عرض مصدر دالة المؤشر لكارميكائيل

{{لا مصدر|تاريخ=مايو 2022}}
{{يتيمة|تاريخ=مايو 2022}}
[[ملف:carmichaelLambda.svg|تصغير|upright=2|دالة كارميكائيل {{mvar | λ}} : {{math | ''λ''(''n'')}} عندما يتوفر {{math | 1 ≤ ''n'' ≤ 1000}} (مقارنةً مع [[مؤشر أويلر|دالة المؤشر لأويلر]] {{mvar | φ}})]]

في [[نظرية الأعداد]]، فرعا من [[رياضيات|الرياضيات]]، '''دالة المؤشر لكارميكائيل''' {{إنج|Carmichael function}}، أو اختصارا، '''دالة كارميكائيل''' هي دالة {{math | ''λ''(''n'')}}، مدخلها عدد طبيعي {{mvar | n}} وقيمتها هي أيضا عدد صحيح طبيعي، وحيث هذه القيمة هي أصغر عدد صحيح طبيعي {{mvar | m}} يحقق المعادلة التالية:
:{{تعبير رياضي مكبر|''a<sup>m</sup>'' ≡ 1 {{pad|1em}} ([[حسابيات معيارية|mod]] ''n'')}}
لكل عدد صحيح a محصور بين الواحد و {{mvar | n}}، [[أولية نسبيا|أوليٍ مع]] {{mvar | n}}.

سميت هذه الدالة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الأمريكي [[روبرت دانييل كارميكائيل]].

يطرح الجدول التالي القيم الستة والثلاثين لدالتي [[مؤشر أويلر|المؤشر لأويلر]] من جهة وكارميكائيل من جهة ثانية

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! scope="col" | {{mvar | n}}
! scope="col" | 1
! scope="col" | 2
! scope="col" | 3
! scope="col" | 4
! scope="col" | 5
! scope="col" | 6
! scope="col" | 7
! scope="col" | 8
! scope="col" | 9
! scope="col" | 10
! scope="col" | 11
! scope="col" | 12
! scope="col" | 13
! scope="col" | 14
! scope="col" | 15
! scope="col" | 16
! scope="col" | 17
! scope="col" | 18
! scope="col" | 19
! scope="col" | 20
! scope="col" | 21
! scope="col" | 22
! scope="col" | 23
! scope="col" | 24
! scope="col" | 25
! scope="col" | 26
! scope="col" | 27
! scope="col" | 28
! scope="col" | 29
! scope="col" | 30
! scope="col" | 31
! scope="col" | 32
! scope="col" | 33
! scope="col" | 34
! scope="col" | 35
! scope="col" | 36
|-
! scope="row" | {{math | ''λ''(''n'')}}
| 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || '''2''' || 6 || 4 || 10 || '''2''' || 12 || 6 || '''4''' || '''4''' || 16 || 6 || 18 || '''4''' ||  '''6''' || 10 || 22 || '''2''' || 20 || 12 || 18 || '''6''' || 28 || '''4''' || 30 || '''8''' || '''10''' || 16 || '''12''' || '''6'''
|-
! scope="row" | {{math | ''φ''(''n'')}}
| 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || '''4''' || 6 || 4 || 10 || '''4''' || 12 || 6 || '''8''' || '''8''' || 16 || 6 || 18 || '''8''' || '''12''' || 10 || 22 || '''8''' || 20 || 12 || 18 || '''12''' || 28 || '''8''' || 30 || '''16''' || '''20''' || 16 || '''24''' || '''12'''
|}

== أمثلة عددية ==
* قيمة دالة كارميكائيل مطبقةً على العدد 5 هي 4، أي أن {{math | ''λ''(5) {{=}} 4}}، لأنه بالنسبة لكل عدد محصور بين الواحد والخمسة وفي نفس الوقت أولي مع الخمسة، يتوفر ما يلي:
** <math>1<a<5</math>
** <math>a\in \{1, 2, 3, 4\}</math>
** <math>a^m \equiv 1 \,(\text{mod } 5)</math>
** <math>m=4</math>
** {{math | 1<sup>4</sup>  ≡ 1 (mod 5)}}
** {{math | 2<sup>4</sup> {{=}} 16 ≡ 1 (mod 5)}}
** {{math | 3<sup>4</sup> {{=}} 81 ≡ 1 (mod 5)}}
** {{math | 4<sup>4</sup> {{=}} 256 ≡ 1 (mod 5)}}

== خصائص دالة المؤشر لكارميكائيل ==
=== أصغر قيمة ===
افترض أن {{math | ''a<sup>m</sup>'' ≡ 1 (mod ''n'')}} بالنسبة لجميع الأعداد {{mvar | a}} الأولية مع {{mvar | n}}. إذن {{math | ''λ''(''n'') {{!}} ''m''}}.

'''البرهان:''' إذا كان {{math | ''m'' {{=}} ''kλ''(''n'') + ''r''}} حيث {{math | 0 ≤ ''r'' < ''λ''(''n'')}}, إذن
:<math>a^r = 1^k \cdot a^r \equiv \left(a^{\lambda(n)}\right)^k\cdot a^r = a^{k\lambda(n)+r} = a^m \equiv 1\pmod{n}</math>
بالنسبة لجميع الأعداد {{mvar | a}} الأولية مع {{mvar | n}}. يأتي من ذلك {{math | 1=''r'' = 0}}, بما أن {{math | ''r'' < ''λ''(''n'')}} وأن {{math | ''λ''(''n'')}} هو العدد الدنوي الذي يحقق هذه الخاصية.

== الاستعمال في التعمية ==
دالة المؤشر لكارميكائيل هي مهمة في [[علم التعمية]]. سبب ذلك كونها مستعملة في [[خوارزمية آر إس إيه]].

== انظر أيضا ==
* [[عدد كارميكائيل]]
== مراجع ==
{{روابط شقيقة|commons=Carmichael function}}
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:حسابيات نمطية]]
[[تصنيف:دوال]]