عرض مصدر دوال زائدية عكسية

[[ملف:Hyperbolic functions.svg|تصغير|296px|شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع [[قطع زائد|القطع الزائد]] <math>\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1</math> في النقاط <math>\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>, حيث <math>\scriptstyle a</math> تكون المساحة بين نصف المستقيم، وانعكاسه بالنسبة للمحور <math>\scriptstyle x</math>، والقطع الزائد.]]

[[ملف:Mplwp_inverse_hyperbolic_functions.svg|يسار|تصغير|300x300بك| تمثيل بياني للدوال الزائدية العكسية]]
'''الدوال الزائدية العكسية''' (ويطلق عليها أيضا اسم '''الدوال المساحية''')<ref>ترجمة افتراضية من الإنجليزية '''Area functions'''.</ref> هي [[دالة عكسية|الدوال العكسية]] [[دوال زائدية|للدوال الزائدية]].

للحصول على قيمة معينة من دالة الزائدية، توفر الدالة الزائدية العكسية المقابلة [[زاوية زائدية|الزاوية الزائدية]] المقابلة. حجم الزاوية الزائدية يساوي [[مساحة]] [[قطاع قطع زائد|القطاع الزائدي]] المقابل للقطع الزائد الذي معادلته {{بدون لف|1=''xy'' = 1}}، أو ضعف مساحة القطاع المقابل ل{{وإو|تر=Unit hyperbola|عر=قطع زائد الوحدة}} الذي معادلته {{بدون لف|1=''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup> = 1}}، تمامًا كما تكون [[زاوية (هندسة)|الزاوية الدائرية]] ضعف مساحة [[قطاع دائري|القطاع الدائري]] [[دائرة وحدة|لدائرة الوحدة]].<ref name="Bronshtein_2005"><cite class="citation book">Bronshtein, Ilja N.; Semendyayev, Konstantin A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007). "Chapter 2.10: Area Functions". ''[[Handbook of Mathematics]]'' (5 ed.). [[شبرينغر|سبرنجر]]. p.&nbsp;91. [[معرف الغرض الرقمي|doi]]:[[doi:10.1007/978-3-540-72122-2|10.1007/978-3-540-72122-2]]. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/3-540-72121-5|<bdi>3-540-72121-5</bdi>]].</cite></ref><ref name="Ebner_2005"><cite class="citation book">Ebner, Dieter (2005-07-25). [https://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/vorkurs-skript.pdf ''Preparatory Course in Mathematics''] <span class="cs1-format">(PDF)</span> (6 ed.). Department of Physics, [[جامعة كونستانز]]. [https://web.archive.org/web/20170726195140/https://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/vorkurs-skript.pdf Archived] <span class="cs1-format">(PDF)</span> from the original on 2017-07-26<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2017-07-26</span></span>.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170726195140/https://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/vorkurs-skript.pdf |date=26 يوليو 2017}}</ref><ref name="Mejlbro_2006"><cite class="citation book">Mejlbro, Leif (2006). [http://lib.bvu.edu.vn/bitstream/TVDHBRVT/15641/1/Real-Functions-in-One-Variable.pdf ''Real Functions in One Variable – Calculus''] <span class="cs1-format">(PDF)</span>. '''1a''' (1 ed.). [[Ventus Publishing ApS]] / [[Bookboon]]. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/87-7681-117-4|<bdi>87-7681-117-4</bdi>]]. [https://web.archive.org/web/20170726213654/http://lib.bvu.edu.vn/bitstream/TVDHBRVT/15641/1/Real-Functions-in-One-Variable.pdf Archived] <span class="cs1-format">(PDF)</span> from the original on 2017-07-26<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2017-07-26</span></span>.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170726213654/http://lib.bvu.edu.vn/bitstream/TVDHBRVT/15641/1/Real-Functions-in-One-Variable.pdf |date=26 يوليو 2017}}</ref><ref name="Mejlbro_2008"><cite class="citation book">Mejlbro, Leif (2008). [http://www.westeastuniversity.com/books/Complex%20Functions%20Examples%20c-9.pdf ''The Argument Principle and Many-valued Functions - Complex Functions Examples''] <span class="cs1-format">(PDF)</span>. '''c-9''' (1 ed.). [[Ventus Publishing ApS]] / [[Bookboon]]. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/978-87-7681-395-6|<bdi>978-87-7681-395-6</bdi>]]. [https://web.archive.org/web/20170726213220/http://www.westeastuniversity.com/books/Complex%20Functions%20Examples%20c-9.pdf Archived] <span class="cs1-format">(PDF)</span> from the original on 2017-07-26<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2017-07-26</span></span>.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191110154921/http://www.westeastuniversity.com/books/Complex%20Functions%20Examples%20c-9.pdf |date=10 نوفمبر 2019}}</ref><ref name="Mejlbro_2010"><cite class="citation book">Mejlbro, Leif (2010-11-11). [http://netsaver.myds.me/sym/pub/Netsaver%20Library/Mejlbro,%20Leif/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20S%20(2365)/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20Mejlbro,%20Leif.pdf ''Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory''] <span class="cs1-format">(PDF)</span>. '''a-3''' (1 ed.). [[Ventus Publishing ApS]] / [[Bookboon]]. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/978-87-7681-702-2|<bdi>978-87-7681-702-2</bdi>]]. <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css" />[[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/87-7681-702-4|87-7681-702-4]]. [https://web.archive.org/web/20170726203321/http://netsaver.myds.me/sym/pub/Netsaver%20Library/Mejlbro,%20Leif/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20S%20(2365)/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20Mejlbro,%20Leif.pdf Archived] <span class="cs1-format">(PDF)</span> from the original on 2017-07-26<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2017-07-26</span></span>.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170726195609/http://netsaver.myds.me/sym/pub/Netsaver%20Library/Mejlbro,%20Leif/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20S%20(2365)/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20Mejlbro,%20Leif.pdf |date=26 يوليو 2017}}</ref><ref name="Duran_2012"><cite class="citation book">Durán, Mario (2012). ''Mathematical methods for wave propagation in science and engineering''. 1: Fundamentals (1 ed.). Ediciones UC. p.&nbsp;89. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/978-956141314-6|<bdi>978-956141314-6</bdi>]]. <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css" />[[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/956141314-0|956141314-0]].</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{استشهاد ويب |مسار=https://books.google.com/books?isbn=3642541240 |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=6 ديسمبر 2019 |تاريخ أرشيف=8 مايو 2020 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200508173835/https://books.google.com/books?isbn=3642541240 |حالة المسار=bot: unknown }}</ref><ref name="Weltner_2014"><cite class="citation book">Weltner, Klaus; John, Sebastian; Weber, Wolfgang J.; Schuster, Peter; Grosjean, Jean (2014-06-27) [2009]. [https://books.google.com/books?isbn=3642541240 ''Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide''] (2 ed.). [[شبرينغر|سبرنجر]]. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/978-364254124-7|<bdi>978-364254124-7</bdi>]]. <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css" />[[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|ISBN]]&nbsp;[[خاص:BookSources/3642541240|3642541240]].</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{استشهاد ويب |مسار=https://books.google.com/books?isbn=3642541240 |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=6 ديسمبر 2019 |تاريخ أرشيف=8 مايو 2020 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200508173835/https://books.google.com/books?isbn=3642541240 |حالة المسار=bot: unknown }}</ref><ref name="Reimers_Lapdf">Detlef Reimers http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/lapdf/fplot.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191110154918/http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/lapdf/fplot.pdf|date=2019-11-10}}</ref>

تدخل الدوال الزائدية ومعكوساتها في العديد من [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]] الخطية، على سبيل المثال، معادلة [[سلسلي|السلسلي]]، بعض [[معادلة تكعيبية|المعادلات التكعيبية]]، في حسابات الزوايا والمسافات في [[هندسة زائدية|الهندسة الزائدية]] و[[معادلة لابلاس]] في [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]]. تعد [[معادلة لابلاس|معادلات لابلاس]] مهمة في العديد من مجالات [[فيزياء|الفيزياء]]، بما في ذلك [[كهرومغناطيسية|النظرية الكهرومغناطيسية]] و[[انتقال الحرارة]] و[[جريان الموائع]] و[[النسبية الخاصة]] .

== التدوين ==
التدوين أكثر شيوعا وتلك المحددة من قبل ISO 80000-2 هو تسمية الدوال الزائدية العكسية باستخدام البادئة '''{{يسار إلى يمين|ar-}}''' (من الكلمة الإنجليزية '''area''' التي تعني "مساحة") لأن عمدتها هي عبارة عن مساحة [[قطاع قطع زائد|القطاع الزائدي]] المحدد [[نصف مستقيم|بنصفي مستقيم]]، مثال: '''ar'''sinh ،'''ar'''cosh.

يفضل مؤلفون آخرون استخدام التدوين ('''arg'''sinh، و'''arg'''cosh، و'''arg'''tanh)، حيث البادئة '''{{يسار إلى يمين|arg-}}''' هي اختصار للكلمة اللاتينية ''argumentum''<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Differential and Integral Calculus|الأول=Harold Maile|مؤلف1=Bacon|ناشر=McGraw-Hill|سنة=1942|صفحة=203|مسار=https://books.google.com/books?id=3shEAAAAIAAJ| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20140726230851/http://books.google.com/books?id=3shEAAAAIAAJ | تاريخ أرشيف = 26 يوليو 2014}}</ref> التي تعني "عُمْدة"، هذا التدوين اللاتيني يقابله باللغة العربية '''عمدة الجيب الزائدي'''، '''عمدة جيب تمام الزائدي'''، ... وهكذا.

في [[علم الحاسوب|علوم الحاسوب]]، تُختصَر الدوال غالبًا باستخدام البادئة {{يسار إلى يمين|'''a-'''}}، مثل '''a'''sinh.

== العبارات اللوغاريتمية للدوال ==

=== د.ع [[دالة الجيب الزائدية|للجيب الزائدي]] ===
دالة معرفة على جميع [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] بـ:

:<math>   \operatorname{arsinh} x  =\ln \left ( x + \sqrt{x^2 + 1} \right )
</math>

=== د.ع [[دالة جيب التمام الزائدية|لجيب التمام الزائدي]] ===
دالة معرفة على المجال :<math>[1, +\infty[</math> بـ:

:<math>   \operatorname{arcosh} x  =\ln \left ( x + \sqrt{x^2-1} \right )
</math>

=== د.ع [[دالة الظل الزائدية|للظل الزائدي]] ===
دالة معرفة على المجال <math>]-1, 1[</math> بـ:

:<math>
  \operatorname{artanh} x  =\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) 
</math>

=== د.ع لظل التمام الزائدي ===
دالة معرفة على المجال <math>]-\infty, -1[ \cup ] 1, +\infty[</math> بـ:

:<math>
  \operatorname{arcoth} x =  \frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)
</math>

=== د.ع للقاطع الزائدي ===
دالة معرفة على المجال <math>]0, 1]</math> بـ:

:<math>
  \operatorname{arsech} x 
= \ln \left( \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}- 1}  \right) 
= \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1- x^2}}{x}  \right) 
</math>

=== د.ع لقاطع التمام الزائدي ===
دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر بـ:

:<math>
\operatorname{arcsch} x 
= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+ 1} \right) = \ln \left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)
</math>

=== إثبات ===
==== الطريقة 1 ====

<div style="direction:ltr;">
<math>\forall x \in [1, +\infty[ \; : \; \operatorname{arcosh} (x) = \ln (x + \sqrt{x^2-1})
</math>
</div>

نضع:

<div style="direction:ltr;">
<math>\begin{align}y &= \operatorname{arcosh} (x) ; \quad x \geq 1  \\ x &=\operatorname{cosh} (y); \quad \ \ \ \ y \geq 0 \end{align}</math>
</div>

لدينا:

<div style="direction:ltr;">
<math>\cosh (y) + \sinh (y) = e^y .... (*)</math>
</div>

و

<div style="direction:ltr;">
<math>\cosh ^2(y)-\sinh ^2(y) = 1</math>
</div>

إذن :

<div style="direction:ltr;">
<math>\sinh ^2(y) = \cosh ^2(y) - 1</math>
</div>

ومنه:

<div style="direction:ltr;">
:<math>\begin{align} |\sinh (y)| &= \sqrt{\cosh  ^2(y) -1}\; ; \; y \geq 0 \Rightarrow \sinh (y) \geq 0 
\\ \sinh (y) & = \sqrt{\cosh ^2(y) -1} 
\\ (*) &: \cosh (y) + \sqrt{\cosh ^2 (y) -1} = e^y 
\\ \Rightarrow y & = \ln \left(\cosh (y) + \sqrt{\cosh ^2(y) -1} \right)
\\ \operatorname{arcosh} (x) &  = \ln \left(x + \sqrt{x^2-1}\right) \end{align}</math>
</div>

==== الطريقة 2 ====
نعتبر [[قوس جيب التمام|دالة جيب التمام العكسية]] التالية : <math>y = \operatorname{arcosh} x</math>

بالتعريف:

<div style="direction:ltr;">
:<math>x = \cosh y = \frac {e^y +e^{-y}}{2}</math>
:<math>2x = {e^y +e^{-y}}</math>
:<math>e^y -2x +e^{-y} =0</math>
:<math>e^y -2x +\frac{1}{e^{y}} =0</math>
:<math>e^{2y} -2xe^{y} +1 =0</math>
</div>

نضع <math>u =e^y</math>:

<div style="direction:ltr;">
:<math>u^2 -2xu +1 =0</math>
</div>

نحل المعادلة من الدرجة الثانية:

<div style="direction:ltr;">
:<math>u = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2-4}}{2}</math>
:<math>e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2-4}}{2}</math>
:<math>e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4(x^2-1)}}{2}</math>
:<math>2e^y = {2x \pm 2\sqrt{x^2-1}}</math>
:<math>e^y = {x \pm \sqrt{x^2-1}}</math>
</div>

ندخل [[لوغاريتم طبيعي|اللوغاريتم الطبيعي]] الطرفين:

<div style="direction:ltr;">
:<math>\ln e^y = \ln \left(x \pm \sqrt{x^2-1}\right)</math>
:<math>y = \ln \left(x + \sqrt{x^2-1}\right)</math>
</div>

ومنه نستنتج أن:

<div style="direction:ltr;">
:<math>\operatorname{arcosh} x = \ln \left(x + \sqrt{x^2-1}\right)</math>
</div>

== صيغ الجمع ==

<div style="direction:ltr;">
:<math>\operatorname{arsinh} u \pm \operatorname{arsinh} v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)</math>

:<math>\operatorname{arcosh} u \pm \operatorname{arcosh} v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)</math>

:<math>\operatorname{artanh} u \pm \operatorname{artanh} v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)</math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arsinh} u + \operatorname{arcosh} v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\
                                                                      & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}</math>
</div>

== تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية ==

<div style="direction:ltr;">
:<math>\begin{align}
 &\sinh(\operatorname{arcosh}x) = \sqrt{x^{2} - 1}  \quad \text{for} \quad |x|> 1 \\
 &\sinh(\operatorname{artanh}x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 <x <1 \\
 &\cosh(\operatorname{arsinh}x) = \sqrt{1+x^{2}} \\
 &\cosh(\operatorname{artanh}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 <x <1 \\
 &\tanh(\operatorname{arsinh}x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\
 &\tanh(\operatorname{arcosh}x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x|> 1
\end{align}</math>
</div>

== المشتقات ==

<div style="direction:ltr;">
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \text{ for all real } x\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \text{ for all real } x>1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|<1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|>1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}, \text{ for all real } x \in (0,1)\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \text{ for all real } x\text{, except } 0\\
\end{align}</math>
</div>

'''إثبات:'''

نضع على سبيل المثال {{تعبير رياضي|''θ'' {{=}} arsinh ''x''}} (حيث {{تعبير رياضي|sinh <sup>''2''</sup> ''θ'' {{=}} (sinh θ) <sup>''2''</sup>}}):

:<math>\frac{d\,\operatorname{arsinh} x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.</math>

== التكاملات ==
{{مفصلة|قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية}}

<div style="direction:ltr;">
:<math>\int\operatorname{arsinh}(x)\,dx=
  x\operatorname{arsinh}(x)-\sqrt{x^2+1}+C</math>

:<math>\int\operatorname{arcosh}(x)\,dx=
  x\operatorname{arcosh}(x)-
  \sqrt{x^2-1}+C</math>

:<math>\int\operatorname{artanh}(x)\,dx=
  x\operatorname{artanh}(x)+
  \frac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)+C</math>

:<math>\int\operatorname{arcoth}(x)\,dx=
  x\operatorname{arcoth}(x)+
  \frac{1}{2}\ln\left(x^2-1\right)+C</math>

:<math>\int\operatorname{arsech}(x)\,dx=
  x\operatorname{arsech}(x)-
{2}\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+C</math>

:<math>\int\operatorname{arcsch}(x)\,dx=
  x\operatorname{arcsch}(x)+
  \operatorname{arcoth}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+C</math>
</div>

== متسلسلات ==

يمكننا التعبير عن الدوال بواسطة [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلات]] التالية:

<div style="direction:ltr;">
:<math>\begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| <1  \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {2n} , \qquad \left| x \right|> 1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| <1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} \pm\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1} , \qquad \left| x \right|> 1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 <x \le 1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1} , \qquad \left| x \right|> 1 \end{align} </math>
</div>

== انظر أيضًا ==
* [[دوال مثلثية عكسية]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{روابط شقيقة|commons=Inverse hyperbolic functions}}
{{شريط سفلي حساب المثلثات}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}

[[تصنيف:دوال زائدية عكسية|*]]
[[تصنيف:دوال تحليلية]]
[[تصنيف:لوغاريتمات]]
[[تصنيف:هندسة زائدية]]