] أو [[متسلسلة لوران|لوران]] على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى [[مستو مركب|المستوي المركب]].

يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك [[دوال زوجية وفردية|الزوجية والفردية]]، و[[دالة دورية|الدورية]] و[[دالة مستمرة|الاستمرارية]] و[[دوال متعامدة|التعامد]].
التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل [[مساحة (علم)|علم المساحة]] و[[ملاحة|الملاحة]] ومجالات [[فيزياء|الفيزياء]] المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية [[تثليث (تقنية)|التثليث]] التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في {{وإو|تر=3D reconstruction|4=القياس البصري الثلاثي الأبعاد|عر=إعادة بناء ثلاثي الأبعاد}}؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه ال[[قبلة]] بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي [[بصريات|البصريات]]، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة [[انكسار (فيزياء)|انكسار الضوء]]. الدوال المثلثية [[دالة دورية|دوال دوريَّةٌ]]، أي أنها تُكرر قيمتها بعد [[مجال فاصل (رياضيات)|مجال]] محدد؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة [[موجة|كالموجات]] وهي الأساس الذي يرتكز عليه [[تحويل فورييه]]. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ [[متغير (رياضيات)|بمتغير]] [[عدد حقيقي|حقيقي]] وذات قيم [[عدد مركب|مركّبة]] إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في [[صناعة الطاقة الكهربائية]] و[[اتصال عن بعد|الاتصالات]]، ويشمل هذا تطبيق دراسة [[تيار متردد|التيارات المتناوبة]] و[[تضمين (إلكترونيات)|التضمين]] التي تعتمد على [[موجة جيبية|موجات جيبية]].

== تعريف الدوال ==
يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية و[[منطلق دالة|مجال تعريفهن]] و[[مستقر دالة|مستقراتهن]] (المجال المقابل).
{| class="wikitable"
!التسمية العربية<ref name="م3" group="عر"/><ref name=":06" group="عر">{{استشهاد مختصر|التهانوي|ج=1|ص=605}}</ref><ref group="عر">{{استشهاد مختصر|التهانوي|ج=2|ص=1150-1151}}</ref>
!التسمية الإنجليزية<ref name="م4" group="عر">{{استشهاد مختصر|دعبول|2018|ص=647 ،142 ،699 ،143 ،622 ،141}}</ref>
!التسمية الفرنسية<ref name="م4" group="عر"/>
!'''التدوين بالحروف العربية'''<ref group= "عر">{{استشهاد مختصر|مجمع القاهرة|1955|ص=292}}
</ref><ref group="عر">{{استشهاد مختصر|الأحمد|2004|ص=166}}</ref>
!'''التدوين بالحروف اللاتينية'''
'''<ref name="م3" group="عر"/>'''<ref>{{استشهاد مختصر|Fogiel|1984|ص=211|لغة=en}}</ref>
!المُنطلق<ref group="ملاحظة">''k'' هي عدد صحيح كيفي.</ref><ref name=":9" group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.analyzemath.com/DomainRange/domain_range_functions.html
| عنوان = Table of Domain and Range of Common Functions
|لغة =  en
| موقع = analyzemath
| تاريخ الوصول = 23-07-2023
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190208044500/http://www.analyzemath.com/DomainRange/domain_range_functions.html 
| تاريخ أرشيف = 08-02-2019 }}</ref>
!المستقر<ref name=":9" group="وب"/>
|-
|'''الجَيْب'''، الجَيْب المستوي
|Sine
|Sinus
|جا، جب
|sin
|جميع الأعداد الحقيقية (أ.ح.)
|[-1، 1]
|-
|'''جَيْب التَمَام'''
|Cosine
|Cosinus
|جتا، تجب
|cos
|أ.ح. 
|[-1، 1]
|-
|'''الظِل'''، الظل الأول، الظل القائم أو المنتصب أو المعكوس
|Tangent 
|Tangente
|ظا، ظل
|tan 
|أ.ح. ما عدا π/2 +kπ
|أ.ح.
|-
|'''ظِل التمام'''، الظل الثاني أو المبسوط أو المستوي
|Cotangent
|Cotangente
|ظتا، تظل
|cot <ref group="ملاحظة">أو تلك التدوينات: cotan, cotg ctg, ctn</ref>
|أ.ح. ما عدا kπ
|أ.ح.
|-
|'''القاطع'''، قطر الظل الأول
|Secant
|Sécante
|قا
|sec
|أ.ح. ما عدا π/2 +kπ
|]-∞ , 1] ∪ [1 , +∞[
|-
|'''قاطع التمام'''، قطر الظل الثاني
|Cosecant
|Cosécante
|قتا، تقا
|csc <ref group="ملاحظة">أو هذا التدوين: cosec</ref>
|أ.ح. ما عدا kπ
|]-∞ , 1] ∪ [1 , +∞[
|}
=== أصل تسمية الدوال ===
[[ملف:ArcoFlechaCuerda.svg|تصغير|(1.أ) رسم توضيحي لسبب تسمية دالة الجيب بهذا الإسم|180x180بك]]
[[ملف:Unit-circle_sin_cos_tan_cot_exsec_excsc_versin_cvs.svg|تصغير|255x255px|رسمٌ توضيحيٌّ لسبب تسمية الدوال؛ عند تمثيل الرياضياتيين المسلمين لكل من الظل الأول، وظل الثاني، وقطريهما، اللواتي تسمى الآن على الترتيب بالظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام في دائرة وحدة يكون نصف قطرها OD [[مقياس (مزولة)|مقياسًا]].]]

استُمِدّت الكلمة الإنجليزية من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني «انحناء، خليج»، وأيضاً «طَوْق الثَوْب: الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني [[توجة|تُوجة]]»، واختيرت على أنها ترجمة للكلمة العربية الأصيلة «جَيْب» -التي تعني "طوق القميص"- في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال [[محمد بن جابر بن سنان البتاني|البتاني]] [[محمد بن موسى الخوارزمي|والخوارزمي]] إلى [[لاتينية العصور الوسطى|اللغة اللاتينية للقرون الوسطى]].{{للهامش|101}} كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية «جَيْب» التي هي تحريف للكلمة جِيبَا التي نشأت في حد ذاتها من الكلمة [[اللغة السنسكريتية|السنسكريتية]] जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها ज्या / jyā إلى «وتر قوس المحارب»؛<ref name="مولد تلقائيا3">{{استشهاد مختصر|Plofker|2009|ص=257|لغة=en}}</ref><ref name="REF2">{{استشهاد مختصر|Merlet|2004|ص=196|لغة=en}}</ref> حيث استُعمل مصطلح «جَيْب» في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر، وهو يمثل نصف وتر ضعف القوس؛<ref group=عر>{{استشهاد مختصر|الكلنبوي|2019|ص=151}}</ref> أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]. في القرن الحادي عشر، شرح [[أبو الريحان البيروني]] ذلك في كتابه [[القانون المسعودي]]:<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|البيروني|2002|ج=1|ص=275}}</ref>

{{اقتباس|إن هذه الصناعة إذا أريد إخراجها إلى الفعل بمزاولة الحساب فيها فالأعداد مفتقرة إلى معرفة أوتار قسي الدوائر، فلذلك سمى أهلها كتبها العلمية زيجات من الزيق الذي هو بالفارسية زه، أعني الوتر، وسموا أنصاف الأوتار جيوباً، وإن كان اسم الوتر بالهندية جِيبَا ونصفه جِيبَارد، ولكن الهند إذا لم يستعملوا غير أنصاف الأوتار أوقعوا اسم الكل على النصف تخفيفاً في اللفظ}}

أما الاسم العربي لدالة الـ«ظل»، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل [[مقياس (مزولة)|المقياس]] على سطح أفقي في أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فيقال أن طول الظل يساوي عدة مرات طول المقياس،<ref name=":0" group="عر" /><ref name="مولد تلقائيا3" /> عند تمثيل الرياضيين المسلمين للدالة على دائرة وحدة اعتمد نصف قطرها مقياسًا، كانت النتيجة خطاً مستقيماً يمُس الدائرة،<ref group="عر" name=":0">{{استشهاد مختصر|راشد|2005|ص=642-647|ج=2}}</ref> لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم [[توماس فينك]]) على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني «يمُس».<ref name="مولد تلقائيا2">{{استشهاد مختصر|Simpson|1989|ج=17|ص=608|لغة=en}}</ref><ref name="مولد تلقائيا16">{{استشهاد مختصر|Rashid|1996|ص=505، 512|ج=2|لغة=en}}</ref>

وفقتً لطريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (تسمية دالة القاطع في عصر الحضارة الإسلامية) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أطلق الغربيون عليه اسم «secant»؛<ref name="مولد تلقائيا16" /> استمدت هذه الكلمة من اللاتينية "secans" التي تعني «يَقْطَع».<ref>{{استشهاد مختصر|Simpson|1989|ج=14|ص=822|لغة=en}}</ref>

أما عن بادئة -co الموجودة في ('''Co'''sine، '''Co'''tangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم [[إدموند غونتر]] الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لعبارة sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى «جيب [[زاويتان متتامتان|الزاوية المتممة لزاوية]]»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛<ref name="Roegel_2010">{{استشهاد مختصر|Roegel|2010|ص=4|لغة=en}}</ref> أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛<ref name="مولد تلقائيا3" /> التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب [[قوس (هندسة)|القوس]] المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس»<ref group ="عر">{{استشهاد مختصر|الفيروزأبادي|1998|ص=1298}}</ref> أو «نهاية» أو «طَرَف» عموماً، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر آنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.<ref name="مولد تلقائيا3" /><ref name="Datta">{{استشهاد مختصر|Datta|1983|ص=40|لغة=en}}</ref>

== التاريخ ==
{{مفصلة|تاريخ حساب المثلثات}}

=== العصر القديم ===
[[ملف:Plimpton 322.jpg|تصغير|180x180px|اللوح المسماري المعروف باسم [[بليمبتون 322]]، يقال عنها أنها تحتوي على جدول [[قاطع (حساب المثلثات)|القواطع]] لخمسة عشر زاوية تتراوح بين 30 و45 درجة.|يمين]]

[[ملف:Head of Hipparchus (cropped).jpg|تصغير|182x182px|[[أبرخش]]، الملقب بـ «أبي حساب المثلثات»]]

عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في [[علم الفلك]]، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في [[بلاد الرافدين]].

استنادًا إلى أحد التفسيرات [[كتابة مسمارية|للوحة المسمارية]] [[بليمبتون 322]] (قرابة 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن [[بلاد بابل|البابليين]] القدماء لديهم جدول [[قاطع (حساب المثلثات)|القواطع]]. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول [[ثلاثية فيثاغورس|ثلاثيات فيثاغورس]]، أو حل [[معادلة تربيعية|المعادلات التربيعية]]، أو [[جداول مثلثية|جدول مثلثي]].<ref>{{استشهاد مختصر|Krantz|2010|ص=81|لغة=en}}</ref><ref>{{استشهاد مختصر|Eves|1983|ص=96|لغة=en}}</ref>

تعد [[مبرهنة طاليس]] من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس [[طاليس]] في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع [[الهرم الأكبر|الهرم خوفو]]، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار [[مبرهنة فيثاغورس]] أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات. أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني [[أبرخش]] (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص [[وتر دائرة|بدالة الوتر]]، لهذا السبب أطلق عليه اسم «أبي حساب المثلثات». وضع [[منيلاوس الإسكندري]] أساسا [[حساب المثلثات الكروية|للمثلثات الكروية]].<ref name="Boyer_19912" /> في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني [[بطليموس]] [[الإسكندرية|الإسكندري]] جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من [[المجسطي]].

=== الهنود ===
[[ملف:2064 aryabhata-crp.jpg|215x215px|تصغير|تمثال العالم الهندي [[أريابهاتا]] (476-550 م) في {{وإو|تر=Inter-University Centre for Astronomy and Astrophysics|عر=المركز المشترك بين الجامعات لعلم الفلك والفيزياء الفلكية}} (IUCAA) في [[بونه]]، الهند. يقال عن هذا العالم أنه أول من أدخل دالة الجيب ووضع أول جدول لها.<ref name="مولد تلقائيا3" />]]
كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في [[الهند]]. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب «[[سوريا سدهانتا|سوريا سِدْهانْتا]]»، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية «سِدْهانْتا» أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، و[[سهم (حساب المثلثات)|سهم]] الزاوية (1 - جيب تمامها)، و[[قوس الجيب|دالة الجيب العكسية]].<ref name="Boyer_19912" /> يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى الدوال [[جيا وكوتي جيا وأوتكراما جيا|"جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا"]] التي استخدمها الهنود في علم الفلك في الحقبة [[إمبراطورية جوبتا|الجوبتية]]، عن طريق الترجمة من [[اللغة السنسكريتية|السنسكريتية]] إلى العربية.<ref name="Boyer_19912">{{استشهاد مختصر|Boyer|1991|ص=210|لغة=en}}</ref>

كان [[بهاسكارا الثاني]]، الذي عاش في القرن الثاني عشر، من أوائل الذين حسبوا جيب مجموع زاويتين (sin (a+b)) أو طرحهما (sin (a-b))، كما يأتي:<ref name="مولد تلقائيا3" />
:{{وسط|1=sin (a+b) = cos(a).sin(b) + sin(a).cos(b)}}

خطا [[مادهافا من سانغماغراما|مادهافا السانغماغرامي]]، قرابة العام 1400، خطوات أولى ومهمة في [[تحليل رياضي|تحليل]] الدوال المثلثية بدلالة [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلات غير المنتهية]]، ويُعتقد أنه وضع [[متسلسلات مادهافا]]، التي سميت باسمه، قبل قرنين من وضعها في أوروبا.<ref name="mact-biog2" group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html
| عنوان = Madhava of Sangamagrama
| موقع = School of Mathematics and Statistics University of St Andrews
| تاريخ الوصول = 08-09-2007
|مؤلف1=  J. J. O'Connor
|مؤلف2= E. F.Robertson
| لغة = en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20060514012903/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html
| حالة المسار = dead
| تاريخ أرشيف = 2006-05-14
}}</ref>

=== عصر الحضارة الإسلامية ===
{{أيضا|الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية}}
[[ملف:Khalili_Collection_Islamic_Art_sci_0040.1_CROP.jpg|يمين|تصغير|210x210بك|يستخدم [[ربع مجيب|الرُبْع المُجَيَّب]] لايجاد [[جيب (رياضيات)|جيوب]] الزوايا؛ يعود هذا الربع الموضح في الصورة إلى زمن [[الدولة العثمانية|الخلافة العثمانية]] (أربعينيات القرن التاسع عشر)؛ اخترعت الأداة لأول مرة من قبل [[محمد بن موسى الخوارزمي]] لأغراض فلكية.<ref>{{استشهاد مختصر|Walker|1999|ص=167-168|لغة=en}}</ref>]]
[[ملف:Old-tangens.gif|تصغير|245x245px|تعريف الظل، وظل التمام، والقاطع وقاطع التمام عند رياضياتِيِي عصر الحضارة الإسلامية. حيث أن القطعة المستقيمة AD تمثل [[مقياس (مزولة)|المقياس]] (عمودي في الأعلى وأفقي في الأسفل)، والقطعة المستقيمة OD تمثل ظله.]]
[[ملف:Biruni-russian.jpg|تصغير|[[أبو الريحان البيروني]] (973-1048 م)، استخدم حساب المثلثات لقياس نصف قطر الأرض ومحيطها.|206x206بك]]

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من [[الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية|الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية]]، كما كان [[قانون الجيب]] معروفاً، وكان يستعمل في معضلة [[حل المثلثات]].<ref name="Gingerich_1986">{{استشهاد مختصر|Gingerich|1983|ص=74|لغة=en}}</ref> باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الهنود،<ref group="ملاحظة">كانت العلاقة المثلثية لدالة الظل معروفة عند الهنود، ولكن لم يعتبروها كميةً مثلثيةً مستقلة كدالة الجيب.</ref> اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام؛ حيث تنسب أقدم الأعمال المتبقية إلى [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]] [[حبش الحاسب|وحبش الحاسب]] اللذين اعتبرا الدوال الأربعة الأخيرة.<ref name="مولد تلقائيا3" />

في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج [[محمد بن موسى الخوارزمي]] جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام وأول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من [[السندهند|زيج السندهند]] (تتضمن جدولاً للجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية.في القرن نفسه، قام [[حبش الحاسب]] بإنتاج أول جدول لظل التمام.{{للهامش|103}}<ref name="Sesiano">{{استشهاد مختصر|Sesiano|2000|ص=157|لغة=en}}</ref>

في البداية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة. حيث اعتبرت ظل التمام، التي كانت تسمى «الظل المستوي» أنذاك، طول خيال [[مقياس (مزولة)|المقياس]] العمودي ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) أصابع؛ بينما اعتبرت دالة الظل، التي كانت تسمى «الظل المعكوس»، طول خيال المقياس الأفقي؛ في الأصل، استُخدمت هذه المفاهيم للحساب بال[[مزولة]].<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|البيروني|2002|ج=1|ص=225}}</ref> كان يسمى وترا المثلث القائم (القطعة AO في الصورة المرفقة) «قطر الظل الأول» (في الحالة الثانية) و«قطر الظل الثاني» (في الحالة الأولى) اللذان يطلق عليهما الآن القاطع وقاطع التمام، على التوالي. في القرن العاشر ميلادي، قدم الفيلسوف وعالم الرياضيات [[الفارابي]]، في كتابه «شرح كتاب المجسطي»، تعريفات هذه الدوال الأربع بشكل مستقل عن المزولات، وقام بتعريفها مع الجيب وجيب التمام في الدائرة المثلثية [[بطليموس|البطلمية]] التي طول نصف قطرها 60 (نصف القطر معبر عنه [[نظام عد ستيني|بالنظام الستيني]]). وضع [[محمد بن جابر بن سنان البتاني|محمد بن جابر البتاني]] العلاقات الأساسية بين الدوال الست في القرن نفسه. وحَّد [[أبو الوفاء البوزجاني]] في النصف الثاني من القرن العاشر التوحيد الأخير واستعمل للمرة الأولى [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] لتعريف الدوال المثلثية، كما هو الحال في الرياضيات الحديثة.

اكتشف [[محمد بن جابر بن سنان البتاني|محمد بن جابر البتاني]] [[قانون جيب التمام]] للمثلثات الكروية.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|الجيوسي|2005|ص=129}}</ref> واكتشف [[أبو الوفاء البوزجاني]] في القرن العاشر تلك المتطابقات المثلثية في شكلها الحالي، وقد عبَّر الرياضياتيون اليونانيون عنها بدلالة الأوتار:<ref name="Sesiano" />

<div style="direction: ltr">
:sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
:cos(2a) = 1 -2sin<sup>2</sup>(a)
:sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
</div>

ويقال عنه أنه أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات الكروية، ولكن اختلف المؤرخون حول أول من وضع قانون الجيب للمثلثات الكروية، حيث نُسب هذا القانون إلى كل من: [[أبو الوفاء البوزجاني]] و[[أبو محمود الخجندي]] و[[نصير الدين الطوسي]] و[[منصور بن عراق]]؛<ref name="Sesiano"/>

طُوِّرت طريقة [[تثليث (تقنية)|التثليث]] لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل [[مساحة (علم)|مسح الأراضي]] و[[الجغرافيا في عصر الحضارة الإسلامية|الجغرافيا الإسلامية]]،<ref>{{استشهاد مختصر|Rashid|1996|ج=3|ص=769|لغة=en}}</ref> كما وصفها [[أبو الريحان البيروني]] في كتابه [[القانون المسعودي]] في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم [[الأرض]] والمسافات بين الأماكن المختلفة.<ref group="وب">{{استشهاد بويب
|مؤلف1= J. J. O'Connor  
|مؤلف2=E. F. Robertson
|عنوان = Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni
|مسار = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Biruni/
|مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200717231103/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Biruni/
|تاريخ أرشيف = 17-07-2020
|تاريخ الوصول = 24-07-2023
|موقع = School of Mathematics and StatisticsUniversity of St Andrews
|لغة = en
}}</ref> حل [[عمر الخيام]] [[معادلة تكعيبية|معادلات من الدرجة الثالثة]] في نهاية القرن الحادي عشر عن طريق الحلول العددية التقريبية التي حصل عليها عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، اعتبر [[نصير الدين الطوسي]] لأول مرة حساب المثلثات تخصّصًا منفصلاً عن علم الفلك،<ref name="مولد تلقائيا17">{{استشهاد مختصر|Tonias|2016|ص=16|لغة=en}}</ref> وذكر في كتابه «شكل القطاع» [[قانون الجيب|قانوني الجيب]] أحدهما للمثلثات المستوية والآخر للمثلثات الكروية، واكتشف [[قانون الظل]] للمثلثات الكروية، ولم يتفق المؤرخون حول أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات المستوية، حيث ينسب هذا القانون إلى كل من [[أبو الوفاء البوزجاني]] و[[منصور بن عراق]] (تلميذه) و[[نصير الدين الطوسي]].

في القرن الخامس عشر، قام [[غياث الدين الكاشي]] بالتعبير عن مبرهنة فيثاغورس المعممة، التي أصبحت تطلق عليها الآن «[[قانون جيب التمام]]»، بدلالة جيب التمام بعدما أنشئت جداول لها التي أتاحت له صياغة المبرهنة، والبرهنة عليها في كتابه [[مفتاح الحساب]]؛ لذلك، أطلق الفرنسيون على هذا القانون اسم «مبرهنة الكاشي» {{فرن|Théorème d'Al-Kashi}} تكريما له؛<ref name="مولد تلقائيا18"/> وقدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث؛<ref name="مولد تلقائيا18"/><ref name="REF-100">{{استشهاد مختصر|Pickover|2009|ص=106|لغة=en}}</ref> مع العلم أن هذه المبرهنة عَبَّرَ عنها سابقًا العالم اليوناني [[إقليدس]] في كتابه [[الأصول (كتاب)|الأصول]]، ولكن عدم وجود الدوال المثلثية آنذاك وكذلك الجبر أدى إلى استعمال مجموع وفرق المساحات.<ref name="مولد تلقائيا18">{{استشهاد مختصر|Guergour|2005|ص=420|لغة=fr}}</ref> صاغ الكاشي أيضًا المتطابقة التالية: sin(3Φ) = 3 sin(Φ) - 4sin<sup>3</sup>(Φ) واستخدمها لحساب جيب الزاوية 1° بوضع Φ = 1° وx = sin (1°) ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة المتحصل عليها، ووصل إلى 16 منزلة عشرية؛ هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ«صيغة فييت» ونسبوها إلى [[فرانسوا فييت]] عن طريق الخطأ، ولكن [[غياث الدين الكاشي|الكاشي]] هو أول من اكتشف تلك الصيغة.<ref>{{استشهاد مختصر|Anderson|2004|ص=139|لغة=en}}</ref> وضع الرياضياتي وحاكم [[الدولة التيمورية]] [[ألغ بك]]، جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت تقريبًا.

=== الصينيون ===
لم يدرس العلماء [[الصين]]يون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان [[شين كوا]] و[[غوا شوجينغ]] الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كوا علاقة تقريبية لحساب [[طول قوس|طول القوس]] s بدلالة [[قطر (هندسة)|قطر الدائرة]] d و[[عمق قوس|عمق القوس]] v وطول [[وتر دائرة|الوتر]] c:<ref>{{استشهاد مختصر|Imhausen|2007|ص=308|لغة=en}}</ref> <math>s = c + \frac{2v^2}{d}</math>

=== النهضة الأوروبية وما بعدها ===

[[ملف:Bernegger_Manuale_137.jpg|تصغير|282x282px|صفحة من كتاب يعود تاريخه إلى عام 1619 تحتوي على جدول للدوال التالية: الجيب، والظل والقاطع.]]

كانت أطروحات العالم [[ريغيومونتانوس]] وتعليقاته، خاصةً كتابه المعنون كل شيء عن المثلثات {{لات|De triangulis omnimodis}} في 1464) على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا.<ref name="Boyer_19912" /> علّق في كتابه عن المثلثات:<ref name="مولد تلقائيا17" />

{{اقتباس|أنت من تريد دراسة أشياء كبيرةً وعجيبةً، ومن تتعجب من حركة النجوم، عليك أن تدرس هذه المبرهنات حول المثلثات. معرفتك لهذه الأفكار ستفتح لك الباب لعلم الفلك كله ولبعض المعضلات الهندسية.}}

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي [[ألبير جيرار]] (1595 – 1632 م) الاختصارات sin، وcos، وtan للمرة الأولى في كتابه حساب المثلثات {{فرن|Trigonométrie}}.<ref name=MacTutor" group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Girard_Albert/
| عنوان = Albert Girard
| موقع = School of Mathematics and Statistics University of St Andrews
|مؤلف1=  J. J. O'Connor
|مؤلف2= E. F.Robertson
| لغة = en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20230205134022/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Girard_Albert/
| تاريخ الوصول = 25-07-2023
| تاريخ أرشيف = 05-02-2023
}}</ref>

ربما كان الكتاب ''Opus palatinum de triangulis'' ل[[غيورغ يواخيم ريتيكوس]]، طالب [[نيكولاس كوبرنيكوس|كوبرنيكوس]]، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكوس [[فالنتينوس أوتو]] في عام 1596.

استعمل عالم الرياضيات [[الدنمارك]]ي [[توماس فينك]] مصطلحي "Tangent" و"Secant" للمرة الأولى في كتابه المعنون الهندسة الدائرية {{لات|Geometria rotundi}}.<ref name="Fincke" group="وب">{{استشهاد بويب
|مؤلف1= J. J. O'Connor
|مؤلف2=  E. F. Robertson
| مسار = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fincke/
| عنوان = Thomas Fincke
| تاريخ الوصول = 25-07-2023
|لغة=en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170107035144/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fincke.html
| تاريخ أرشيف = 2017-01-07
|موقع = School of Mathematics and StatisticsUniversity of St Andrews
}}</ref>

برهن [[غوتفريد لايبنتس]] على أن دالة الجيب (sin(x ليست [[دالة جبرية]] تتبع x، أي أنها [[دالة متسامية]] في مقال نُشر عام 1682م.

كانت معظم مقدمة [[ليونهارت أويلر]] في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع [[صيغة أويلر]]، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).<ref name="Boyer_19912" />

في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي [[فينتشنزو ريكاتي]] [[دوال زائدية|الدوال الزائدية]]، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.<ref>{{استشهاد مختصر|Bradley|2007|ص=100|لغة=en}}</ref>

=== الدوال المثلثية التاريخية ===
هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر [[سهم (حساب المثلثات)|والسهم]] (يطلق عليها أيضا اسم «الجيب المعكوس»{{للهامش|102}}) وسهم التمام ونصف السهم،<ref>{{استشهاد مختصر|Nielsen|1966|ص=xxiii–xxiv|لغة=en}}</ref> و[[قاطع خارجي|القاطع الخارجي]] وقاطع التمام الخارجي.

<div style="direction:ltr;">
<math>
\begin{array}{lcl}
\operatorname{crd} (\theta) = 2\sin (\tfrac {\theta}{2})\\
\operatorname{versin} (\theta) = 1 -\cos (\theta) = 2 \sin ^2 (\tfrac{\theta}{2})\\
\operatorname{coversin} (\theta) = 1 -\sin (\theta) = \operatorname{versin} \left(\frac \pi{2} - \theta \right)\\
\operatorname{haversin} (\theta) = {1 \over 2} \operatorname{versin} (\theta) = \sin ^2 (\tfrac{\theta}{2})\\
\operatorname{exsec} (\theta) = \sec (\theta) - 1\\
\operatorname{excsc} (\theta) = \operatorname{exsec} \left(\frac \pi{2} - \theta \right) = \csc (\theta) - 1
\end{array}
</math>
</div>

== وحدات قياس الزوايا ==
'''[[درجة (زاوية)|الدرجة]]''': يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءاً متساوياً، يشار إليها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة عليا.

'''[[راديان|الراديان]]''' أو '''الزاوية نصف القطرية''' أو '''التقدير الدائري''': يساوي الزاوية المقابلة [[قوس (هندسة)|لقوس]] طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان. هناك وحدة مشتقة من الراديان وهي الميليراديان، تُعرَّف على أنها جزء من الألف من 1 [[راديان]]؛ تُستَخدَم الميليراديان في ضبط الرؤية عند استخدام [[سلاح ناري|السلاح الناري]].<ref>{{استشهاد مختصر|Air Force|1954|ص=33|لغة=en}}</ref>

'''[[غراد|الغراد]]''': تعادل 1/400 من قياس [[دائرة|الدائرة]] الكاملة، أو 100 جزء من [[زاوية قائمة|الزاوية القائمة]]، يشار إليها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير أعلى.<ref>{{استشهاد مختصر|Lindeburg|2012|ص=78-7|لغة=en}}</ref>

'''[[دورة (هندسة رياضية)|الدورة]]''': تعادل 360° أو 2π راديان.

'''[[دقيقة القوس وثانيته]]''': هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في [[نظام إحداثيات جغرافية|نظام الإحداثيات الجغرافية]].

* '''دقيقة القوس''': تساوي 1/60 درجة أي {{يسار إلى يمين|0.01{{سطر فوقي|6}}°}}،<ref name=":4" group="ملاحظة">يعني الشريط الأفقي فوق الرقم أنه يتكرر إلى ما لا نهاية.</ref> يشار إليها بقيمة متبوعة [[فاصلة عليا|بفاصلة عليا]] (').
* '''ثانية القوس''': تساوي 1/3600 درجة أي {{يسار إلى يمين|0.0002{{سطر فوقي|7}}°}}،<ref name=":4" group="ملاحظة" /> يشار إليها بقيمة متبوعة [[علامتا تنصيص|بعلامتي التنصيص]] (").

{| class="wikitable"
!وحدة
! colspan="8" |مقدار
|- valign="top"
|'''[[درجة (زاوية)|درجة]]'''
|0°
|30°
|45°
|60°
|90°
|180°
|270°
|360°
|- valign="top"
|'''[[راديان]]'''
|0
| π/6
| π/4
| π/3
| π/2
|π
| 3π/2
|2π
|- valign="top"
|'''[[غراد]]'''
|0<sup>g</sup>
|{{يسار إلى يمين|{{كسر|100|3}}<sup>g</sup>}}
|50<sup>g</sup>
|{{|{{يسار إلى يمين|{{كسر|200|3}}<sup>g</sup>}}
|100<sup>g</sup>
|200<sup>g</sup>
|300<sup>g</sup>
|400<sup>g</sup>
|- valign="top"
|'''[[دورة (هندسة رياضية)|دورة]]'''
| 0
| 1/12
| 1/8
| 1/6
| 1/4
| 1/2
| 3/4
|1
|}

=== راديان مقابل درجات ===
في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس [[زاوية (هندسة)|الزاوية]]. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، وتقاس الزوايا في أغلب الحالات [[درجة (زاوية)|بالدرجات]].

لا يكون المتغير زاويةً عند [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]] باستعمال الدوال المثلثية، ولكنه بالأحرى [[عدد حقيقي]]. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ [[قوس (هندسة)|قوس]] [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] المحددة بزاوية [[رأس (هندسة)|رأسها]] مركز الدائرة. لذلك، يُستخدم [[راديان|الراديان]] وحدةً للزاوية.<ref>{{استشهاد مختصر|Berresford|2015|ص=553|لغة=en}}</ref>

تكون الصيغ المستعملة عند حساب [[مشتق (رياضيات)|المشتقات]] و[[تكامل|التكاملات]] أبسط عند استعمال الراديان، لذلك فهو المُستعمل عادةً اصطلاحاً، أي إذا وحدة الزاوية غير مُذكورة، فيُفترض أن تكون الراديان.

== التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية ==
{{أيضا|مثلث قائم}}

[[ملف:Trigonometry triangle-ar.svg|يسار|250x250px]]

يوضح الشكل المقابل [[مثلث قائم|مثلثًا قائماً]] يتكون من ثلاثة أضلاع a و b و c وزوايا A و B و C. الزاوية C قياسها 90° وزاويتان أخريان [[زاوية حادة|حادتان]] [[زاويتان متتامتان|ومتتامتان]]، بمعنى آخر، مجموع قياس الزاويتين يساوي 90° أو π/2 [[راديان]].

يسمى الضلع المقابل للزاوية C [[وتر (مثلث)|الوتر]] (كما هو موضح في الشكل المقابل).
عند اعتبار الزاوية A، يسمى الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة بالضلع المجاور للزاوية A (الضلع AC) والضلع المقابل للزاوية A (الضلع BC).

تعرف الدوال المثلثية الرئيسة للزاوية A كما يأتي:<ref name="م3" group="عر"/><ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد مختصر|Protter|1970|ص=APP-2,APP-3|لغة=en}}</ref>

* '''[[جيب (رياضيات)|جيب الزاوية]]''': هو نسبة الضلع المقابل إلى [[وتر (مثلث)|الوتر]]. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر:
<div style="direction: ltr">sin(A) = a/c</div>
* '''[[جيب التمام|جيب تمام]] الزاوية''': هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى وتر المثلث، بتعبير آخر:
<div style="direction: ltr">cos(A) = b/c</div>
* '''[[ظل (حساب المثلثات)|ظل]] الزاوية''': هو نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور لها، أي:

<div style="direction: ltr">tan(A) = a/b = (a/c) x (c/b) = (a/c)/(b/c) = sin(A)/cos(A)</div>

وفقًا [[تشابه (هندسة)|للتشابه الهندسي]]، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني أن الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.

بالنسبة للزاوية B، يمكننا أيضًا حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو أيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح. علاقة الجيب وجيب التمام [[زاويتان متتامتان|بالزوايا المتتامة]] رياضيا هي كما يلي:<ref name="مولد تلقائيا1" />

<div style="direction:ltr;">
:sin(A) = cos(B) = cos((π/2) - A) = cos(90° - A)
:cos(A) = sin(B) = sin((π/2) - A) = sin(90° - A)
</div>

كلما ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع المقابل. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع المقابل يكون مطابقا للوتر (وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند حوالي 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، وبالتالي فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).

يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها مقاليب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:<ref name="مولد تلقائيا1" />

* '''[[ظل التمام|ظل تمام]] الزاوية''': هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل، أي:
:cot (A) = b/a = cos(A)/sin(A) = 1/tan(A)
* '''[[قاطع (حساب المثلثات)|قاطع]] الزاوية''': هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المجاور، أي:
:sec (A) = c/b = 1/cos(A)
* '''[[قاطع التمام|قاطع تمام]] الزاوية''': هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المقابل، أي:
:csc (A) = c/a = 1/sin(A)

نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هو مذكور أعلاه في حالة الجيب وجيب التمام، أيضًا على الدوال المثلثية الأخرى:<ref name="مولد تلقائيا1" />
<div style="direction:ltr;">
:tan(A) = cot(B) = cot((π/2) - A) = cot(90° - A)
:cot(A) = tan(B) = tan((π/2) - A) = tan(90° - A)
:sec(A) = csc(B) = csc((π/2) - A) = csc(90° - A)
:csc(A) = sec(B) = sec((π/2) - A) = sec(90° - A)
</div>

'''ملخص العلاقات'''

تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:

<div style="direction: ltr">
* sin (A) = {{كسر|المقابل|الوتر}}
* cos (A) = {{كسر|المجاور|الوتر}}
* tan (A) = {{كسر|المقابل|المجاور}}
* cot (A) = {{كسر|المجاور|المقابل}}
* sec (A) = {{كسر|الوتر|المجاور}}
* csc (A) = {{كسر|الوتر|المقابل}}
</div>

== التعريف باستعمال دائرة الوحدة ==
{{أيضا|دائرة وحدة}}

[[ملف:Unit Circle Definitions of Six Trigonometric Functions.svg|تصغير|300x300px|(2.أ) في هذا الرسم، الدوال المثلثية الستة لزاوية اختيارية θ ممثلة إحداثياتٍ ديكارتية للنقاط المتعلقة بدائرة الوحدة. الإحداثيات الصادية لكل من A وB وD هي sin (θ) وtan (θ) وcsc (θ) على التوالي. في حين أن الإحداثيات السينية لكل من A وC وE هي cos (θ) وcot (θ) وsec (θ) على التوالي.|يسار]]

[[ملف:Circle-trig6.svg|تصغير|300x300بك| رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر AD الذي يصنع زاوية θ مع محور السينات<ref group="ملاحظة" name="مولد تلقائيا20">يسمى أيضًا محور الفواصل أو محور الأفاصيل</ref> في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية: نحو sin وcos وtan وcsc وsec وcot فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل: cvs وexcsc وcrd وexsec وversin.]]

[[ملف:Trigonometric function quadrant sign-ar.svg|تصغير|إشارات الدوال المثلثية من الربع الأول إلى الرابع.<ref name="Heng">{{استشهاد مختصر|Heng|2001|ص=228|لغة=en}}</ref>|يمين]]يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: [[جيب (رياضيات)|الجيب]] و[[جيب التمام]] و[[ظل (حساب المثلثات)|الظل]] ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ [[دائرة وحدة|'''بدائرة الوحدة''']]. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. مع أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 وπ/2 [[راديان]] فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ θ<ref group="ملاحظة">عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ θ > 0، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ θ < 0.</ref> دائرةَ الوحدةِ في النقطة A=(x,y) فإنّ الدالةُ cos(θ) تُعرّف على أنها الإحداثي x والدالة sin(θ) هي الإحداثي y لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: (x, y) = (cos(θ), sin(θ)). وبرسم مماسٍ من النقطة (x, y) يقطعُ محورَي السينات والصادات في النقطتين E = (a,0), F=(0,b) على الترتيب، فإنَّ a = sec(θ), b = csc(θ).

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في [[مجال فاصل (رياضيات)|المجال]] (0, π/2) باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة OA = r هو [[وتر (مثلث)|وترٌ للمثلث القائم]]. ولأنّ كل نقطة P = (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) على دائرة الوحدة تُحقّق x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1 من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم OCA، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات x, y يُنتِجُ [[متطابقة فيثاغورس المثلثية|متطابقة فيثاغورس]]: cos<sup>2</sup>θ+sin<sup>2</sup>θ=1. وأخيراً فإنَّ المسافات AF, AE تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: cot(θ) وtan(θ) على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة OAF وOAE وOEF للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathworld.wolfram.com/CircularFunctions.html
| عنوان = Circular Functions
| تاريخ الوصول = 23-07-2023
| الأول = Eric W.
| الأخير = Weisstein
| موقع = Wolfram Mathworld
| لغة = en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170403122941/http://mathworld.wolfram.com/CircularFunctions.html
| تاريخ أرشيف = 3 أبريل 2017
}}</ref>

:<math>\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.</math>

بما أنَّ [[دوران (هندسة)|دوراناً]] بزاوية 2π± لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط F, A, E ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ 2π. وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن [[دالة دورية|دوالٌ دورية]] ذات دور 2π. بمعنى آخر، المساواةَ sinθ = sin(θ + 2kπ) وcosθ = cos(θ + 2kπ) محققة أياً كانت قيمة θ زومن أجل أي عدد صحيح k. ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدور الأساسي لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصيل ، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دور أساسي π.<ref name="م3" group="عر"/>

=== الدوران ===
يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:
{{تحديد}}
{| class="wikitable mw-collapsible"
!انعكاس حول المحور الأفقي<ref name="مولد تلقائيا9" group="عر">{{استشهاد مختصر|موير|2004|ص=68}}</ref>
!دوران بزاوية π/2
!دوران بزاوية π
!دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح)
!انعكاس حول المحور العمودي
|-
|sin(-θ)= -sin (θ)
|sin(θ + (π/2))= +cos (θ)
|sin(θ + π) = -sin (θ)
|sin(θ + 2kπ) = +sin (θ)
|sin(π-θ)= sin(θ)
|-
|cos(-θ)= +cos (θ)
|cos(θ + (π/2))= -sin (θ)
|cos(θ + π) = -cos (θ)
|cos(θ + 2kπ) = +cos (θ)
|cos(π-θ)= -cos (θ)
|-
|tan(-θ)= -tan (θ)
|tan(θ + (π/2))= -cot (θ)
|tan(θ + π) = +tan (θ)
|tan(θ + 2kπ) = +tan (θ)
|tan(π-θ)= -tan (θ)
|-
|cot(-θ)= -cot (θ)
|cot(θ + (π/2))= -tan (θ)
|cot(θ + π) = +cot (θ)
|cot(θ + 2kπ) = +cot (θ)
|cot(π-θ)= -cot (θ)
|-
|sec(-θ)= +sec (θ)
|sec(θ + (π/2))= -csc (θ)
|sec(θ + π) = -sec (θ)
|sec(θ + 2kπ) = +sec (θ)
|sec(π-θ)= -sec (θ)
|-
|csc(-θ)= -csc (θ)
|csc(θ + (π/2))= +sec (θ)
|csc(θ + π) = -csc (θ)
|csc(θ + 2kπ) = +csc (θ)
|csc(π-θ)= csc (θ)
|}
<gallery mode="packed" heights="230">
ملف:Sine and cosine animation.gif|رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة
ملف:Trigonometric functions.svg|الدوال المثلثية: {{لون|#00A|الجيب}}، {{لون|#0A0|جيب التمام}}، {{لون|#A00|الظل}}، {{لون|#00A|قاطع التمام (متقطع)}}، {{لون|#0A0|القاطع (متقطع)}}، {{لون|#A00|ظل التمام (متقطع)}}.
</gallery>

== القيم الجبرية ==
{{مفصلة|قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية}}
[[ملف:Unit_circle_angles_color.svg|يسار|تصغير|300x300بك|[[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]]]
[[ملف:30-60-90.svg|تصغير|رسم توضيحي لكيفية حساب جيب زاوية مقدارها 30 درجة باستخدام [[مثلث متساوي الأضلاع]].]]

بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: '''الزوايا الخاصة''' أو '''الزوايا الشهيرة'''.

إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:

<div style="direction: ltr">
:sin (0°) = cos (90°) =0
:sin (90°) = cos (0°) =1
</div>

المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم [[مثلثات قائمة خاصة|مثلث قائم ومتساوي الساقين]]. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي 2√ مرة طول كل من الساقين، إذن:
<div style="direction: ltr">
sin (45°) = cos (45°) =(√2)/2
tan (45°) = cot (45°) = 1
</div>
باستخدام خصائص [[مثلث متساوي الأضلاع]] (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:

<div style="direction: ltr">sin (30°)= cos (60°) = 1/2</div>

وبالمثل، يُحسب على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي 3/2√، نتيجة لذلك:

<div style="direction: ltr">sin (60°)= cos (30°) = √3/2</div>

توفر كتابة البسوط باستعمال جذور تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة مع مقام مساوٍ 2، طريقة سهلة لتذكر القيم.<ref name="Larson_2013">{{استشهاد مختصر|Larson|2013|ص=153|لغة=en}}</ref>

تنص [[مبرهنة نيفن]] على أن القيم [[عدد كسري|الكسرية]] الوحيدة للزاوية θ التي تتواجد في المجال بين [0° ,90°] والتي يكون [[جيب (رياضيات)|جيبها]] عدداً كسريًا هي الزوايا ذات القيم 0 و30 و90 درجة.<ref>{{استشهاد مختصر|Schaumberger|1974|ص=73-76|لغة=en}}</ref> تمتد المبرهنة أيضًا إلى الدوال المثلثية الأخرى وإلى بعض من الزوايا.<ref name="niven">{{استشهاد مختصر|Niven|1963|ص=41|لغة=en}}</ref> بالنسبة للقيم الكسرية لـ ''θ''، فإن القيم الكسرية الوحيدة للجيب أو جيب التمام هي 0 و (1/2)± و 1±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للقاطع أو قاطع التمام هي 1± و 2±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للظل أو ظل التمام هي 0 و1±.<ref>{{استشهاد مختصر|Bennett|2004|ص=322|لغة=en}}</ref>

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات كسرية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يُعبَّر عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، ويعني هذا إنشاء الزوايا ذات الصلة بقيم الجيب وجيب التمام [[إنشاء بمسطرة وفرجار|باستعمال المسطرة والفرجار]].

يمكن التعبير عن جيب زاوية عدد صحيح بالدرجات وجيب تمامها بدلالة [[جذر تربيعي|الجذور التربيعية]] [[جذر تكعيبي|والجذر التكعيبي]] [[عدد مركب|لعدد مركب]]<ref group="ملاحظة">يسمى أيضا "عدد مركب"</ref> غير حقيقي.<ref name=":7" group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi9.html
| عنوان = Trigonometry Angles--Pi/9
| موقع =Wolfram Mathworld
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 25-07-2023
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191230003224/http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi9.html | تاريخ أرشيف = 30 ديسمبر 2019 }}</ref> تسمح [[نظرية غالوا]] بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي [[عدد كسري]]، الجيب وجيب التمام هما [[عدد جبري|عددان جبريان]]، يمكن التعبير عنهما بدلالة [[جذر نوني|الجذور النونية]].<ref name=":7" group="وب"/>

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي [[عدد غير كسري]]، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام [[عدد متسام|عددين متساميين]]. إنها [[لازمة]] [[مبرهنة باكر]]، أُثبتت في عام 1966.<ref>{{استشهاد مختصر|Murty|2014|ص=103|لغة=en}}</ref>

=== القيم الجبرية البسيطة ===
يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية.<ref>{{استشهاد مختصر|Abramowitz|1965|ص=74|لغة=en}}</ref> يمثل الرمز ∞ [[نقطة في اللانهاية|النقطة عند اللانهاية]] على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

[[ملف:Trigonometric functions Simple algebraic values table-ar.svg|700بك]]

== حساب التفاضل والتكامل ==
الدوال المثلثية هي دوال قابلة [[تفاضل|للتفاضل]]. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء [[هندسة رياضية]] من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام [[متسلسلة قوى|متسلسلة القوى]] أو [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]]. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، و[[مبرهنة فيثاغورس|متطابقة فيثاغورس]] هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

=== الاشتقاق والمكاملة ===
{{مفصلة|تفاضل الدوال المثلثية|قائمة تكاملات الدوال المثلثية|قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية}}
[[مشتق (رياضيات)|المشتقات]] الأولى والثانية للدوال المثلثية مع [[مشتق عكسي|مشتقاتها العكسية]] هي كما يلي:<ref>{{استشهاد مختصر|Wintucky|1971|ص=6-7|لغة=en}}</ref>

[[ملف:Calculus of trigonometric functions-ar.svg|700بك]]

=== التعريف بواسطة التكامل ===
يمكن الحصول على تعريف آخر استناداً إلى [[طول قوس|الطول الدقيق لقوس]] الدائرة. باعتبار معادلة النصف الأعلى لدائرة الوحدة <math>y = \sqrt{1-x^2}</math>، يمكن إيجاد العلاقة بين الزاوية θ وsinθ وفقًا للمعادلة التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|Gowers|2010|ص=307|لغة=en}}</ref>

:<math>\int_0^{\sin \theta} \sqrt{1+ \left({d \over dx}\sqrt{1-x^2}\right)^2} dx = \int_0^{\sin \theta} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \theta</math>

وتنتمي الزاوية θ إلى المجال [0، π/2].

=== التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية ===

* الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin x&= \cos x,\\
\frac{d}{dx}\cos x&= -\sin x,\\
\sin 0&=0,\\
\cos 0&=1.
\end{align}
</math>

: كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان [[معادلة تفاضلية|المعادلة التفاضلية]] التالية: y'' = -y (معادلتها المميزة هي m<sup>2</sup>+1 = 0، [[جذر دالة|جذرها]] هي وحدة تخيلية موجبة أو سالبة i±) بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

: الجيب هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:<ref name="م10" group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Trigonometrics/05/
| عنوان = Sine: Introduction to the trigonometric functions (subsection Trigonometrics/05)
| موقع =  Wolfram Research
| تاريخ الوصول = 2020-04-14
|لغة = en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160502083058/http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Trigonometrics/05/ 
| تاريخ أرشيف = 2 مايو 2016 }}</ref>
:: <math>\begin{cases}
  y(0)=0 \\[2pt]
  y\,'(0)=1
\end{cases}</math>

جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:<ref name="م10" group="وب"/>

:: <math>\begin{cases}
  y(0)=1 \\[2pt]
  y\,'(0)=0
\end{cases}</math>
بتطبيق [[قاعدة ناتج القسمة]] على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
:<math>\frac{d}{dx}\tan x = 1+\tan^2 x.</math>

إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:

:<math>y' = 1+y^2</math>

* نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية: <math>ay''+by'+cy=0</math>
: إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل <math>y=A_1e^{m_1x}+A_2e^{m_2x}</math>، حيث ''<math>m_1</math>'' و ''<math>m_2</math>'' هما [[جذر دالة|جذور]] [[معادلة مميزة (تفاضل)|المعادلة المميزة للمعادلة]] (<math>am^2+bm+c=0</math>). أيضا <math>A_1</math> و <math>A_2</math> هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.

: إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور مركبة، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية المركبة:
:<math>y=A_1.e^{(\alpha+i \beta)x}+A_2.e^{(\alpha-i \beta)x}</math>

: حيث α هو الجزء الحقيقي وβ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية المركبة إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور المركبة، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:

:<math>y=A_1.e^ {\alpha x} \cos \beta x+A_2.e^ {\alpha x} \sin \beta x</math>

=== باستعمال المتسلسلات ===
[[ملف:Taylorsine.svg|تصغير|دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة [[متسلسلة تايلور|متعددة الحدود لتايلور]] من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.]]
[[ملف:Taylor_cos.gif|تصغير|الرسوم المتحركة لتقريب جيب التمام بواسطة [[متسلسلة تايلور|متعددة الحدود لتايلور]].]]
[[ملف:Taylorreihenentwicklung_des_Kosinus.svg|تصغير|cos(x) إلى جانب متعددات الحدود الأولى لتايلور <math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>]]
دوال مثلثية هي [[دالة تحليلية|دوال تحليلية]]. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة [[متسلسلة قوى|متسلسلات لانهائية]].

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل [[دالة مستمرة]] على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:<ref name=":83">{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|فصل=8.9|لغة=en}}</ref>

:<math>f(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots </math>

حيث تشير !n إلى [[عاملي]] عدد.

عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى [[متسلسلة ماكلورين]]، رياضيا:<ref name=":83"/>

:<math>f(x)=f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots </math>

: ''ملاحظة:'' الزاوية x مقاسة [[راديان|بالتقدير الدائري]] في جميع السلاسل التالية.

==== متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام ====

* جيب الزاوية:<ref>{{استشهاد مختصر|Ahlfors|1966|ص=43-44|لغة=en}}</ref>

يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

<div style="direction:ltr;">
:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}, \\[8pt]
\end{align}
</math>
</div>

* جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

<div style="direction:ltr;">
:<math>
\begin{align}
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
\end{align}
</math>
</div>

[[نصف قطر التقارب]]<ref group="ملاحظة">'''نصف قطر التقارب''' [[متسلسلة قوى|لمتسلسلة قوى]] هو نصف قطر أكبر [[قرص (رياضيات)|قرص]] [[متسلسلة متقاربة|تتقارب]] فيه المتسلسلة. وهو إما عدد حقيقي غير سالب وإما ∞.</ref> لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى [[دالة صحيحة|دوالتي صحيحتين]]، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم مركبة [[دالة تحليلية تامة التشكل|وتامة التشكل]] على مجمل [[مستو مركب|المستوي المركب]].<ref>{{استشهاد مختصر|Vaughn|2007|ص=184|لغة=en}}</ref>

==== متسلسلات القوى لباقي الدوال ====
الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين π/2- وπ/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 وπ وبين π- و0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة [[متسلسلة لوران]]، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود [[رفع (رياضيات)|المرفوعة]] لِأُس سالب).

بتعبير أدق،U<sub>n</sub> هو [[تبديل متناوب]] من المرتبة n. وB<sub>n</sub> هو [[عدد برنولي|عدد بيرنولي]] من المرتبة n، وE<sub>n</sub>، هو [[أعداد أويلر|عدد أويلر]] من المرتبة n.
{{تحديد}}
[[ملف:Taylor series for Trigonometric function-2-ar.svg|700بك|يسار]]
{{تحديد}}
تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى [[دالة تحليلية جزئية التشكل|دوال جزئية التشكل]]، والتي هي دوال تامة التشكل في كامل المستوي المركب، باستثناء بعض [[نقطة معزولة|النقاط المعزولة]] التي تسمى [[قطب (تحليل مركب)|الأقطاب]]، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/Pole.html
|مؤلف1= Rowland, Todd
|مؤلف2= Weisstein, Eric W.
| عنوان = Pole
| موقع = Wolfram Mathworld
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 25-07-2023
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200318200246/https://mathworld.wolfram.com/Pole.html 
| تاريخ أرشيف = 18 مارس 2020 }}</ref>

يمكن أيضًا حساب [[علاقة استدعاء ذاتي|علاقات الاستدعاء الذاتي]] لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير [[تحليل توافيقي|توافيقي]]: فهي تُعدّد [[تبديل متناوب|التبديلات المتناوبة]] للمجموعات المنتهية.

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستخدم عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من المرتبة n لمتسلسلة بواسطة:
::<math>R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},a<c<x</math>

مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض [[سرعة التقارب]]. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.

لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى (0,n/4)، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى (0, n/2). بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.

==== متسلسلات أخرى ====

يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن [[تحليل كسري جزئي|مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا]]، وفيه تُجمَع [[دالة المقلوب|دوال المقلوب]] المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:<ref name="Aigner_2000">{{استشهاد مختصر|Aigner|2000|ص=149|لغة=en}}</ref>
<div style="direction:ltr;">
:<math>\pi\cot(\pi x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N\frac1{x+n}=\frac1x+\sum_{n=1}^\infty\frac{2x}{x^2-n^2}.</math>
</div>
: يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة حيلة {{وإو|تر=Gustav Herglotz|عر=غوستاف هيرغلوتس|نص=هيرغلوتس}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Remmert|2001|ص=327|لغة=en}}</ref>

ويمكن بالطريقة نفسها إيجاد المفكوكات الكسرية الجزئية لكل من القاطع وقاطع التمام والظل:
[[ملف:Trigonometric functions partial fraction decomposition.svg|يسار|225بك]]
{{تحديد}}

=== الكسور المستمرة المعممة ===
{{أيضا|كسر مستمر معمم}}
الكسور المستمرة المعممة هي تعميم [[كسر مستمر|للكسور المستمرة]] الاعتيادية في المجالين الحقيقي والمركب.

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:<ref>{{استشهاد مختصر|Hijab|2016|ص=207|لغة=en}}</ref>

{{تحديد}}
[[ملف:Generalized continued fraction.svg|600بك|يسار]]
{{تحديد}}

في ما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

[[ملف:Trigonometric function - generalized continued fraction.svg|يسار|700بك]]
{{تحديد}}

=== متسلسلة الجداء اللانهائي ===
الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل المركب:<ref name=":6">{{استشهاد مختصر|Campos|2012|ص=18|لغة=en}}</ref>

<math>\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:<ref name=":6" />

<math>\cos z=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{\left(n-\frac12\right)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>

=== باستخدام المعادلات الدالية ===
يمكن أيضاً تعريف الدوال المثلثية باستخدام [[معادلة دالية|المعادلات الدالية]] المختلفة.

مثلاً،الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من [[دالة مستمرة|الدوال المستمرة]] التي تحقق صيغة الفرق:

cos(x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y

بشرط أن تكون 0 < x > sin(x) > x.cos(x) من أجل 0 < x > 1.

=== في المستوى المركب ===
{{أيضا|تحليل مركب}}

يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام [[عدد مركب|لعدد مركب]] باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع [[دوال زائدية|الدوال الزائدية]]:
[[ملف:Complex Trigonometric functions.svg|يسار|300بك]]
{{تحديد}}
من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم المركبة بيانياً عن طريق [[تلوين المجال|التمثيل بتلوين المجال]]. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال المركبة من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو [[قطب (تحليل عقدي)|أقطاب]] بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك [[دوال زائدية#الدوال الزائدية للأعداد المركبة|التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية]] توضح العلاقات بينهما.<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| الأخير = Gandhi
| الأول = Viswanathan
| مسار = https://gandhiviswanathan.wordpress.com/2014/10/07/domain-coloring-for-visualizing-complex-functions/
| عنوان = Domain coloring for visualizing complex functions
| تاريخ =07-10-2014
| موقع = Gandhi Viswanathan's Blog
| تاريخ الوصول = 28-07-2023
|لغة=en
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200412182731/https://gandhiviswanathan.wordpress.com/2014/10/07/domain-coloring-for-visualizing-complex-functions/
|تاريخ أرشيف=2020-04-12}}</ref>

عند تمثيل الدوال في المستوى المركب، تُمثَّل [[عمدة عدد مركب|العمدة]] بالألوان، و[[معيار عدد مركب|المعيار]] بوسائل أخرى، مثل ال[[سطوع]] أو [[تلون|الإشباع اللوني]].

<gallery>
Complex_sin.jpg|sin z
Complex_cos.jpg|cos z
Complex_tan.jpg|tan z
Complex_Cot.jpg|cot z
Complex_Sec.jpg|sec z
Complex_Csc.jpg|csc z
Complex coloring.jpg|التمثيل البياني للعدد المركب z = x + iy الذي استخدم في التمثيلات البيانية.
</gallery>

== الخصائص ==

=== زوجية وفردية ===
{{مفصلة|دوال زوجية وفردية}}
الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطاً محدداً يتعلق [[تناظر|بالتناظر]].

جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي فردية، أي:
[[ملف:Even and odd trigonometric functions.svg|يسار|125بك]]
{{تحديد}}

=== دورية ===
{{مفصلة|دالة دورية}}الدوال المثلثية كلها [[دالة دورية|دوالٌ دوريةٌ]] أصغر دور لها هو 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دور لها هو π، أي، من أجل عدد صحيح k، يكون:
[[ملف:Trigonometric functions periodicity.svg|يسار|150بك]]
{{تحديد}}

تستخدم خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية في [[تحويل فورييه]] و[[معادلة موجية|المعادلات الموجية]].

=== استمرارية (اتصال) ===
الجيب وجيب التمام دالتان [[دالة مستمرة|مستمرتان]] دومٌا ويمكن اشتقاقهما ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف باستعمال المثلث القائم وباستعمال دائرة الوحدة. إن الدوال الأخرى، التي مقامها =دالتا الجيب أو جيب التمام، ليست دائمًا مستمرة، لأن قيمة كل من دالة الجيب وجيب التمام في بعض من الحالات تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هو عدد صحيح كيفي):

* الظل والقاطع: kπ + {π/2}
* ظل التمام وقاطع التمام: kπ

=== تعامد ===
تكون دالتا الجيب وجيب التمام [[دوال متعامدة|متعامدتين]]، أي:
[[ملف:Orthogonal Trigonometric functions.svg|يسار|250بك]]
{{تحديد}}
تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.<ref>{{استشهاد مختصر|Gowers|2010|ص=307-308|لغة=en}}</ref>

=== تحويلا لابلاس وفورييه ===
[[تحويل لابلاس]] هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:<ref group="ملاحظة">حيث: a هو ثابت حقيقي. s هو عدد مركب.</ref>

* تحويل الجيب:

:<math>\mathcal{L}\{\sin (at)\} = \frac{a}{s^2+a^2} </math>

* تحويل جيب التمام:

:<math>\mathcal{L}\{\cos (at)\} = \frac{s}{s^2+a^2} </math>

[[تحويل فورييه|تحويلا فورييه]] لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:<ref group="ملاحظة">مع: ω هي [[تردد زاوي|التردد الزاوي]] و(.)δ هي [[دالة ديراك]] وi هي [[وحدة تخيلية]] مربعها يساوي 1-.</ref>

* الجيب:

:<math>\mathcal{F}\{\sin (at)\} = \frac{\displaystyle\delta\left(\omega-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\omega+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i} </math>

* جيب التمام:

:<math>\mathcal{F}\{\cos (at)\} = \frac{\delta\left(\omega - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\omega+\frac{a}{2\pi}\right)}{2} </math>

=== دالة ذاتية ===

دالتا الجيب وجيب التمام [[دالة ذاتية|ذاتيتان]] [[مؤثر لابلاس|لمؤثر لابلاس]]. على سبيل المثال، إذا كان : Δ=∇<sup>2</sup> يُمثِّل مؤثر لابلاس وحيد البعد، فإن دالتا الجيب وجيب التمام تحققان : <math>\nabla ^2 f = \lambda f</math>، مع λ تمثل [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|قيمة ذاتية]]؛ ويمكن التحقق من هذه المساواة انطلاقا من [[#التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية|التعريف باستعمال المعادلة التفاضلية]] للدالتين.<ref>{{استشهاد مختصر|Pivato|2010|ص=243|لغة=en}}</ref>

== حساب القيم ==
{{مفصلة|جداول مثلثية}}
حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر صعب ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة ال<nowiki/>[[حاسوب]] و[[آلة حاسبة|الآلات الحاسبة]]، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على [[قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية|القيم الجبرية الدقيقة لدوالِّها المثلثية]] دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. على سبيل المثال، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد 3 دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب [[خماسي أضلاع|الخماسي المنتظم]].

يلزم لحساب قيمة دالة مثلثية لأي زاوية تقليص مجال الزاوية، مثلاً من الصفر إلى π/2، باستخدام خاصيتي الدورية والتناظر للدوال المثلثية.

حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام [[قائمة المتطابقات المثلثية#صيغ الزوايا المتعددة|متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية]]، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.

تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في [[معالج (حوسبة)|المعالِجات]] الراقية ذات [[وحدة الفاصلة العائمة|وحدات الفاصلة العائمة]]، في جمع بين [[نظرية التقريب|تقريب]] بواسطة [[متعددة الحدود|كثير الحدود]] أو بواسطة [[دالة كسرية|الدوال الكسرية]] (مثل [[تقريب تشيبيشيف]]، [[تقريب بادي]]، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، [[متسلسلة تايلور|متسلسلات تايلور]] و[[متسلسلة لوران]]) وتقليص المدى والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التصحيح.<ref>{{استشهاد مختصر|Kantabutra|1996|ص=328-339|لغة=en}}</ref><ref>{{استشهاد مختصر|Lee|2004|ص=364|لغة=en}}</ref> على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى [[ضارب ثنائي|مضاعف العتاد]]، توجد خوارزمية تسمى [[كوردك|CORDIC]] عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|محمود|2011|ص=53}}</ref>

يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة [[متوسط حسابي هندسي|المتوسط الحسابي الهندسي]] عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة [[تكامل إهليلجي]] ([[عدد مركب|مركب]]).<ref>{{استشهاد مختصر|Brent|1976|ص=242–251|لغة=en}}</ref>

== متطابقات أساسية ومبرهنات ==
{{أيضا|قائمة المتطابقات المثلثية}}

هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع [[قائمة المتطابقات المثلثية]]. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم المركبة واستخدام خصائص [[دالة أسية|الدالة الأسية]].

=== متطابقة فيثاغورس ===
{{مفصلة|متطابقة فيثاغورس المثلثية}}
تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما ومربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:

<div style="direction: ltr">:sin<sup>2</sup> x + cos<sup>2</sup> x = 1</div>

يجب الانتباه إلى أن التدوين sin<sup>2</sup>&nbsp;x&nbsp;+&nbsp;cos<sup>2</sup>&nbsp;x يكافئ sin&nbsp;x)<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;(cos&nbsp;x)<sup>2</sup>).

=== متطابقات مجموع وفرق زاويتين ===
تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها.

==== المجموع ====
ويُحسب كما يأتي:
[[ملف:Trigonometric functions sum formulas.svg|يسار|300بك]]
{{تحديد}}

==== الفرق ====
ويُحسب كما يأتي:
[[ملف:Trigonometric functions difference formulas.svg|يسار|300بك]]
{{تحديد}}

==== متطابقات ضعف الزاوية ====
عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.

[[ملف:Trigonometric functions double-angle formulae.svg|500بك|يسار]]
{{تحديد}}
يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق [[قائمة المتطابقات المثلثية#متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس|متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء]].

بوضع θ = 2x وt = tan(x) هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ θ [[دالة كسرية|كدالة كسرية]] لـ <math display="inline">t=\tan \frac{\theta}{2}</math>

<div style="direction:ltr;">
<math>\begin{align}
\sin \theta &= \frac{2t}{1+t^2}, \\
\cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2},\\
\tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2}.
\end{align}</math>
</div>

بالإضافة إلى <math>d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt</math>

هذا هو تعويض ظل نصف الزاوية، ويسمى أيضاً تعويض [[كارل فايرشتراس|فايرشتراس]]، وهو يسمح بتقليص حساب [[تكامل|التكاملات]] و[[مشتق عكسي|المشتقات العكسية]] للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.<ref group="وب">{{استشهاد بويب
|مؤلف=Alex Svirin
| مسار = https://www.math24.net/weierstrass-substitution/
| عنوان = Weierstrass Substitution
| موقع = Math24
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-27
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200327185034/https://www.math24.net/weierstrass-substitution/ | تاريخ أرشيف = 27 مارس 2020 }}</ref>

=== متطابقات ثلاثية الزاوية ===
ويُحسب كما يأتي:

[[ملف:Triple angle identity.svg|يسار|400بك]]
{{تحديد}}

=== متطابقات نصف الزاوية ===
وتُحسب كما يأتي:<ref>{{استشهاد مختصر|Abramowitz|1965|ص=72|لغة=en}}</ref>

[[ملف:Half angle identities.svg|يسار|450بك]]
{{تحديد}}

=== قانون الجيب ===
ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص [[قانون الجيب]] على ما يلي:

:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{2\Delta}{abc}</math>
: حيث تشير Δ إلى مساحة المثلث، أو بشكل مكافئ:
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R</math>
: حيث يشير {{mvar|R}} إلى نصف قطر [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]] بالمثلث.

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في [[تثليث (تقنية)|التثليث]]، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.
[[ملف:Spherical trigonometry vectors.svg|تصغير|(3.أ) تمثيل المثلث الكروي ABC]]

في حالة [[حساب المثلثات الكروية|المثلثات الكروية]]، ينص القانون على ما يلي:<ref name="Sesiano" />

:<math>\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} 
= \frac{\sin C}{\sin c}</math>

حيث a و b و c هي أقواس المثلث الواقع في سطح الكرة (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا جوانب المثلث الكروي)؛ و A و B و C هي الزوايا المقابلة.<ref group="ملاحظة" name="مولد تلقائيا21">أطوال الأضلاع تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] في المركز بالراديان. لذلك، بالنسبة لكرة ذات نصف قطر R لا يساوي الواحد، يجب قسمة أطوال الأقواس على R قبل استخدام المتطابقة.</ref>

=== قانون جيب التمام ===

[[ملف:law of cosines with acute angles by Al-Kashi.svg|تصغير|(3.ب) طريقة الكاشي لبرهنة قانون جيب التمام بالنسبة للمثلثات الحادة<ref group="ملاحظة">a=CB، و b=CA، و c=AB</ref> (باستخدام مثلث حاد محاط بثلاث مربعات). حيث أن المستطيلين الأخضرين متقايسان والمستطيلين الأحمرين أيضًا متقايسان، يمكن إثبات تقايس المستطيلين الأخضرين بإثبات تقايس المثلثين JAE و JAB، والمثلثين JAB و CAM، والمثلثين CAM و FAM بتحريك أحد الرؤوس بالتوازي مع القاعدة وأحدهما بالدوران على أحد زوايا المربعات، ويمكن إثبات المستطيلين الأحمرين بطريقة مشابهة. ويمكن إثبات أن المستطيلين الأزرقين متقايسان ومساحة أحدهما يساوي CA × CB × cos(C) بمعرفة أن CE = CB.cos(C) وCD = CA.cos(C). يمكن إثبات بالنسبة للمثلثات المنفرجة بطريقة مشابهة.|250x250بك]]

[[قانون جيب التمام]] هو تعميم [[مبرهنة فيثاغورس|لمبرهنة فيثاغورس]] على أنواع المثلثات المستوية كلها، ويسمى أيضا '''مبرهنة الكاشي'''.<ref name="REF-100"/>

<div style="direction: ltr">c<sup>2</sup>= a<sup>2</sup> + <sup>2</sup>-2ab.cos(C)</div>

وقد تكتب هذه الصيغة كما يلي:

:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
: مع C هي الزاوية المقابلة للضلع c.

: يمكن إثبات هذه المبرهنة بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام مبرهنة فيثاغورس، أو باستخدام طريقة الكاشي.
: يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن أيضًا استخدامه لإيجاد جيب تمام لأي زاوية إذا كانت أطوال كل الأضلاع معلومة.

في حالة [[حساب المثلثات الكروية|المثلثات الكروية]]، ينص القانون على ما يلي:<ref>{{استشهاد مختصر|Gellert|1989|ص=264|لغة=en}}</ref>

<div style="direction: ltr">cos(c) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b).cos(C)</div>

مع a وb وc هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية المقابلة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول بعد ذلك إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي {{كسر|محيط الكرة|360}}} ما يعادل {{كسر|{{خط/رقعة|ط}} × نصف قطر الكرة|180}} والرمز ط هنا أو π في اللاتينية؛ والزاوية C هي الزاوية المقابلة للقوس c

ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية C المقابلة للقوس c في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث a وb وc معلومة:

<math>\cos C\ =\frac{\cos c - \cos a \cos b}{\sin a\sin b} </math>

توجد صورة أخرى للمعادلة تكون قيم الزوايا الثلاثة فيها A وB وC معلومة وطول القوس مجهولٌ في المثلث الكُرويّ، وليكن القوس c، كما يلي:

<math>\cos c\ =\frac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A\sin B} </math>

ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس المقابل لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:

<div style="direction: ltr">cos(C) = sin(A).sin(B).cos(c) - cos(A).cos(B)</div>

=== قانون الظل ===
{{مفصلة|قانون الظل}}
ليكن ABC مثلث، يُكتب قانون الظل كما يلي:<ref name="Allen_1976">{{استشهاد مختصر|Pan|1964|ص=529-530|لغة=en}}</ref>

[[ملف:Law of tangents.svg|يسار|450بك]]
{{تحديد}}

مع A وB وC الزوايا المقابلة للأضلاع a وb وc على الترتيب.

يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.

أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:<ref>{{استشهاد مختصر|Zwillinger|2011|ص=219|لغة=en}}</ref>

[[ملف:Law of tangents - spherical trigonometry.svg|يسار|160بك]]
{{تحديد}}

=== قانون ظل التمام ===
{{مفصلة|قانون ظل التمام}}
[[ملف:Herontriangle1greek.svg|250px|تصغير|يسار|(3.ج)]]
[[ملف:Herontriangle2greek.svg|تصغير|250px|يسار|(3.د)]]

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:

:<math>r = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)} ~</math> (نصف قطر [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|الدائرة الداخلية للمثلث]])

و

:<math> s = \frac{a+b+c}{2 } ~</math> ([[نصف محيط]] المثلث)،

ثم كل ما يلي يشكل قانون ظل التمام:<ref name="Allen_1976" />

:<math>
\cot{ \frac{A}{2 }} = \frac{s-a}{r} ~; \qquad
\cot{ \frac{B}{2 }} = \frac{s-b}{r} ~; \qquad
\cot{ \frac{C}{2 }} = \frac{s-c}{r} ~.</math>

نستنتج أن:

:<math> \frac{\cot \dfrac{A}{2}}{s-a} = \frac{\cot \dfrac{B}{2}}{s-b} = \frac{\cot \dfrac{C}{2}}{s-c} = \frac{1}{r} ~.</math>

=== مبرهنة الساندويتش ===
{{أيضا|مبرهنة الساندويتش}}
تساعد هذه المبرهنة في حساب [[نهاية دالة|النهايات]] الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال <math>-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2}</math>، هي كما يلي:

:<math> \cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta}< 1 </math>

تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|Thomas|1995|ص=138|لغة=en}}</ref>
<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math>. تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية، طالع [[تفاضل الدوال المثلثية]].

المتباينات المشابهة هي كما يلي:<ref>{{استشهاد مختصر|Olver|2010|ص=116|لغة=en}}</ref>

[[ملف:Trigonometric functions Inequalities.svg|225بك|يسار]]
{{تحديد}}

=== مبرهنة بطليموس ===
{{مفصلة|مبرهنة بطليموس}}
[[ملف:Ptolemy_theore_trig2_proof.svg|يسار|لاإطار]]
'''مبرهنة بطليموس''' هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا [[رباعي دائري|الرباعي الدائري]] (رباعي محاط بدائرة تشمل جميع [[رأس (هندسة)|رؤوسه]]).

ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان θ<sub>1</sub>+θ<sub>2</sub>+θ<sub>3</sub>+θ<sub>4</sub>=180°، فإن:<ref>{{استشهاد مختصر|Hobson|1891|ص=39|لغة=en}}</ref>

<div style="direction:ltr;">
:<math>\begin{align}
 \sin(\theta_1 + \theta_2)\sin(\theta_2 + \theta_3)
&= \sin(\theta_2 + \theta_3)\sin(\theta_3 + \theta_4) & \text{(trivial)} \\
&= \sin(\theta_3 + \theta_4)\sin(\theta_4 + \theta_1) & \text{(trivial)} \\
&= \sin(\theta_4 + \theta_1)\sin(\theta_1 + \theta_2) & \text{(trivial)} \\
&= \sin \theta_1 \sin \theta_3 + \sin \theta_2 \sin \theta_4. & \text{(significant)}
\end{align}</math>
</div>

=== صيغة مولفيده ===
{{مفصلة|صيغة مولفيده}}
لتكن a و b و c أطوال أضلاع للمثلث، و α و β و γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:<ref>{{استشهاد مختصر|Sullivan|1988|ص=243|لغة=en}}</ref>
[[ملف:Mollweide's formula.svg|125بك|يسار]]
{{تحديد}}

=== قانون موري ===
ينص هذا القانون الرياضي على أن جداء جيوب التمام لكل من 20° و40° و80° يساوي 1/8، بتعبير رياضي:

:cos(20°).cos(40°).cos(80°) = 1/8

وهي [[حالة خاصة]] للمتطابقة العامة:

:<math> 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha) = \frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}</math>

مع n=3 وα=20°.

هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n و α للحد الثاني بتلك القيم، تكون النتيجة:

:<math> \frac{\sin(160^\circ)}{\sin(20^\circ)} = \frac{\sin(180^\circ-20^\circ)}{\sin(20^\circ)} = 1,</math>

بما أن:

:sin(180°-x) = sin(x)

توجد متطابقة مشابهة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:

:sin(20°).sin(40°).sin(80°) = √3/8

زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:<ref>{{استشهاد مختصر|Beyer|1996|ص=43-44|لغة=en}}</ref>

:tan(20°).tan(40°).tan(80°) = √3 = tan(60°)

== الدوال العكسية ==
{{مفصلة|دوال مثلثية عكسية}}

الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست [[دالة متباينة|متباينة]]، وبالتالي ليس لديها [[دالة عكسية]]. ومع ذلك، في كل مجال تكون فيه الدالة المثلثية [[دالة رتيبة|رتيبة]]، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية [[دالة متعددة القيم|كدوال متعددة القيم]]. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية [[تقابل (دالة)|دوالا تقابلية]]. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم «مجموعة القيم الرئيسية» في الجدول التالي. عادة ما يشار إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم الدالة أو اختصارها.

يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع إبراز المنطلقات والمستقرات والمشتقات.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|موير|2004|ص=123-126}}</ref>

[[ملف:Inverse trigonometric functions table-ar.svg|700بك]]

غالبًا ما تستخدم التدوينات sin<sup>−1</sup> وcos<sup>−1</sup>... إلخ للتعبير عن arcsin وarccos ،... وهكذا. عند استخدام هذا التدوين، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين [[دالة عكسية|الدوال العكسية]] [[مقلوب عدد|والمعاكيس الضربية]].

يمنع التدوين بالبادئة "arc" مثل هذا الالتباس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و لـ "arcsecond"(التي تعني «[[دقيقة وثانية القوس|ثانية القوس]]»).

يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

: <math>
\arcsin z = z + \left(\frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left(\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\,.</math>

يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة [[لوغاريتم مركب|اللوغاريتمات المركبة]].<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html
| عنوان = Inverse Trigonometric Functions
| موقع = Wolfram Mathworld
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 28-07-2023
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200413142721/https://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html
|تاريخ أرشيف=2020-04-13}}</ref>

== الدوال الزائدية ==
{{مفصلة|دوال زائدية}}
[[ملف:HyperbolicAnimation.gif|يسار|upright=1.2|تصغير| صورة متحركة للدوال المثلثية (الدائرية) والدوال الزائدية. باللون الأحمر، منحنى معادلته x² + y² = 1 (دائرة الوحدة)، وبالأزرق x² - y² = 1 (القطع الزائد)، مع النقاط (cos(θ),sin(θ)) و (1,tan(θ)) باللون الأحمر و (cosh(θ),sinh(θ)) و (1,tanh(θ)) باللون الأزرق.]]

الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها معرفة بواسطة [[قطع زائد|القطع الزائد]] بدلاً من ال[[دائرة]]: تمامًا كما تشكل النقاط (cos(t), sin(t)) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh(t), sinh(t)) النصف الأيمن للقطع الزائد.

الدوال الزائدية هي:

[[ملف:Hyperbolic functions table-ar.svg|700بك]]

يعتمد كلا النوعين على عُمدة، إما [[زاوية (هندسة)|زاوية دائرية]] أو [[زاوية زائدية]].

بما أن مساحة [[قطاع دائري|القطاع الدائري]] الذي نصف قطره r وزاويته u هي <math>
\frac{1}{2} r^2 u
</math> ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون r=√2. في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتقالي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.

سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما عبارة عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.

في حالة القطع الزائد الذي معادلته x<sup>2</sup> - y<sup>2</sup> =1، مقدار الزاوية الزائدية هو ضعف المساحة الزرقاء المحددة بنصف المستقيم ومحور السينات والقطع الزائد، تماما كما يكون مقدار الزاوية الدائرية هو ضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها: x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> =1.

في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:

[[ملف:Hyperbolic identities equations.svg|275بك|يسار]]
{{تحديد}}

هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] تُعْرَف [[دالة غودرمانية|بالدالة الغودرمانية]]، وهي معرّفة في ℝ نحو <math>\left ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[</math> بـ:<ref>{{استشهاد مختصر|Olver|2010|ص=121|لغة=en}}</ref><ref>{{استشهاد مختصر|Beyer|1987|ص=323|لغة=en}}</ref><ref group="وب">{{استشهاد بويب
|عنوان=Gudermannian
|لغة= en
|الأخير= Weisstein 
|الأول= Eric W.
|موقع=Wolfram Mathworld
|مسار= https://mathworld.wolfram.com/Gudermannian.html
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230623135930/https://mathworld.wolfram.com/Gudermannian.html
|تاريخ أرشيف= 23-06-2023
|تاريخ الوصول=28-07-2023
}}</ref>

<div style="direction:ltr;">
:<math>\begin{align} \operatorname{gd} x
 \int _{0}^{x}\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t = \arcsin\left(\tanh x \right) = \arctan(\sinh x) = \operatorname{arccsc}(\coth x) \\[6pt]
 \sgn(x)\arccos\left(\operatorname{sech} x \right) = \sgn(x) \operatorname{arcsec}(\cosh x) \\[6pt]
 2\arctan\left( \tanh \frac{x}{2} \right)\\[6pt]
\end{align} </math>
</div>
وsgn (x) هي [[دالة الإشارة]].<gallery mode="packed" widths="180" heights="200">
ملف:Circular and hyperbolic angle.svg|(4.ب) الدائرة والقطع الزائد متلامسان عند النقطة (1,1) تعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مقدار الزاوية u، والدوال الزائدية اعتمادًا على مقدار الزاوية u.
ملف:Hyperbolic area 1.png|(4.ج)
ملف:Circle area 1.png|(4.د)
</gallery>

== علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة ==
يمكن كتابة بعض [[دوال خاصة|الدوال الخاصة]] بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.

* [[دالة بيسل]] من المرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

:<math>x^2 y''+xy'+(x^2-a^2)y=0</math>

حيث يمثل a المرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) بدلالة الدوال المثلثية على النحو التالي:<ref>{{استشهاد مختصر|Árpád|2010|ص=14|لغة=en}}</ref>

:<math>J_{1/2} = \sqrt \frac{2}{\pi x} \sin x </math>
:<math>J_{-1/2} = \sqrt \frac{2}{\pi x} \cos x </math>

* [[متعددات الحدود لتشيبيشيف|متعدد الحدود لتشيبيشيف]]: هو الحل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

:<math> (1-x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0 </math>

مع n ممثلةً للمرتبة.

يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من المرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:<ref>{{استشهاد مختصر|NIST|1952|ص=V|لغة=en}}</ref>

T<sub>n</sub> = cos(n.arccos(x))

== تطبيقات ==
=== حساب المتجهات ===
تُستخدم [[متجه|المتجهات]] (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل [[متجه|كمية متجهة]] في الرياضيات والفيزياء مثل تمثيل [[قوة|القوة]] [[سرعة متجهة|والسرعة]]. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب [[جداء نقطي|الضرب النقطي]] لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:

:<math>\vec x \cdot \vec y = \cos\left(\angle (\vec x, \vec y)\right) \ \cdot \parallel \!\! \vec x \!\! \parallel \cdot \parallel \!\! \vec y \parallel</math>

يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب [[مقدار (رياضيات)|مقدار]] [[ضرب اتجاهي|الضرب المتجهي]]:

:<math>\parallel \vec x \times  \vec y\!\!\parallel = \sin\left(\angle (\vec x, \vec y)\right) \ \cdot \parallel \!\! \vec x \!\! \parallel \cdot \parallel \!\! \vec y \parallel</math>

=== الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية ===
[[ملف:CircularCoordinates.svg|تصغير|(5.أ) تمثيل نقطتين في نظام [[نظام إحداثي قطبي|الإحداثيات القطبية]]]]
الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد [[نظام إحداثي قطبي|نظام الإحداثيات القطبية]] الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في [[نظام إحداثي ديكارتي|نظام الإحداثيات الديكارتية]])، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:

:x = r cos(θ), y = r sin(θ)

تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات [[نظام إحداثي أسطواني|الأسطوانية]] [[نظام إحداثي كروي|والكروية]]، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل [[تكامل متعدد|تكاملات ثلاثية الأبعاد]] لها تناظر أسطواني أو كروي.

=== المساحات ===
* [[مثلث]]: هناك قانون يعبر عن مساحة المثلث بدلالة أضلاعه a وb والزاوية المحصورة بينهم θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه:<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|موير|2004|ص=199}}</ref>

:(S = (1/2).ab.sin(θ

* [[متوازي أضلاع]]: يمكن ايجاد مساحته من خلال معرفة أطوال أضلاعه a وb وإحدى زواياه θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه بتطبيق هذا القانون:<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathbitsnotebook.com/Geometry/TrigApps/TAarea.html
| عنوان = Area of Triangle Using Trigonometry
|لغة=en
| موقع = mathbitsnotebook
| تاريخ الوصول = 21-05-2020
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191029181756/http://mathbitsnotebook.com:80/Geometry/TrigApps/TAarea.html
|تاريخ أرشيف=2019-10-29}}</ref>

:(S = ab.sin(θ

* [[مضلع منتظم]]: يمكن ايجاد مساحته من خلال تلك الصيغ:<ref>{{استشهاد مختصر|Schuyler|1875|ص=161|لغة=en}}</ref>

:<math>\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n) \ = \ \frac{1}{4n}p^2\cdot \cot(\pi/n)</math>

:مع n عدد الأضلاع وl هو طول أحد الأضلاع وp هو محيط المضلع.

:إذا كان المضلع محاط بدائرة نصف قطرها R ومحيط بدائرة نصف قطرها r (يُغدُّ أيضًا [[عامد]] المضلع):

:<math>
\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n)\ = \ nr^2 \tan(\pi/n)
</math>

=== المحيطات ===
* مضلع منتظم: يمكن إيجاد محيطه بدلالة عدد أضلاعه n والمسافة بين مركز المضلع وأحد رؤوسه b ودالة الجيب:<ref name="مولد تلقائيا14">{{استشهاد مختصر|Fogiel|1984|ص=143|لغة=en}}</ref>

:2nb.sin(π/2)

* [[قطع ناقص]]: يمكن إيجاد محيطه إنطلاقًا من [[نصف المحور الأكبر والأصغر|نصف محوره الأكبر]] a والأصغر b باستخدام إحدى الدوال المثلثية:<ref>{{استشهاد مختصر|Larson|2011|ص=702|لغة=en}}</ref>

:<math>C \,=\, 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta \,=\, 4 a \,E(e)</math>

:مع <math>e=\sqrt{1 - b^2/a^2}</math> هو [[اختلاف مركزي|معامل التباعد المركزي]]، وE هو [[تكامل إهليلجي|التكامل الإهليلجي]] التام من النوع الثاني:
: <math>E(e) \,=\, \int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta</math>

:يتم الحصول على هذا القانون باستخدام صيغة حساب [[طول قوس|طول القوس]] والإحداثيات القطبية.<ref group="ملاحظة">تحسب القيمة فقط باستعمال الحاسبة أو باستعمال الحاسوب لأن التكاملات الإهليلجية لا يمكن التعبير عنها باستخدام الدوال الابتدائية مثل [[دالة جبرية|الدوال الجبرية]] والمثلثية و[[دالة أسية|الأسية]] و[[لوغاريتم|اللوغاريتمية]].</ref>

=== الحجوم ===
* [[متوازي السطوح]]: يمكن تعبير عن حجمه بدلالة جيب التمام:

:<math>V =  abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}
</math>

مع <math>\ \alpha=\angle(\vec b, \vec c) ,\; \beta=\angle(\vec a,\vec c) ,\; \gamma=\angle(\vec a,\vec b) </math> وa,b,c هي أطوال [[حافة (هندسة)|الأحرف]].

=== علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد المركبة ===
[[ملف:Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_3.svg|تصغير|(5.ب) تمثيل عدد مركب على المستوي المركب|بديل=]]

* يمكن كتابة أي [[عدد مركب]] على الشكل المثلثي:

:z = |z| (cosθ + isinθ) و|z| هو [[معيار عدد مركب|القيمة المطلقة للعدد المركب]]، وi هي [[وحدة تخيلية]] مربعها يساوي واحد.

يطلق على العلاقة بين [[دالة أسية|الدالة الأسية]] والدوال المثلثية اسم [[صيغة أويلر]]:

:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta</math>

إثبات:<ref>{{استشهاد مختصر|Strang|1991|ص=389|لغة=en}}</ref> لتكن متسلسلة تايلور للدالة الأسية:

<div style="direction:ltr;">
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} +\cdots </math>
</div>

بوضع: x=iθ، تصبح المتسلسلة:

<div style="direction:ltr;">
:<math>e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} -\cdots </math>

:<math>e^{i\theta} = \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right) </math>
</div>

من [[#متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام|متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام]]:

:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta</math>

فيُبصح:

<math>\begin{align}
e^{i\theta}  &= \cos \theta + i\sin \theta\\[5pt]
e^{-i\theta}  &= \cos \theta - i\sin \theta.
\end{align}</math>

قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض [[قائمة المطابقات المثلثية|المتطابقات المثلثية]]، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

:<math> \sin\theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \;</math>

:<math> \cos\theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \;</math>

* يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية المركبة. رياضيا:

:<math>\cos \theta = \operatorname{Re}(e^{i \theta})</math>
:<math>\sin \theta = \operatorname{Im}(e^{i \theta})</math>

* يعرف الشكل المعمم لصيغة أويلر باستعمال [[صيغة دي موافر]]:

:<math>e^{in \theta} =(\cos \theta + i  \sin \theta)^n = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)</math>

* أيضًا، باستخدام تعريف بواسطة متسلسلة ماكلورين [[دوال زائدية|للدوال الزائدية]] والمثلثية، يمكن الحصول على العلاقات بين تلك الدوال:

:<math>\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} = \frac{\sinh \left( i z\right)}{i} </math>

:<math>\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} = \cosh \left(i z\right) </math>

=== علم الفلك ===
استخدمت [[حساب المثلثات الكروية]] لعدة قرون لتحديد موقع الشمس والاقمار والنجوم، والتنبؤ [[كسوف|بالكسوف والخسوف]]، ووصف [[مدار]]ات الكواكب.

في العصر الحديث، تستخدم تقنية التثليث في علم الفلك لقياس مسافة النجوم القريبة، وكذلك في أنظمة [[الملاحة عبر الأقمار الاصطناعية|الملاحة عبر الأقمار الصناعية]].<ref>{{استشهاد مختصر|Peirce|1861|ص=400|لغة=en}}</ref>

=== الخرائط والمساحة ===
[[ملف:Distance by triangulation.svg|تصغير|250x250px|(5.ج) تستخدم عملية التثليث في إيجاد إحداثيات والبعد لسفينة بالنسبة للشاطئ وذلك بقياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين|بديل=]]

حساب المثلثات هو أساس معظم ممارسات [[علم رسم الخرائط|رسم الخرائط]] و[[مساحة (علم)|المساحة]]. قياس زاوية باستخدام [[مساحة (علم)#أجهزة المساحة|الجهاز]] أو دون استخدامه، [[إسقاط الخرائط]] (تحويل [[سطح ناقصي مرجعي|سطح ناقصي]] إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب [[اتجاه زاوي|الاتجاه الزاوي]]، و[[مسح اجتيازي|المسح الاجتيازي]] المفتوح والمغلق،<ref group="ملاحظة">المسح الاجتيازي هو طريقة لمسح منطقة مفتوحة أو مغلقة باستخدام قياس الزوايا والمسافات.</ref> وتصميم الأقواس في إنشاء الطرقات، وتحويل ثنائي الأبعاد في [[مسح جوي|المسح الجوي]].

على سبيل المثال، في [[تثليث (تقنية)|التثليث]]، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستخدم هذا المبدأ حاليًا في {{وإو|تر=3D reconstruction|4=القياس البصري الثلاثي الأبعاد|عر=إعادة بناء ثلاثي الأبعاد}}. يُستخدَم في التثليث قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.

في الحالة المبينة في الشكل (5.ج)، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:
[[ملف:mountain height by triangulation.svg|تصغير|250x250px|(5.د) رسم توضيحي لكيفية حساب ارتفاع جبل.|بديل=]]

قياس ارتفاع جبل أو مبنى مرتفع، ليكن h، هو مثال آخر عن التثليث، وعندها تُحدد الزوايا α و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى (الشكل (5.د)). لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط، يحسب الارتفاع بتطبيق هذا القانون:

:<math> h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.</math>

=== متسلسلة فورييه وتحويل فورييه ===
دالتا الجيب وجيب التمام مثل كثيرات الحدود المتعامدة مستقلةٌ خطياً. ومنهم يمكن كتابة أي دالة (دورية بشكل عام) على أنها العلاقة التالية بدلالة متسلسلة من تلك الدوال، والتي تسمى [[متسلسلة فورييه]]:

:<math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>

بالنسبة للدوال الفردية، فقط حدود دالة الجيب، أما الدوال الزوجية، فقط حدود دالة جيب التمام زائد معامل ثابت.

[[تحويل فورييه]] هو نوع من التحويل التكاملي وهو عبارة عن امتداد لمتسلسلة فورييه. يُعرف هذا التحويل بـ:<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
| عنوان = Fourier Transform
| موقع = Wolfram Mathworld
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 28-07-2023
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200318154133/https://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
|تاريخ أرشيف=2020-03-18}}</ref>
 
:<math>F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt </math>

تُحوّل الدالة الأسية المركبة إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل [[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]] مثل [[معادلة موجية|معادلة الموجة]] [[محلل طيف|والتحليل الطيفي]] [[معالجة الإشارة|ومعالجة الإشارات]].<ref name="م7">{{استشهاد مختصر|Folland|2009|ص=77|لغة=en}}</ref>

يستخدم [[تحويل جيب التمام المتقطع]] القريب من تحويل فورييه لتقليل [[حجم ملف]] [[جيه بيه إي جي|JPEG]] في أثناء التخزين مع الحفاظ على الجودة النسبية ([[ضغط صورة|ضغط الصور]])، هذا التحويل هو تقنية تمثل البيانات على شكل مجاميع دوال جيب التمام.<ref>{{استشهاد مختصر|Smith|1997|ص=481|لغة=en}}</ref>

=== الدوال الدورية ===
[[ملف:Synthesis_square.gif|يسار|تصغير|350x350بك|(5.هـ) صورة متحركة ل[[موجة مربعة|موجة مربعية]] مع عدد متزايد من التوافقيات]]

الدوال المثلثية مهمة أيضا في [[فيزياء|الفيزياء]]. على سبيل المثال، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف [[حركة توافقية بسيطة|الحركة التوافقية البسيطة]]، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة [[نابض|بنابض]] ({{وإو|نواس مرن|Elastic pendulum}})، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، حركة كتلة معلقة بواسطة خيط ([[نواس بسيط]])؛<ref>{{استشهاد مختصر|Tenenbaum|1985|ص=314|لغة=en}}</ref> وفي ال[[كهرباء]] وال[[إلكترونيات]]، تستخدم الدالتان الأخيرتان لدراسة [[دائرة كهربائية|الدارات الكهربائية]] مثل [[دائرة مقاومة وملف ومكثف|دارة مقاومة وملف ومكثف]] المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد [[حركة دائرية|لحركة دائرية]] منتظمة.<ref>{{استشهاد مختصر|Moebs|2016|ص=172|لغة=en}}</ref>

تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو [[موجة|الموجات]] الضوئية.

يمكن عموماً التعبير عن دالة دورية f(x) بصفتها مجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في [[متسلسلة فورييه|متسلسلات فورييه]] مثل [[موجة مربعة]] أو [[موجة سن المنشار]].<ref name="م7"/>

نشير إلى الدالة التي تتضمن الجيب أو جيب التمام بـ {{mvar|φ<sub>k</sub>}}، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:

<math>f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t) </math>

حيث {{تعبير رياضي|''c''<sub>''k''</sub>}} هو معامل المتسلسلة.

على سبيل المثال، يمكن كتابة [[موجة مربعة|الموجة المربعية]] ك<nowiki/>[[متسلسلة فورييه]]:

<math> f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}.</math>

في الصورة المتحركة لموجة مربعية (5.هـ)، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما.

=== المنحنيات الوسيطية ===
{{أيضا|معادلة وسيطية}}
[[ملف:Lissajous_curve_5by4.svg|يسار|تصغير|(5.و) [[منحنى ليساجو]]، كُوّن هذا الشكل باستعمال دوال تعتمد على الدوال المثلثية، حيث <math>\omega_x =5</math> و <math>\omega_y =4</math> ، وa, b = 1 ، و <math>\delta, \gamma = 0</math>.]]

يمكن تمثيل بعض المنحنيات الخاصة باستخدام المعادلات الوسيطية وبدلالة الدوال المثلثية، بعض من الأمثلة على المنحنيات الخاصة هي كما يلي:

:* ال[[دائرة]]: تعطى المعادلة الوسيطية للدائرة ذات المركز <math>(x_0 , y_0)</math> ونصف القطر r بواسطة:

:<math>\begin{cases}
  x =  r\,\cos(t) + x_0 \\
  y =  r\,\sin(t) + y_0
\end{cases}</math>
:* [[قطع ناقص|القطع الناقص]]: يُمثَّل القطع الناقص ذو المركز <math>(x_0 , y_0)</math> ونصف المحور الكبير a ونصف المحور الصغير b كما يلي:

:<math>\begin{cases}
  x =  a\,\cos(t) + x_0 \\
  y =  b\,\sin(t) + y_0
\end{cases}</math>

:* [[منحنى ليساجو]]: يُعبَّر عن منحنى ليساجو بواسطة:<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html
| عنوان = Lissajous Curve
| موقع = Wolfram Mathworld
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 25-07-2023
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191115131325/http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html 
| تاريخ أرشيف = 15 نوفمبر 2019 }}</ref>

:<math>\begin{cases}
  x =  a\,\sin(\omega_x t+\delta) \\
  y =  b\,\sin(\omega_y t+\gamma)
\end{cases}</math>

:مع <math>\omega_x</math> و <math>\omega_y</math> هي عبارة عن ثوابت تصف عدد فصوص الشكل.

:* [[قطع زائد|القطع الزائد]]، يمكن تمثيل وسيطيًا القطع الزائد الأفقي بواسطة:

:<math>\begin{cases}
  x = a\sec t + h \\
  y = b\tan t + k
\end{cases}</math> أو <math>\begin{cases}
  x = \pm a\cosh t + h \\
  y = b\sinh t + k
\end{cases}</math>

:ويمكن تمثيل القطع الزائد العمودي وسيطيًا كما يأتي:

:<math>\begin{cases}
  x = a\tan t + h \\
  y = b\sec t + k
\end{cases}</math> أو <math>\begin{cases}
  x = a\sinh t + h \\
  y = \pm b\cosh t + k 
\end{cases}</math>

:مع (h , k) هي مركز القطع الزائد.

بالإضافة إلى تلك المنحنيات، يمكن أيضًا تمثيل عدة رسومات التي تعتمد على الدوال المثلثية، بما في ذلك [[عجلي تحتي|المنحنى العجلي التحتي]]، [[لولب (هندسة)|اللولب]]، {{وإو|تر=Parametric surface|عر=سطوح وسيطية|نص=السطوح الوسيطية}}،... وهكذا.

=== البصريات ===
[[ملف:Snells law2-ar.svg|تصغير|250x250بك|(5.ز) [[انكسار (فيزياء)|انكسار]] الضوء.]]
التطبيق الأساسي للدوال المثلثية في [[بصريات|علم البصريات]] هو [[قانون الانكسار|قانون سنيل]]. ينص هذا القانون، الذي ينطبق على ظاهرة انكسار الضوء، على العلاقة بين زوايا السقوط والانكسار:

: <math>\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}</math>

حيث:

* θ<sub>1</sub>: زاوية سقوط الموجة، θ<sub>2</sub>: زاوية انكسار الموجة.
* v<sub>1</sub>: سرعة الضوء في الوسط الأول، v<sub>2</sub>: سرعة الضوء في الوسط الثاني.
* n<sub>1</sub>: [[معامل الانكسار]] للوسط الأول، n<sub>2</sub>: معامل الانكسار للوسط الثاني

بالإضافة إلى انكسار الضوء، تُستخدم الدوال المثلثية في مجالات أخرى من البصريات، مثل تحليل [[تداخل الموجات]] [[استقطاب (فيزياء)|والاستقطاب]] [[حيود|والحيود]].

=== الملاحة ===
{{أيضا|مسافة دائرة عظمى}}
[[ملف:Distance_on_earth.png|يسار|238x238بك|تصغير|(5.ح)]]
تاريخيا، استخدمت حساب المثلثات لتحديد إحداثيات خطوط الطول والعرض لسفن الإبحار، ورسم المسارات القائم على الكائنات المختلفة مثل المنارات، وحساب المسافات في أثناء [[ملاحة|الملاحة]].

لا يزال حساب المثلثات مستخدمًا في الملاحة من خلال وسائل مثل [[نظام التموضع العالمي]] (GPS) و[[ذكاء اصطناعي|الذكاء الاصطناعي]] للمركبات الذاتية القيادة.<ref name="Larson_2013" />

تُستخدم هذه المعادلة لتحديد المسافة بين نقطتين على الأرض:<ref group="ملاحظة" name="مولد تلقائيا22">يجب تحويل الإحداثيات إلى الراديان في الحساب.</ref>

:<math>\mathrm{AB} = R \arccos\left[\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right]</math>

مع:

* λ<sub>A</sub> وλ<sub>B</sub> هما [[عرض (جغرافيا)|العرضان الجغرافيان]] للنقطتين المرغوبتين.
* L<sub>A</sub> وL<sub>B</sub> هما [[طول (جغرافيا)|الطولان الجغرافيان]] للنقطتين المرغوبتين.
* R هو نصف قطر الأرض.
يمكن إثبات ذلك من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.<ref>{{استشهاد مختصر|Selezhnev|1963|ص=47|لغة=en}}</ref>

=== الفيزياء الميكانيكية ===
{{أيضا|حركة مقذوف|تصادم مرن}}
في [[ميكانيكا|الفيزياء الميكانيكية]]، تُطبق الدوال المثلثية على [[معادلة حركة|معادلات الحركة]] ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في دراسة حركة الأجسام. على سبيل المثال، عند تحليل الاختلافات الدورية في [[علم الحركة (فيزياء)|الحركيات]] و[[علم التحريك|الديناميكيات]] الدورانية، ومعادلات [[زخم الحركة|الزخم]] و[[زخم زاوي|الزخم الزاوي]]، وظواهر [[تصادم|التصادم]]، نستخدم فيها دوال مثلثية.

[[ملف:Ferde hajitas1.svg|تصغير|يسار|210px|(5.ط) قذف جسم من مبدأ المَعْلم]]

من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي دراسة ظاهرة حركة جسم مقذوف بزاوية α، وتكتب [[معادلة وسيطية|المعادلة الوسيطية]] لمسارها بدلالة الزمن t على النحو التالي:

:<math>x(t)= v_0.t \cos \alpha</math>
:<math>y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0.t \sin \alpha</math>

مع x وy إحداثيات موضع الجسم عند الثانية t والسرعة الإبتدائية هي v<sub>0</sub> وg هي [[قوة التسارع]].

أيضا، تُحسب سرعة الجسمين V1 وV2 ومقدار الزاويتين θ وφ اللتين صنعهما الجسمان بعد [[تصادم مرن|التصادم المرن]] باستخدام الدوال المثلثية، بتطبيق [[قانون حفظ الزخم]] (في كلا المعادلتين، قبل تصادم جسمين (على اليسار) = بعد تصادم جسمين (على اليمين)):

<center>
<math> \to  m_1v_1 + 0 = m_1v'_1\cos\theta + m_2v'_2 \cos\varphi</math>
''''' ثابت '''''
<math> P_x = </math>
''': على المحور x'''

<math> \to  0 + 0 = m_1v'_1\sin\theta - m_2v'_2 \sin\varphi</math>
''''' ثابت '''''
<math> P_y = </math>
''': على المحور y'''
</center>

=== القبلة ===
[[ملف:Qibla from Yogyakarta on globe, English labels paths.svg|تصغير|يسار|upright=1.2|(5.ي) حساب القبلة من مدينة [[يوغياكارتا]] الإندونيسية.]]
ال[[قبلة]] هي وجهة المصلي عند [[الصلاة في الإسلام|الصلاة]] وهي عند المسلمين [[الكعبة]] المشرفة في مدينة [[مكة]].

يتم تطبيق نموذج [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] لحساب ال[[قبلة]] باستخدام حساب المثلثات الكروية، وهو العلم الذي برع فيه العلماء المسلمين قديمًا واستقر العمل في تحديد القبلة عليه. في الشكل التالي، يشكل موقع المصلي O و[[الكعبة]] Q والقطب الشمالي N مثلثًا على الكرة الأرضية. يُشار إلى القبلة بـ OQ، وهي اتجاه [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] التي تشمل النقطتين O و Q. يمكن أيضًا التعبير عن القبلة كالزاوية ∠NOQ (أو ∠q للقبلة بالنسبة للشمال، وتسمى أيضًا «إنحراف القبلة». يمكن حساب هذه الزاوية كدالة رياضية لخط عرض موقع المصلي Φ، وخط عرض الكعبة Φ<sub>Q</sub>، والفرق بين خطي طول الموقعين المذكورين سابقًا ΔL،<ref name=":0" /> هذه الدالة مستمدة من [[حساب المثلثات الكروية#صيغ ظل التمام للأجزاء الأربعة للمثلث|قاعدة ظل التمام]] التي تنطبق على أي مثلث كروي ذات الزوايا A وB وC والجوانب a وb وc:

<math>\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a - \cot B \,\sin C</math>

بتطبيق هذه الصيغة على المثلث الكروي NOQ (بتعويض B = ∠q = ∠NOQ) وبتطبيق [[حساب المثلثات الكروية#المتطابقات|المتطابقات المثلثية]]، يكون:

<math>\cot q = \frac{\sin \Phi \cos \Delta L - \cos \Phi \tan \Phi_Q}{\sin \Delta L}</math> ، ومنه يكون:<ref name=":0">{{استشهاد مختصر|King|1986|ص=83|لغة=en}}</ref> <br />
<math>q = \cot^{-1} \frac{\sin \Phi \cos \Delta L - \cos \Phi \tan \Phi_Q}{\sin \Delta L}</math>

=== الهندسة الكهربائية والاتصالات ===
[[ملف:3_phase_AC_waveform.svg|بديل=|تصغير|250x250px|(5.ك) تمثيل دور واحد لنظام ثلاثي الطور من 0° إلى 360° (2π راديان) على طول المحور الزمني. يمثل المنحنى اختلاف الجهد اللحظي (أو التيار) بدلالة الزمن. يتكرر هذا الدور بتردد يعتمد على نظام القدرة الكهربائية.]]
تستخدم [[تيار متردد|التيارات المتناوبة]] في تزويد المنازل والمصانع بالطاقة الكهربائية، ويُعبَّر عنها بشكل [[موجة جيبية]]. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتناوب على [[تيار مستمر|التيار المستمر]] في الصناعة هو إمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام [[محول|المحولات]]، وهذا يُقلل من الطاقة الضائعة عند النقل لمسافات طويلة ويجعلها ذات ربح عالٍ، بالإضافة لإمكانية عدم استعمال [[مبادل كهربائي|المبادلات]] في المولدات.

تولد محطات الكهرباء تيارات [[حسابات الطاقة الكهربائية للتيار ثلاثي الطور|ثلاثية الطور]] في الغالب. يمكن وصف تغير التيار المتناوب بتلك المعادلات: <math>v =V_m\sin(\omega t + \theta_v)</math> و <math>i = I_m \sin(\omega t + \theta_i)</math> <ref group="ملاحظة">حيث:

* i هي دالة [[تيار كهربائي|التيار الكهربائي]]
* v هي دالة [[جهد كهربائي|الجهد الكهربائي]]
* V<sub>m</sub> وI<sub>m</sub> هما [[سعة (موجة)|سِعَتا]] دالتي الجهد والتيار الكهربائيين على الترتيب.
* ω هو [[تردد زاوي|التردد الزاوي]].
* θ هو [[طور موجة|الطور الابتدائي]].</ref> وبالتالي تُحسب وتُحدد علاقات مختلفة مثل [[قدرة التيار المتردد|القدرة اللحظية]]، القدرة الفعالة، القدرة غير الفعالة،<ref group="ملاحظة">تسمى القدرة أيضًا الاستطاعة</ref> ... إلخ، أو مفاهيم مثل تقدم الطور، وتأخر الطور وزاوية القدرة و[[معامل القدرة]]، ...، من خلال تحليل الدوال المثلثية.<ref group="وب">{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/power-in-ac-circuits.html
| عنوان = Electrical Power in AC Circuits and Reactive Power
| لغة=en
| موقع = electronics-tutorials
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190712042330/https://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/power-in-ac-circuits.html
| تاريخ أرشيف = 12-07-2019
| تاريخ الوصول = 31-07-2023
}}</ref> الكهرباء التي تُغذى بها المنازل هي موجة جيبية ترددها غالباً ما يكون 50 أو 60 هرتز.

تُنمذج محددات خط نقل الطاقة الكهربائية باستعمال [[دوال زائدية]].

في أنظمة [[اتصال عن بعد|الاتصالات]]، عادة ما تدعم كل [[قناة اتصال|قناة الاتصال]] نقل إشاراتٍ فقط في نطاق ترددي معين، ويتعذر إرسال الإشارة عبر القناة إذا كان ترددها خارج هذا النطاق. ولذلك، من أجل إرسال إشارة لها تردد خارج النطاق، عادة ما يتم تثبيتها على موجة أخرى لها تردد متوافق مع نطاق القناة، تُسمَّى هذه التقنية [[تضمين (إلكترونيات)|التضمين]]. في [[إشارة تماثلية|الإشارات التماثلية]] تكون [[موجة حاملة|الموجة الحاملة]] موجة جيبية. على سبيل المثال، في [[تضمين السعة]]، تُضرب الإشارة التي تحتوي على المعلومات في الموجة الحاملة للموجة الجيبية.<ref name="Larson_20132">{{استشهاد مختصر|Oppenheim|2008|ص=583|لغة=en}}</ref>

== ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية ==
<center>
{| class="mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align: center;"
|-
| colspan="2" rowspan="1" |{{خط/أميري|مَسرد المفردات وفق الترتيب الأبجدي}} الإنجليزي
|-
| colspan="2" |A
|-
|إحداثي x/إحداثي سيني
|Abscissa
|-
|قيمة مطلقة لعدد مركب
|Absolute value of complex number 
|-
|زاوية حادة
|Acute angle
|-
|ضلع مجاور
|Adjacent side
|-
|عدد جبري
|Algebraic number
|-
|زاوية
|Angle
|-
|متطابقات مجموع وفرق زاويتين
|Angle sum and difference identities
|-
|مشتق عكسي
|Antiderivative
|-
|تقريب
|Approximation
|-
|قوس
|Arc
|-
|مساحة
|Area
|-
|عُمدة
|Argument
|-
|متوسط حسابي هندسي
|Arithmetic–geometric mean
|-
| colspan="2" |B
|-
|عدد بيرنولي
|Bernoulli number
|-
|دالة بيسل
|Bessel function
|-
|دالة تقابلية
|Bijective function
|-
| colspan="2" |C
|-
|حساب التفاضل والتكامل
|Calculus
|-
|معادلة مميزة
|Characteristic equation
|-
|تقريب تشيبيشيف
|Chebyshev approximation
|-
|متعدد الحدود لتشيبيشيف
|Chebyshev polynomial
|-
|دالة الوتر
|Chord
|-
|زاوية دائرية
|Circular angle
|-
|حركة دائرية
|Circular motion
|-
|قطاع دائري
|Circular sector
|-
|محيط دائرة/قطع ناقص (منحنى مغلق بشكل عام)
|Circumference
|-
|مضلع محيط
|Circumscribed polygon
|-
|مستقر دالة
|Codomain of a function
|-
|فرجار
|Compass
|-
|زوايا متتامة
|Complementary angles
|-
|تحليل مركب
|Complex analysis
|-
|عدد مركب
|Complex number
|-
|مستوي مركب
|Complex plane
|-
|دالة مستمرة/دالة متصلة
|Continuous function
|-
|إحداثيات
|Coordinates
|-
|لازمة
|Corollary
|-
|ضرب متجهي /جداء متجهي
|Cross product
|-
|جذر تكعيبي
|Cube root
|-
|سهم التمام
|Coversine
|-
|رباعي دائري
|Cyclic quadrilateral
|-
|إحداثيات أسطوانية
|Cylindrical coordinates
|-
| colspan="2" |D
|-
|صيغة دي موافر
|De Moivre's formula
|-
|درجة
|Degree
|-
|مقام
|Denominator
|-
|مشتق
|Derivative
|-
|قطر الدائرة
|Diameter
|-
|فرق
|Difference
|-
|تفاضل
|Differential
|-
|معادلة تفاضلية
|Differential equation
|-
|متطابقات ضعف الزاوية
|Double-angle identities
|-
|مجال دالة
|Domain of a function
|-
|ضرب نقطي/ضرب قياسي/جداء سلمي
|Dot product
|-
| colspan="2" |E
|-
|تباعد مركزي
|Eccentricity
|-
|أحرف متعدد السطوح
|Edges of a polyhedron
|-
|دالة ذاتية
|Eigenfunction
|-
|نواس مرن
|Elastic pendulum
|-
|قطع ناقص
|Ellipse
|-
|تكامل إهليلجي/ناقصي
|Elliptic integral
|-
| rowspan="1" |دالة صحيحة
|Entire function
|-
|مثلث متساوي الأضلاع
|Equilateral triangle
|-
|متطابقة أويلر
|Euler's identity
|-
|عدد أويلر
|Euler number
|-
|دوال زوجية وفردية
|Even and odd functions
|-
|قاطع التمام الخارجي
|Excosecant
|-
|قاطع خارجي
|Exsecant
|-
|دالة أسية
|Exponential function
|-
| colspan="2" |F
|-
|عاملي عدد
|Factorial of a number
|-
|وحدة الفاصلة العائمة
|Floating Point Unit
|-
|متسلسلة فورييه
|Fourier series
|-
|تحويل فورييه
|Fourier transform
|-
| colspan="2" |G
|-
|نظرية غالوا
|Galois theory
|-
|كسر مستمر معمم
|Generalized continued fraction
|-
|تشابه هندسي
|Geometric similarity
|-
|تمثيل بياني لدالة
|Graph of a function
|-
| colspan="2" |H
|-
|متطابقات نصف الزاوية
|Half-angle identities
|-
|نصف السهم
|Haversine
|-
|لولب
|Helix
|-
|المعالِجات الراقية
|Higher-end Processors
|-
|دالة تامة التشكل
|Holomorphic function
|-
|قطع زائد
|Hyperbola
|-
|زاوية زائدية
|Hyperbolic angle
|-
|دوال زائدية
|Hyperbolic functions
|-
|قطاع زائدي
|Hyperbolic sector
|-
|وتر المثلث
|Hypotenuse
|-
|منحنى عجلي تحتي
|Hypotrochoid
|-
| colspan="2" |I
|-
|وحدة تخيلية
|Imaginary unit
|-
|متباينة
|Inequality
|-
|دالة متباينة
|Injective function
|-
|مضلع محاط
|Inscribed polygon
|-
|تكامل
|Integral
|-
|عدد صحيح
|Integer number
|-
|مجال/فترة
|Interval
|-
|تقاطع مستقيمين
|Intersection of two lines
|-
|متسلسلة الجداء اللانهائي
|Infinite product expansion
|-
|دالة عكسية
|Inverse function
|-
|نقطة معزولة
|Isolated point
|-
| colspan="2" |L
|-
|تحويل لابلاس
|Laplace transform
|-
|مؤثر لابلاسي
|Laplace operator / Laplacian
|-
|قانون جيب التمام
|Law of cosines
|-
|قانون الجيب
|Law of sines
|-
|ساق مثلث
|Leg of a triangle
|-
|طول
|Length
|-
|نهاية دالة
|Limit of a function
|-
|مستقيم
|Line
|-
|منحنى ليساجو
|Lissajous curve
|-
| colspan="2" |M
|-
|متسلسلة ماكلورين
|Maclaurin series
|-
|مقدار
|Magnitude
|-
|دالة جزئية التشكل
|Meromorphic function
|-
|ميليراديان
|Milliradian
|-
|تضمين
|Modulation
|-
|صيغة مولفيده
|Mollweide's formula
|-
|دالة رتيبة
|Monotonic function
|-
|قانون موري
|Morrie's law
|-
|دالة متعددة القيم
|Multivalued function
|-
| colspan="2" |N
|-
|مقابل عدد
|Negative of a number
|-
|بسط
|Numerator
|-
|جذر نوني
|nth root
|-
| colspan="2" |O
|-
|ضلع مقابل
|Opposite side
|-
|إحداثي y/إحداثي صادي
|Ordinate
|-
|نقطة الأصل
|Origin
|-
|دوال متعامدة
|Orthogonal functions
|-
| colspan="2" |P
|-
|تقريب بادي
|Padé approximant
|-
|متوازي السطوح
|Parallelepiped
|-
|متوازي أضلاع
|Parallelogram
|-
|معادلة وسيطية
|Parametric equation
|-
|جسم / جسيم
|Particle
|-
|نواس
|Pendulum
|-
|محيط (مضلعات)
|Perimeter
|-
|دور
|Period
|-
|دالة دورية
|Periodic function
|-
|دورية
|Periodicity
|-
|طور
|Phase
|-
|تقدم وتأخر الطور
|Phase leading and lagging
|-
|إحداثيات قطبية
|Polar coordinates
|-
|متسلسلة قوى
|Power series / Power expansion
|-
|مبرهنة بطليموس
|Ptolemy's theorem
|-
|متطابقة فيثاغورس
|Pythagorean identity
|-
| rowspan="1" |مبرهنة فيثاغورس
|Pythagorean theorem
|-
| colspan="2" |Q
|-
|ربع الدائرة
|Quadrant
|-
|قاعدة ناتج القسمة
|Quotient rule
|-
| colspan="2" |R
|-
|نسبة
|Ratio
|-
|نصف القطر
|Radius
|-
|نصف قطر التقارب
|Radius of convergence
|-
|تقليص المدى
|Range reduction
|-
|سرعة التقارب
|Rate of convergence
|-
|دالة كسرية
|Rational function
|-
|عدد كسري/نسبي/ناطق/جذري
|Rational number
|-
|عدد حقيقي
|Real number
|-
|علاقة استدعاء ذاتي
|Recurrence relation
|-
|خماسي منتظم
|Regular pentagon
|-
|باقي (متسلسلة)
|Remainder term
|-
|زاوية قائمة
|Right angle
|-
|مثلث قائم الزاوية
|Right-angled triangle / Right triangle
|-
|جذر معادلة/جذر دالة
|Root
|-
|دوران
|Rotation
|-
| colspan="2" |S
|-
|عمق القوس
|Sagitta
|-
|نصف المحور الأكبر
|Semi-major axis
|-
|نصف المحور الأصغر
|Semi-minor axis
|-
|مجموعة القيم الرئيسة
|Set of principal values
|-
|دالة الإشارة
|Sign function
|-
|حركة توافقية بسيطة
|Simple harmonic motion
|-
|نواس بسيط
|Simple pendulum/Mathematical pendulum
|-
|موجة جيبية
|Sine wave
|-
|قانون سنيل
|Snell's law
|-
|حل المثلثات
|Solution of triangles
|-
|زوايا خاصة
|Special angles
|-
|دوال خاصة
|Special functions
|-
|إحداثيات كروية
|Spherical coordinates
|-
|مثلث كروي
|Spherical triangle
|-
|حساب المثلثات الكروية
|Spherical trigonometry
|-
|جذر تربيعي
|Square root
|-
|موجة مربعية
|Square wave
|-
|مبرهنة الساندويتش
|Squeeze theorem / Sandwich theorem
|-
|مسطرة
|Straightedge
|-
|طرح
|Subtraction
|-
|مجموع
|Sum
|-
|تناظر
|Symmetry
|-
| colspan="2" |T
|-
|مماس
|Tangent
|-
|تعويض ظل نصف الزاوية
|Tangent half-angle substitution
|-
|متسلسلة تايلور
|Taylor series
|-
|حدود
|Terms
|-
|مبرهنة طاليس
|Thales theorem
|-
|عدد متسامي
|Transcendental numbers
|-
|مسح اجتيازي
|Traverse
|-
|تثليث
|Triangulation
|-
|علم المثلثات/حساب المثلثات
|Trigonometry
|-
|متطابقات ثلاثية الزاوية
|Triple-angle identities
|-
|دورة (وحدة قياس الزوايا)
|Turn
|-
| colspan="2" |U
|-
|دائرة الوحدة
|Unit circle
|-
| colspan="2" |V
|-
|متجه
|Vector
|-
|سهم/ جيب معكوس
|Versine
|-
| colspan="2" |W
|-
|تعويض فايرشتراس
|Weierstrass substitution
|-
| colspan="2" rowspan="1" |X
|-
|محور السينات
|x-axis
|-
| colspan="2" |Y
|-
|محور الصادات
|y-axis
|}</center>

== انظر أيضًا ==
{{روابط شقيقة}}<div class="references">
* [[جداول مثلثية]]
* [[دوال زائدية]]
* [[قائمة المتطابقات المثلثية]]
* [[إثبات المتطابقات المثلثية]]
* [[صيغة أويلر]]
* [[دالة ابتدائية|الدوال الإبتدائية]]
</div>

== هوامش وملاحظات ==
{{بداية المراجع}}
:{{هامش|101}}. نسبت مصادر مختلفة الاستخدام الاول للمصطلح "sinus" إلى:<ref name="REF1"/><ref name="REF2"/>
::* إما ترجمة [[أفلاطون تيبورتينوس]] في عام 1116 لأعمال [[محمد بن جابر بن سنان البتاني|البتاني]] الخاصة بعلم الفلك.
::* أو ترجمة [[جيراردو الكريموني]] لجبر [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]]
::* أو ترجمة [[روبرت أوف تشستر]] سنة 1145 لجداول الخوارزمي
::* طالع: و{{نص يسار}}Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.{{نهاية نص يسار}}
:{{هامش|102}}. جاء في كشاف اصطلاحات الفنون والعلوم للتهانوي: "[[جيب (رياضيات)|الجيب]]: بالفتح وسكون المثناة التحتانية في اللّغة گريبان كما في الصّراح. وعند المهندسين والمنجمين هو نصف وتر ضعف القوس. [...] وهذا الذي ذكر هو الجيب المستوي. وما وقع من القطر بين جيب القوس وطرف القوس هو '''الجيب المعكوس''' ويسمّى '''بسهم''' القوس أيضا."<ref name=":06" group="عر"/>
:{{هامش|103}}. تنسب بعضٌ من المصادر الجدول الأول الموضوع للظل إلى [[حبش الحاسب]]<ref group="وب">{{استشهاد بويب
|مؤلف1=Eli Maor
|مؤلف2=Raymond Walter Barnard
|لغة = en
| ناشر = Encyclopedia Britannica
|تاريخ الوصول =
|عنوان= Trigonometry
|تاريخ أرشيف= 19 أكتوبر 2023
|مسار = https://www.britannica.com/science/trigonometry/India-and-the-Islamic-world
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20231019204201/https://www.britannica.com/topic-content/page/605281/4
}}</ref>
{{نهاية المراجع}}
{{مراجع|مجموعة=ملاحظة}}

== مراجع ==
=== فهرس المراجع ===
;المنشورات
:بالعربية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|مجموعة=عر}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنكليزية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|محاذاة=نعم}}
{{نهاية المراجع}}
;وب
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|محاذاة=نعم|مجموعة=وب}}
{{نهاية المراجع}}

=== معلومات المراجع كاملة ===
;الكتب
:بالعربية
{{بداية المراجع|2}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q114600477|مرجع=مكتب التنسيق1990}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q125363697|مرجع=مجمع القاهرة2019}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120808017|مرجع=التهانوي1996}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120833288|مرجع=الفيروزأبادي1998}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120829593|مرجع=البيروني2002}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120776485|مرجع=موير2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120867724|مرجع=راشد2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120870193|مرجع=الجيوسي2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120799140|مرجع=ساسين2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q112315598|مرجع=البعلبكي2008}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120802752|مرجع=القوصي2013}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|مرجع=دعبول2018}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q130298869|مرجع=الدبس1988}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120828359|مرجع=الكلنبوي2019}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنكليزية
{{بداية المراجع|2|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121033840|مرجع=Peirce1861}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121030014|مرجع=Schuyler1875}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121009322|مرجع=Hobson1891}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121028174|مرجع=NIST1952}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120912867|مرجع=Air Force1954}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121070378|مرجع=Selezhnev1963}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121008744|مرجع=Pan1964}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120962780|مرجع=Abramowitz1965}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120973648|مرجع=Ahlfors1966}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120904032|مرجع=Nielsen1966}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120892716|مرجع=Niven1963}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120917123|مرجع=Protter1970}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120834208|مرجع=Eves1983}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120825513|مرجع=Fogiel1984}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121059833|مرجع= Tenenbaum1985}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121027833|مرجع=Beyer1987}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121009798|مرجع=Sullivan1988}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120986539|مرجع=Gellert1989}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120829013|مرجع=Simpson1989}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121033360|مرجع=Strang1991}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120969870|مرجع=Thomas1995}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120861506|مرجع=Rashid1996}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121055028|مرجع=Smith1997}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120869372|مرجع=Walker1999}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120870100|مرجع=Aigner2000}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120884889|مرجع=Heng2001}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120969645|مرجع=Remmert2001}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120892530|مرجع=Anderson2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120905087|مرجع=Imhausen2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120906849|مرجع=Bradley2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120973188|مرجع=Vaughn2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120806397|مرجع=Katz2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120885623|مرجع=Pickover2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120828234|مرجع=Plofker2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121009509|مرجع=Folland2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120968602 |مرجع=Gowers2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120833573|مرجع=Krantz2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120974205|مرجع=Olver2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121027903|مرجع=Árpád2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121032244|مرجع=Larson2011}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121009020|مرجع=Zwillinger2011}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120985808 |مرجع=Pivato2012}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120913237|مرجع=Lindeburg2012}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120918455|مرجع=Larson2013}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120965474|مرجع=Murty2014}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120913832|مرجع=Berresford2015}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120975301|مرجع=Hijab2016}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121067181|مرجع=Moebs2016}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120885033|مرجع=Tonias2016}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121863124|مرجع=Oppenheim2008}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121916112|مرجع=Maor2002}}
* {{EI2|volume=5|title=Ḳibla: Astronomical Aspects |page=|first=David A.|last=King||url=}}
{{نهاية المراجع}}
;تقارير ومقالات ودوريات محكمة
:العربية
{{بداية المراجع}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120964344|مرجع=مجمع القاهرة1955}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120824978|مرجع=الأحمد2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120885449|مرجع=محمود2011}}
{{نهاية المراجع}}
:بالفرنسية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120870525|مرجع=Guergour2005}}
{{نهاية المراجع}}
:الإنكليزية
{{بداية المراجع|2|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120965784|مرجع=Wintucky1971}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q54293679|مرجع=Schaumberger1974}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q55887322|مرجع=Brent1976}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120833133|مرجع=datta1983}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q55880842|مرجع=Gingerich1983}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120867638|مرجع=Boyer1991}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121009655|مرجع=Beyer1996}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120906550|مرجع=Kantabutra1996}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120836269|مرجع=Sesiano2000}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q54000176|مرجع=Bennett2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120885371|مرجع=Lee2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q54049142|مرجع=Merlet2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120867342|مرجع=Roegel2010}}
{{نهاية المراجع}}

{{شريط سفلي دوال رياضية شائعة}}
{{شريط سفلي حساب المثلثات}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|هندسة رياضية}}
{{شريط محتوى متميز|مختارة|التاريخ=2 يوليو 2020|النسخة=48937197}}

[[تصنيف:دوال مثلثية|*]]
[[تصنيف:أعداد لابعدية]]
[[تصنيف:تحليل تناسقي]]
[[تصنيف:دوال ابتدائية خاصة]]
[[تصنيف:دوال تحليلية]]
[[تصنيف:زوايا]]
[[تصنيف:حساب المثلثات]]
[[تصنيف:نسبة]]
[[تصنيف:هندسة الدائرة]]