عرض مصدر خط أويلر

[[ملف:Triangle.EulerLine.svg|يسار|تصغير|300x300بك|خط أويلر (الأحمر) هو خط مستقيم يمر عبر مركز الكتلة (برتقالي) ، والمركز العمودي (أزرق) ، والمركز المحيطي (أخضر) ومركز دائرة النقاط التسع (أحمر).]]
في [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]]، '''خط أويلر،''' نسبةً إلى [[ليونهارت أويلر]]، هو [[مستقيم (رياضيات)|خط]] من أي [[مثلث]] غير [[مثلث متساوي الأضلاع|متساوي الأضلاع]]، خط مركزي للمثلث، ويمر عبر عدة نقاط مهمة محددة من المثلث، بما في ذلك [[المركز العمودي]]، [[دائرة محيطة|والمركز المحيطي]]، ومركز الكتلة، ونقطة إكستر، ومركز دائرة [[دائرة النقاط التسع|النقاط التسعة]] للمثلث.<ref name="k2">{{استشهاد بدورية محكمة
| الأخير = Kimberling, Clark
| عنوان = Triangle centers and central triangles
| صحيفة = Congressus Numerantium
| المجلد = 129
| سنة = 1998
| صفحات = i–xxv, 1–295
}}</ref>

يمتد مفهوم خط أويلر للمثلثات إلى خط أويلر للأشكال الأخرى، مثل [[رباعي أضلاع|الرباعي ورباعي]] [[رباعي سطوح|السطوح]] .

== مراكز المثلث على خط أويلر ==

=== المراكز ===
أظهر أويلر في عام 1765 أنه في أي مثلث، المركز العمودي والمركز المحيطي ومركز الكتلة يقعون على [[مستقيم (رياضيات)|خط واحد]] (متسامتة).<ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| الأخير = Euler, Leonhard
| مؤلف-وصلة = Leonhard Euler
| عنوان = Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum
| عنوان مترجم = Easy solution of some difficult geometric problems
| صحيفة = Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae
| المجلد = 11
| سنة = 1767
| صفحات = 103–123
| مسار = https://books.google.com/books?id=e1Y-AAAAcAAJ&pg=PA103#v=onepage&q&f=false
| المعرف = <!--Enestrom number-->E325
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220414081304/https://books.google.com/books?id=e1Y-AAAAcAAJ&pg=PA103|تاريخ أرشيف=2022-04-14}} Reprinted in ''Opera Omnia'', ser. I, vol. XXVI, pp.&nbsp;139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, {{MathSciNet|0061061}}. Summarized at: [http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E325.html Dartmouth College.]</ref> تنطبق هذه الخاصية أيضًا على أي [[مركز مثلث]] آخر، مع أنّ مركز [[دائرة النقاط التسع|دائرة النقاط التسعة]] لم يُعرف في زمن أويلر. في المثلثات متساوية الأضلاع، تتطابق هذه النقاط الأربعة، لكن في أي مثلث آخر تكون جميعها متميزة عن بعضها البعض، ويُحَدَّدُ خط أويلر بأي اثنتين منها.

تشمل النقاط البارزة الأخرى الواقعة على خط أويلر [[نقطة دي لونغشام|نقطة دي لونجتشامبس]] ونقطة شيفلر ونقطة إكستر ومنظار جوسارد.<ref name="k2" /> ومع ذلك، فإن المركز الداخلي، عمومًا، لا يقع على خط أويلر؛ <ref>{{استشهاد بكتاب
| مسار = https://books.google.com/books?id=lR0SDnl2bPwC&pg=PA4
| عنوان = Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research
| ناشر = The Mathematical Association of America
| مؤلف1 = Schattschneider, Doris
| مؤلف2 = King, James
| سنة = 1997
| صفحات = 3–4
| ISBN = 978-0883850992
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220525090351/https://books.google.com/books?id=lR0SDnl2bPwC&pg=PA4|تاريخ أرشيف=2022-05-25}}</ref> إنه موجود على خط أويلر فقط [[مثلث متساوي الساقين|في المثلثات متساوية الساقين]]، <ref>{{استشهاد|الأخير=Edmonds|الأول=Allan L.|الأخير2=Hajja|الأول2=Mowaffaq|الأخير3=Martini|الأول3=Horst|DOI=10.1007/s00025-008-0294-4|العدد=1–2|صحيفة=[[Results in Mathematics]]|mr=2430410|صفحات=41–50|اقتباس=It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles|عنوان=Orthocentric simplices and biregularity|المجلد=52|سنة=2008}}.</ref> التي يتطابق فيها خط أويلر مع محور التماثل للمثلث ويحتوي على جميع مراكز المثلث.

المثلث المماسي لمثلث مرجعي هو المماس إلى الدائرة المحيطة بالمثلث المرجعي عند رؤوس المثلث المرجعي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي على خط أويلر للمثلث المرجعي.<ref name="SL2">{{استشهاد|الأخير=Leversha|الأول=Gerry|الأخير2=Smith|الأول2=G. C.|تاريخ=November 2007|العدد=522|صحيفة=[[Mathematical Gazette]]|jstor=40378417|صفحات=436–452|عنوان=Euler and triangle geometry|المجلد=91}}.</ref> {{صفحات مرجع|p. 447}}<ref name="ac2">Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).</ref> {{صفحات مرجع|p.104,#211;p.242,#346}}يقع [[مركز المشابهة]] [[ارتفاع (مثلث)|للمثلثات المماسية والعمودية]] أيضًا على خط أويلر.<ref name="SL2" /> {{صفحات مرجع|p. 447}}<ref name="ac2" /> {{صفحات مرجع|p. 102}}

=== إثبات اتجاهي ===
افترض أن <math>ABC</math> مثلث. إثبات حقيقة أن [[المركز المحيطي]] <math>O</math>، [[نقطة مركزية|مركز الكتلة]] <math>G</math> و[[المركز العمودي]] <math>H</math> متسامتة تعتمد على المتجهات الحرة. نبدأ بذكر المتطلبات الأساسية. أولًا، <math>G</math> تحقق العلاقة: <math>\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0.</math>

هذا يأتي من حقيقة أن [[نظام الإحداثيات الخاص بمركز الثقل|المحاور]] الكتلية لـ<math>G</math> <math>\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}</math>. إضافةً إلى ذلك، مسألة سيلفستر <ref name="Dorrie2">Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, {{ردمك|0-486-61348-8}}, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)</ref> هي: <math>\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.</math>

الآن، باستخدام إضافة المتجهات، نستنتج أن: <math>\vec{GO}=\vec{GA}+\vec{AO}\,\mbox{(in triangle }AGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GB}+\vec{BO}\,\mbox{(in triangle }BGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GC}+\vec{CO}\,\mbox{(in triangle }CGO\mbox{)}.</math>

بإضافة هذه العلاقات الثلاث، حد بعد حد، نحصل على: <math>3\cdot\vec{GO}=\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.</math>

ختامًا، <math>3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}</math>، وهكذا النقاط الثلاثة <math>O</math> و <math>G</math> و <math>H</math> (بهذا الترتيب) على خط واحد.

في كتاب دوري Dörrie، <ref name="Dorrie2" /> وضع خط '''أويلر''' ومسألة سيلفستر معًا في إثبات واحد. ومع ذلك، تعتمد معظم براهين مسألة سيلفستر على الخصائص الأساسية للمتجهات الحرة، بصرف النظر عن خط أويلر.

=== المسافات بين المراكز ===
على خط أويلر، يقع مركز الكتلة ''G'' بين المركز المحيطي ''O'' ووالمركز العمودي ''H'' ويبعد ضعف البعد، الذي يبعده عن المركز المحيطي، عن المركز العمودي:<ref name="ac2" /> {{صفحات مرجع|p.102}}

: <math>GH=2GO;</math>
: <math>OH=3GO.</math>

القطعة ''GH'' قطر لدائرة، المركزين العمودي والكتلي نهايتي قطر فيها.

يقع المركز ''N'' لدائرة النقاط التسعة على خط أويلر في المنتصف بين المركز العمودي والمركز المحيطي:<ref name="k2" />

: <math>ON = NH, \quad OG =2\cdot GN, \quad NH=3GN.</math>

لذا، يمكن إعادة وضع خط أويلر على خط أعداد حيث المركز المحيطي ''O'' في الموقع 0، ''ومركز الكتلة G'' عند 2t، ومركز دائرة النقاط التسعة عند 3t، والمركز العمودي ''H'' عند 6t عامل المقياس ''t''.

إضافةً إلى ذلك، فإن المسافة المربعة بين مركز الكلتة والمركز المحيطي على طول الخط أويلر أقل من مربع [[دائرة محيطة|نصف القطر المحيطي]] ''R'' <sup>2</sup> بقدر مساوي تسع مجموع مربعات الأضلاعa''،'' b''،'' ''c:'' <ref name="ac2" /> {{صفحات مرجع|p.71}}

: <math>GO^2=R^2-\tfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2).</math>

بالإضافة إلى، <ref name="ac2" /> {{صفحات مرجع|p.102}}

: <math>OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2);</math>

: <math>GH^2=4R^2-\tfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2).</math>

== التمثيل ==

=== المعادلة ===
افترض أن A، B ، ''C'' تشير إلى زوايا رؤوس المثلث المرجعي، وافترض أن x: ''y'' : ''z'' نقطة متغيرة في [[إحداثيات خطية ثلاثية]]؛ عندها تكون معادلة خط أويلر: <math>\sin (2A) \sin(B - C)x + \sin (2B) \sin(C - A)y + \sin (2C) \sin(A - B)z = 0.</math>

معادلة لخط أويلر في [[نظام الإحداثيات الخاص بمركز الثقل|إحداثيات كتلية]] <math>\alpha :\beta :\gamma</math> هو <ref>Scott, J.A., "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''Mathematical Gazette'' 83, November 1999, 472-477.</ref>

: <math>(\tan C -\tan B)\alpha +(\tan A -\tan C)\beta + (\tan B -\tan A)\gamma =0.</math>

=== تمثيل بارامتري ===
يمكن تمثيل خط أويلر بواسطة المعامل ''t'' ، بدءًا من المركز المحيطي (بإحداثيات خطية ثلاثية <math>\cos A : \cos B : \cos C</math>) والمركز العمودي (ذو الثلاث خطوط <math>\sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B</math>). تُعطى كل نقطة على خط أويلر، باستثناء المركز العمودي، بواسطة الإحداثيات الخطية الثلاثية: <math>\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B</math>

تشكلت [[تركيب خطي|كتركيبة خطية]] من الإحداثيات الخطية الثلاثية لهاتين النقطتين، بالنسبة للمعامل ''t''.

على سبيل المثال:

* المركز المحيطي له الإحداثيات الخطية الثلاثية <math>\cos A:\cos B:\cos C,</math> المقابلة لقيمة المعامل <math>t=0.</math>
* مركز الكتلة له الإحداثيات الخطية الثلاثية<math>\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B</math>، المقابلة لقيمة المعامل <math>t=1.</math>
* مركز دائرة النقاط التسع له الإحداثيات الثلاثية<math>\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B,</math> المقابلة لقيمة المعلمة <math>t=2.</math>
* [[نقطة دي لونغشام|نقطة دي لونجتشامب]] لها الإحداثيات الخطية الثلاثية<math>\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B</math> المقابلة لقيمة المعامل <math>t=-1.</math>

=== الميل ===
في نظام [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]]، نشير إلى ميول أضلاع المثلث بالرموز <math>m_1,</math><math>m_2,</math><math>m_3,</math> ونشير إلى ميل خط أويلر بالرمز <math>m_E</math>. وترتبط هذه الميول وفقًا لـ <ref name="BHS2">Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", ''Forum Geometricorum'', Volume 13 (2013), 169–184.</ref> {{صفحات مرجع|Lemma 1}}

: <math>m_1m_2 + m_1m_3 + m_1m_E + m_2m_3 + m_2m_E + m_3m_E</math>
:: <math> + 3m_1m_2m_3m_E + 3 = 0.</math>

لذا فإنّ ميل خط أويلر (إذا كان محدودًا) يمكن التعبير عنه من حيث ميل الأضلاع كـ: <math>m_E=-\frac{m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3 + 3}{m_1 + m_2 + m_3 + 3m_1m_2m_3}.</math>

فضلًا على ذلك، فإن خط أويلر يوازي الضلع ''BC'' في المثلث الحاد إذا وفقط إذا <ref name="BHS2" /> {{صفحات مرجع|p.173}}<math>\tan B \tan C = 3</math>.

== العلاقة بالمثلثات المتساوية الأضلاع المدرجة ==
المحل الهندسي لمراكز الكتلة [[مثلث متساوي الأضلاع|للمثلثات متساوية الأضلاع]] المدرجة في مثلث معين ينشئ بواسطة خطين عموديين على خط أويلر للمثلث المحدد.<ref name="Garcia2">Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, "Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles", ''[[Forum Geometricorum]]'' 16, 2016, 257–267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180424053644/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf|date=2018-04-24}}</ref> {{صفحات مرجع|Coro. 4}}

== في مثلثات خاصة ==

=== مثلث قائم ===
في [[مثلث قائم|المثلث القائم]] ، يتطابق خط أويلر مع المتوسط على [[وتر (مثلث)|الوتر]] — أي أنه يمر عبر كل من الرأس القائم ونقطة المنتصف في الضلع المقابل لذلك الرأس. هذا لأن المركز العمودي للمثلث القائم، نقطة تقاطع [[ارتفاع (مثلث)|ارتفاعاته]]، يقع على الرأس القائمة بينما يقع مركزه المحيطي، نقطة تقاطع [[تنصيف|منصفات أضلاعه العمودية]]، على نقطة منتصف الوتر.

=== مثلث متساوي الساقين ===
يتطابق خط أويلر [[مثلث متساوي الساقين|لمثلث متساوي الساقين]] [[تناظر دوراني|مع محور تماثله]]. في المثلث متساوي الساقين، المركز الداخلي يقع على خط أويلر.

=== مثلث المتوسطات المتناسبة ===
خط أويلر في مثلث المتوسطات المتناسبة (المثلث الذي متوسطاته متناسبة مع الأضلاع، على التوالي.) عمودي على أحد المتوسطات.<ref name="parry2">{{استشهاد|الأخير=Parry|الأول=C. F.|العدد=472|صحيفة=The Mathematical Gazette|jstor=3620241|صفحات=151–154|عنوان=Steiner–Lehmus and the automedian triangle|المجلد=75|سنة=1991}}.</ref>

=== أنظمة المثلثات ذات خطوط أويلر المتطابقة ===
اعتبر المثلث ''ABC'' [[نقطة فيرما|بنقطتي]] ''F'' <sub>1</sub> [[نقطة فيرما]] و ''F'' <sub>2</sub>. خطوط أويلر للمثلثات العشرة ذات الرؤوس المختارة من ''A و B و C و F'' <sub>1</sub> و ''F'' <sub>2</sub> [[تلاق|تتقاطع]] عند مركز الكتلة للمثلث ''ABC''.<ref>Beluhov, Nikolai Ivanov. "Ten concurrent Euler lines", ''Forum Geometricorum'' 9, 2009, pp. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210122214328/https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html|date=2021-01-22}}</ref>

خطوط أويلر للمثلثات الأربعة المتشكلة بنظام مركزي عمودي (مجموعة من أربع نقاط حيث كل منها المركز [[ارتفاع (مثلث)|العمودي]] للمثلث المتشكل بالنقاط الثلاث الأخرى) تتقاطع عند مركز دائرة النقاط التسعة المشترك لجميع المثلثات.<ref name="ac2" /> {{صفحات مرجع|p.111}}

== التعميمات ==

=== المضلع الرباعي ===
في [[رباعي أضلاع|المحدب الرباعي]]، ''المركز شبه العمودي H''، و «مركز كتلة المساحة» ''G،'' والمركز شبه المحيطي ''O'' متسامتة، على هذا الترتيب، على خط أويلر، ''وHG'' = 2 ''GO.'' <ref>{{استشهاد|الأخير=Myakishev|الأول=Alexei|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=289–295|عنوان=On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral|مسار= http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200634.pdf|المجلد=6|سنة=2006|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230103150649/http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200634.pdf|تاريخ أرشيف=2023-01-03}}.</ref>

=== رباعي السطوح ===
[[رباعي سطوح|رباعي السطوح]] هو [[فضاء ثلاثي الأبعاد|جسم ثلاثي الأبعاد]] يحده أربعة [[وجه (هندسة)|أوجه]] مثلثة. سبعة خطوط مرتبطة برباعي الوجوه تتقاطع عند مركز كتلته، تتقاطع مستوياته المٌنصِفة الستة عند [[رباعي سطوح|نقطة مونجي]]، والكرة المحيطة تمر عبر جميع الرؤوس، ومركزها المركز المحيطي. تحدد هذه النقاط «خط أويلر» لرباعي الوجوه المناظر لخط المثلث. مركز الكتلة هو نقطة المنتصف بين نقطة مونجي والمركز المحيطي على طول هذا الخط. يقع مركز كرة النقاط الاثنى عشرة أيضًا على خط أويلر.

=== [[عديد الأبعاد]] المبسط ===
عديد الأبعاد المبسط هو عديد أبعاد كل جوانبه مبسطة. على سبيل المثال، كل مضلع هو عديد أبعاد مبسط. خط أويلر المرتبط بمثل عديد الأبعاد هو الخط المحدد بمركز الكتلة و [[المركز المحيطي للكتلة]]. هذا التعريف لخط أويلر يعمم ذلك المذكور أعلاه.<ref>{{استشهاد|الأخير=Tabachnikov|الأول=Serge|الأخير2=Tsukerman|الأول2=Emmanuel|تاريخ=May 2014|العدد=51|صحيفة=[[Discrete and Computational Geometry]]|صفحات=815–836|عنوان=Circumcenter of Mass and Generalized Euler Line|DOI=10.1007/s00454-014-9597-2|المجلد=51|arxiv=1301.0496}}.</ref>

لنفترض أن <math>P</math> مضلع. خط أويلر <math>E</math> حساس لتماثلات <math>P</math> بالطرق التالية:

1. لو <math>P</math> له خط التماثل الانعكاسي <math>L</math> ، من ثم <math>E</math> إما <math>L</math> أو نقطة على <math>L</math>.

2. لو <math>P</math> له مركز التماثل الدوراني <math>C</math> ، من ثم <math>E=C</math> .

3. إذا كانت كل جوانب <math>P</math> متساوية في الطول، إذًا <math>E</math> متعامد مع الجانب الأخير.

== الإنشاءات ذات الصلة ==
قطع كيبرت المكافئ لمثلث هو القطع المكافئ الفريد المماس للأضلاع المثلث (بعد مد اثنين منهم) وخط أويلر الدليل له.<ref name="Scimemi2">[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", ''Forum Geometricorum'' 10, 2010: 55–77.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211113204954/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf |date=13 نوفمبر 2021}}</ref> {{صفحات مرجع|p. 63}}

== انظر أيضًا ==

* [[خط سيمسون]].
* [[دائرة]].
* [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث]].

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==
* {{ماثوورلد | title = Euler Line | urlname = EulerLine}}
<!--انترويكي-->
<br />{{دائرة}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}


[[تصنيف:هندسة المثلث]]
[[تصنيف:هندسة إقليدية مستوية]]