عرض مصدر حلقة (رياضيات)

{{عن|3=حلقة (توضيح)}}

في [[جبر مجرد|الجبر التجريدي]]، '''الحلقة''' {{إنج|Ring}}، <math>R\!</math> والتي يرمز إليها أحيانا <math>\{R,+,\times\}</math> هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع <math>+\!</math> والجداء <math>\times</math>{{للهامش|1}} بحيث تحقق البديهيات التالية:
# <math>\{R,+\}\!</math> [[زمرة أبيلية]] حيث العنصر الحيادي <math>e=0\!</math> والمتمم <math>\acute{a}= -a</math>
# مغلقة بالنسبة إلى الجداء: <math>\forall a, b \in R: ab \in R</math>
# تجميعية بالنسبة إلى الجداء: <math>a(bc) = (ab)c \ \forall a, b, c \in R</math>
# [[توزيعية]] عملية الجداء على عملية الجمع من الجهتين، اليمنى واليسرى: <math>a(b+c) = ab + ac \ \forall a, b, c \in R</math> و<math>(a+b)c = ac + bc \ \forall a, b, c \in R</math>

تُدعى الحلقة [[عملية تبديلية|بالتبديلية]] أو التبادلية إن حققت الشرط الإضافي التالي:
:5. تبديلية بالنسبة إلى الجداء: <math>ab = ba \ \forall a, b \in R</math>

هاتان العمليتان رغم أنهما تشبهان [[جمع|الجمع]] و[[جداء (توضيح)|الجداء]] المألوفين في مجموعات الأعداد إلا أنهما تختلفان عنهما: هما جمع وجداء مجازيان وليسا الجمع والجداء المتعارف عليهما.<ref>{{استشهاد ويب| ناشر = d-nb.info| عنوان= معلومات عن حلقة (رياضيات) على موقع d-nb.info| تاريخ أرشيف= 5 مايو 2023| مسار = https://d-nb.info/gnd/4128084-2| مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230505082645/https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&amp;cqlMode=true&amp;query=nid%3D4128084-2}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://id.worldcat.org/fast/1098024 | عنوان = معلومات عن حلقة (رياضيات) على موقع id.worldcat.org | ناشر = id.worldcat.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20210605212145/http://id.worldcat.org/fast/1098024/|تاريخ أرشيف=2021-06-05}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://bigenc.ru/text/2080425 | عنوان = معلومات عن حلقة (رياضيات) على موقع bigenc.ru | ناشر = bigenc.ru|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230103215927/https://bigenc.ru/text/2080425|تاريخ أرشيف=2023-01-03}}</ref> قد تكون عناصر حلقة ما [[عدد صحيح|أعدادا صحيحة]] وقد تكون [[عدد مركب|أعدادا عقدية]] ولكن قد لا تكون أعدادا مطلقا كأن تكون على سبيل المثال [[متعددة الحدود|متعددات للحدود]] أو [[مصفوفة مربعة|مصفوفات مربعة]] أو [[دالة|دوالا]] أو [[متسلسلة قوى|متسلسلات للقوى]].

لكون حلقة ما تبادليةً (أي أن ناتج ضرب عنصرين اثنين في بعضهما لا يتغير عندما يتغير الترتيب الذي جاء العنصران به في العملية) من عدمه نتائج كبيرة وعميقة. يشكل [[جبر تبادلي|الجبر التبادلي]]، كونه دراسة [[حلقة تبادلية|الحلقات التبادلية]]، فرعا أساسيا من [[نظرية الحلقات]] كاملة.

الحلقات [[بنية جبرية|بنى جبرية]] قد تعمم إلى [[حقل (رياضيات)|حقول]] إذا حققت شرطا إضافيا. أبسط أنوع الحلقات التبادلية تلك التي تقبل القسمة على العناصر المختلفة عن الصفر. تسمى هذه الحلقات [[حقل (رياضيات)|حقولا]].

تضم الأمثلة على الحلقات التبادلية مجموعة الأعداد الطبيعية، مزودةً بعملية الجمع والجداء الاعتياديتين، كما تضم أيضا مجموعة متعددات الحدود مزودة بعمليتي جمع وجداء الحدوديات. تضم الأمثلة على الحلقات غير التبادلية مجموعة المصفوفات المربعة {{بدون لف|''n'' × ''n''}} ذات المداخل الحقيقية، وذات البعد n الذي يتجاوز الاثنين.

طورت الحلقات على شكل نماذج بين سبعينات القرن التاسع عشر وعشرينات القرن العشرين. من أهم المشاركين في هذا العمل [[ريتشارد ديدكايند]] و[[ديفيد هيلبرت]] و[[أبراهام فرانكل]] و[[إيمي نويثر]].
== تعريف وتوضيح ==
=== المثال الأول: الأعداد الصحيحة ===

المثال الأكثر شيوعا حول الحلقات هو مجموعة الأعداد [[عدد صحيح|الصحيحة]], والمتمثلة في الأعداد التالية :

:<math>..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...</math>

== التاريخ ==
{{مفصلة|نظرية الحلقات#التاريخ}}

[[ملف:Dedekind.jpeg|تصغير|100px|يسار|[[ريتشارد ديدكايند]], واحد من مؤسسي [[نظرية الحلقات]].]]

يعود أصل دراسة الحلقات إلى دراسة [[حلقة متعددات الحدود|حلقات متعددات الحدود]] وإلى دراسة [[عدد صحيح جبري|نظرية الأعداد الصحيحة الجبرية]].

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضًا ==

<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
,
* [[مبرهنة الباقي الصينية|مبرهنة الباقي الصيني]],
* [[نظرية الحلقات]],
,
,
,
* [[بنية جبرية]],
.

أنواع خاصة من الحلقات,
** [[حقل (توضيح)|حقل]],
*,
*,
** [[حلقة تبادلية]],
*,
** [[حلقة مرتبة]],
*.

</div>

== هامش ==

{{هامش|1}} لا يستعمل عادة رمز الجداء <math>\times</math> ويستعاض عنه بالرمز <math>\cdot</math> (مثلا <math>a \cdot b</math>) أو لا يستعمل أي رمز (مثلا <math>ab\!</math>)
{{روابط شقيقة}}
{{جبر تجريدي}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|جبر|رياضيات}}
{{مواضيع مهمة في علم الجبر}}
{{دائرة}}

[[تصنيف:بنى جبرية]]
[[تصنيف:نظرية الحلقات]]