عرض مصدر دالة

{{عن|3=دالة (توضيح)}}
{{بطاقة عامة}}
{{هل تقصد|معادلة}}
[[ملف:Graph of example function.svg|250بك|تصغير|يسار|مخطط التابع <math>\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)
\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>]]
[[ملف:Function.png|تصغير|يسار|معدول|تمثيل بياني لدالة]]
[[ملف:Icon Mathematical Plot.svg|تصغير|رمز للدالة بشكل عام]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''الدَالَّة'''<ref>{{ترقيم استشهادات
| نمط = محرف عربي
| م1 = {{استشهاد بويكي بيانات |Q114600477|ص=65}}
| م2 = {{استشهاد بويكي بيانات |Q125363697|ص=195}}
| م3 = {{استشهاد بويكي بيانات |Q108593221|ص=264}}
}}
</ref> {{جمع|دَوَالّ}} أو '''التابع''' أو '''الاقتران''' {{إنج|Function}} هي كائن [[رياضيات|رياضي]] يمثل [[علاقة ثنائية|علاقة]] تربط كل عنصر من [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] تدعى [[منطلق دالة|المنطلق]] أو مجموعة الانطلاق أو المجال <math>X \!</math> بعنصر واحد وواحد فقط على الأكثر من مجموعة تدعى [[مستقر دالة|المستقر]] أو المجال المقابل أو مجموعة الوصول <math>Y \!</math>.<ref>{{استشهاد بكتاب | الأخير = MacLane | الأول = Saunders | وصلة مؤلف = Saunders MacLane | الأخير2 = Birkhoff | الأول2 = Garrett | مؤلف2-وصلة = Garrett Birkhoff | عنوان = Algebra | مسار = https://archive.org/details/algebra0000unse_b6m0 | ناشر = Macmillan | طبعة = First | سنة = 1967 | مكان = New York | صفحات = [https://archive.org/details/algebra0000unse_b6m0/page/1 1]–13}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Heins |الأول=Maurice |عنوان=Complex function theory |ناشر=Academic Press |سنة=1968 |صفحة=4 |مسار= https://books.google.com/books?id=OtyBXTOTwZoC&pg=PA4|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200124150228/https://books.google.com/books?id=OtyBXTOTwZoC&pg=PA4|تاريخ أرشيف=2020-01-24}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=Calculus vol 1 |الأول=Tom |الأخير=Apostol |وصلة مؤلف=Tom M. Apostol |صفحة=[https://archive.org/details/calculus01apos/page/53 53] |ناشر=John Wiley |isbn=0-471-00005-1 |سنة=1967 |مسار=https://archive.org/details/calculus01apos/page/53 | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191215180340/https://archive.org/details/calculus01apos/page/53 | تاريخ أرشيف = 15 ديسمبر 2019}}</ref> أو باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية: <math>f\colon X \rightarrow Y,x \mapsto f(x) \!</math>

ينتج عن هذا التعريف عدة أمور أساسية:
* لكل تابع [[منطلق دالة|مجموعة منطلق]] (أو نطاق) غالبًا ما تدعى <math>X \!</math>.
* لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق) غالبًا ما تدعى <math>Y\!</math>.
* لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق <math>X \!</math> أن يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر <math>Y \!</math>.
* يمكن لعنصر من مجموعة المستقر <math>Y \!</math> أن يرتبط بعنصر واحد أو أكثر من مجموعة المنطلق <math>X \!</math>.

فإذا كان المنطلق ('''النطاق''') هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل <math>x</math>، فإن المستقر أو ('''النطاق المرافق''') هو مجموعة القيم الممكنة لقيم دالة <math>f(x)\!</math>.

غالبًا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها <math>\mathbb{R}</math> (الدوال العددية)، أو <math>\mathbb{C}</math> (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقًا كل ما يحقق التعريف أعلاه.

'''الاقتران''' هو علاقة يرتبط بها كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد فقط من عناصر المدى.

== تعريف ==
{{عدة صور| width = 220
| align = right
| direction = vertical
| image1 = Injection keine Injektion 2a.svg
| caption1 = بيان دالة حيث مجموعة الانطلاق ''X''={1, 2, 3} ومجموعة الوصول ''Y''={A, B, C, D}, which is defined by the set of ordered pairs {(1,D), (2,C), (3,C)}. The image/range is the set {C,D}.
<br /><hr style="height:8pt; visibility:hidden" />
----<hr style="height:8pt; visibility:hidden" />
|
| image2 = Injection keine Injektion 1.svg
| caption2 = هذا البيان ممثلا مجموعة الأزواج {(1,D), (2,B), (2,C)}، لا يعرف دالةdefine a function. One reason is that 2 is the first element in more than one ordered pair, {{بدون لف|(2, B)}} and {{بدون لف|(2, C)}}, of this set. Two other reasons, also sufficient by themselves, is that neither 3 nor 4 are first elements (input) of any ordered pair therein.
}}

== أمثلة ==
[[ملف:Polynomialdeg2.svg|تصغير|يسار|<div style="text-align: center;"><math>x^2 - x - 2\!</math></div>|التمثيل البياني لدالة هو منحنى بياني حيث صورة فاصلة كل نقطة منه تساوي ترتيبها فهذا التمثيل البياني للدالة <math>f ( x ) = x^2 - x - 2 \!</math>]]

لتكن الدالة <math>f\colon X \rightarrow Y,x \mapsto x^2 \!</math>

أي أن <math>f(x)=x^2 \!</math>

بأخذ <math>x=2</math> نجد <math>f(2)=4 </math>، هنا بالتعريف أعلاه اختُصرت الدالة التربيعية بالحرف <math>f \!</math>.
عندئذ نجد أن العنصر <math>x=2</math> من المنطلق يرتبط بالعنصر <math>y=4</math> من المستقر فقط. العنصر <math>x=-2</math> من المنطلق (أو المجال) <math>X \!</math> يرتبط بالعنصر <math>y=4</math> فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر <math>y=4</math> من المستقر أن يرتبط بعنصرين <math>x=2</math> و<math>x=-2</math> من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية.

بالمقابل
<math>\mathrm{Root}(x) = \pm\sqrt{x}</math>
ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل <math>x</math> بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد <math>9</math> قد يحتمل قيمتين هما <math>3</math> و<math>-3</math>. لهذا، إذا أردنا أن نجعل الجذر التربيعي دالة فيجب أن نحدد أي جذر نختار، السالب أم الموجب. التعريف

<math>\mathrm{Posroot}(x) = \sqrt{x}, \quad \forall x\ge 0</math>،

يعطي لأي مدخل غير سالب مخرجًا واحدًا فقط هو الجذر التربيعي الموجب.

<math>f (2)=2\cdot2=4</math>

== مصطلحات ==
=== مجال الدالة ===
{{مفصلة|مجال دالة}}
مجال دالة أو مجموعة تعريفها هو [[مجموعة جزئية]] من المنطلق حيث الدالةُ معرفةٌ. أي حيث الدالة تربط حتميا العنصر بمجموعة الانطلاق بعنصر من مجموعة الوصول. على سبيل المثال، دالة [[جذر تربيعي|الجذر التربيعي]] لا تعرف إلا على الأعداد الموجبة. إذن مجموعة انطلاق هذه الدالة هي ℝ بينما مجالها فهو ℝ+.

=== مدى الدالة ===
{{مفصلة|مدى دالة}}
[[مدى دالة]] هو مجموعة القيم الفعلية للدالة <math>f \!</math>.

مدى الدالة هو مجموعة [[قيمة (رياضيات)|القيم]] المحتمل خروجها ناتجًا للدالة بعد التعويض بالقيم الخاصة بمجال الدالة فمثلًا <math>f(x)=y=4x+1 \!</math> فإن هذه الدالة تتكون من مجال يمثل كل قيم <math>x \!</math> الممكنة أما مدى الدالة فهو يمثل كل قيم <math>y \!</math> المحتمل خروجها ناتجًا للتعويض في هذه الدالة.

ويجب عدم الخلط بين المدى والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المدى مجرد [[مجموعة جزئية]] من المستقر.

=== ما الدالة وما التطبيق ؟ ===
عادة ما تسمى الدالة [[تطبيق (رياضيات)|تطبيقًا]]، ولكن هناك من الكتاب والعلماء من يضع فرقا بينهما. على سبيل المثال، فهناك من يعرف التطبيق دالةً إضافة إلى عدد من البُنى الخاصة.

انظر إلى [[نظام تحريكي]] وإلى [[تطبيق بوانكاري]].

== أنواع الدوال ==
هناك أنواع عديدة من الدوال.

=== الدوال الزوجية والدوال الفردية ===
{{مفصلة|دوال زوجية وفردية}}
إذا كانت دالة ما تعطي نفس النتيجة عندما تطبق على العدد وعلى [[معكوس جمعي|مقابله]]، فإن هذه الدالة تسمى [[دوال زوجية وفردية|دالة زوجية]]. وإذا كانت تعطي قيمةً ما عندما تُطبق على عدد ما وتعطي مقابل هذه القيمة عندما تطبق على مقابل هذا العدد، فإن هذه الدالة تسمى [[دوال زوجية وفردية|دالة فردية]].

=== الدوال الشمولية والدوال التباينية والدوال التقابلية ===
{{مفصلة|دالة متباينة|دالة شمولية|تقابل (دالة)}}
تكون دالة ما [[تقابل (دالة)|تقابلًا]]، وقد يقال دالة تقابلية إذا كانت في آن واحد شمولية وتباينية. أما [[دالة شمولية|الدالة الشمولية]] فهي دالة تضمن وجود سابق لكل عنصر من عناصر مجموعة الوصول. وأما [[دالة متباينة|الدالة التباينية]] فهي كل دالة تضمن الاختلاف عند اختلاف المداخل.

إذا كانت الدالة <math>f \!</math> تقابلًا، فإن لها دالة [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] مجموعة انطلاقها هي مجموعة وصول الدالة <math>f \!</math>، ومجموعة وصولها هي مجموعة انطلاق <math>f \!</math>.

=== الدوال المتزايدة والدوال المتناقصة والدوال الرتيبة ===
{{مفصلة|دالة رتيبة}}
[[دالة رتيبة|الدوال المتزايدة]] هن دوال تكبر قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها و[[دالة رتيبة|الدوال المتناقصة]] فهن دوال تنقص قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها. وأما الدوال الرتيبة فهن الدوال اللائي يحافظن على ترتيب ما، أي أنهن إما متزايدة أو متناقصة وليس الصفتين معا.

لمعرفة ما إذا كانت الدالة <math>f(x)</math>، دالة متزايدة أو متناقصة أو رتيبة، يجب أخذ اشتقاق الدالة <math>f'(x)</math>، فإذا كان اشتقاقها أكبر قطعا من الصفر <math>f'(x)>0</math>، إذا الدالة متزايدة، إذا كان إشتقاقها أصغر قطعا من الصفر <math>f'(x)<0</math> تكون الدالة متناقصة. إشتقاق الدالة الثابتة يساوي الصفر.

'''مثال'''

لتكن <math>f(x)=x^2</math> إذا اشتقاقها هو <math>f'(x)=2x</math>، لاحظ أن <math>f'(x)=2x>0 \implies x>0</math> و <math>f'(x)=2x<0 \implies x<0</math> إذا الدالة متزايدة في <math>]0,\infty[</math> و متناقصة في <math>]-\infty, 0[</math>، تكون الدالة ثابتة في <math>x=0</math>. وبالتالي فإن هذه الدالة ليست رتيبة (طالع الصورة)
[[ملف:F(x)=x^2.jpg|تصغير|التمثيل المبياني للدالة f(x)=x^2، يوضح أن الدالة متزايدة على اليمين ومتناقصة على اليسار]]

=== الدوال الحقيقية والدوال المركبة ===
[[تحليل عقدي|الدالة المركبة]] و[[دالة تحليلية|الدالة التحليلية]]

=== المتتاليات ===
{{مفصلة|متتالية}}
إذا كانت مجموعة انطلاق دالة ما هو مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية، فإن هذا الدالة تسمى [[متتالية]].

=== الدوال الذاتية الاستدعاء ===
هي دوال يُحتاج في تعريفها إلى استدعاء الدالة ذاتها، [[عاملي|دالة العاملي]] مثالًا.

=== أنواع أخرى ===
[[دالة ثابتة|الدالة الثابتة]] و[[دالة مستمرة|الدالة المستمرة]] و[[دالة ضمنية|الدالة الضمنية]] و[[دالة أسية|الدالة الأسية]] و[[دالة ضمنية|الدالة الصريحة]] و[[دالة مطابقة|الدالة المتطابقة]].

== تاريخ ==
صاغ مصطلح «function» بالإنكليزية العالم [[غوتفريد لايبنتس|غوتفريد لايبنتز]] في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات ك[[ميل المستقيم|الميل]] عند نقطة معينة من [[منحنى|المنحني]].

تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] في منتصف [[القرن 18|القرن الثامن عشر]] لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة [[وسيط (رياضيات)|وسائط]] رياضية.

== معرض صور ==
<gallery>
File:Example for a composition of two functions.svg
File:Function machine5.svg
File:Compfun.svg
</gallery>

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضًا ==
* [[قائمة الدوال الرياضية]]
* [[تابع كوب-دوغلاس]]
* [[تابع إنتاج|تابع الإنتاج]]
* [[دالة متعددة التعريف]]
* [[دالة متعددة القيم]]
* [[دالة تربيعية]]
* [[دالة تكعيبية]]
* [[دالة رباعية]]
* [[تكامل دالي|التكامل الوظيفي]]

{{منطق رياضي}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي|جبر}}
{{تصنيف كومنز|Functions (mathematics)}}

{{شريط سفلي دوال رياضية شائعة}}

[[تصنيف:دوال|*]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:مفاهيم أساسية في نظرية المجموعات]]