عرض مصدر دالة تربيعية

{{ميز|شكل تربيعي}}
{{ميز|دالة رباعية}}
{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = دالة تربيعية
| صورة = Polynomialdeg2.svg
| تعليق = A كثير حدود تربيعيّ ذو [[جذر دالة|جذرين حقيقيَّين (نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ''x'')]] وبالتالي لا يوجد جذور عُقَدِيّة. بعض كثيرات الحدود التربيعيّة تمتلك قيماً صُغرى فوق المحور ''x''، وفي هذه الحالة لا يوجد للدالة جذور حقيقيّة ولكن يوجد لها جذرين عُقَدِيَّين.
| حجم صورة =
| بدل صورة =
| ترميز = <math>ax^2+bx+c</math>
| دالة عكسية =
| مشتق دالة = <math>2ax+b</math>
| مشتق عكسي = <math>\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+C</math>
| زوجية أم فردية = زوجية، إذا كان <math>b = 0</math>
| مجال = <math>\R</math>
| مجال مقابل = * <math>[c - \tfrac{b^2}{4a}, +\infty[</math>، إذا كان {{تعبير رياضي|''a''>0}}.
* <math>]-\infty, c - \tfrac{b^2}{4a}]</math>، إذا كان {{تعبير رياضي|''a''<0}}.
| دالة دورية =
| plusinf =
<math>+\infty</math> إذا كان <math>a>0</math><br /><math>-\infty</math> إذا كان <math>a<0</math>
| minusinf =
<math>+\infty</math> إذا كان <math>a>0</math><br /><math>-\infty</math> إذا كان <math>a<0</math>
| vr1 =
| صفر =
| حد أعلى =
| حد أدنى =
| f1 =
| vr2 =
| f2 =
| vr3 =
| f3 =
| vr4 =
| f4 =
| vr5 =
| f5 =
| خط مقارب =
| جذر = <math>\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
| نقطة حرجة = <math>-\frac{b}{2a}</math>

| نقطة ثابتة =
| ملاحظات = <math>\quad a \ne 0</math>
}}

في [[جبر|علم الجبر]]، يشير مصطلح '''الدالة التربيعيّة''' أو '''كثير الحدود من الدرجة الثانية''' أو '''متعدد الحدود من الدرجة الثانية''' إلى [[دالة]] [[متعددة الحدود|كثير حدود]] بمتغير واحد أو [[دالة متعددة المتغيرات الحقيقية|أكثر]]، أعلى درجة فيه هي 2. على سبيل المثال، تحتوي الدالة التربيعيّة ذات المتغيرات الثلاثة ''x'' و ''y'' و ''z'' بشكل حصريّ على الحدود ''x''<sup>2</sup> و ''y''<sup>2</sup> و ''z''<sup>2</sup> و ''xy'' و ''xz'' و ''yz'' و ''x'' و ''y'' و ''z'' وثابت:
:<math>f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz +j,</math>
بالإضافة إلى أحد [[معامل|المعاملات]] ''a'' أو ''b'' أو ''c'' أو ''d'' أو ''e'' أو ''f'' للحدود ذات الدرجة الثانية، ويجب أن يكون أحدها على الأقل لا يساوي الصفر.
يكون للدالة التربيعية أحادية المتغير، يكون لها الشكل الآتي<ref name="wolfram">{{استشهاد بويب | مسار=http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html | عنوان=Quadratic Equation -- from Wolfram MathWorld | تاريخ الوصول=January 6, 2013| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190326003214/http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html | تاريخ أرشيف = 26 مارس 2019 }}</ref>
:<math>f(x)=ax^2+bx+c,\quad a \ne 0</math>
في حالة المتغير الواحد، يكون [[بيان (رياضيات منفصلة)|الرسم البياني]] بشكل [[قطع مكافئ]] يكون محور تناظره موازٍ للمحور {{تعبير رياضي|''y''}} كما هو مُوضح في الشكل إلى اليسار.
أيضاً تُدعى الدالة التربيعيّة فيما لو ساوَت الصفر '''المعادلة التربيعيّة'''، وتكون حلول هذه المعادلة أحاديّة المتغير '''جُذُور الدالة التربيعيّة'''.

أما في حالة الدالة ثنائية المتغيِّرات ''x'' و ''y''، يكون للدالة الشكل الآتي
:<math> f(x,y) = a x^2 + by^2 + cx y+ d x+ ey + f \,\!</math>
و يكون في هذه الحالة ''a'' أو ''b'' أو ''c'' على الأقل لا تساوي الصفر، وإن مُعادلة هذه الدالة، أي عندما تساوي هذه الدالة صفراً، فإن المعادلة ستعطي [[قطع مخروطي|قطعاً مخروطيَّاً]] ([[دائرة]] أو [[قطع ناقص]] أو [[قطع مكافئ]] أو [[قطع زائد]]).
عموماً، يمكن أن يكون هناك عدد كبير من المتغيرات، وفي هذه الحالة تُدعى السطوح الناتجة [[سطح درجة ثانية|بالسطوح من الدرجة الثانية أو السطوح التربيعيّة]]، ولكن يجب أن تكون أعلى درجة هي الدرجة الثانية، كـ ''x''<sup>2</sup>, ''xy'', ''yz'' إلخ.

== اشتقاق الاسم ==
يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم {{إنج|Quadratic function}} باللغة الإنجليزيّة، وتُشتقُّ من الكلمة [[اللغة اللاتينية|اللاتينيّة]] ''quadrātum'' والتي تعني «مُرَبَّع». كما يُطلَق اسم مُربَّع أيضاً في [[جبر|الجبر]] على الرمز {{تعبير رياضي|''x''<sup>2</sup>}} وذلك بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.

== المصطلح ==
=== المعاملات ===
تكون عادةً [[معامل|معاملات كثيرات الحدود]] [[عدد حقيقي|أرقام حقيقية]] أو [[عدد مركب|مركّبة]]، ولكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي [[حلقة (رياضيات)|حلقة]].

=== الدرجة ===
عند استخدام مصطلح كثير حدود أو متعدد حدود من الدرجة الثانية، يقصد الكتاب أحياناً «أن كثير الحدود الدرجة 2 بالضبط»، وأحياناً «أن كثير الحدود من الدرجة 2 على الأكثر» وإذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها «[[انعدام|حالة تدهور]]». وغالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق.
<br />
أحياناً تُستخدم كلمة «[[مرتبة (رياضيات)|مرتبة]]» أو «رتبة» بمعنى «درجة»، مثلاً كثير حدود أو متعدد حدود من المرتبة الثانية أو الرتبة الثانية.

=== المتغيرات ===
يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على [[متغير (رياضيات)|متغيّر (متحوِّل)]] مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات).
==== حالة متغير واحد ====
قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي
:<math>ax^2 + bx + c,\,\!</math>
حيث ''x'' هو المتغيِّر، و ''a''و ''b'' و ''c'' تُمثِّل المعاملات. وفي الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية <math>ax^2 + bx + c = 0</math> وتُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، وقد يكون من الممكن إيجادها من خلال [[تحليل إلى عوامل|تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة]] أو [[إكمال المربع]] أو من خلال [[تمثيل الدالة البياني|رسم بياني للدالة]] أو من خلال [[طريقة نيوتن]] أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ [[قطع مكافئ|قطعاً مكافئاً]].

==== حالة متغيران ====
قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي
:<math> f(x,y) = a x^2 + b y^2 + cxy + dx+ e y + f, \,\!</math>
حيث ''x'' و ''y'' متغيِّرات، بينما ''a'' و ''b'' و ''c'' و ''d'' و ''e'' و ''f'' معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـ[[قطع مخروطي|لقطوع المخروطيّة]]، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة ''f'' (''x'', ''y'') إلى الصفر. وبشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع [[سطح درجة ثانية|السطوح التربيعيّة]] والسطوح الفائقة. في [[جبر خطي|الجبر الخطيّ]]، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على [[فضاء متجهي|الفضاء المتجهيّ]].

== أشكال الدالة التربيعيّة ذات المتغير الواحد ==
يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ:<ref>{{استشهاد
|عنوان=College Algebra
|الأول1=Deborah
|الأخير1=Hughes-Hallett
|الأول2=Eric
|الأخير2=Connally
|الأول3=William G.
|الأخير3=McCallum
|ناشر=John Wiley & Sons Inc.
|سنة=2007
|isbn=9780471271758
|صفحة=205
|مسار= https://books.google.com/books?sourceid=navclient&ie=UTF-8&rlz=1T4GGLJ_enBE306BE306&q=%22three+different+forms+for+a+quadratic+expression+are%22|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20221016050929/https://books.google.com/books?sourceid=navclient&ie=UTF-8&rlz=1T4GGLJ_enBE306BE306&q=%22three+different+forms+for+a+quadratic+expression+are%22|تاريخ أرشيف=2022-10-16}}, [https://books.google.com/books?sourceid=navclient&ie=UTF-8&rlz=1T4GGLJ_enBE306BE306&q="three+different+forms+for+a+quadratic+expression+are" Search result]
</ref>
* <math>f(x) = a x^2 + b x + c \,\!</math> يُدعى '''الشكل المعياريّ'''
* <math>f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!</math>يُدعى '''الشَّكل المُفَكَّك (المُحلَّل إلى عوامل)'''، حيث {{تعبير رياضي|''r''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''r''<sub>2</sub>}} جذور للدالة التربيعيّة وحلول للمعادلة التربيعيّة (من الدرجة الثانية) الموافقة لهذه الدالة.
* <math>f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!</math> يُدعى '''الشكل المُتَّجِهيّ''' {{تعبير رياضي|''h''}} و{{تعبير رياضي|''k''}}و{{تعبير رياضي|''x''}} و{{تعبير رياضي|''y''}} هي إحداثيّات المتجه على التوالي.
للمعامل {{تعبير رياضي|''a''}} القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. وللتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين {{تعبير رياضي|''r''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''r''<sub>2</sub>}}. وللتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى [[إكمال المربع]]. وللتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.

== رسم الدالة التربيعية وحيدة المتغير ==
[[ملف:Function ax^2.svg|تصغير|350px|<math>f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}} \!</math>]]
[[ملف:Function x^2+bx.svg|تصغير|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}} \!</math>]]
[[ملف:Function x^2-bx.svg|تصغير|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{-1,-2,-3,-4\}} \!</math>]]
بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). وبالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات <math>y = ax^2 + bx + c</math>.
* إذا كان {{تعبير رياضي|''a'' &gt; 0}}، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأعلى
* إذا كان {{تعبير رياضي|''a'' &lt; 0}}، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأسفل
يتحكَّم المعامل {{تعبير رياضي|''a''}} بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة {{تعبير رياضي|''a''}} يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً.
يتحكَّم المعاملان {{تعبير رياضي|''b''}} و{{تعبير رياضي|''a''}} معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (أيضاً إحداثيات {{تعبير رياضي|'''x'''}} لذروة المنحني) والذي
:<math>x = -\frac{b}{2a}.</math>
بينما يتحكَّم المعامل {{تعبير رياضي|''c''}} بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور {{تعبير رياضي|''y''}}.
=== الذروة ===
تقابل '''ذروة''' القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. وإذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي {{تعبير رياضي|(''h'', ''k'')}}. ويمكن باستخدام طريقة [[إكمال المربع]]، تحويل الشكل المعياريّ
:<math>f(x) = a x^2 + b x + c \,\!</math>
إلى الشكل
: <math>\begin{align}
  f(x) &= a x^2 + b x + c \\
       &= a (x - h)^2 + k \\
       &= a\left(x - \frac{-b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right),\\
\end{align}</math>
لذا تكون ذروة القطع المكافئ {{تعبير رياضي|(''h'', ''k'')}} في الشكل المعياريّ
: <math> \left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right). </math>
وإذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله)
:<math>f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!</math>
فإن متوسط الجذرين
: <math>\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!</math>
هو إحداثية {{تعبير رياضي|''x''}} الموافقة لذروة القطع، وتكون إحداثيات الذروة {{تعبير رياضي|(''h'', ''k'')}}
: <math> \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f\left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)\right).\!</math>
كما أن الذروة أيضاً هي أكبر نقطة إذا كانت {{تعبير رياضي|''a'' &lt; 0}} أو أصغر نقطة إذا كانت {{تعبير رياضي|''a'' &gt; 0}}
وإن الخط العمدي التالي
: <math> x=h=-\frac{b}{2a} </math>
والذي يم من الذروة هو أيضاً ''محور تناظر'' القطع المكافئ.

=== القيمتين الكبرى والصغرى ===
باستخدام التفاضل والتكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة والتمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، وذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق:
:<math>f(x)=ax^2+bx+c \quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b \,\!.</math>
{{تعبير رياضي|''x''}} هي جذر {{تعبير رياضي|''f'' '(''x'')}} إذا كانت {{تعبير رياضي|''f'' '(''x'') {{=}} 0}} وبالتالي
:<math>x=-\frac{b}{2a}</math>
وبالتعويض في الدالة نجد
:<math>f(x) = a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c = c-\frac{b^2}{4a} \,\!,</math>
وبالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة {{تعبير رياضي|(''h'', ''k'')}} بالصيغة
:<math> \left (-\frac {b}{2a}, c-\frac {b^2}{4a} \right). </math>

== جذور الدالة وحيدة المتغير ==
{{مفصلة|معادلة تربيعية}}
[[ملف:Quadratic function graph key values.svg|تصغير|{{{1|left}}}|رسم بياني لكثير الحدود {{تعبير رياضي|''y'' {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}, حيث {{تعبير رياضي|''a''}} و{{تعبير رياضي|''b''<sup>2</sup> ? 4''ac''}} موجب, و<ul>
<li> الجذور و{{تعبير رياضي|''y''}}-مشار إليها بـ{{أحمر|الأحمر}}</li>
<li>الذروة ومحور التناظر مُشارٌ إليهما بـ{{أزرق|الأزرق}}</li>
<li>البؤرة والمِحرَق مُشار إليهما بـ{{أرجواني|الوردي}}</li></ul>]]
[[ملف:quadratic_function_graph_complex_roots.svg|تصغير|{{{1|left}}}|تصوُّر الجذور العُقَدِيّة لِـ {{تعبير رياضي|''y'' {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}: تم تدوير القطع المكافئ 180° حول ذروته باللون البرتقالي). مُقابلاته من {{تعبير رياضي|''x''}}-intercepts دُوِّرَت 90° حول نقاطها المتوسطة، و يُفسَّر حينها المستوى الديكارتي كمستوى معقَّد.({{أخضر|أخضر}}).<ref>{{استشهاد بويب|عنوان=Complex Roots Made Visible – Math Fun Facts|مسار=http://math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.1.shtml|تاريخ الوصول=1 October 2016| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190601132346/https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.1.shtml | تاريخ أرشيف = 1 يونيو 2019 }}</ref>]]
=== الجذور ===
إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر {{تعبير رياضي|''r''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''r''<sub>2</sub>}}
: <math>\begin{align}
 f(x) &= ax^2+bx+c \\ 
  &= a(x-r_1)(x-r_2), \\ 
\end{align}</math>
هي قيم {{تعبير رياضي|''x''}} التي تجعل {{تعبير رياضي|''f''(''x'') {{=}} 0}}.
وعندما تكون المعاملات {{تعبير رياضي|''a''}} و{{تعبير رياضي|''b''}} و{{تعبير رياضي|''c''}} أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور
:<math>r_1=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, </math>

:<math>r_2=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. </math>

=== الحد الأعلى لحد الجذور ===
لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية) <math>ax^2+bx+c\,</math> أن تكون أكبر من <math>\frac{\max(|a|, |b|, |c|)}{|a|}\times \phi,\, </math> حيث <math>\phi</math> النسبة الذهبيّة وهي <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}.</math><ref>Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 549.</ref>

== الجذر التربيعي لدالة تربيعية وحيدة المتغير ==
يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد.
إذا كانت <math>a>0\,\!</math> فإن المعادلة <math> y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} </math> تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور {{تعبير رياضي|''y''}}) من القطع المكافئ المقابل <math> y_p = a x^2 + b x + c \,\!</math>. إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً.
إذا كانت <math>a<0\,\!</math> فإن المعادلة <math> y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} </math> تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل <math> y_p = a x^2 + b x + c \,\!</math> موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، ولكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط.
== التكرار ==
لتكرار دالة <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> يتم تطبيق الدالة مراراً وتكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي.
لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ <math>f^{(n)}(x)</math> والذي يعني أن ''n''<sup>th</sup> تكراراً لِـ<math>f(x)</math>.(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس <math>f(x)</math> إذا كان العكس موجوداً) ولكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق.
على سبيل المثال، للمعادلة التكرارايّة الآتية
:<math>f(x)=a(x-c)^2+c</math>
وعندما يكون
:<math>f(x)=a(x-c)^2+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!</math>
حيث
:<math>g(x)=ax^2\,\!</math> and <math>h(x)=x-c.\,\!</math>
و بالاستقراء نجد
:<math>f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!</math>
يمكن الحصول عليه، حيث <math>g^{(n)}(x)</math> يمكن حسابه بسهولة كـ
:<math>g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!</math>
أخيراً لدينا
:<math>f^{(n)}(x)=a^{2^n-1}(x-c)^{2^n}+c\,\!</math>
وهو الحل.
يمكن حل المتتالية اللوجستية
:<math> x_{n+1} = r x_n (1-x_n), \quad  0\leq x_0<1</math>
بالمعلمة 2<r و r<4 في حالات محددة، إحداها الحالة الفوضويّة وإحداها ليست. في الحالات الفوضويّة ''r''=4 الحل هو
:<math>x_{n}=\sin^{2}(2^{n} \theta \pi)</math>
حيث تُعطى معلمة الحالة البدئية <math>\theta</math> بواسطة <math>\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}(x_0^{1/2})</math>. ولقيمة عقلانية لِـ<math>\theta</math>، بعد عدد منتهي من التكرارات <math>x_n</math> متتالية إلى سلسلة دوريّة. ولكن تقريباً جميع <math>\theta</math> غير منطقيّة، ومن أجل <math>\theta</math> منطقية لا تُكرِّر <math>x_n</math> نفسها أبداً، وهي غير دوريّة وتعتمد على الحالة البدئية، لذا يُقال أنها فوضويّة.
حل المتتالية اللوجيستية عندما تكون ''r''=2
الحل:
<math>x_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{n}}</math>
<br />
من أجل <math>x_0 \in [0,1)</math>. وإذا <math>(1-2x_0)\in (-1,1)</math> لأي قيمة من <math>x_0</math> ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح <math>(1-2x_0)^{2^{n}}</math> يسعى إلى 0 كما تسعى ''n'' إلى اللانهاية، لذا فإن <math>x_n</math> تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرة<math>\tfrac{1}{2}.</math>.

== دالة تربيعية ثنائية المتغيرات ==
{{مفصلة|شكل تربيعي|سطح درجة ثانية}}
يشير مصطلح '''الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات''' إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل
:<math> f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!</math>
حيث ''A'' و ''B'' و ''C'' و ''D'' و ''E'' معاملات ثابتة و ''F'' [[حد ثابت (رياضيات)|حدٌ ثابت]].
تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). وإن الإعداد <math>f(x,y)\,\!</math> يُعادل الصفر ويصف تقاطع السطح مع المستوى <math>z=0\,\!</math>، وهو موضع من النقاط مُعادل ل[[قطع ناقص|لقطع الناقص]].
=== النقاط الصغرى والكبرى ===
إذا كانت <math> 4AB-E^2 <0 \,</math> فإن الدالة ليس لها [[النقاط الحدية|قيم صغرى أو كبرى]]، ورسمها البيانيّ [[سطح مكافئ|سطح مكافئ زائدي]]
إذا كانت <math> 4AB-E^2>0 \,</math> فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان ''A''>0 وقيمة كبرى إذا كان ''A''<0، ويكون الرسم البياني للدالة سطح مكافئ إهليلجيّ. في هذه الحالة تقع القيم الصغرى أو الكبرى عند <math> (x_m, y_m) \,</math> حيث:
:<math>x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2},</math>

:<math>y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}.</math>
و إذا كانت <math> 4AB- E^2 =0 \,</math> و <math> DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,</math> لا يكون للدالة قيم صغرى أو كبرى، ويكون الرسم البيانيّ بشكل [[أسطوانة (توضيح)|أسطوانة]] مكافئة.
إذا كانت <math> 4AB- E^2 =0 \,</math> و <math> DE-2CB=2AD-CE =0 \,</math> فإن الدالة تحقق قيم صغرى وكبرى عند حد أدنى إذا كانت ''A''>0 وأعلى إذا كانت ''A''<0، ويكون رسمها البياني بشكل [[أسطوانة (توضيح)|أسطوانة]] مكافئة

== انظر أيضًا ==
* [[شكل تربيعي]]
* [[معادلة تربيعية]]
* [[قائمة الدوال الرياضية]]
* [[سطح درجة ثانية]]
* [[قائمة الدوال الرياضية]]
* [[تكامل دالي|التكامل الوظيفي]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{ضبط استنادي}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}
{{متعددات الحدود}}

[[تصنيف:متعددات الحدود]]