عرض مصدر حل المثلثات

'''حل المثلثات''' {{إنج|Solution of triangles}} هي المسألة الرئيسية لحساب المثلثات التي تتعلق بإيجاد خصائص [[مثلث]] (الزوايا وأطوال الأضلاع)، عندما يكون بعضها معروفًا. يمكن وضع المثلث على [[مستو (رياضيات)|المستوي]] أو على ال[[كرة]]. وتشمل التطبيقات التي تتطلب حل المثلثات [[علم تقسيم الأرض|الجيوديسيا]] و[[علم الفلك]] و[[تشييد|البناء]] وال[[ملاحة]].

== حل المُثَلَّثات المُسْتَوِية ==
[[ملف:Triangle_-_angles,_vertices,_sides.svg|بديل=|تصغير|220x220بك|<center>ترميز أساسي لمثلث</center>]]
مثلث الشكل العام له ست مميزات رئيسية (انظر الصورة): أطوال الأضلاع a ، و b ، و c وثلاثة زوايا ({{تعبير رياضي|''α'' ، ''β'' ، ''γ''}}). تتمثل معضلة حساب المثلثات الكلاسيكي في تحديد ثلاث من الخصائص الست وتحديد الثلاث الأخرى. يمكن تحديد المثلث بصورة فريدة بهذا المعنى عند إعطاء أي مما يلي:<ref>{{استشهاد ويب |مسار= https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-triangles.html |عنوان=Solving Triangles |ناشر=Maths is Fun |تاريخ الوصول=4 April 2012<!-- 6:37 (UTC)-->|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190630074334/https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-triangles.html|تاريخ أرشيف=2019-06-30}}</ref><ref>{{استشهاد ويب |مسار=http://web.horacemann.org/academics/math/pcbch/trig/triangle.html |عنوان=Solving Triangles |ناشر=web.horacemann.org |تاريخ الوصول=4 April 2012<!-- 6:42 (UTC)--> |حالة المسار=dead|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20140107224746/http://web.horacemann.org/academics/math/pcbch/trig/triangle.html |تاريخ أرشيف=7 January 2014 |df=}}</ref>

* ثلاث أضلاع (SSS)

* ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS)

* ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما (SSA)، إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر.

* ضلع وزاويتان مجاورتان له (ASA)

* ضلع والزاوية المقابلة له والزاوية المجاورة له (AAS).

النسبة لجميع الحالات في المستوي، يجب تحديد واحد على الأقل من أطوال الأضلاع. إذا أعطيت الزوايا فقط، فلا يمكن تحديد أطوال الأضلاع، لأن أي مثلث [[تشابه (هندسة)|مشابه]] هو الحل.

=== العلاقات المثلثية ===
[[ملف:Beliebiges_Dreieck_cen.png|تصغير|نظرة عامة على خطوات وأدوات خاصة تستخدم عند حل المثلثات المستوية]]
الطريقة الأساسية لحل المعضلة هي استخدام العلاقات الأساسية.

;[[قانون جيب التمام]]
:
: <math> a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos \alpha </math>
: <math> b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos \beta </math>
: <math> c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma </math>
;[[قانون الجيب]]
:
: <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>
; مجموع الزوايا
:
: <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math>
;[[قانون الظل]]
:
: <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac 1 2 (\alpha+\beta)]}.</math>
:هناك علاقات عامة أخرى (مفيدة عمليًا في بعض الأحيان): [[قانون ظل التمام]] و[[صيغة مولفيده]].

==== ملاحظات ====
# لإيجاد زاوية مجهولة، فإن قانون جيب التمام أكثر أمانًا من قانون الجيب. والسبب هو أن قيمة الجيب لزاوية المثلث لا تحدد هذه الزاوية بصورة فريدة. على سبيل المثال، إذا كانت sin β = 0.5، يمكن أن تساوي الزاوية إما 30 درجة أو 150 درجة. استخدام قانون جيب التمام يتجنب هذه المشكلة: عند المجال من 0 درجة إلى 180 درجة تحدد قيمة جيب التمام بشكل لا لبس فيه زاويته. من ناحية أخرى، إذا كانت الزاوية صغيرة (أو قريبة من 180 درجة)، فعندئذٍ يكون تحديدها من جيبها أكثر من جيب تمامها لأن دالة جيب التمام العكسية لها مشتق متباين عند 1 (أو {{يسار إلى يمين|−1}}).
# نفترض أن الوضع النسبي لخصائص محددة معلوم. إذا لم يكن كذلك، فإن انعكاس المرآة للمثلث سيكون أيضًا حلًا. على سبيل المثال، تحدد ثلاثة أطوال أضلاع بصورة فريدة إما مثلثًا أو انعكاسًا له.

=== ثلاث أضلاع معطاة (SSS) ===
[[ملف:Resolve_triangle_with_a_b_c.png|بديل=|تصغير|250x250بك|<center>ثلاث أضلاع معطاة</center>]]
لتكن ثلاث أضلاع معلومة A و B و C. لإيجاد الزوايا α و β، يمكن استخدام [[قانون جيب التمام]]:<ref>{{استشهاد ويب |مسار= https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sss-triangles.html |عنوان=Solving SSS Triangles |ناشر=Maths is Fun |تاريخ الوصول=13 January 2015|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190209180741/https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sss-triangles.html|تاريخ أرشيف=2019-02-09}}</ref>

<math>
\begin{align}
\alpha & = \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c} \\[4pt]
\beta & = \arccos \frac{a^2 + c^2 - b^2} {2 a c}
\end{align}
</math>

عندئذ تساوي الزاوية {{تعبير رياضي|''γ''}}:

{{تعبير رياضي|''γ'' {{=}} 180° − ''α'' − ''β''}}

توصي بعض المصادر بإيجاد الزاوية β من [[قانون الجيب]] ولكن هناك خطر من خلط قيمة الزاوية الحادة مع قيمة الزاوية المنفرجة.

طريقة أخرى لحساب الزوايا من الأضلاع المعلومة هي تطبيق [[قانون ظل التمام]].

=== ضلعان وزاوية محصورة معطاة (SAS) ===
[[ملف:Resolve_triangle_with_a_b_gamma.png|تصغير|250x250بك|<center>ضلعان والزاوية المحصورة بينهما</center>|بديل=]]
هنا، أطوال الأضلاع {{تعبير رياضي|''a''}} ، و {{تعبير رياضي|''b''}} والزاوية {{تعبير رياضي|''γ''}} المحصورة بين هذه الأضلاع معلومة.  يمكن تحديد الضلع الثالث من قانون جيب التمام:<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sas-triangles.html
| عنوان = Solving SAS Triangles
| ناشر = Maths is Fun
| تاريخ الوصول = 13 January 2015
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200320082356/https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sas-triangles.html|تاريخ أرشيف=2020-03-20}}</ref>

: <math>c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.</math>

الآن نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد الزاوية الثانية:

: <math> \alpha =  \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}.</math>

وأخيرًا، {{تعبير رياضي|''β'' {{=}} 180° − ''α'' − ''γ''}}.

=== ضلعان وزاوية غير محصورة معطاة (SSA) ===
[[ملف:Resolve_triangle_with_b_c_beta.png|تصغير|250x250بك|<center>ضلعان وزاوية غير محصورة المعطاة</center>|بديل=]]
[[ملف:حلان للمثلث SSA معلوم الجانبين وزاوية غير محصورة بينهما لو المقابل للزاوية المجهولة b أصغر مِن نظيره المعلوم c.png|بديل=|تصغير|300x300px|رسمٌ يوضِّحُ حلَّيْن للمثلث '''SSA''' معلوم الجانبين وزاوية '''β''' غير محصورة بينهما لو الضِلْع '''c''' أصغر مِن الضِلع '''b''' المُقابل للزاوية المجهولة '''γ''' فتكون منفرجة أو حادَّة .]]
هذه الحالة غير قابلة للحل في جميع الحالات؛  يتم ضمان أن يكون الحل فريدًا فقط إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر. نفترض أن ضلعين b و c والزاوية β معلومتان. يمكن ايجاد معادلة الزاوية {{تعبير رياضي|''γ''}} من قانون الجيب:<ref>{{استشهاد ويب |مسار= https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-ssa-triangles.html |عنوان=Solving SSA Triangles |ناشر=Maths is Fun |تاريخ الوصول=9 March 2013|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190210044430/https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-ssa-triangles.html|تاريخ أرشيف=2019-02-10}}</ref>

<math>\sin\gamma = \frac c b \sin\beta</math>

نضع {{تعبير رياضي|''D'' {{=}} {{كسر|''c''|''b''}} sin ''β''}} (الجهة اليمنى للمعادلة).  هناك أربع حالات ممكنة:

# إذا كان {{تعبير رياضي|''D'' > 1}}: فلا يوجد مثل هذا المثلث لأن الضلع b لا يصل إلى القطعة المستقيمة BC. ولنفس السبب لا يوجد حل إذا كانت الزاوية {{تعبير رياضي|β ≥ 90°}} ، و {{تعبير رياضي|b ≤ c}}.
# إذا كان {{تعبير رياضي|''D'' {{=}} 1}}: يوجد حل وحيد: {{تعبير رياضي|γ {{=}} 90°}}، أي أن المثلث قائم الزاوية.
# إذا كان {{تعبير رياضي|''D'' < 1}}: هناك بديلان ممكنان:
## [[ملف:حل مثلث من نوع SSA ضلعه المعلوم أكبر من نظيره المقابل للزاوية المجهولة وتكون حادَّة فقط.png|تصغير|300x300px|رسمٌ يوضِّحُ حلًّا واحدًا فقط للمثلث '''SSA''' معلوم الجانبين وزاوية '''β''' غير محصورة بينهما حينَ يكون الضِلع '''c''' أصغر مِن نظيره المعلوم '''b''' المُقابل للزاوية المجهولة '''γ''' حيث تكون زاوية حادَّة.|بديل=]]إذا كانت {{تعبير رياضي|b ≥ c}}: فإن {{تعبير رياضي|''β'' ≥ ''γ''}} (الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى). بما أنَّهُ لا يمكن أن يكون للمثلث أكثر من زاوية منفرجة، فإن ''{{تعبير رياضي|''γ''}}'' هي زاوية حادة والحل {{تعبير رياضي|''γ'' {{=}} arcsin ''D''}} فريد.
## إذا كانت {{تعبير رياضي|b < c}}: فقد تكون الزاوية ''γ'' حادة: {{تعبير رياضي|''γ'' {{=}} arcsin ''D''}} أو منفرجة: {{تعبير رياضي|γ′ {{=}} 180° - γ}}. يوضح الشكل الموجود على اليسار النقطة C والضلع b والزاوية ''{{تعبير رياضي|''γ''}}'' كحل أول، والنقطة {{يسار إلى يمين|B′}} والضلع {{يسار إلى يمين|c′}} والزاوية ''{{تعبير رياضي|''γ'''}}'' كحل ثان.

عند الحصول على الزاوية {{تعبير رياضي|''γ''}} تُحسب الزاوية الثالثة بتطبيق متطابقة مجموع الزوايا:

{{تعبير رياضي|''α'' {{=}} 180° − ''β'' − ''γ''}}

عندئذٍ يمكن ايجاد الضلع الثالث مِن قانون الجيب:

:<math>a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>

أو

:<math>a = c\cos\beta \pm  \sqrt{b^2 -c^2\sin^2\beta} </math> .

=== ضلع وزاويتان مجاورتان معطاة (ASA) ===
[[ملف:Resolve_triangle_with_c_alpha_beta.png|يسار|تصغير|250x250بك|<center>ضلع وزاويتان مجاورتان معطاة</center>]]
الخصائص المعلومة هي الضلع {{تعبير رياضي|''c''}} والزوايا {{تعبير رياضي|''α'', ''β''}}. الزاوية الثالثة {{تعبير رياضي|''γ'' {{=}} 180° − ''α'' − ''β''}}.

يمكن حساب ضلعين مجهولين بتطبيق قانون الجيب:<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-asa-triangles.html
| عنوان = Solving ASA Triangles
| ناشر = Maths is Fun
| تاريخ الوصول = 13 January 2015
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20180701030445/https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-asa-triangles.html|تاريخ أرشيف=2018-07-01}}</ref>

: <math>a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}; \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.</math>

أو

: <math>a = c \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \cos \beta +\sin\beta \cos \alpha}</math>
:

=== ضلع وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة (AAS) ===
إجراء حل مثلث AAS هو نفس الإجراء الخاص بمثلث ASA: أولاً، نبحث عن الزاوية الثالثة باستخدام خاصية مجموع زوايا المثلث، ثم نبحث عن الضلعين الآخرين باستخدام [[قانون الجيب]].

=== أطوال أخرى معطاة ===
في كثير من الحالات، يمكن حل المثلثات انطلاقًا من بعض المعلومات ، بعضها أطوال [[متوسط (هندسة رياضية)|متوسطات المثلث]] أو [[ارتفاع (مثلث)|الارتفاعات]] أو [[تنصيف|منصفات الزوايا]]. يسرد الكتاب "The Secrets of Triangles" للعالمين بوسامنتيير وليمان<ref>Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, ''The Secrets of Triangles'', Prometheus Books, 2012: pp. 201–203.</ref> نتائج مسألة قابلية الحل فقط باستخدام الجذور التربيعية (أي [[إنشاء بمسطرة وفرجار|قابلية الإنشاء]]) لعدد 95 حالة متميزة؛ 63 مِن تلك الحالات قابلة للإنشاء.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Hisab al-mutallatat. (Lehrbuch der Trigonometrie.) Übers. aus dem Französ. (arab.)|مسار=https://books.google.dz/books/about/Hisab_al_mutallatat_Lehrbuch_der_Trigono.html?id=_LhUAAAAcAAJ&redir_esc=y|ناشر=Staatsdr|تاريخ=1843|لغة=ar|مؤلف1='Ahmad| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200606020544/https://books.google.dz/books/about/Hisab_al_mutallatat_Lehrbuch_der_Trigono.html?id=_LhUAAAAcAAJ&redir_esc=y | تاريخ أرشيف = 6 يونيو 2020 }}</ref>

== حل المُثَلَّثات الكُرَوِيَّة ==
[[ملف:مُثَلَّث كُرَوي.png|بديل=|تصغير|315x315بك|<center>عناصِرُ المُثَلَّثِ الكُرَوِيّ بِرَسم ثُلاثي الأبعاد</center>]]
يحدَّد [[حساب المثلثات الكروية|المثلث الكروي]] العام بالكامل من قبل ثلاث من خصائصه السِتَّة (3 أقواس<ref group="ملاحظة">تسمى مجازًا "أضلاع"، وتسمى أيضًا "جوانب المثلث الكروي"</ref> و 3 زوايا). أطوال الأقواس '''a''' ، و '''b''' ، و '''c''' للمثلث الكروي هي [[زاوية مركزية|زواياها المركزية]]، تقاس بوحدات الزَّاوية بدلاً مِن وحدات الطُّول. (في كُرة الوِحدة، كرة نصف قطرها يساوي الواحد الصحيح من وِحدات الطُّول، تكون الزاوية (بال[[راديان|رَّاديان]]) والطول حول الكرة متماثلة عدديًّا. وفي الكُرات الأُخرى، تكون الزَّاوية (بالرَّاديان) مُساوية للطول حول الكرة مقسومًا على نصف القطر. ويُشْتَقُّ عادً من جنس رموز أقواس أو جوانب المُثَلَّث الكُرَوِيّ رُموزًا لزواياهُ بِحيثُ تَكُوْنُ الحروف كبيرة هكذا '''A''' ، و '''B''' ، و '''C''' وهي نفسها بالرموز اللاتينية ألفا '''α ،''' بيتا '''β''' ، جاما '''γ''' ، بحيث يقابُل كلُّ رمزٍ في تِلْكَ الأقواس نَظِيْرَهُ مِن الزَّوايا المُقابِلة وهي الزَّوايا على السَّطح الخارجي للمُثَلَّثِ الكُرَوِيّ.

تختلف الهندسة الكروية عن [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]] المستوية، لذا فإن حَلَّ المثلثات الكروية مبني على قواعد مختلفة. على سبيل المثال، يعتمد مجموع الزوايا الثلاث '''α + β + γ''' على حجم المثلث.

ويعتمد المُثَلَّث الكُرويّ على أقواس ضِمْن دوائر مركزها مركز الكُرة فقط وليس مَثلًا كدوائر العَرض شَمال وجنوب الإستواء في الكُرَةِ الأرضيَّة فمركزُ كُلٍّ مِنها يكون نُقطة على المحور الطولي الواصل بين القطبين لِذا مُحيطها أقل من مُحيط دائرة الإستواء.

بالإضافة إلى ذلك، لا يمكن أن تكون المثلثات المتشابهة غير متساوية، لِذا فإنَّ مشكلة إنشاء مثلث بثلاث زوايا محددة لها حَلٌّ فريد. العلاقات الأساسية المستخدمة لِحل مشكلة مماثلة لتلك الموجودة في الحالة المستوية: انظر [[حساب المثلثات الكروية#قوانين الجيب وجيب التمام|قوانين الجيب وجيب التمام للمثلثات الكروية]].

من بين العلاقات الأخرى التي قد تكون مفيدة هي [[حساب المثلثات الكروية#المتطابقات|صيغة نصف القوس وصيغ نابير]]:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/NapiersAnalogies.html Napier's Analogies] at MathWorld {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200318211934/https://mathworld.wolfram.com/NapiersAnalogies.html|date=2020-03-18}}</ref>
* <math>\tan\frac c 2 \cos\frac{\alpha-\beta} 2  = \tan\frac{a+b}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}</math>
* <math>\tan\frac c 2 \sin\frac{\alpha-\beta} 2  = \tan\frac{a-b} 2  \sin\frac{\alpha+\beta} 2</math>
* <math>\cot\frac{\gamma} 2 \cos\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha+\beta} 2 \cos\frac{a+b} 2</math>
* <math>\cot\frac{\gamma} 2 \sin\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha-\beta} 2 \sin\frac{a+b} 2.</math>

[[ملف:Solve spherical triangle with a b c.png|تصغير|250px|<center>ثلاث أقواس معطاة</center>|بديل=]]

=== ثلاث أقواس معطاة (SSS كروي) ===
المعلومة: الأقواس '''a''' ، و '''b''' ، و '''c''' (بوحدات الزاوية). تحسب زوايا المثلث '''A''' ، و '''B''' ، و '''C''' وهي نفسها بالرُّمُوز اللاتينية ألفا '''α ،''' بيتا '''β''' ، جاما '''γ''' ، باستخدام قانون جيب التَّمام للمثلثات الكروية:

:<math>\alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}\right),</math>
:<math>\beta  = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}\right),</math>
:<math>\gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}\right).</math>

{{تحديد}}
[[ملف:Solve spherical triangle with a b gamma.png|تصغير|يسار|250px|<center>قوسان وزاوية محصورة معطاة</center>]]

=== قوسان وزاوية محصورة معطاة (SAS كروي) ===
المعلومة: الأقواس '''a''' ، و '''b''' ، والزاوية المحصورة بينهما '''γ''' أو '''C''' وهي المقابلة للقوس '''c''' فَتُحسَبُ قِيْمَتُهُ باستخدام قانون جيب التمام للمثلثات الكروية:

:<math>c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right).</math>

يمكن حساب الزوايا {{تعبير رياضي|''α'', ''β''}} على النَّحوِ الوارد أعلاه، أو باستخدام صيغ نابير:

:<math>\alpha = \arctan\ \frac{2\sin a}{\tan(\frac{\gamma}{2}) \sin (b+a) + \cot(\frac{\gamma}{2})\sin(b-a)},</math>
:<math>\beta = \arctan\ \frac{2\sin b}{\tan(\frac{\gamma}{2}) \sin (a+b) + \cot(\frac{\gamma}{2})\sin(a-b)}.</math>

في المِلاحة تنشأ مُعضِلة في إيجاد الدَّائرة العُظْمَى بين نقطتين على الأرض يحددها خط العرض وخط الطول (حيث يعتمد المُثَلَّث الكُروي على أقواس ضِمْن دوائر مركزها مركز الكُرة فقط )؛ في هذا التَّطبيق باستخدام دالة الظِّلّ tan، لِذا فمن المهم استخدام صيغ ليست عُرضةً لأخطاء التَّقريب ، وَلِهذا الغَرَض يُمكن استخدام الصَّيغ التَّالية (التي يمكن اشتقاقها باستخدام الجبر المتجهي):

:<math>\begin{align}
c &= \arctan\frac
{\sqrt{(\sin a\cos b - \cos a \sin b \cos \gamma)^2 + (\sin b\sin\gamma)^2}}
{\cos a \cos b + \sin a\sin b\cos\gamma},\\
\alpha &= \arctan\frac
{\sin a\sin\gamma}
{\sin b\cos a - \cos b\sin a\cos\gamma},\\
\beta &= \arctan\frac
{\sin b\sin\gamma}
{\sin a\cos b - \cos a\sin b\cos\gamma},
\end{align}</math>

حيث يجب استخدام إشارات البسط والمقام في هذه التَّعبيرات لتحديد [[ربع (هندسة تحليلية)|ربع]] [[قوس الظل]].

[[ملف:Solve spherical triangle with b c beta.png|تصغير|يسار|250px|<center>قوسان وزاوية غير محصورة معطاة</center>]]

=== قوسان وزاوية غير محصورة معطاة (SSA كروي) ===
المعلومة: الجوانب '''''b''''' ، و'''''c''''' والزَّاوية '''''β''''' ليست محصورة بينهما. هذه المشكلة قَد لا تَكُونُ قابلةً لِلحَلِّ بِشَكْلٍ مُباشِرٍ؛

حيثَ أنَّ قيمة الزَّاوية '''''β''''' يُحتَمَل كونُها حادة أو مُنْفَرِجة عِنْدَ تَطبيق قانون الجيب للمثلثات الكروية في إيجاد قيمتها كخطوة لازمة لمعرفة بقية عناصر المُثَلَّث؛

ويُكونُ الحَلُّ مُباشِرًا فقط إذا كان طُول القَوْس '''b''' المُجاور للزَّاوية المجهولة '''γ''' والقوس الآخر '''c''' المُقَابِل لها كلاهما أقَلّ مِن أو يساوي 90 درجة قوسية ؛

فيوجد حَلٌّ مُباشِرٌ إذا تحقَّقَ الشَّرط التَّالي:

:<math>b > \arcsin (\sin c\,\sin\beta).</math>

فَيمكن على سَبيلِ المِثالِ إيجاد الزاوية '''{{تعبير رياضي|''γ''}}''' مِن قانون الجيب للمثلثات الكروية:
:<math>\gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right).</math>
أمَّا فيما سِوَى ذَلِكَ فيكون الحَلُّ غير مُبَاشِر كما في حالة المُثلثات المُستوية، إذا كانت '''{{تعبير رياضي|''b'' < ''c''}}''' فالحَلُّ يكون :

'''{{تعبير رياضي|180° - ''γ''}}''' ؛ وليس أي '''{{تعبير رياضي|''γ''}}''' ؛

أي هكذا : <!-- قُمْت برسم مُثلَّث كروي في برنامج جيوجبرا وتأكدت من الحالات الثلاثة لطول القوس المجاور للزاوية والمقابِل لها حيث وجدت أن قانون الجيب في المثلثات الكروي يعطي نفس الاحتمالات لنظيره في المثلثات المستوية لذلك قمت بتعديل المكتوب بحيث يكون هناك حل ولكنه غير مباشر -->

:<math>\gamma =180- \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right).</math>

بَعدَها يُمكننا إيجاد العُنصرَين المُتَبِقِّيَيْنِ مِن المُثَلَّثِ الكُرَوِيّ القوس '''a''' ، والزَّاوية المُقَابِلَة له '''A''' أو ألفا '''α''' ، باستخدام صِيَغ '''نابير''':

:<math>
\begin{align}
a & = 2\arctan \left[ \tan\left(\tfrac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\tfrac12(\beta-\gamma)\right)} \right], \\[4pt]
\alpha & = 2\arccot \left[\tan\left(\tfrac12(\beta-\gamma)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(b+c)\right)}{\sin \left(\tfrac12(b-c)\right)} \right].
\end{align}
</math>

'''ملاحظة تطبيقيَّة''' : يمكن صِياغَة مُعادَلة جَبريَّة لِتُطَبَّق بشكلٍ مباشر على غِرار قاعدة (if) في [[مايكروسوفت إكسل|الإكسيل]] <ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://support.microsoft.com/ar-sa/office/if-%d8%a7%d9%84%d8%af%d8%a7%d9%84%d8%a9-if-69aed7c9-4e8a-4755-a9bc-aa8bbff73be2?ui=ar-sa&rs=ar-sa&ad=sa
| عنوان = IF (الدالة IF)
| موقع = support.office.com
| لغة = ar-SA
| تاريخ الوصول = 2020-05-31
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200531165341/https://support.office.com/ar-sa/article/if-الدالة-if-69aed7c9-4e8a-4755-a9bc-aa8bbff73be2 | تاريخ أرشيف = 31 مايو 2020 }}</ref> لكن على خطوتين؛

::'''الخطوة الأولى''' إيجاد إشارة موجبة أو سالبة تُعَبِّرُ عَن النسبة بين قيمة القوس '''c''' المُقابِل للزاوية المجهولة '''{{تعبير رياضي|''γ''}}''' وبين القوس '''b''' المُجاوِر لها ، هكذا:
::<math>\mathbf{\pm1={({\color{red}c}-{\color{blue}b}+10^{-15})\over|{\color{red}c}-{\color{blue}b}+10^{-15}|}}</math> ؛

::حَيْثُ '''{{يسار إلى يمين|10<sup>-15}}</sup>''' قيمة مُضافَة لمنع القِسمة '''÷ صفر''' عند تساوي قيمتي '''c''' ، '''b''' وهي قِيْمَة مُهْمَلَة وأقل مِن الفروق الطبيعية المُستخدمة عادةً والقوسان |.... | بهذا الشَّكْل يُمَثِّلان الفَرَق المُطلَق أو الموجب دائمًا بين القيمتين ؛

::'''الخطوة الثانية''' هي صياغة معادلة إيجاد الزَّاوية '''{{تعبير رياضي|''γ''}}''' المُقابِلة للقوس '''c''' مع إضافة ناتج الخطوة الأولى <math>\gamma =[90-(\pm1 \times 90)]+\left[\pm1\times \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right)\right]</math> حيث المقدار <math>\pm1</math> تتغير قيمته بموجب أو سالب حَسَب تطبيق الخطوة الأولى، ويتم ضرب ناتجها في '''90''' وكذلك في '''نَصِّ معادلة قانون الجيب للمثلثات''' وبهذا التَّطبيق تؤول المُعادلة لِلصورة:

::<math>\gamma =[90-(-90)]+\left[-1\times \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right)\right]</math> فقط في حالة كان ناتج الخطوة الأولى = '''-1'''، وذلك عندما تكونُ قيمة القوس '''c''' المُقابِل للزَّاوية '''{{تعبير رياضي|''γ''}}''' أصغر مِن قيمة القوس '''b''' المُجاوِر لها، وهي التي تُعادِل الصُّورة :- <math>\gamma ={\color{red}180}- {\color{blue}\arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right)}</math>

::وأهمية هذه المُعادِلة تَكْمُن في حالة التَّعويض عن <math>\pm1</math> مِن '''نَصِّ المُعادلة بالخطوة الأولى''' بعد علامة '''=''' في '''نَصِّ المعادلة الثانية''' فتصير المعادلة مِن خطوة واحدة مُباشرة هكذا :-

::<math>\mathbf{\gamma =90{\color{red}-}\, {90\times({\color{red}c}-{\color{blue}b}+10^{-15})\over|{\color{red}c}-{\color{blue}b}+10^{-15}|}\, {\color{blue}+}\, {({\color{red}c}-{\color{blue}b}+10^{-15})\times \mathbf{\arcsin \left(\frac{\sin {\color{red}c}\,\times\sin\beta}{\sin {\color{blue}b}}\right)} \over |{\color{red}c}-{\color{blue}b}+10^{-15}|}}</math>

::حيث تؤول القيم المُضافة للمُعادلة الأصلية إلى '''(90 + 90 - المعادلة الأصلية)''' في حالة ضرورة طرح ناتجها مِن '''180'''؛ وتؤول إلى '''(90 - 90 + المُعادلة الأصلية)''' في حالة عَدَم الحاجة إلى الطَّرح، '''ويمُكِن بالتحقيق الجَبري التَّأكُّد مِن صِحةِ العلاقة'''؛ وتُطبَّقُ أيضًا في حالة وجود احتمالين بقانون الجيب لحل المُثلَّثات المستوية لكن بالنسبة المباشرة بين الضِلعين '''c''' و '''b''' بلا حساب جيب كل منهما، ولكن هذه المعادلات ليست عامة فهي فقط تنطبق في عدد ليس قليلا من المثلثات والملاحظ أن جانب المثلث الأكبر يقابل زاوية أكبر والعكس صحيح ، والبداية تكون بالنظر للنسبة بين القوسين المعلومين لنعرف من الزاوية المعلومة قيمة الزاوية المجهولة المقابلة لأحد القوسين المعلومين فإن كانت هناك قيمتين محتملتين لتلك الزاوية المجهولة وكلاهما تحقق نفس النسبة التي بين القوسين المعلومين فينظر في هذه الحالة للنسبة بين طول القوس المعلوم والزاوية المعلومة المقابلة له فنبحث عن قيمة للزاوية المجهولة لتحقق نفس العلاقة بينها وبين القوس الآخر المعلوم ،
::فإن كان للزاوية احتمالان كلاهما يحقق نفس النسبة ففي هذه الحالة يصعب الترجيح بين الإحتمال المباشر للزاوية والإحتمال الغير مباشر إلا إذا علمت الزاوية الثالثة في المثلث فغالبًا إن كانت أقل من 90 درجة تطبق الحالتين السابقتين من طرق الترجيح بين الزاوية الحادة والزاوية المنفرجة كإحتمالين للزاوية المجهولة من قانون الجيب للمثلثات ، وهذا واضح من دراسة الأحوال المختلفة للمثلثات الكروية عمليًّا . <!-- المعادلة التطبيقية من مجهودي الشخصي ليس لها مصدر وبديلها الوحيد هو قاعدة if المستخدمة في دوال الإكسيل لذلك قمت بإضافتها كمصدر وأحلت القارئ للتحقيق الجبري للتأكد من صِحَّة العلاقة عِوضًا عن المصدر . -->

[[ملف:Solve spherical triangle with c alpha beta.png|تصغير|250px|<center>قوس وزاويتان مجاورتان معطاة</center>|بديل=]]

=== قوس وزاويتان مجاورتان معطاة (ASA كروي) ===
المعلومة: القوس c والزوايا α, β. أولاً، نحدد الزاوية {{تعبير رياضي|''γ''}} باستخدام قانون جيب التمام لـ م.ك :

:<math>\gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta).\,</math>

يمكن ايجاد قوسين مجهولين مِن قانون جيب التمام (باستعمال الزاوية المحسوبة {{تعبير رياضي|''γ''}}):

:<math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),</math>
:<math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma}\right),</math>

أو باستخدام صيغ نابير:
:<math>
\begin{align}
a & = \arctan\left[\frac{2\sin\alpha}{\cot(\frac c 2) \sin(\beta+\alpha) + \tan(\frac c 2) \sin(\beta-\alpha)}\right], \\[4pt]
b & = \arctan\left[\frac{2\sin\beta} {\cot(\frac c 2) \sin(\alpha+\beta) + \tan(\frac c 2)\sin(\alpha-\beta)}\right].
\end{align}
</math>

{{تحديد}}
[[ملف:Solve spherical triangle with a alpha beta.png|تصغير|يسار|250px|<center>قوس، وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة</center>]]

=== قوس وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة (AAS كروي) ===

المعلومة: القوس {{تعبير رياضي|''a''}} والزوايا {{تعبير رياضي|''α'', ''β''}}. يمكن ايجاد القوس {{تعبير رياضي|''b''}} قانون الجيب لـ م.م:
:<math>b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).</math>

إذا كانت الزاوية المركزية المقابلة للقوس {{تعبير رياضي|''a''}} حادة و {{تعبير رياضي|''α'' > ''β''}}، هناك حل آخر:
:<math>b = \pi - \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).</math>

يمكننا ايجاد خصائص أخرى باستخدام صيغ نابير:

:<math>
\begin{align}
c & = 2\arctan \left[ \tan\left(\tfrac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\tfrac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right], \\[4pt]
\gamma & = 2\arccot \left[\tan\left(\tfrac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right].
\end{align}
</math>

{{تحديد}}
[[ملف:Solve spherical triangle with alpha beta gamma.png|تصغير|يسار|250px|<center>ثلاث زوايا معطاة</center>]]

=== ثلاث زوايا معلومة (AAA كروي) ===

المعلومة: الزوايا {{تعبير رياضي|''α'', ''β'', ''γ''}}. من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية، نستنتج:

:<math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),</math>
:<math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right),</math>
:<math>c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right).</math>

{{تحديد}}

=== حل المثلثات الكروية قائمة الزاوية ===
تصبح الخوارزميات أعلاه أبسط بكثير إذا كانت إحدى زوايا المثلث (على سبيل المثال ، الزاوية C) هي زاوية قائمة. يتم تعريف مثل هذا المثلث الكروي بالكامل بواسطة عنصريه، ويمكن حساب العناصر الثلاثة الأخرى باستخدام العلاقات التالية:

:<math>\sin a = \sin c \cdot \sin A</math> (من قانون الجيب لـ م.ك)
:<math>\tan a = \sin b \cdot \tan A</math>
:<math>\cos c = \cos a \cdot \cos b</math> (من قانون جيب التمام لـ م.ك)
:<math>\tan b = \tan c \cdot \cos A</math>
:<math>\cos A = \cos a \cdot \sin B</math> (من قانون جيب التمام لـ م.ك)
:<math>\cos c = \cot A \cdot \cot B</math>

== بعض التطبيقات ==
=== طريقة التثليث ===
{{مفصلة|تثليث (هندسة رياضية)}}
[[ملف:distance by triangulation.svg|تصغير|يسار|320px|<center>قياس المسافة باستخدام [[تثليث (تقنية)|التثليث]]</center>]]
إذا رغب المرء في قياس المسافة {{تعبير رياضي|''d''}} من ضفة البحر إلى سفينة بعيدة عن طريق [[تثليث (تقنية)|التثليث]]، تُعَلَّم على ضفة البحر نقطتين بمسافة معلومة {{تعبير رياضي|''l''}} بينهما (خط الأساس). لتكن α، وβ زوايا بين خط الأساس والاتجاه إلى السفينة.

من الصيغ أعلاه (حالة ASA، بافتراض الهندسة المستوية) يمكن للمرء حساب المسافة كارتفاع المثلث:
:<math>d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta} \ell.</math>

بالنسبة لحالة المثلث الكروي، يمكن للمرء أولاً حساب طول القوس من النقطة عند α إلى السفينة (أي القوس المقابل لـ β) باستخدام صيغة ASA:

:<math> \tan b =\frac{2\sin\beta}{\cot(l/2)\sin(\alpha+\beta)+\tan(l/2)\sin(\alpha-\beta)},</math>

وإدراج هذا في صيغة AAS للمثلث الفرعي الذي يحتوي على الزاوية α والقوسين b و d:
:<math> \sin d = \sin b \sin\alpha = \frac{\tan b}{\sqrt{1+\tan^2 b}}\sin\alpha.</math>

تستخدم هذه الطريقة في [[مساحلة|الملاحة الساحلية]]. تحدد الزوايا α، و β بملاحظة المعالم المألوفة من السفينة.

[[ملف:mountain height by triangulation.svg|تصغير|يسار|320px|<center>كيفية قياس ارتفاع جبل</center>]]

مثال آخر في التثليث، إذا أراد المرء قياس ارتفاع h لجبل أو مبنى مرتفع، تحدد الزوايا α، و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى. لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط. من نفس صيغ حالة ASA، نتحصل على:

:<math> h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.</math>

=== المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية ===
[[ملف:distance on earth.png|224px|يسار]]
لحساب المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية،
:النقطة A: خط العرض {{تعبير رياضي|''λ{{sub|A}}''}}، خط الطول {{تعبير رياضي|''L{{sub|A}}''}} ،
:والنقطة B: خط العرض {{تعبير رياضي|''λ{{sub|B}}''}}، خط الطول {{تعبير رياضي|''L{{sub|B}}''}}
نعتبر المثلث الكروي {{تعبير رياضي|''ABC''}}، حيث {{تعبير رياضي|''C''}} هو القطب الشمالي. بعض الخصائص هي:
:<math>a = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{B}, \,</math>
:<math>b = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{A}, \,</math>
:<math>\gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}. \,</math>

إذا [[حل المثلثات#قوسان وزاوية محصورة معطاة (SAS كروي)|أعطيت قوسين وزاوية محصورة]] (حالة المثلث الكروي SAS)، نحصل من تلك الصيغ:

:<math>\mathrm{AB} = R \, \arccos\left[\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right]</math>
هنا، {{تعبير رياضي|''R''}} هو [[نصف قطر الأرض]].

والسبب في هذا التغيير عن صيغة قانون [[حساب المثلثات الكروية#قانون جيب التمام|جيب التمام لحساب المثلثات الكروية]] هو أنَّ جيب الزاوية = جيب تمام ( 90 - نفس الزاوية ) والعكس صحيح ؛

والقانون السَّابِق يخصُّ نظام [[راديان]] أمَّا في حالة استخدام نظام [[درجة (زاوية)|الدرجات]] فيكون بدلًا مِن الضرب في المقدار R فقط، الضرب في قِيمَة الدَّرجة القوسية <math> \pi R\over180 </math> فيكون بالصُّورة التَّالية :

:<math>\mathrm{AB} ={\pi \ R\,  \arccos\left[\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right]\over180}</math> .

== هوامش وملاحظات ==
{{مراجع|مجموعة=ملاحظة}}

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:حساب المثلثات الكروية]]
[[تصنيف:حساب المثلثات]]
[[تصنيف:هندسة المثلث]]