عرض مصدر دالة زيتا لريمان

{{صندوق معلومات دالة رياضية
|ترميز= <math>\zeta (x)</math>
|تعريف الدالة= :<math> \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1} \, \mathrm{d}x </math> حيث s هو [[عدد مركب]]، و
:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}\,e^{-x} \, \mathrm{d}x </math> هي [[دالة غاما]].
| مجال = <math>\Complex\setminus\{1\}</math>
| مجال مقابل = <math>\Complex</math>
| صورة = File:Riemann-Zeta-Func.png
| تعليق = [[تلوين المجال|التمثيل البياني اللوني]] لدالة زيتا لريمان {{تعبير رياضي|''ζ''(''z'')}}.<ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://nbviewer.jupyter.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb |عنوان=Jupyter Notebook Viewer|موقع=Nbviewer.ipython.org |تاريخ= |تاريخ الوصول=2017-01-04| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20151020104400/http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb | تاريخ أرشيف = 20 أكتوبر 2015 }}</ref>
|مشتق دالة = <math>-\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}
\!</math>
| صفر = <math>-{1\over2}</math>
| plusinf = <math>1</math>
| vr1 = <math>2</math>
| f1 = <math>\pi^2\over6</math>
| vr2 = <math>-1</math>
| f2 = <math>-{1\over12}</math>
| vr3 = <math>-2</math>
| f3 = <math>0</math>
| vr4 = <math>{1\over2} + 14.134725...\imath</math>
| f4 = <math>0</math>
}}
[[ملف:Complex zeta.jpg|تصغير|300px|دالة زيتا ل[[برنارد ريمان|ريمان]] (ζ(s في [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]]. لون كل نقطة يمثل قيمة الدالة (ζ(s. الألوان المظلمة تمثل قيما قريبة من الصفر بينما مثلت الأعداد الحقيقية الموجبة باللون الأحمر]]

'''دالة زيتا لريمان''' ('''اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ''' حسب ''مجمع اللغة العربية بالقاهرة'') وقد تسمى أيضا '''دالة زيتا لأويلر-ريمان''' {{إنج|Riemann zeta function}} هي [[دالة]] متغيرها [[عدد مركب|عدد عقدي]] s، [[امتداد تحليلي|تمدد تحليليا]] مجموع [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلة غير المنتهية]] <math> \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s},</math>، التي تتقارب حين يكون [[عدد مركب|الجزء الحقيقي]] للعدد s أكبر قطعا من الواحد. وتلعب دالة زيتا لريمان دورا أساسيا في [[نظرية الأعداد التحليلية]]، ولها تطبيقات في [[فيزياء|الفيزياء]] و[[نظرية الاحتمال|نظرية الاحتمالات]] و[[إحصاء|الإحصاء]] التطبيقية.

هاته الدالة في صيغتها حيث المتغير يكون حقيقيا بدلا من مركب، اخترعت ودرست من طرف ليونهارد أويلر في النصف الأول من القرن الثامن عشر، بدون استعمال [[تحليل عقدي (توضيح)|التحليل العقدي]] الذي لم يكن موجودا في ذلك الوقت. [[برنارد ريمان]]، في كتابه ''[[حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما]]''، الذي نُشر في عام 1859، مدد تعريف أويلر إلى الأعداد المركبة، ثم برهن على كونها [[دالة جزئية الشكل]]، ووجد [[معادلة دالية]] تحققها هاته الدالة، ثم وجد علاقة تربط جذورها [[مبرهنة الأعداد الأولية|بتوزيع الأعداد الأولية]].

قيم دالة زيتا لريمان عند [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] الزوجية حُسبن من طرف أويلر. أولها هو (ζ (2، أعطى حلحلة [[معضلة بازل|لمعضلة بازل]]. في عام 1979، برهن [[غوجي أبيري]] على كون (ζ (3 عددا غير جذري. قيم الدالة عند [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] السالبة، اللائي حُسبن أيضا من طرف أويلر، هي [[عدد كسري|أعداد جذرية]] تلعب دورا مهما في نظرية [[شكل نمطي|الأشكال النمطية]]. تعرف حاليا العديد من التعميمات لدالة زيتا لريمان، منها [[متسلسلة دركليه]] و[[دالة دركليه اللامية]] و[[دالة لامية|الدوال اللامية]].

== تعريف ==
[[ملف:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.pdf|تصغير|مقال برنارد ريمان حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.]]

'''دالة زيتا لريمان (ζ (s''' هي دالة متغيرها عدد عقدي ''s''=''&sigma;''+''it'' (في هذا الإطار، s و &sigma; هما الرمزان اللذان يستعملان عادة من أجل دراسة الدالة ''ζ''). [[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلة غير المنتهية]] التالية تتقارب عندما يكون الجزء الحقيقي للعدد s أكبر قطعا من الواحد. حينئذ تعرف هاته المتسلسلة الدالة (''ζ''(''s''.

:<math>
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty n^{-s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \;\;\;\;\;\;\; \sigma = \mathfrak{R}(s) > 1.
\!</math>

دالة زيتا لريمان معرفة [[امتداد تحليلي|امتدادا تحليليا]] للدالة المعرفة بالمتسلسلة السابقة الذكر عندما يكون σ> 1.

درس [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] هاته المتسلسلة في عام 1740 بالنسبة للأعداد الطبيعية قيما للعدد s، وبعد ذلك مدد [[بافنوتي تشيبيشيف|تشيبيشيف]] الدراسة إلى جميع [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] الأكبر من الواحد s> 1.

المتسلسلة أعلاه هي نموذج [[متسلسلة دركليه|لمتسلسلة دركليه]] [[تقارب مطلق|يتقارب مطلقا]] نحو [[دالة تحليلية]] بالنسبة إلى s حين يكون σ> 1 و[[متسلسلة متباعدة|يتباعد]] بالنسبة لجميع القيم الأخرى ل s. برهن ريمان أن الدالة المعرفة على نصف المستوى حيث المتسلسلة أعلاه تتقارب، يمكن أن تُمدد تحليليا إلى جميع قيم s المخلفة عن الواحد. حين يكون s مساويا للواحد (s = 1)، تصير المتساوية المعرفة أعلاه [[متسلسلة متناسقة (رياضيات)|المتسلسلة المتناسقة]] وهي متسلسلة تتباعد نحو {{يسار إلى يمين|[[مستقيم الأعداد الحقيقية الممتد|+∞]]}} و:

: <math> \lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s)=1.</math>

هكذا، دالة زيتا لريمان هي [[دالة جزئية الشكل]] على المستوى العقدي كله، أي بمعنى أنها [[دالة تامة الشكل]] في المستوى العقدي كله باستثناء [[قطب (تحليل عقدي)|القطب البسيط]] عند 1 ب[[الباقي (تحليل عقدي)|باق]] مساوي ل1.

== قيم خاصة ==
[[ملف:Zeta.png|تصغير|300px|دالة زيتا لريمان عندما يكون s حقيقيا ويكون أكبر قطعا من الواحد]]

{{مفصلة|قيم خاصة لدالة زيتا لريمان}}

الصيغة التالية تنسب إلى أويلر وهي تعطي قيمة (ζ(2k [[أعداد زوجية وفردية|للأعداد الزوجية]]:

<math>
\zeta(2k) = \frac{(-1)^{k-1} B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}
</math>

حيث '' B''<sub>2''k''</sub> هي [[عدد برنولي|أعداد بيرنولي]]. لا توجد صيغة لحساب زيتا بالنسبة للأعداد الفردية. أما بالنسبة إلى الأعداد السالبة فيتوفر ما يلي:

:<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>

حين يكون {{بدون لف|''n'' ≥ 1}}. هذا يؤدي إلى انعدام دالة زيتا لريمان بالنسبة لجميع الأعداد الزوجية السالبة لأن ''B''<sub>''m''</sub> = 0 مهما كان m فرديا ومختلفا عن الواحد.

هذه بعض القيم:

:<math>\zeta(0) = -\frac{1}{2}\!</math>

:<math>\zeta(1/2) \approx -1.4603545\!</math> تستعمل في الفيزياء،

:<math>\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!</math> هي [[متسلسلة متناسقة (رياضيات)|المتسلسلة المتناسقة]].

:<math>\zeta(3/2) \approx 2.612;\!</math> &nbsp; تستعمل في الفيزياء،

:<math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!</math> يعرف برهان هاته المتساوية ب[[معضلة بازل]]. مقلوب هذا المجموع (أي:<math>\frac{6}{\pi^2} ;\!</math>) هو جواب السؤال التالي: ما احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، [[أولية نسبيا|أوليين فيما بينهما]] ؟

:<math>\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.2020569;\!</math>: تسمى [[ثابتة أبيري]].

:<math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!</math> تستعمل في الفيزياء.

ζ(6) = π<sup>6</sup>/945

ζ(8) = π<sup>8</sup>/9450

== صيغة جداء أويلر ==
اكتشفت العلاقة بين دالة زيتا و[[عدد أولي|الأعداد الأولية]] من طرف عالم الرياضيات [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] الذي [[برهان صيغة جداء أويلر بالنسبة لدالة زيتا لريمان|برهن على المتطابقة]] التالية (''prime'' تعني عددا أوليا):

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{1}{\zeta(s)} = \prod_{p \mbox{ prime}}^\infty (1-p^{-s}).</math>
</div>

كان ذلك في عام 1737. يسمى هذا الجداء [[جداء أويلر]].

== المعادلة الدالية ==
دالة زيتا لريمان تحقق [[معادلة دالية|المعادلة الدالية]] التالية (والتي قد تسمى أيضا '''معادلة ريمان الدالية'''):

:<math>
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!,</math>

حيث (Γ(s هي [[دالة غاما]]، وهي متساوية [[دالة جزئية الشكل|لدوال جزئية الشكل]]، صالحة في [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]] كله. هذه المعادلة تربط قيمة زيتا لريمان عند النقطة s بقيمتها عند النقطة <math> 1 - s </math>. المعادلة الدالية (بسبب خصائص [[جيب (رياضيات)|دالة الجيب]]) تعني أن (&zeta;(s لها جذورا بسيطة عند كل عدد صحيح زوجي سالب s = -2n. تُعرف هاته الأعداد ''بالجذور [[بداهة (رياضيات)|البديهية]]'' للدالة (&zeta;(s. عندما يكون s مساويا لعدد طبيعي موجب زوجي، يكون الجداء {{تعبير رياضي|sin({{كسر|''πs''|2}})Γ(1 − ''s'')}} مساويا لعدد مختلف عن الصفر، لأن للدالة {{تعبير رياضي|Γ(1 − ''s'')}} [[قطب (تحليل عقدي)|قطب]] بسيط عند الأعداد الطبيعية. تَذَكر أن أقطاب [[دالة غاما]] هي الأعداد الصحيحة السالبة.

أُقيمت هاته المعادلة من طرف ريمان عام 1859 في مقاله [[حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما]]، كما استعملها في إنشاء [[امتداد تحليلي|الامتداد التحليلي]] في أول الأمر. علاقة مكافئة لهاته المعادلة حُدست من طرف [[ليونهارت أويلر|أويلر]] أكثر من قرن من الزمان من ذلك، في عام 1749، تتعلق ب[[دالة إيتا لدركليه]] (دالة زيتا المتناوبة)
: <math>
\eta(s)= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = (1-{2^{1-s}})\zeta(s).
</math>

== جذور دالة زيتا والمستقيم الحرج وفرضية ريمان ==
{{مفصلة|فرضية ريمان}}

[[ملف:Zero-free region for the Riemann zeta-function.svg|يسار|تصغير|300px|باستثناء الجذور البديهية، ليس لدالة زيتا لريمان جذور على يمين المستقيم1 =σ ولا على يسار المستقيم 0 =σ، (بالإضافة إلى ذلك، فإن هذه الچذور ليست قريبة من هذين المستقيمين). وأيضا، الجذور غير البديهية متماثلة بالنسبة لمحور الأعداد الحقيقية الأفقي وبالنسبة إلى المستقيم العمودي σ = 1/2. طبقا لفرضية ريمان، فإن هذه الجذور تقع كلها على المستقيم σ = 1/2 والمسمى بالمستقيم الحرج..]]

=== حدسيات هاردي-ليتلوود ===
في عام 1914، برهن [[غودفري هارولد هاردي]] على أن <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> لها عدد غير منته من الجذور.

=== حدسية سيلبرغ ===
في عام 1942، بحث [[أتل سيلبرغ]] معضلة هاردي-ليتلوود الثانية.

=== نتائج أخرى ===

== خصائص دالة زيتا ==
=== المقلوب ===

مقلوب دالة زيتا يمكن أن يُعبر عنه بواسطة [[متسلسلة دركليه]]، المعرفة ب[[دالة موبيوس]] (μ(n.
:<math>
\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}
\!</math>
بالنسبة لجميع الأعداد العقدية s، ذات جزء حقيقي أكبر قطعا من الواحد. انظر إلى [[دالة جداءية]].

== تمثيلات ==
=== تحويل ميلين ===
[[تحويل ميلين]] لدالة ما (f (x يُعرف كما يلي:

:<math> \int_0^\infty f(x)x^{s-1}\, dx, </math>

=== دوال ثيتا ===

=== متسلسلة لورنت ===
دالة زيتا لريمان هي [[دالة جزئية الشكل]] لها [[قطب (تحليل عقدي)|قطب]] بسيط من الدرجة الأولى عند s = 1. هكذا، يمكن لها أن تنشر ك[[متسلسلة لوران|متسلسلة لورنت]] عندما يقترب s من الواحد.

:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n.</math>

الحد الثابت γ<sub>0</sub> هو [[ثابتة أويلر-ماسكيروني]].

=== التكامل ===

=== جداء هادامار ===
انظر إلى [[جداء غير منته]] وإلى [[مبرهنة التعميل لويرستراس]].

المتسلسلة المتقاربة عموما

== تطبيقات ==

تستخدم دالة زيتا في العديد من الميادين مثل ال[[إحصاء]] التطبيقي (طالع [[قانون زيف]]) و[[نظرية الحقل الكمومي]] وتحليل [[نظام تحريكي|النظام التحريكي]].

== تعميميات ==
هناك عدد من الدوال الزائية التي يمكن أن تعتبر تعميمات لدالة زيتا لريمان. منها [[دالة زيتا لهورفيتز]] المعرفة كما يلي:
:<math>\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+q)^s}</math>

== معلومات إضافية ==
إذا كانت [[حدسية ميرتنز]] صحيحة، فإن [[فرضية ريمان]] صحيحة وأنه لا يوجد أي جذر غير بسيط لدالة زيتا (أي أنه لا يوجد أي جذر ذي درجة تساوي أو تفوق 2).

و لكنه رغم أن حدسية ميرتنز خاطئة، فإنه لا يزال يعتقد أن فرضية ريمان صحيحة وأن جذور دالة زيتا بسيطة (أي أن درجات هاته الجذور لا تساوي ولا تفوق 2)

== انظر أيضًا ==

* [[متعدد اللوغاريتمات]]

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{ضبط استنادي}}
{{متسلسلات (رياضيات)}}
{{فيزياء نظرية}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|تحليل رياضي|رياضيات|نظرية الأعداد}}

[[تصنيف:برنارد ريمان]]
[[تصنيف:دوال تحليلية جزئية التشكل]]
[[تصنيف:زيتا والدوال اللامية]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد التحليلية]]